2019年广东省佛山市南海区中考二模数学试卷

展开

这是一份2019年广东省佛山市南海区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −12 的倒数是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 如图所示，m 和 n 的大小关系是
A. m=nB. m=1.5nC. m>nD. m
3. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 正方形

4. 据有关部门统计，2019 年春节期间，广东各大景点的游客总数约 25200000 人次，将数 25200000 用科学记数法表示为
A. 2.52×107B. 2.52×108C. 0.252×107D. 0.252×108

5. 如图，直线 l1∥l2，将等边三角形如图放置，若 ∠α=25∘，则 ∠β 等于
A. 35∘B. 30∘C. 25∘D. 20∘

6. 某公司销售部有 7 个职员，他们 5 月份的工资分别是 5300 元、 5800 元、 5300 元、 5500 元、 5800 元、 6500 元和 5800 元，那么他们 5 月份工资的众数是
A. 5300 元B. 5500 元C. 5800 元D. 6500 元

7. 在平面直角坐标系中，点 P−2,x2+1 所在的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

8. 如图，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为 M5,2，那么 csα 的值是
A. 52B. 23C. 255D. 53

9. 已知代数式 a−2b+7 的值是 13，那么代数式 2a−4b 的值是
A. 6B. 12C. 15D. 26

10. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，B=60∘，AD=2，BC=8，点 P 从点 B 出发沿折线 BA−AD−DC 匀速运动，同时，点 Q 从点 B 出发沿折线 BC−CD 匀速运动，点 P 与点 Q 的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点 P 运动的路程为 x，△BPQ 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 因式分解：x2y−y3= ．

12. 81 的平方根等于．

13. 不等式组 x−1>1,3+2x≥4x−3 的解集是．

14. 如图，已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A−2,3，B−1,0，C0,1，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 90∘，得到 △A1B1C1，点 A，B，C 的对应点分别为 A1，B1，C1，则点 A1 的坐标为．

15. 如图，在菱形 ABCD 中，AC，BD 交于点 O，AC=4，菱形 ABCD 的面积为 45，E 为 AD 的中点，则 OE 的长为．

16. 如图所示，在平面直角坐标系中，点 A32,0，B0,12，以 AB 为边作正方形 ABCB1，延长 CB1 交 x 轴于点 A1，以 A1B1 为边作正方形 A1B1C1B2，延长 C1B2 交 x 轴于点 A2，以 A2B2 为边作正方形 A2B2C2B3，延长 C2B3 交 x 轴于点 A3，以 A3B3 为边作正方形 A3B3C3B4，⋯，依此规律，则 △A6B7A7 的周长为．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：∣−3∣−2019+sin45∘0+−13−1．

18. 先化简，再求值：1x+4+1x−4÷1x2−16，其中 x=2−1．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=8．
（1）作 △ABC 的内角 ∠CAB 的平分线，与边 BC 交于点 D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若 AD=BD，求 CD 的长度．

20. 某旅游团于早上 8:00 从某旅行社出发，乘大巴车前往“珠海长隆”旅游，“珠海长隆”离该旅行社有 100 千米，导游张某因有事情，于 8:30 从该旅行社自驾小车以大巴 1.5 倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比该旅游团提前 20 分钟到达“珠海长隆”．
（1）大巴与小车的平均速度各是多少?
（2）导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程有多远?

21. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E，点 F 在 DE 的延长线上，且 AF=CE=AE．
（1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形；
（2）当 ∠B=30∘ 时，试猜想四边形 ACEF 是什么图形，并说明理由．

22. 为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如图．请根据统计图提供的信息回答以下问题．
（1）这一调查属于（选填“抽样调查”或“普查”），抽取的学生数为名；
（2）估计喜欢收听易中天《品三国》的学生约占全校学生的 %（精确到小数点后一位）；
（3）已知该校女学生共有 1800 名，则该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有多少名?

23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y=kx（k 为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点．点 A 的坐标为 m,3，点 B 与点 A 关于 y=x 成轴对称，tan∠AOC=13．
（1）求 k 的值；
（2）直接写出点 B 的坐标，并求直线 AB 的解析式；
（3）P 是 y 轴上一点，且 S△PBC=2S△AOB，求点 P 的坐标．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 O，以 O 为圆心，OC 长为半径作 ⊙O，⊙O 交 AO 所在的直线于 D，E 两点（点 D 在 BC 左侧）．
（1）求证：AB 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 CD，若 AC=23AD，求 tan∠D 的值；
（3）在（2）的条件下，若 ⊙O 的半径为 5，求 AB 的长．

25. 如图，在矩形 ABCD 中，CD=3 cm，BC=4 cm，连接 BD，并过点 C 作 CN⊥BD，垂足为 N，直线 l 垂直 BC，分别交 BD，BC 于点 P，Q．直线 l 从 AB 出发，以每秒 1 cm 的速度沿 BC 方向匀速运动到 CD 为止；点 M 沿线段 DA 以每秒 1 cm 的速度由点 D 向点 A 匀速运动，到点 A 为止，直线 l 与点 M 同时出发，设运动时间为 t 秒 t>0．
（1）线段 CN= ；
（2）连接 PM 和 QN，当四边形 MPQN 为平行四边形时，求 t 的值；
（3）在整个运动过程中，当 t 为何值时 △PMN 的面积取得最大值，最大值是多少?
答案
第一部分
1. B【解析】∵−2×−12=1，
∴−12 的倒数是 −2．
2. C【解析】根据图示，可得：m>0>n，
∴m>n．
3. D【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D．
4. A【解析】25200000=2.52×107．
5. A
【解析】过点 B 作 BD∥l1，如图，
则 ∠ABD=∠α=25∘，
∵l1∥l2，
∴BD∥l2，
∵∠DBC=∠β，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60∘，
∴∠β=∠CBD=∠ABC−∠ABD=60∘−25∘=35∘．
6. C【解析】他们 5 月份工资的众数是 5800 元．
7. B【解析】∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴ 点 P−2,x2+1 在第二象限．
8. D【解析】如图，作 MH⊥x 轴于 H．
∵M5,2，
∴OH=5，MH=2，
∴OM=52+22=3，
∴csα=OHOM=53．
9. B【解析】∵a−2b+7=13，
∴a−2b=13−7=6，
∴2a−4b=2a−2b=2×6=12．
10. B
【解析】由题意得：四边形 ABCD 为等腰梯形，如图，分别过点 A，D 作梯形的高 AM，DN 交 BC 于点 M，N，
则 MN=AD=2，BM=NC=12BC−AD=3，
则 AB=2BM=6，
①当点 P 在 AB 上运动时（0≤x≤6），
y=12BQ×BPsinB=34x2，当 x=6 时，y=93，
图象中符合条件的有B，D；
② 6③当 x≥8 时，点 PC=6+2+6−x=14−x，QC=x−8，则 PQ=22−2x，
而 △BPQ 的高常数，故 y 的表达式为一次函数，
故在B，D中符合条件的为B，故选：B．
第二部分
11. yx+yx−y
【解析】x2y−y3=yx2−y2=yx+yx−y．
12. ±9
【解析】81 的平方根等于：±81=±9．
13. 2【解析】解不等式 x−1>1，得：x>2；
解不等式 3+2x≥4x−3，得：x≤3；
∴ 不等式组的解集为 214. 2,1
【解析】观察图象可知：点 A1 的坐标为 2,1．
15. 32
【解析】∵ 菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC=4，菱形 ABCD 的面积为 45，
∴AO=2，DO=5，∠AOD=90∘，
∴AD=3，
∵E 为 AD 的中点，
∴OE 的长为：12AD=32．
16. 273+3
【解析】由题意：A1B1∥A2B2，
∴∠AA1B1=∠A1A2B2，
∵∠AB1A1=∠A1B2A2=90∘，
∴△AB1C1∽△A1B2C2，
∴AB1A1B2=13，
∵△AB1A1 的周长为 3+3，
△A1B2A2 的周长为 3+3⋅3，
△A2B3A3 的周长为 3+3⋅32，⋯，
△AnBn+1An+1 的周长为 3+3⋅3n，
∴△A6B7A7 的周长为 3+3⋅36=273+3．
第三部分
17. 原式=3−1−3=−1.
18. 1x+4+1x−4÷1x2−16=x−4+x+4x+4x−4⋅x+4x−41=2x.
当 x=2−1 时，
原式=22−1=22−2.
19. （1）如图，AD 为所作．
（2） ∵AD=BD，
∴∠DAB=∠B，
∴AD 平分 ∠BAC，
∴∠DAB=∠CAD，
∴∠DAB=∠CAD=∠B，
而 ∠DAB+∠CAD+∠B=90∘，
∴∠CAD=∠B=30∘，
在 Rt△ACB 中，AC=12AB=4，
在 Rt△ACD 中，tan∠CAD=CDAC，
∴CD=4tan30∘=4×33=433．
20. （1）设大巴的平均速度为 x 千米/时，则小车的平均速度为 1.5x 千米/时，
根据题意得：
100x=1001.5x+12+13.
解得：
x=40.
经检验 x=40 是分式方程的解，且 1.5×40=60，
则大巴与小车的平均速度各是 40 千米/时，60 千米/时．
（2）设导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程为 y 千米，
由题意得：
100−y40=100−y60+12.
解得：
y=40.
经检验 y=40 是分式方程的解，且符合题意，
则导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程有 40 千米．
21. （1）四边形 ACEF 是平行四边形；
∵DE 垂直平分 BC，
∴D 为 BC 的中点，ED⊥BC，
又 ∵AC⊥BC，
∴ED∥AC，
∴E 为 AB 中点，
∴ED 是 △ABC 的中位线．
∴BE=AE，FD∥AC．
∴BD=CD，
∴Rt△ABC 中，CE 是斜边 AB 的中线，
∴CE=AE=AF．
∴∠F=∠5=∠1=∠2．
∴∠FAE=∠AEC．
∴AF∥EC．
又 ∵AF=EC，
∴ 四边形 ACEF 是平行四边形；
（2）当 ∠B=30∘ 时，四边形 ACEF 为菱形；
理由：∵∠ACB=90∘，∠B=30∘，
∴AC=12AB，
由（1）知 CE=12AB，
∴AC=CE
又 ∵ 四边形 ACEF 为平行四边形
∴ 四边形 ACEF 为菱形．
22. （1）抽样调查；300
【解析】这一调查属于抽样调查，
抽查的人数为：20+10+30+15+30+38+64+42+6+45=300 人．
（2） 35.3
【解析】64+42÷300≈35.3%．
（3） 45150×1800=540 人．
该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有 540 名．
23. （1）作 AD⊥y 轴于 D，
∵ 点 A 的坐标为 m,3，
∴OD=3，
∵tan∠AOC=13．
∴ADOD=13，即 AD3=13，
∴AD=1，
∴A−1,3，
∵ 在反比例函数 y=kx（k 为常数，k≠0）的图象上，
∴k=−1×3=−3；
（2） ∵ 点 B 与点 A 关于 y=x 成轴对称，
∴B3,−1，
∵A，B 在一次函数 y=ax+b 的图象上，
∴−a+b=3,3k+b=−1, 解得 a=−1,b=2,
∴ 直线 AB 的解析式为 y=−x+2；
（3）连接 OC，
由直线 AB 为 y=−x+2 可知，C0,2，
∵S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×1+12×2×3=4，
∵P 是 y 轴上一点，
∴ 设 P0,t，
∴S△PBC=12∣t−2∣×3=32∣t−2∣，
∵S△PBC=2S△AOB，
∴32∣t−2∣=2×4，
∴t=223 或 t=−103，
∴P 点的坐标为 0,223 或 0,−103．
24. （1）如图，过点 O 作 OF⊥AB．
∵AO 平分 ∠BAC，OF⊥AB，∠ACB=90∘，
∴OC=OF．
∴OF 为 ⊙O 半径，且 OF⊥AB．
∴AB 是 ⊙O 切线．
（2）连接 CE．
∵DE 是直径，
∴∠DCE=90∘．
∵∠ACB=90∘，
∴∠DCE=∠ACB．
∴∠DCO=∠ACE．
∵OC=OD，
∴∠D=∠DCO．
∴∠ACE=∠D，且 ∠A=∠A．
∴△ACE∽△ADC．
∴ACAD=CECD=23ADAD=23．
∴tan∠D=CECD=23．
（3） ∵△ACE∽△ADC，
∴ACAD=AEAC．
∴AC2=ADAD−10，且 AC=23AD．
∴AD=18．
∴AC=12．
∵AO=AO，OC=OF，
∴Rt△AOF≌Rt△AOCHL．
∴AF=AC=12．
∵∠B=∠B，∠OFB=∠ACB=90∘，
∴△OBF∽△ABC．
∴OFAC=OBAB=BFBC，即 512=OB12+BF=BFBO+5．
∴5BO+25=12BF,60+5BF=12OB,
∴BF=600119．
∴AB=FA+BF=12+600119=2028119．
25. （1） 125
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴BC=AD=4 cm，∠BCD=90∘=∠A．
∴BD=BC2+CD2=5 cm．
∵S△BCD=12BC×CD=12×BD×CN．
∴CN=125．
（2）在 Rt△CDN 中，DN=CD2−CN2=95．
∵ 四边形 MPQN 为平行四边形时，
∴PQ∥MN，且 PQ⊥BC，AD∥BC．
∴MN⊥AD．
∴MN∥AB．
∴△DMN∽△DAB．
∴DMAD=DNBD，即 DM4=955．
∴DM=3625 cm．
∴t=3625 s．
（3） ∵BD=5，DN=95，
∴BN=165．
如图，过点 M 作 MH⊥BD 于点 H．
∵sin∠MDH=sin∠BDA=ABBD=MHMD，
∴35=MDt．
∴MH=35t．
当 0 ∵BQ=t，
∴BP=45t，
∴PN=BD−BP−DN=5−95−45t=165−54t．
∴S△PMN=12×PN×MH=12×35t×165−54t=−38t2+2425t．
∴ 当 t=3225 s 时，S△PMN 有最大值，且最大值为 384625；
当 t=6425 s 时，点 P 与点 N 重合，点 P，点 N，点 M 不构成三角形；
当 6425 ∴PN=BP−BN=54t−165．
∴S△PMN=12×PN×MH=12×35t×54t−165=38t2−2425t．
当 6425 ∴ 当 t=4 时，S△PMN 最大值为 5425．
∵5425>384625，
∴ 综上所述：t=4 时，△PMN 的面积取得最大值，最大值为 5425．

2019年广东省佛山市南海区中考二模数学试卷

更专业

更丰富

更便捷

真低价

欢迎来到教习网