2019年济南市槐荫区阳光100中学中考一模数学试卷

这是一份2019年济南市槐荫区阳光100中学中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 16 的算术平方根是
A. 2B. ±2C. 4D. ±4

2. 由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是
A. B.
C. D.

3. 共享单车为市民短距离出行带来了极大便利．据 2017 年“深圳互联网自行车发展评估报告”披露，深圳市日均使用共享单车 2590000 人次，其中 2590000 用科学记数法表示为
A. 259×104B. 25.9×105C. 2.59×106D. 0.259×107

4. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图，将直尺与含 30∘ 角的三角尺摆放在一起，若 ∠1=20∘ ，则 ∠2 的度数是
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘

6. 下列计算正确的有 个．
①−2a23=−6a6
②x−2x+3=x2−6
③x−22=x2−4
④−2m3+m3=−m3
⑤−16=−1
A. 0B. 1C. 2D. 3

7. 关于 x 的方程 3x+2a＝x−5 的解是负数，则 a 的取值范围是
A. a<52B. a>52C. a<−52D. a>−52

8. 下列 4 个点，不在反比例函数 y=−6x 图象上的是
A. 2,−3B. −3,2C. 3,−2D. 3,2

9. 在平面直角坐标系中，将点 P−4,2 绕原点 O 顺时针旋转 90∘ ，则其对应点 Q 的坐标为
A. 2,4B. 2,−4C. −2,4D. −2,−4

10. 某班体育委员对本班学生一周锻炼（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是
A. 10B. 11C. 12D. 13

11. 如图①是半径为 2 的半圆，点 C 是弧 AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点 C 与圆心 O 重合，则图中阴影部分的面积是
A. 4π3B. 4π3−3C. 23+π3D. 23−2π3

12. 如图，二次函数 y＝ax2+bx+ca≠0 的图象经过点 −1,2 ，且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1 ， x2 ，其中 −24ac ，其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 分解因式： 9−12t+4t2= ．

14. 不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上数字是偶数的概率是 ．

15. 如果一个多边形的各个外角都是 40∘ ，那么这个多边形的内角和是 度．

16. 关于 x 的方程 1x−1=32x+3 的解是 x= ．

17. A ， B 两地之间为直线距离且相距 600 千米，甲开车从 A 地出发前往 B 地，乙骑自行车从 B 地出发前往 A 地，已知乙比甲晚出发 1 小时，两车均匀速行驶，当甲到达 B 地后立即原路原速返回，在返回途中再次与乙相遇后两车都停止，如图是甲、乙两人之间的距离 s （千类）与甲出发的时间 t （小时）之间的图象，则当甲第二次与乙相遇时，乙离 B 地的距离为 千米．

18. 如图，已知矩形ABCD中，点 E 是 BC 边上的点， BE＝2 ， EC＝1 ， AE=BC ， DF⊥AE ，垂足为 F ．则下列结论：
①△ADF≌△EAB ；
②AF=BE ；
③DF 平分 ∠ADC ；
④sin∠CDF=23 ．
其中正确的结论是 ．（把正确结论的序号都填上）

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 计算： 3−2∣+2−1−cs60∘−1−20 ．

20. 已知不等式组 x−126m−1的解集为−6
21. 如图，在平行四边形ABCD中， E 是对角线 BD 上的一点，过点 C 作 CF∥DB ，且 CF=DE ，连接 AE ， BF ， EF ．
（1）求证： △ADE≌△BCF ；
（2）若 ∠ABE+∠BFC=180∘ ，则四边形 ABFE 是什么特殊四边形?说明理由．

22. 为传承中华文化，学习六艺技能，某中学组织初二年级学生到孔学堂研学旅行．已知大型客车每辆能坐 60 人，中型客车每辆能坐 45 人，现该校有初二年级学生 375 人．根据题目提供的信息解决下列问题：
（1）这次研学旅行需要大、中型客车各几辆才能使每个学生上车都有座位，且每辆车正好坐满?
（2）若大型客车租金为 1500 元/辆，中型客车租金为 1200 元/辆，请帮该校设计一种最划算的租车方案．

23. 如图，在等腰 △ABC 中， AB=BC ，以 AB 为直径的半圆分别交 AC ， BC 于点 D ， E 两点， BF 与 ⊙O 相切于点 B ，交 AC 的延长线于点 F ．
（1）求证： D 是 AC 的中点；
（2）若 AB=12 ， sin∠CAE＝64 ，求 CF 的值．

24. 在星期一的第八节课，我校体育老师随机抽取了九年级的总分学生进行体育中考的模拟测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，按得分划分成 A ， B ， C ， D ， E ， F 六个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图表．
等级得分x分频数人A95请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ．其中 m= ，
n= ．
（2）扇形统计图中，求 E 等级对应扇形的圆心角 α 的度数；
（3）我校九年级共有 700 名学生，估计体育测试成绩在 A 、 B 两个等级的人数共有多少人?
（4）我校决定从本次抽取的 A 等级学生（记为甲、乙、丙、丁）中，随机选择 2 名成为学校代表参加全市体能竞赛，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．

25. 如图，直线 y=−x+2 与反比例函数 y=kxk≠0 的图象交于 Aa,3 ， B3,b 两点，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C ，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D ．
（1）求 a ， b 的值及反比例函数的解析式；
（2）若点 P 在直线 y=−x+2 上，且 S△ACP=S△BDP ，请求出此时点 P 的坐标；
（3）在 x 轴正半轴上是否存在点 M ，使得 △MAB 为等腰三角形?若存在，请直接写出 M 点的坐标；若不存在，说明理由．

26. 如图，在 △ABC 中， ∠BAC=90∘ ， AB=AC ，点 D 是 BC 上一动点，连接 AD ，过点 A 作 AE⊥AD ，并且始终保持 AE=AD ，连接 CE ．
（1）求证： △ABD≌△ACE ；
（2）若 AF 平分 ∠DAE 交 BC 于 F ，探究线段 BD ， DF ， FC 之间的数量关系，并证明；
（3）在（ 2 ）的条件下，若 BD=3 ， CF=4 ，求 AD 的长．

27. 如图 1 ，已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 x 轴交于 A−1,0 ， B3,0 两点，与 y 轴交于点 C0,−2 ，顶点为 D ，对称轴交 x 轴于点 E ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设 M 为该抛物线对称轴左侧上的一点，过点 M 作直线 MN∥x 轴，交该抛物线于另一点 N ．是否存在点 M ，使四边形 DMEN 是菱形?若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接 CE （如图 2 ），设点 P 是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点 P 作 PQ⊥x 轴，垂足为 Q ．连接 PE ，请求出当 △PQE 与 △COE 相似时点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. A
2. D【解析】从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形．
3. C【解析】将 2590000 用科学记数法表示为：2.59×106．
4. C【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．
5. C
【解析】如图，
∵∠BEF 是 △AEF 的外角， ∠1＝20∘ ， ∠F＝30∘ ，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝50∘ ，
∵AB∥CD ，
∴∠2＝∠BEF＝50∘ ．
6. C【解析】①−2a23=−8a6 ，错误；
②x−2x+3=x2+x−6 ，错误；
③x−22=x2−4x+4 ，错误
④−2m3+m3=−m3 ，正确；
⑤−16=−1 ，正确．
计算正确的有 2 个．
7. D【解析】解方程 3x+2a＝x−5 得： x＝−a−52 ，
∵ 关于 x 的方程 3x+2a＝x−5 的解是负数，
∴−a−52<0 ，
解得： a>−52 ．
8. D【解析】A、 ∵2×(−3)=−6 ，点在反比例函数图象上，故本选项错误；
B、 ∵−3×2=−6 ，点在反比例函数图象上，故本选项错误；
C、 ∵3×(−2)=−6 ，点在反比例函数图象上，故本选项错误；
D、 ∵3×2=6≠−6 ，点不在反比例函数图象上，故本选项正确．
9. A【解析】作图如下，
∵∠MPO+∠POM＝90∘ ， ∠QON+∠POM＝90∘ ，
∴∠MPO＝∠QON ，
在 △PMO 和 △ONQ 中，
∵ ，
∴△PMO≌△ONQ ，
∴PM=ON ，
OM=QN ，
∵P 点坐标为 −4,2 ，
∴Q 点坐标为 2,4 ．
10. B
【解析】由统计图可得，
本班学生有： 6+9+10+8+7＝40 （人），
该班这些学生一周锻炼时间的中位数是： 11 ．
11. D【解析】连接 OC 交 MN 于点 P ，连接 OM ， ON ，
由题意知， OC⊥MN ，且 OP=PC=1 ，
在 Rt△MOP 中，
∵OM＝2 ， OP＝1 ，
∴cs∠POM=OPOM=12 ，
AC=OM2−OP2=3 ，
∴∠POM=60∘ ，
MN=2MP=23 ，
∴∠AOB=2∠AOC=120∘ ，
则图中阴影部分的面积为
S半圆−2S弓形MCN=12×π×22−2×120π×22360−12×23×1=23−23π.
12. D【解析】二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象经过点 −1,2 ，与 y 轴交于 0,2 点，且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1 、 x2 ，其中 −2① 4a−2b+c<0 ；当 x=−2 时， y=ax2+bx+c ， y=4a−2b+c ， ∵−2 ∴y<0 ，故①正确；
② 2a−b<0 ；
∵ 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象经过点 −1,2 ，
∴a−b+c=2 ，与 y 轴交于 0,1 点， c=1 ，
∴a−b=1 ，二次函数的开口向下， a<0 ，
又 −1<−b2a<0 ，
∴2a−b<0 ，故②正确；
③因为抛物线的开口方向向下，所以 a<0 ，故③正确；
④由于抛物线的对称轴大于 −1 ，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于 2 ，即 4ac−b24a>2 ，由于 a<0 ，所以 4ac−b2<8a ，即 2+8a>4ac ，故④正确．
第二部分
13. 3−2t2
【解析】原式=3−2t2
14. ∵ 有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，其中卡片上数字是偶数的有 2 张，
∴ 抽取的卡片上数字是偶数的概率是 24=12 ；
故答案为： 12 ．
15. 设多边形的边数为 n ，
∵ 多边形的每个外角都等于 40∘ ，
∴n＝360÷40＝9 ，
∴ 这个多边形的内角和 = （ 9−2 ） ×180∘＝1260∘ ．
故答案为： 1260 ．
16. 6
【解析】去分母得： 2x+3=3x−3 ，
移项合并得： −x=−6 ，
解得： x=6 ．
17. 5003
【解析】设甲的速度为 a kmh ，乙的速度为 b kmh ，
a+(5−1)(a+b)=600,(6−5)a=(5−1)b.
解得 a=100,b=25.
设第二次甲追上乙的时间为 m 小时，
100m−25(m−1)=600 ，
解得， m=233 ，
当甲第二次与乙相遇时，乙离 B 地的距离为： 25×233−1=5003 千米，
故答案为： 5003 ．
18. ①②
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD＝BC ，
AD∥BC ，
∠B＝90∘ ，
∵BE＝2 ，
EC＝1 ，
∴AE＝AD＝BC＝3 ，
AB=AE2−BE2=5 ，
∵AD∥BC ，
∴∠DAF＝∠AEB ，
∵DF⊥AE ，
∴∠AFD＝∠B＝90∘ ，
∴△EAB≌△ADF ，
∴AF＝BE＝2 ，
DF=AB=5 ，故 ①② 正确，
不妨设 DF 平分 ∠ADC ，则 △ADF 是等腰直角三角形，这个显然不可能，故 ③ 错误，
∵∠DAF+∠ADF＝90∘ ，
∠CDF+∠ADF＝90∘ ，
∴∠DAF＝∠CDF ，
∴∠CDF＝∠AEB ，
∴sin∠CDF＝sin∠AEB＝=53 ，故 ④ 错误，
故答案为 ①② ．
第三部分
19. 原式=2−3+12−12−1=1−3.
20. 不等式组整理得
x<2n+1,x>3m−3.
即
3m−3 由不等式组的解集为
−6 可得
3m−3=−6.2n+1=3,
解得：
m=−1,n＝1.
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC ， AD∥BC ，
∴∠ADB=∠DBC ，
∵CF∥DB ，
∴∠BCF=∠DBC ，
∴∠ADB=∠BCF ，
在 △ADE 与 △BCF 中，
DE=CF,∠ADE=∠CBF,AD=BC.
∴△ADE≌△BCFSAS ．
（2） 四边形 ABFE 是菱形，
理由： ∵CF∥DB ，且 CF=DE ，
∴ 四边形 CFED 是平行四边形，
∴CD=EF ， CD∥EF ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD ， AB∥CD ，
∴AB=EF ， AB∥EF ，
∴ 四边形 ABFE 是平行四边形，
∵△ADE≌△BCF ，
∴∠AED＝∠BFC ，
∵∠AED+∠AEB=180∘ ，
∴∠ABE=∠AEB ，
∴AB=AE ，
∴ 四边形 ABFE 是菱形．
22. （1） 设需要大型客车 x 辆，中型客车 y 辆，
根据题意，得： 60x+45y=375 ，
当 x=1 时， y=7 ；当 x=2 时， y=173 ；当 x=3 时， y=133 ；
当 x=4 时， y=3 ；当 x＝5 时， y=53 ；当 x=6 时， y=13 ；
∵ 要使每个学生上车都有座位，且每辆车正好坐满，
∴ 有两种选择，方案一：需要大型客车 1 辆，中型客车 7 辆；
方案二：需要大型客车 4 辆，中型客车 3 辆．
（2） 方案一： 1500×1+1200×7＝9900 （元），
方案二： 1500×4+1200×3＝9600 （元），
∵9900＞9600 ，
∴ 方案二更划算．
23. （1） 连接 DB ，
∴AB 是 ⊙O 直径，
∴∠ADB＝90∘ ，
∴DB⊥AC ．
又 ∵AB＝BC ．
∴D 是 AC 的中点．
（2） ∵BF 与 ⊙O 相切于点 B ，
∴∠ABF=90∘ ，
∵∠CAE=∠CBD ，
∴∠CBD=∠ABD ，
∠ABD=∠F ，
∴sin∠CAE=sin∠F=sin∠ABD ，
∴ 在 △ADB 和 △ABF 中，
ABAF=ADAB=64 ，
∵AB=12 ，
∴AF=86 ，
AD=36 ，
∴CF=AF−AC=86−66=26 ．
24. （1） 80 ； 12 ； 28
【解析】所以样本容量为 80 ；
m=80×15%=12 ，
n=80−12−4−24−8−4=28 ；
故答案为 80 ； 12 ； 28 ；
（2） E 等级对应扇形的圆心角 α 的度数 =880×360∘=36∘ ；
（3） 700×12+480=140 ，
所以估计体育测试成绩在 A 、 B 两个等级的人数共有 140 人；
（4） 画树状图如下：
共 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到甲和乙的结果数为 2 ，
所以恰好抽到甲和乙的概率 =212=16 ．
25. （1） ∵ 直线 y=−x+2 与反比例函数 y=kxk≠0 的图象交于 Aa,3 ，
B3,b 两点，
∴−a+2=3 ， −3+2=b ，
∴a=−1 ， b=−1 ，
∴A−1,3 ，
B3,−1 ，
∵ 点 A−1,3 在反比例函数 y=kx 上，
∴k=−1×3=−3 ，
∴ 反比例函数解析式为 y=−3x ；
（2） 设点 Pn,−n+2 ，
∵A−1,3 ，
∴C−1,0 ，
∵B3,−1 ，
∴D3,0 ，
∴S△ACP=12AC×∣xP−xA∣=12×3×∣n+1∣ ，
S△BDP=12BD×∣xB−xP∣=12×1×∣3−n∣ ，
∵S△ACP=S△BDP ，
∴12×3×∣n+1∣=12×1×∣3−n∣ ，
∴n=0 或 n=−3 ，
∴P0,2 或 −3,5 ；
（3） 设 Mm,0m＞0 ，
∵A−1,3 ，
B3,−1 ，
∴MA2=m+12+9 ，
MB2=m−32+1 ，
AB2=3+12+−1−32=32 ，
∵△MAB 是等腰三角形，
∴① 当 MA=MB 时，
∴m+12+9=m−32+1 ，
∴m=0 （舍），
② 当 MA=AB 时，
∴m+12+9=32 ，
∴m=−1+23 或 m=−1−23 （舍），
∴M−1+23,0
③ 当 MB=AB 时， m−32+1=32 ，
∴m=3+31 或 m=3−31 （舍），
∴M3+31,0 ．
即：满足条件的 M−1+23,0 或 3+31,0 ．
26. （1） ∵AE⊥AD ，
∴∠DAE=∠DAC+∠2=90∘ ，
又 ∵∠BAC=∠DAC+∠1=90∘ ，
∴∠1=∠2 ，
在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠1=∠2,AD=AE.
∴△ABD≌△ACE ．
（2） 结论： BD2+FC2=DF2 ．理由如下：
连接 FE ， ∵∠BAC=90∘ ， AB=AC ，
∴∠B=∠3=45∘ ，
由（ 1 ）知 △ABD≌△ACE ，
∴∠4=∠B=45∘ ， BD=CE ，
∴∠ECF=∠3+∠4=90∘ ，
∴CE2+CF2=EF2 ，
∴BD2+FC2=EF2 ，
∵AF 平分 ∠DAE ，
∴∠DAF=∠EAF ，
在 △DAF 和 △EAF 中，
AF=AF,∠DAF=∠EAF,AD=AE.
∴△DAF≌△EAF ，
∴DF=EF ．
∴BD2+FC2=DF2 ．
（3） 过点 A 作 AG⊥BC 于 G ，
由（ 2 ）知 DF2=BD2+FC2=32+42=25 ．
∴DF=5 ，
∴BC=BD+DF+FC=3+5+4=12 ，
∵AB=AC ， AG⊥BC ，
∴BG=AG=12BC=6 ，
∴DG=BG−BD=6−3=3 ，
∴ 在 Rt△ADG 中， AD=AG2+DG2=62+32=35 ．
27. （1） 设抛物线解析式为 y=ax+1x−3 ，
将点 C0,−2 代入，得： −3a=−2 ，
解得 a=23 ，
则抛物线解析式为 y=23x+1x−3=23x2−x−2 ；
（2） ∵y=23x2−43x−2=23x−12−83 ，
∴ 顶点 D1,−83 ，
即 DE=83 ，
∵ 四边形 DMEN 是菱形，
∴ 点 M 的纵坐标为 −43 ，
则 23x2−43x−2=−43 ，
解得 x=1±3 ，
∵M 为该抛物线对称轴左侧上的一点，
∴x<1 ，
则 x=1−3 ，
∴ 点 M 坐标为 1−3,−43 ；
（3） ∵C0,−2 ， E1,0 ，
∴OC=2 ， OE=1 ，
如图，
设 Pm,23m2−43m−2m>1 ，
则 PQ=23m2−43m−2 ， EQ=m−1 ，
① 若 △COE∽△PQE ，则 OCOE=QPQE ，即 21=23m2−43m−2m−1 ，
解得 m=0 （舍）或 m=5 或 m=2 或 m=−3 （舍），
此时点 P 坐标为 5,8 或 2,−2 ；
② 若 △COE∽△EQP ，则 OCOE=QEQP ，即 21=m−123m2−43m−2 ，
解得 m=11+2658 （负值舍去）或 m=5+2658 ，
此时点 P 的坐标为 11+2658,3+26516 或 5+2658,3−26516 ；
综上，点 P 的坐标为 5,8 或 2,−2 或 11+2658,3+26516 或 5+2658,3−26516 ．