2019年江苏省无锡市梁溪区中考一模数学试卷

这是一份2019年江苏省无锡市梁溪区中考一模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 5 的平方根是
A. ±5B. 5C. −5D. −5

2. 无锡市 2019 年预计实现生产总值（GDP）12500 亿，用科学记数法表示这个总值为
A. 125×102 亿B. 12.5×103 亿C. 1.25×104 亿D. 1.25×105 亿

3. 若实数 a，b 满足 a>b，则与实数 a，b 对应的点在数轴上的位置可以是
A. B.
C. D.

4. 若关于 x 的一元二次方程 k−1x2−2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A. k>−2B. k>−2 且 k≠1
C. k<2D. k<2 且 k≠1

5. 点 P2,5 经过某种图形变化后得到点 Q−2,5，这种图形变化可以是
A. 关于 x 轴对称B. 关于 y 轴对称C. 关于原点对称D. 上下平移

6. 某几何体的三视图分别如图所示，该几何体是
A. 六棱柱B. 三棱柱C. 圆柱D. 圆锥

7. 如果一个多边形的内角和等于 1080∘，那么这个多边形的边数为
A. 7B. 8C. 9D. 10

8. 如图，在 ⊙O 中，AC 为 ⊙O 直径，B 为圆上一点，若 ∠OBC=26∘，则 ∠AOB 的度数为
A. 26∘B. 52∘C. 54∘D. 56∘

9. 如图，已知 A3,6，B0,n0A. 3B. 3817C. 455D. 655

10. 如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 都在坐标轴上，点 B 在第二象限，矩形 OABC 的面积为 62．把矩形 OABC 沿 DE 翻折，使点 B 与点 O 重合．若反比例函数 y=kx 的图象恰好经过点 E 和 DE 的中点 F．则 OA 的长为
A. 2B. 322C. 22D. 6

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 分解因式：a2−4= ．

12. 如果分式 2xx−3 有意义，那么 x 的取值范围是 ．

13. 已知 a+2b=1，则 2a+4b−3= ．

14. △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，且 DE∥BC，若 S△ADE:S△ABC=4:9，BC=6，则 DE= ．

15. 某社区对寒假期间参加社区活动的部分学生的年龄进行统计，结果如下表：
年龄岁111213141516人数人456672
则这些学生的年龄的众数是 ．

16. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，∠BOC=50∘，AD∥OC，AD 交 ⊙O 于点 D，连接 AC，CD，那么 ∠ACD= ．

17. 如图，△ABC 中，∠ABC=90∘，AB=BC，点 A1,0，点 B 在 x 轴上且位于点 A 右侧，点 C 在第一象限．将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 75∘，点 C 的对应点 E 恰好落在 y 轴的正半轴上，则点 E 的坐标为 ．

18. 如图，△ABC 中，AB=4，AC=6，∠A=30∘，点 D 为 AC 边上一动点，则 12AD+DB 的最小值 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：
（1）2−1+18−sin45∘；
（2）a+3a−1−a+2a−2．

20. 解答下列问题．
（1）解方程：x2−4x+1=0；
（2）解不等式组：2x+1≤132x−1,x+52≥1.

21. 如图，在 △ABC 中，D 是 AB 边上任意一点，E 是 BC 边中点，CF∥AB，交 DE 的延长线于点 F，连接 BF，CD．求证：四边形 CDBF 是平行四边形．

22. 有四张完全一样的卡片，在正面分別写上 2，3，4，6 四个数字后洗匀，反面朝上放在桌上．小明从中先后任意抽取两张卡片，然后把先抽到的卡片上的数字作为十位数，后抽到的卡片上的数字作为个位数，组成一个两位数．求这个两位数恰好能被 4 整除的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

23. 某中学准各去湿地公园开展社会实践活动，学校给出 A：十八弯，B：长广溪，C：九里河，D：贡湖湾，共四个目的地．为了解学生最喜欢哪一个目的地，随机抽取了部分学生进行调査，并将调査结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请回答下列问题：
（1）这次被调査的学生共有 人．
（2）请你将条形统计图补充完整．
（3）扇形统计图中 D 项目对立的扇形的圆心角度数是 ∘．
（4）已知该校学生 2400 人，请根据调査结果估计该校最喜欢去长广溪湿地公园的学生人数．

24. 如图，在 ⊙O 中，C，D 分别为半径 OB，弦 AB 的中点，连接 CD 并延长，交过点 A 的切线于点 E．
（1）求证：AE⊥CE．
（2）若 AE=2，sin∠ADE=13，求 ⊙O 半径的长．

25. 如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=5．请用尺规作图画出符合要求的图形，并标注必要的字母及结论（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）在图 1 的矩形 ABCD 中画出一个面积最大的菱形．
（2）我们通常把长与宽之比为 2:1 的矩形称为标准矩形，请你在图 2 的矩形 ABCD 中画出一个面积最大的标准矩形．

26. 某水果店经销一批柑橘，每斤进货价是 3 元．试销期间发现每天的销售量 y（斤）与销售単价 x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中 3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用 800 元．
销售单价x元3.55.5销售量y斤28001200
（1）请求出 y 与 x 之间的函数表达式；
（2）如果每天获得 1600 元的利润，销售单价为多少元?
（3）当销售价定为多少元时，每天的利润最大?最大利润是多少元?

27. 如图，已知 A3,0，B0,a−3（1）求直线 EF 所对应的函数表达式；
（2）判断 CE 与 DF 的数量关系并说明理由．

28. 已知二次函数 y=ax2+2ax−3aa>0 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在 点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，图象顶点为 D，连接 AC，BC，BD，CD，∠ACB≥90∘．
（1）求 a 的取值范围．
（2）点 E−12,0，点 F 在 AC 边上，若 EF 将 △ABC 的面积平分，求点 F 的坐标（用含 a 的代数式表示）．
（3）△BCD 中 CD 边上的高是否存在最大值?若存在，求出这个最大值并求出此时二次函数的表达式；若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】∵±52=5，
∴5 的平方根为 ±5．
2. C【解析】将 12500 亿用科学记数法可表示为 1.25×104 亿．
3. D【解析】由 a>b，得 a 与原点的距离比 b 原点的距离远．
4. D【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 k−1x2−2x+1=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=4−4×1×k−1=8−4k>0，且 k−1≠0，
∴k<2 且 k≠1．
5. B
【解析】∵ 点 P2,5 经过某种图形变化后得到点 Q−2,5，
∴ 这种图形变化可以是关于 y 轴对称．
6. A【解析】根据俯视图是正六边形确定该几何体为六棱柱．
7. B【解析】设这个多边形的边数为 n，
则 n−2×180∘=1080∘，
解得 n=8，
故这个多边形为八边形．
8. B【解析】∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC，
∵∠OBC=26∘，
∴∠AOB=2∠C=52∘．
9. D【解析】如图，作 AH⊥y 轴于 H，CE⊥AH 于 E，作 MN⊥OC 于 N．
则四边形 CEHO 是矩形，OH=CE=6，
∵∠BAC=∠AHB=∠AEC=90∘，
∴∠ABH+∠HAB=90∘，∠HAB+∠EAC=90∘，
∴∠ABH=∠EAC，
∴△AHB∽△CEA，
∴AHEC=BHAE，
∴36=BHAE，
∴AE=2BH，设 BH=x，则 AE=2x，
∴OC=HE=3+2x，OB=6−x，
∴B0,6−x，C3+2x,0，
∵BM=CM，
∴M3+2x2,6−x2，
∵P32,0，
∴PN=ON−OP=3+2x2−32=x，
∴PM2=PN2+MN2=x2+6−x22=54x2−3x+9=54x−652+365,
∴x=65 时，PM2 有最小值，最小值为 365，
∴PM 的最小值为 365=655．
10. D
【解析】连接 BO 与 ED 交于点 Q，过点 Q 作 QN⊥x 轴，垂足为 N，如图所示．
∵ 矩形 OABC 沿 DE 翻折，点 B 与点 O 重合，
∴BQ=OQ，BE=EO．
∵ 四边形 OABC 是矩形，
∴AB∥CO，∠BCO=∠OAB=90∘．
∴∠EBQ=∠DOQ．
在 △BEQ 和 △ODQ 中，
∠EBQ=∠DOQ,BQ=OQ,∠BQE=∠OQD.
∴△BEQ≌△ODQASA．
∴EQ=DQ．
∴ 点 Q 是 ED 的中点．
∵∠QNO=∠BCO=90∘，
∴QN∥BC．
∴△ONQ∽△OCB．
∴S△ONQS△OCB=OQOB2=OQ2OQ2=14．
∴S△ONQ=14S△OCB．
∵S矩形OABC=62，
∴S△OCB=S△OAB=32．
∴S△ONQ=324．
∵ 点 F 是 ED 的中点，
∴ 点 F 与点 Q 重合．
∴S△ONF=324．
∵ 点 E，F 在反比例函数 y=kx 上，
∴S△OAE=S△ONF=324．
∵S△OAB=32，
∴AB=4AE．
∴BE=3AE．
由轴对称的性质可得：OE=BE．
∴OE=3AE．OA=OE2−AE2=22AE．
∴S△OAE=12AO⋅AE=12×22AE×AE=324．
∴AE=32．
∴OA=22AE=6．
第二部分
11. a+2a−2
【解析】a2−4=a+2a−2．
12. x≠3
【解析】由题意得，x−3≠0，解得 x≠3．
13. −1
【解析】∵a+2b=1，
∴2a+4b−3=2a+2b−3=2×1−3=2−3=−1.
14. 4
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=DEBC2=49，
∴DEBC=23，
∴DE=23×6=4．
15. 15 岁
【解析】由表知这些学生的年龄的众数是 15 岁．
16. 40∘
【解析】连接 OD．
∵AD∥OC，
∴∠DAB=∠BOC=50∘，
∵OA=OD，
∴∠AOD=180∘−2∠DAB=80∘，
∴∠ACD=12∠AOD=40∘．
17. 0,3
【解析】由题意：∠EAO=180∘−75∘−45∘=60∘，
在 Rt△AOE 中，
∵∠AOE=90∘，OA=1，
∴OE=OA⋅tan60∘=3，
∴E0,3．
18. 23
【解析】作 ∠DAE=30∘，DE⊥AE．
在 Rt△AED 中，ED=12AD．
∴12AD+BD=ED+BD．
则由图可知，当 BF⊥AE 时，BF 长即为 12AD+BD 的最小值．
在 Rt△ABF 中，∠FAB=60∘，AF=2，BF=23．
第三部分
19. （1） 原式=22+32−22=32.
（2） 原式=a2−a+3a−3−a2+4=2a+1.
20. （1）
x2−4x+1=0.
方程移项得：
x2−4x=−1.
配方得：
x2−4x+4=3.
即
x−22=3.
开方得：
x−2=±3.
解得：
x1=2+3,x2=2−3.
（2）
2x+1≤132x−1, ⋯⋯①x+52≥1. ⋯⋯②∵
解不等式①得：
x≤−1.
解不等式②得：
x≥−3.∴
不等式组的解集是
−3≤x≤−1.
21. ∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EBD．
∵E 是 BC 中点，
∴CE=BE．
∵∠CEF=∠BED，
∴△CEF≌△BEDASA．
∴CF=BD．
∴ 四边形 CDBF 是平行四边形．
22. 画树状图如下：
由树状图知共有 12 种等可能结果，其中这个两位数恰好能被 4 整除的有 4 种结果，
∴ 这个两位数恰好能被 4 整除的概率为 13．
23. （1） 200
【解析】这次调查的学生总人数为 20÷10%=200（人）．
（2） C 项目人数为 200−20+80+40=60（人），
补全图形如下：
（3） 72
【解析】扇形统计图中 D 项目对应的扇形的圆心角度数是 360∘×40200=72∘．
（4） 根据调査结果估计该校最喜欢去长广溪湿地公园的学生人数为 2400×80200=960（人）．
24. （1） 连接 OA，
∵OA 是 ⊙O 的切线，
∴∠OAE=90∘．
∵C，D 分别为半径 OB，弦 AB 的中点，
∴CD 为 △AOB 的中位线，
∴CD∥OA．
∴∠E=90º，
∴AE⊥CE．
（2） 连接 OD，
∴∠ODB=90º，
∵AE=2，sin∠ADE=13，
在 Rt△AED 中，AD=AEsin∠ADE=32．
∵CD∥OA，
∴∠1=∠ADE．
在 Rt△OAD 中，sin∠1=ODOA=13．
设 OD=x，则 OA=3x，
∵OD2+AD2=OA2，
∴x2+322=3x2．
解得 x1=32，x2=−32（舍）．
∴OA=3x=92，即 ⊙O 的半径长为 92．
25. （1） 如图 1：以 BD 或 AC 为对角线，E，F 在 AD，BC 上，
且 EF 垂直平分 BD 或 AC，则菱形 BEDF 即为所求．
（2） 如图 2，以 BC=5 为长，则宽 AE 为 522，此时矩形 AEFD 的面积最大．
26. （1） 设 y=kx+b，
将 x=3.5，y=2800；x=5.5，y=1200 代入，
得 3.5k+b=2800,5.5k+b=1200,
解得 k=−800,b=5600,
则 y 与 x 之间的函数关系式为；y=−800x+5600；
（2） 由题意，得 x−3−800x+5600−800=1600，
整理，得 x2−10x+24=0，
解得 x1=4，x2=6，
∵3.5≤x≤5.5，
∴x=4．
答：如果每天获得 1600 元的利润，销售单价为 4 元；
（3） 由题意得：
w=x−3−800x+5600−800=−800x2+8000x−17600=−800x−52+2400,
∵3.5≤x≤5.5，
∴ 当 x=5 时，w 有最大值为 2400．
故当销售单价定为 5 元时，每天的利润最大，最大利润是 2400 元．
27. （1） 如图 1，过点 C 作 CG⊥y 轴于点 G．
∴∠CGB=∠AOB=90∘．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=90∘．
∴∠ABO+∠CBG=∠ABO+∠BAO．
∴∠CBG=∠BAO．
在 △CBG 与 △BAO 中，
∠CBG=∠BAO,∠BGC=∠AOB,CB=AB,
∴△CBG≌△BAOAAS．
∵A3,0，B0,a−3 ∴OA=3，OB=−a．
∴BG=OA=3，CG=BO=−a．
∴OG=BG−OB=3+a．
∴Ca,3+a．
∵ 点 E 与点 A 关于 y 轴对称，
∴E−3,0．
设直线 EF 函数关系式为 y=kx+b，
∴−3k+b=0,ak+b=3+a, 解得：k=1,b=3,
∴ 直线 EF 函数关系式为：y=x+3．
（2） CE=2DF，理由如下：
如图 2，过点 C 作 CP⊥x 轴于点 P，
过点 C 作 CH⊥y 轴于点 G，过点 D 作 DH⊥CH 于点 H，
∴ 四边形 DFGH 是矩形，△CDH≌△BCG．
∴CH=BG=3．
∵E−3,0，Ca,3+a，
∴CG=−a，CP=3+a．
∴FD=GH=CH−CG=3−−a=3+a．
∵x=0 时，y=x+3=3，
∴F0,3，OE=OF．
∵PC=3+a，EP=OE−OP=3−−a=3+a，
∴CE=PC2+EP2=23+a．
∴CE=2DF．
28. （1） 当 y=ax2+2ax−3a=0a>0，
解得：x1=−3，x2=1，
∴A−3,0，B1,0，即 OA=3，OB=1，
当 x=0 时，y=ax2+2ax−3a=−3a，
∴C0,−3a，即 OC=3a，
设 y 轴负半轴上有点 M 满足 ∠AMB=90∘，如图 1，
则 ∠AMO+∠OMB=90∘，
∵∠AOM=∠MOB=90∘，
∴∠OMB+∠MBO=90∘，
∴∠AMO=∠MBO，
∴△AMO∽△MBO，
∴AOMO=MOBO，
∴MO=AO⋅BO=3，
∵∠ACB≥90∘，
∴OC≤OM，即 3a≤3，
∴a 的取值范围是 0 （2） ∵AB=1−−3=4，OC=3a，
∴S△ABC=12AB⋅OC=12×4×3a=6a，
设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，
∴−3k+b=0,0+b=−3a, 解得：k=−a,b=−3a.
∴ 直线 AC 解析式为：y=−ax−3a，
设 AC 边上的点 Ft,−at−3a−3 ∵E−12,0，
∴S△AEF=12AE⋅∣yF∣=12⋅−12+3⋅at+3a=5at+3a4，
∵S△AEF=12S△ABC，
∴5at+3a4=12⋅6a，
解得：t=−35，
∴−at−3a=3a5−3a=−12a5，
∴ 点 F 的坐标为 −35,−12a5．
（3） △BCD 中 CD 边上的高存在最大值，
设直线 BD 与 y 轴交点为点 P，
∵y=ax2+2ax−3a=ax+12−4a ，
∴ 顶点 D−1,−4a
设直线 BD 解析式为：y=cx+d，
∴c+d=0,−c+d=−4a, 解得：c=2a,d=−2a,
∴P0,−2a，
∴PC=−2a−−3a=a，
∴S△BCD=S△BCP+S△CDP=12PC⋅xB+12PC⋅xD=12PC⋅xB−xD=12⋅a⋅1+1=a.
设 △BCD 中 CD 边上的高为 h，
∵CD=12+−3a+4a2=1+a2，S△BCD=12CD⋅h，
∴h=2S△BCDCD=2aa2+1，
∴h2=4a2a2+1，
∴1h2=a2+14a2=14+14a2，
∵0 ∴0 ∴0<4a2≤43，
∴14a2≥34，
∴1h2=14+14a2≥1，
∴h2≤1，即 h≤1，
∴ 当 a=33 时，h 取得最大值为 1，二次函数表达式为：y=33x2+233x−3．