2019年北京市顺义区中考二模数学试卷

这是一份2019年北京市顺义区中考二模数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图是一个几何体的展开图，这个几何体是
A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱

2. 如图，数轴上的 A，B，C，D 四点中，与数 −3 表示的点最接近的是
A. 点 AB. 点 BC. 点 CD. 点 D

3. 中国一直高度重视自主创新能力，从 2000 年以来，中国全社会研发经费投入以年均近 20% 的速度增长，到 2017 年，这一投入达到 1.76 万亿元人民币，位居全球第二．将 1.76 万亿用科学记数法表示应为
A. 1.76×108B. 1.76×1011C. 1.76×1012D. 1.76×1013

4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若 ∠1=50∘ ，则 ∠2 的度数为
A. 50∘B. 40∘C. 30∘D. 25∘

5. 为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具，其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多 5 元，经调查：用 1000 元购进甲类玩具的数量与用 750 元购进乙类玩具的数量相同．设甲类玩具的进价为 x 元/个，根据题意可列方程为
A. 1000x=750x−5B. 1000x−5=750xC. 1000x=750x+5D. 1000x+5=750x

6. 某公司的班车在 7:30，8:00，8:30 从某地发车，小李在 7:50 至 8:30 之间到达车站乘坐班车，如果他到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是
A. 13B. 12C. 23D. 34

7. 规定：在平面直角坐标系 xOy 中，如果点 P 的坐标为 m,n，向量 OP 可以用点 P 的坐标表示为：OP=m,n．已知 OA=x1,y1，OB=x2,y2，如果 x1x2+y1y2=0，那么 OA 与 OB 互相垂直．下列四组向量中，互相垂直的是
A. OC=4,−3，OD=−3,4
B. OE=−2,3，OF=3,−2
C. OG=3,1，OH=−3,1
D. OM=22,4，ON=−22,2

8. 数学课上，王老师让同学们对给定的正方形 ABCD，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是 4 名同学表示各顶点坐标的结果：
甲同学：A0,1，B0,0，C1,0，D1,1；
乙同学：A0,0，B0,−1，C1,−1，D1,0；
丙同学：A1,0，B1,−2，C3,−2，D3,0；
丁同学：A−1,2，B−1,0，C0,0，D0,2；
上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学是
A. 甲、乙、丙B. 乙、丙、丁C. 甲、丙D. 甲、乙、丙、丁

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若 4−2x 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

10. 若一个正数的平方根分别是 a+1 和 2a−7，则 a 的值是 ．

11. 已知 a2+2a=−2，则 2a2a+1+a+42 的值为 ．

12. 用一组 a，b 的值说明命题“若 a2>b2，则 a>b”是错误的，这组值可以是 a= ，b= ．

13. 改革开放以来，由于各阶段发展重心不同，北京的需求结构经历了消费投资交替主导、投资消费双轮驱动到消费主导的变化．到 2007 年，北京消费率超过投资率，标志着北京经济增长由投资消费双轮驱动向消费趋于主导过渡．如图是北京 1978∼2017 年投资率与消费率统计图．根据统计图回答： 年，北京消费率与投资率相同；从 2000 年以后，北京消费率逐年上升的时间段是 年．

14. 如图所示，在 3×3 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，点 O，A，B 均为格点，则扇形 OAB 的面积大小是 ．

15. 如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，BD⊥AD，点 E 是 BC 的中点，连接 DE，且 AB=6，AC=10，则 DE= ．

16. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=3，AD=4，∠ABC=60∘，过 BC 的中点 E 作 EF⊥AB，垂足为点 F，与 DC 的延长线相交于点 H，则 △DEF 的面积是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：18−4cs45∘+12−2−∣1−3∣0．

18. 解不等式组 2x+1
19. 下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：BC 边上的高线．
作法：如图 2，
①分别以 A，B 为圆心，大于 12AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，E；
②作直线 DE，与 AB 交于点 F，以点 F 为圆心，FA 长为半径画圆，交 CB 的延长线于点 G；
③连接 AG．
所以线段 AG 就是所求作的 BC 边上的高线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面证明．
证明：连接 DA，DB，EA，EB，
∵DA=DB，
∴ 点 D 在线段 AB 的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）．
∵ = ，
∴ 点 E 在线段 AB 的垂直平分线上．
∴DE 是线段 AB 的垂直平分线．
∴FA=FB．
∴AB 是 ⊙F 的直径．
∴∠AGB=90∘（ ）（填推理的依据）．
∴AG⊥BC．
即 AG 就是 BC 边上的高线．

20. 已知：关于 x 的方程 mx2+m−3x−3=0m≠0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）如果 m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求 m 的值．

21. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90∘，BD=BC，CE⊥BD 于 E．
（1）求证：BE=AD；
（2）若 ∠DCE=15∘，AB=2，求在四边形 ABCD 的面积．

22. 已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，以 BC 为直径的 ⊙O 交 AB 于点 D，E 为 BD 的中点．
（1）求证：∠ACD=∠DEC；
（2）延长 DE，CB 交于点 P，若 PB=BO，DE=2，求 PE 的长．

23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+k 与双曲线 y=4xx>0 交于点 A1,a．
（1）求 a，k 的值；
（2）已知直线 l 过点 D2,0 且平行于直线 y=kx+k，点 Pm,nm>3 是直线 l 上一动点，过点 P 分别作 x 轴、 y 轴的平行线，交双曲线 y=4xx>0 于点 M，N，双曲线在点 M，N 之间的部分与线段 PM，PN 所围成的区域（不含边界）记为 W．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当 m=4 时，直接写出区域 W 内的整点个数；
②若区域 W 内的整点个数不超过 8 个，结合图象，求 m 的取值范围．

24. 丁老师为了解所任教的两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①A，B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成 5 组：x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：
②A，B两班学生测试成绩在 80≤x<90 这一组的数据如下：
A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89
B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89
③A，B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如下：
平均数中位数方差A班班80.8n153.3
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全数学成绩频数分布直方图；
（2）写出表中 m，n 的值；
（3）请你对比分析A，B两班学生的数学学习情况（至少从两个不同的角度分析）．

25. 如图，在半圆弧 AB 中，直径 AB=6 cm，点 M 是 AB 上一点，MB=2 cm，P 为 AB 上一动点，PC⊥AB 交 AB 于点 C，连接 AC 和 CM，设 A，P 两点间的距离为 x cm，A，C 两点间的距离为 y1 cm，C，M 两点间的距离为 y2 cm．
小东根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究：
下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值；
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1，x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
①当 AC>CM 时，线段 AP 的取值范围是 ；
②当 △AMC 是等腰三角形时，线段 AP 的长约为 ．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2+2mx−3m>0 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，该抛物线的顶点 D 的纵坐标是 −4．
（1）求点 A，B 的坐标；
（2）设直线与直线 AC 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的表达式；
（3）平行于 x 轴的直线 b 与拋物线交于点 Mx1,y1，Nx2,y2，与直线交于点 Px3,y3．若 x1
27. 已知：在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC．
（1）如图，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 AD，连接 CD，BD，∠BAC 的平分线交 BD 于点 E，连接 CE．
①求证：∠AED=∠CED；
②用等式表示线段 AE，CE，BD 之间的数量关系（直接写出结果）；
（2）如图，若将线段 AC 绕点A顺时针旋转 60∘ 得到 AD，连接 CD，BD，∠BAC 的平分线交 BD 的延长线于点 E，连接 CE．请补全图形，并用等式表示线段 AE，CE，BD 之间的数量关系，并证明．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的任意两点 Mx1,y1，Nx2,y2，给出如下定义：点 M 与点 N 的“折线距离”为：dM,N=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣.
例如：若点 M−1,1，点 N2,−2，则点 M 与点 N 的“折线距离”为：dM,N=∣−1−2∣+∣1−−2∣=3+3=6．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）已知点 P3,−2．
①若点 A−2,−1，则 dP,A= ；
②若点 Bb,2，且 dP,B=5，则 b= ；
③已知点 Cm,n 是直线 y=−x 上的一个动点，且 dP,C<3，求 m 的取值范围．
（2）⊙F 的半径为 1，圆心 F 的坐标为 0,t，若 ⊙F 上存在点 E，使 dE,O=2，直接写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. B【解析】∵3≈1.732，
∴−3≈−1.732，
∵ 点 A，B，C，D 表示的数分别为 −3，−2，−1，2，
∴ 与数 −3 表示的点最接近的是点 B．
3. C
4. B【解析】如图，
∵∠1=50∘，
∴∠3=∠1=50∘，
∴∠2=90∘−50∘=40∘．
故选：B．
5. A
【解析】设甲类玩具的进价为 x 元/个，则乙类玩具的进价每个 x−5 元，根据题意得：
1000x=750x−5．
6. B【解析】等车时间不超过 10 分钟的时间段是 7:50∼8:00，8:20∼8:30，一共 20 分钟，
7:50 至 8:30 一共 40 分钟，
则他等车时间不超过 10 分钟的概率是是 20÷40=12．
7. C【解析】对于选项C，3×1+−3×1=0，
∴OG 与 OH 互相垂直．
故选：C．
8. A【解析】甲同学，易知点 B 为原点，则 AB=BC=CD=AD=1，故甲同学所标的正确；
乙同学，易知点 A 为原点，则 AB=BC=CD=AD=1，故乙同学所标的正确；
丙同学，∵ AB2=−22+02=4，BC2=−2+22+3−12=4，CD2=−2−02+3−32=4，AD2=3−12+0=4，
∴ AB=BC=CD=AD=2，故丙同学的正确；
丁同学，∵ AB2=−1+12+2−02=4，BC2=0−02+0+12=1，
∴ AB≠BC，故丁同学的表示错误；
即只有甲、乙、丙三位同学四个点的坐标都表示正确．故选：A．
第二部分
9. x≤2
【解析】由题意得：4−2x≥0，
解得：x≤2，
故答案为：x≤2．
10. 2
【解析】根据题意知 a+1+2a−7=0，
解得：a=2．
11. 6
【解析】原式=4a2+2a+a2+8a+16=5a2+10a+16=5a2+2a+16,
∵a2+2a=−2，
∴原式=−10+16=6．
12. −3，−1
【解析】当 a=−3，b=−1 时，满足 a2>b2，但 a13. 1984，2006，2004∼2017 年
14. 5π4
【解析】因为每个小方格都是边长为 1 的正方形，
所以 OA=OB=12+22=5，
所以 S扇形OAB=90π×52360=90π×5360=5π4．
15. 2
【解析】延长 BD 交 AC 于 F，
在 △ADB 和 △ADF 中，
∠BAD=∠FAD,AD=AD,∠ADB=∠ADF,
∴△ADB≌△ADFASA
∴AF=AB=6，BD=DF，
∴FC=AC−AF=4，
∵BD=DF，BE=EC，
∴DE=12FC=2．
16. 23
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC=4，AB∥CD，AB=CD=3，
∵E 为BC中点，
∴BE=CE=2，
∵∠B=60∘，EF⊥AB，
∴∠FEB=30∘，
∴BF=1，
由勾股定理得：EF=3，
∴AB∥CD，
∴△BFE∽△CHE，
∴EFEH=BECE=BFCH=22=1，
∴EF=EH=3，CH=BF=1，
∵S△DHF=12DH⋅FH=12×1+3×23=43，
∴S△DEF=12S△DHF=23．
故答案为：23．
第三部分
17. 原式=32−4×22+4−1,=2+3.
18. 解不等式 ① 得 x<3，
解不等式 ② 得 x≥−1，
∴ 此不等式组的解集是 −1≤x<3，
∴ 此不等式组的非负整数解是 0，1，2．
19. （1） 如图线段 AE 即为所求．
（2） 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；EA；EB；直径所对的圆周角是直角
20. （1） ∵m≠0，
∴ 方程 mx2+m−3x−3=0m≠0 是关于 x 的一元二次方程，
∴Δ=m−32−4m×−3=m+32．
∵ 不论无论 m 为何值，m+32≥0，即 Δ≥0，
∴ 方程总有两个实数根．
（2） ∵mx2+m−3x−3=0，即 x+1mx−3=0，
∴x1=3m，x2=−1．
∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=1 或 3 .
21. （1） ∵∠A=90∘，CE⊥BD 于 E，
∴∠A=∠CEB=90∘．
∵AD∥BC，
∴∠EBC=∠ADB．
又 ∵BD=BC，
∴△ABD≌△ECBSAS，
∴BE=AD；
（2） ∵∠DCE=15∘，CE⊥BD 于 E，
∴∠BDC=∠BCD=75∘，
∴∠BCE=60∘，∠CBE=∠ADB=30∘，
在 Rt△ABD 中，∠ADB=30∘，AB=2．
∴BD=4，AD=23．
∴S△ABD=12×23×2=23．
∵△ABD≌△ECB．
∴CE=AB=2．
∴S△BCD=12×4×2=4．
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=4+23．
22. （1） ∵BC 是 ⊙O 的直径，
∴∠BDC=90∘，
∴∠BCD+∠B=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠BCD+∠ACD=90∘，
∴∠ACD=∠B，
∵∠DEC=∠B，
∴∠ACD=∠DEC．
（2） 连接 OE，

∵E 为 BD 弧的中点．
∴∠DCE=∠BCE，
∵OC=OE，
∴∠BCE=∠OEC，
∴∠DCE=∠OEC，
∴OE∥CD，
∴△POE∽△PCD，
∴POPC=PEPD，
∵PB=BO，DE=2，
∴PB=BO=OC，
∴POPC=PEPD=23，
∴PEPE+2=23，
∴PE=4
23. （1） ∵ 点 A1,a 在双曲线 y=4x 上，
∴a=41=4，
∴ 点 A 的坐标为 1,4，
将 A1,4 代入 y=kx+k，得：k+k=4，
∴k=2．
（2） ① ∵ 直线 l 过点 D2,0 且平行于直线 y=2x+2，
∴ 直线 l 的解析式为 y=2x−4．
当 m=4 时，n=2m−4=4，
∴ 点 P 的坐标为 4,4．
依照题意画出图象，如图 1 所示．
观察图形，可知：区域 W 内的整点个数是 3．
②如图 2 所示：
当 2x−4=4 时，即 x=4，此时线段 PM 和 PN 上有 5 个整点；
当 2x−4=5 时，即 x=4.5，此时线段 PM 上有整点．
观察图形，可知：若区域 W 内的整点个数不超过 8 个，m 的取值范围为 324. （1） A，B两班学生数学成绩频数分布直方图如下：
（2） A班共 40 名同学，中位数落在 80≤x<90，中位数 m=80+822=81，
B班共 40 名同学，中位数落在 80≤x<90，中位数 n=85+852=85．
（3） 从平均分来看，A，B两班差不多，从中位数来看，B班 85 分以上学生数比A班多，从方差看，A班方差小，学生成绩差距较小，B班方差大，说明B班学生发展不均衡．
25. （1） 4.24
【解析】当 x=3 时，点 P 与点 O 重合，
则 y1=OA2+OC2=32≈4.24；
（2） 描点 x,y1，画出函数 y1 的图象：
（3） 2 2 或 2.6．
26. （1） ∵ 抛物线 y=mx2+2mx−3m>0 的顶点 D 的纵坐标是 −4，
∴−12m−4m24m=−4，解得 m=1，
∴y=x2+2x−3，
令 y=0，则 x=−3 或 1，
∴A−3,0，B1,0；
（2） ∵y=x2+2x−3=x+12−4，
∴ 抛物线的对称轴为 x=−1，
∵ 点 C0,−3 关于抛物线的对称轴的对称点坐标是 E−2,−3，点 A−3,0 关于该抛物线的对称轴的对称点坐标是 B1,0，
设直线的表达式为 y=kx+b，
∵ 点 E−2,−3 和点 B1,0 在直线上，
∴−2k+b=−3,k+b=0, 解得 k=1,b=−1,
∴ 直线的表达式为 y=x−1；
（3） 由对称性可知 x1+x22=−1，
∴x1+x2=−2，
∵x1 ∴−2 ∴−427. （1）
① ∵ 将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 AD，
∴AC=AD，∠DAC=60∘，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=150∘，且 AB=AC=AD，
∴∠3=∠5=15∘，
∵∠BAC=90∘，AB=AC，AE 平分 ∠BAC，
∴∠1=∠2=45∘，∠ABC=∠ACB=45∘，
又 ∵AE=AE，
∴△ABE≌△ACESAS，
∴∠3=∠4=15∘，
∴∠6=∠7=30∘，
∴∠DEC=∠6+∠7=60∘，
∵∠AED=∠3+∠1=60∘，
∴∠AED=∠CED．
② BD=2CE+AE
【解析】②过点 A 作 AH⊥BD 于点 H，
∵∠EBC=∠ECB，
∴BE=CE，
∵∠AED=60∘，AH⊥BD，
∴AE=2EH，
∵AB=AD，AH⊥BD，
∴BD=2BH=2BE+EH=2BE+AE=2EC+AE
（2） 补全图形如图，
如图，以 A 为顶点，AE 为一边作 ∠EAF=60∘，AF 交 DB 延长线于点 F．
∵∠BAC=90∘，AB=AC，AE 平分 ∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=45∘，∠ABC=∠ACB=45∘，
∵ 将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 AD，
∴AC=AD，∠DAC=60∘，
∴∠DAE=∠DAC−∠CAE=15∘，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，∠BAD=30∘，
∴∠ABD=∠ADB=75∘，
∴∠AED=∠ADB−∠DAE=60∘，
又 ∵∠EAF=60∘，
∴∠F=60∘，
∴△AEF 是等边三角形，
∴AE=AF=EF．
∵AC=AD，∠CAE=∠DAF=45∘，AE=AF，
∴△CAE≌△DAFSAS，
∴CE=DF，
∵AB=AC，∠BAE=∠CAE=45∘，AE=AE，
∴△BAE≌△CAESAS，
∴BE=CE，
∵DF+BE−EF=BD，
∴2CE−AE=BD．
28. （1） ① 6；
② 2 或 4
③ ∵ 点 Cm,n 是直线 y=−x 上的一个动点，
∴n=−m，∴dP,C=∣3−m∣+∣−2−n∣=∣3−m∣+∣−2+m∣=∣m−3∣+∣m−2∣<3，
即数轴上表示数 m 的点到表示数 3 的点的距离与到表示数 2 的点的距离之和小于 3，
所以 1答：m 的取值范围为 1【解析】①由折线距离的定义式：dM,N=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣，及点 P3,−2，A−2,−1 得：
dP,A=∣3−−2∣+∣−2−−1∣=6．
② dP,B=∣3−b∣+∣−2−2∣=∣3−b∣+4=5，
∴∣3−b∣=1，
∴b=2 或 4．
（2） 2−2≤t≤3 或 −3≤t≤2−2．
【解析】∵⊙F 的半径为 1，圆心 F 的坐标为 0,t，
∴ 如图所示，当点 F 位于 0,3 或 0,−3 时，刚好存在唯一一个点 E，使得 dE,0=2；
作正方形 ABCD，顶点坐标分别为：A−2,0，B0,−2，C2,0，D0,2，
当 ⊙F 在 y 轴正半轴与 AD，CD 相切时，连接圆心 F 和切点 H，则 FH⊥AD，FH=DH=1，
∴DF=2，
∴F0,2−2，
∴ 当 ⊙F 在 y 轴正半轴时，2−2≤t≤3，符合要求；
同理可得，当 ⊙F 在 y 轴负半轴时，−3≤t≤2−2，符合要求．
答：t 的取值范围为 2−2≤t≤3 或 −3≤t≤2−2．