2019年济南市天桥区中考一模数学试卷

这是一份2019年济南市天桥区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 3 的相反数是
A. −3B. 3C. 13D. −13

2. 下列大小相同 5 个正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是
A. B.
C. D.

3. 将 12480 用科学记数法表示应为
A. 12.48×103B. 0.1248×105C. 1.248×104D. 1.248×103

4. 如图， a∥b ，以直线 b 上两点 A 和 B 为顶点的 Rt△ABC （其中 ∠C=90∘ ）与直线 a 相交，若 ∠1=30∘ ，则 ∠ABC 的度数为
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘

5. 下列各式中计算正确的是
A. x+y2=x2+y2B. 3x2=6x2
C. x32=x6D. a2+a2=a4

6. 下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

7. 方程 2x2−5x+3=0 的根的情况是
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根D. 两根异号

8. 在一个不透明的盒子中装有 6 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是 13，则黄球的个数为
A. 18B. 12C. 9D. 24

9. 下列命题正确的是
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

10. 已知函数 y=1x 的图象如图所示，当 x≥−1 时，y 的取值范围是
A. y<−1B. y≤−1
C. y≤−1 或 y>0D. y<−1 或 y≥0

11. 已知菱形 OABC 在下面直角坐标系中的位置如图所示，点 A4,0 ， ∠COA=60∘ ，则点 B 的坐标为
A. 4+23,2B. 6,2
C. 4+23,23D. 6,23

12. 在平面直角坐标系中，已知点 A−1,4 ， B2,1 ，直线 AB 与 x 轴和 y 轴分别交 M ， N ，若抛物线 y=x2−bx+2 与直线 AB 有两个不同的交点，其中一个交点在线段 AN 上（包含 A ， N 两个端点），另一个交点在线段 BM 上（包含 B ， M 两个端点），则 b 的取值范围是
A. 1≤b≤52B. b≤1 或 b≥52
C. 52≤b≤113D. b≤52 或 b≥113

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 分解因式： a2−2a+1= ．

14. 若一组数据 2 ， 3 ， x ， 5 ， 7 的众数为 7 ，则这组数据的中位数为 ．

15. 如图，在 3×3 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，点 O ， A ， B 均为格点，则 AB 的长等于 ．

16. 若代数式 6x+2 与 4x 的值相等，则 x= ．

17. 如图，在直角坐标系中，点 A ， B 的坐标分别为 1,4 和 3,0 ，点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A ， B ， C 三点不在同一条直线上，当 △ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是 ．

18. 如图，在正方形 ABCD 中， O 是对角线 AC 与 BD 的交点， M 是 BC 边上的动点（点 M 不与点 B ， C 重合），过点 C 作 CN⊥DM 交 AB 于点 N ，连接 OM ， ON ， MN ．下列五个结论：① △CNB≌△DMC ；② ON=OM ；③ ON⊥OM ；④若 AB=2 ，则 S△OMN 的最小值是 1 ；⑤ AN2+CM2=MN2 ．其中正确结论是 （只填序号）．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 计算： −3+π−20190−2sin30∘+13−1 ．

20. 解不等式组 3x−2−x≥−8,12x−5<−2x.

21. 如图，已知 E ， F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，且 BE⊥AC ， DF⊥AC ．求证： BE=DF ．

22. 某校为表彰在美术展览活动中获奖的同学，老师决定购买一些水笔和颜料盒作为奖品，请你根据图中所给的信息，解答下列问题：
（1）求出每个颜料盒、每支水笔各多少元?
（2）若学校购买 10 个颜料盒， 6 支水笔，共需多少元?

23. 如图，点 A 是 ⊙O 直径 BD 延长线上的点， AC 与 ⊙O 相切于点 C ， AC=BC ， BE⊥AC ，交 AC 延长线于点 E ．
（1）求 ∠A 的度数；
（2）若 ⊙O 的半径为 2 ，求 BE 的长．

24. 2017 年 9 月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读，某校对A《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：
（1）本次一共调查了 名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．

25. 如图，反比例函数 y=kxx>0 的图象与正比例函数 y=32x 的图象交于点 A ，且 A 点的横坐标为 2 ．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若射线 OA 上有点 P ，且 PA=2OA ，过点 P 作 PM 与 x 轴垂直，垂足为 M ，交反比例函数图象于点 B ，连接 AB ， OB ，请求出 △OAB 的面积；
（3）定义：横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．在（ 2 ）的条件下，请探究边 PA ， PB 与反比例函数围成的区域内（不包括边界）“整点”的个数．

26. 如图 1 ， △ABC 和 △DEC 均为等腰三角形，且 ∠ACB=∠DCE=90∘ ，连接 BE ， AD ，两条线段所在的直线交于点 P ．
（1）线段 BE 与 AD 有何数量关系和位置关系，请说明理由；
（2）若已知 BC=12 ， DC=5 ， △DEC 绕点 C 顺时针旋转．
①如图 2 ，当点 D 恰好落在 BC 的延长线时，求 AP 的长；
②在旋转一周的过程中，设 △PAB 的面积为 S ，求 S 的最值．

27. 如图 1 ，抛物线 y=ax2+bx+2a≠0 过点 A−1,0 ， B4,0 ，与 y 轴相交于点 C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在 x 轴正半轴上存在点 E ，使得 △BCE 是等腰三角形，请求出点 E 的坐标；
（3）如图 2 ，点 D 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，过点 D 作 DM⊥BC 于点 M ，是否存在点 D ，使得 △CDM 的某个角恰好等于 ∠ABC 的 2 倍?若存在，请求出点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】3 的相反数是 −3 ．
2. B【解析】从上边看第一列是 2 个小正方形，第二列是 1 个小正方形，第三列是 1 个小正方形，如图：
3. C【解析】12480=1.248×104 ．
4. B【解析】∵a∥b ，
∴∠A=∠1=30∘ ，
∴∠ABC=90∘−30∘=60∘ ．
5. C
6. D【解析】A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B．不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
7. B【解析】∵Δ=−52−4×2×3=1>0 ，
∴ 方程 2x2−5x+3=0 有两个不相等的实数根．
8. B
9. D【解析】对于A，此时四边形可能为等腰梯形，A错误；对角线相互垂直且平分的四边形是菱形，B错误；对角线相等的平行四边形为矩形，C错误；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，D正确．
10. C
11. D【解析】如图，过点 B 作 BD⊥x 轴于 D ．
∵ 四边形 OABC 是菱形，
∴AB=OA=4 ， AB∥OC ，
∴∠BAD=∠AOC ，
∵∠COA=60∘ ，
∴∠BAD=60∘ ， BD=23 ，
由勾股定理得， AD=2 ，
∴OD=OA+AD=4+2=6 ，
∴ 点 B 的坐标为 6,23 ．
12. C【解析】∵ 已知点 A−1,4 ， B2,1 ，
∴ 设直线 AB 的表达式为 y=kx+bk≠0 ，
将点 A−1,4 ， B2,1 代入表达式，则有 4=−k+b,1=2k+b, 解得 k=−1,b=3,
∴y=−x+3 ．
∴M3,0 ， N0,3 ，
∵ 抛物线 y=x2−bx+2 必过点 0,2 ，
∴ 当抛物线 y=x2−bx+2 经过点 A−1,4 时， b=1 ，
∴ 抛物线 y=x2−bx+2 与直线 y=−x+3 交点在线段 AN 上时， b≥1 ，
∴ 当抛物线 y=x2−bx+2 与 BM 相交时，只需考虑抛物线过线段 BM 端点时即可．
当抛物线 y=x2−bx+2 经过 B2,1 时， b=52 ；
当抛物线 y=x2−bx+2 经过 M3,0 时， b=113 ．
∴52≤b≤113 ．
综上所述， 52≤b≤113 ．
第二部分
13. a−12
14. 5
【解析】∵ 数据 2 ， 3 ， x ， 5 ， 7 的众数为 7 ，
∴x=7 ．
把这组数据从小到大排列为： 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 7 ，则中位数为 5 ．
15. 52π
【解析】在 △ACO 和 △ODB 中，
AC=OD,∠C=∠D,CO=DB,
∴△ACO≌△ODBSAS ．
∴∠AOC=∠OBD ．
∵∠BOD+∠OBD=90∘ ，
∴∠BOD+∠AOC=90∘ ，即 ∠AOB=90∘ ．
由勾股定理得， OA=OB=22+12=5 ，
∴AB 的长 =90π×5180=52π ．
16. 4
【解析】根据题意得 6x+2=4x，
6x=4x+2，6x=4x+8，2x=8，x=4，
经检验，x=4 是原分式方程的解，
则原分式方程的解为 x=4．
17. 0,3
【解析】作 B 点关于 y 轴对称点 Bʹ 点，连接 ABʹ ，交 y 轴于点 Cʹ ，此时 △ABC 的周长最小．
∵ 点 A ， B 的坐标分别为 1,4 和 3,0 ，
∴Bʹ 点坐标为 −3,0 ， AE=4 ，则 BʹE=4 ，即 BʹE=AE ，
∵CʹO∥AE ，
∴BʹO=CʹO=3 ，
∴ 点 Cʹ 的坐标是 0,3 ，此时 △ABC 的周长最小．
18. ①②③⑤
【解析】① ∵ 正方形 ABCD 中， CD=BC ， ∠BCD=90∘ ，
∴∠BCN+∠DCN=90∘ ，
∵CN⊥DM ，
∴∠CDM+∠DCN=90∘ ，
∴∠BCN=∠CDM ，
在 △CNB 和 △DMC 中，
∠BCN=∠CDM,BC=CD,∠CBN=∠DCM=90∘,
∴△CNB≌△DMCASA ，故①正确；
② ∵△CNB≌△DMC ，
∴CM=BN ，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠OCM=∠OBN=45∘ ， OC=OB ，
在 △OCM 和 △OBN 中，
OC=OB,∠OCM=∠OBN,CM=BN,
∴△OCM≌△OBNSAS ，
∴OM=ON ，故②正确；
③ ∵△OCM≌△OBN ，
∴∠COM=∠BON ，
∴∠BOM+∠COM=∠BOM+∠BON ，即 ∠NOM=∠BOC=90∘ ，
∴ON⊥OM ，故③正确；
④ ∵AB=2 ，
∴S正方形ABCD=4 ，
∵△OCM≌△OBN ，
∴ 四边形 BMON 的面积 =△BOC 的面积 =1 ，即四边形 BMON 的面积是定值 1 ，
∴ 当 △MNB 的面积最大时， △MNO 的面积最小，
设 BN=x=CM ，则 BM=2−x ，
∴△MNB 的面积 S=12x2−x=−12x2+x=−12x−12+12 ，
∴ 当 x=1 时， △MNB 的面积有最大值 12 ．
此时 S△OMN 的最小值是 1−12=12 ，故④不正确；
⑤ ∵AB=BC ， CM=BN ，
∴BM=AN ，
在 Rt△BMN 中， BM2+BN2=MN2 ，
∴AN2+CM2=MN2 ，故⑤正确．
∴ 本题正确的结论有：①②③⑤．
第三部分
19. −3+π−20190−2sin30∘+13−1=3+1−2×12+3=3+1−1+3=6.
20.
3x−2−x≥−8, ⋯⋯①12x−5<−2x. ⋯⋯②
解不等式 ① 得：
x≥−1.
解不等式 ② 得：
x<2.
∴ 不等式组的解集是
−1≤x<2.
21. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD ， AB∥CD ，
∴∠BAC=∠DCF ，
∵BE⊥AC ， DF⊥AC ，
∴∠BEA=∠DFC ，
在 △ABE 和 △CDF 中，
∠BEA=∠DFC,∠EAB=∠FCD,AB=CD,
∴△ABE≌△CDFAAS ，
∴BE=DF ．
22. （1） 设每个颜料盒 x 元，每支水笔 y 元，依题意，得：
2x+3y=81,5x+2y=120.
解得：
x=18,y=15.
答：每个颜料盒 18 元，每支水笔 15 元．
（2） 18×10+15×6=270 （元）．
答：共需 270 元．
23. （1） ∵AC 与 ⊙O 相切于点 C ，
∴∠ACD=∠DBC ，
∵AC=BC ，
∴∠A=∠DBC ，
∴∠A=∠ACD ，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠A ，
∵BD 是 ⊙O 直径，
∴∠DCB=90∘ ，
∴∠CDB+∠DBC=90∘ ，即 3∠A=90∘ ，
∴∠A=30∘ ．
（2） ∵∠DBC=∠A=30∘ ，
∴DB=2CD=4 ，
∴∠A=∠ACD ，
∴AD=CD ，
∴AB=3CD=6 ，
∵BE⊥AC ，
∴BE=12AB=3 ．
24. （1） 50
【解析】本次一共调查：15÷30%=50（人）；
（2） B对应的人数为：50−16−15−7=12，如图所示：
（3） 列表：
ABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDADBDC∵
共有 12 种等可能的结果，恰好选中A，B的有 2 种，
∴P选中A,B=212=16.
25. （1） A 点在正比例函数 y=32x 的图象上，当 x=2 时， y=3 ，
∴ 点 A 的坐标为 2,3 ，代入反比例函数 y=kxx>0 中，得 k=6 ．
故反比例函数的表达式为 y=6xx>0 ．
（2） 过 A 点作 AN⊥OM ，垂足为 N ，则 AN∥BM ．
∴OAAP=ONNM ，而 PA=2OA ，
∴MN=2ON=4 ．
∴M 点的坐标为 6,0 ．
将 x=6 代入 y=6x 中， y=1 ，
∴ 点 B 的坐标为 B6,1 ；
将 x=6 代入 y=32x 中， y=9 ，
∴ 点 P 的坐标为 P6,9 ．
∴S△POM=12×6×9=27 ， S△BOM=12×6×1=3 ，
∴S△BOP=27−3=24 ，
又 ∵S△BOA:S△BAP=OA:AP=1:2 ，
∴S△OAB=13×24=8 ，故 △OAB 的面积为 8 ．
（3） 由（ 2 ）知，点 N 坐标为 2,0 ，点 M 的坐标为 6,0 ．
若 x=3 ，对于 y=6x 中， y=2 ；
对于 y=32x 中， y=92 ，包含“整点” 3,3 ， 3,4 ；
若 x=4 ，对于 y=6x 中， y=32 ；
对于 y=32x 中， y=6 ，包含“整点” 4,2 ， 4,3 ， 4,4 ， 4,5 ；
若 x=5 ，对于 y=6x 中， y=65 ；
对于 y=32x 中， y=152 ，包含“整点” 5,2 ， 5,3 ， 5,4 ， 5,5 ， 5,6 ， 5,7 ．
故以边 PA ， PB 与反比例函数围成的区域内（不包括边界）“整点”的个数为 12 个．
26. （1） BE=AD ， BE⊥AD ．
理由如下：
∵△ABC 和 △DEC 均为等腰三角形，且 ∠ACB=∠DCE=90∘ ，
∴CD=CE ， AC=BC ， ∠BCA=∠ECD=90∘ ．
∴∠BCE=∠ACD ，且 CD=CE ， AC=BC ．
∴△BEC≌△ADCSAS ．
∴BE=AD ， ∠BEC=∠ADC ．
∵∠ADC+∠ECD+∠CEP+∠EPD=360∘ ，
∴∠EPD=90∘ ．
∴BE⊥AD ．
（2） ① ∵△ABC 和 △DEC 均为等腰三角形，且 ∠ACB=∠DCE=90∘ ，
∴CD=CE=5 ， AC=BC=12 ， ∠BCA=∠ECD=90∘ ．
∴△BEC≌△ADCSAS ，
BE=BC2+CE2=13 ， AE=AC−CE=7 ，
∴∠CAD=∠CBP ，且 ∠BEC=∠AEP ．
∴△BEC∽△AEP ．
∴APBC=AEBE ．
∴AP12=713 ．
∴AP=8413 ．
②由（ 1 ）可知， ∠APB=90∘ ，
∴ 点 P 在以 AB 为直径的圆上，
∵AC=BC=12 ， ∠ACB=90∘ ，
∴AB=122 ．
∴S△PAB=12AB×点P到AB的距离 ，且点 P 到 AB 的最大距离为 12AB ，
∴S最大值=12AB×12AB=72 ；
如图，当 BP 与圆相切时有最小值，
AP=AD−PD=144−25−5=119−5 ，
BP=BE+EP=119+5 ，
∴S最小值=12AP×BP=47 ．
27. （1） 将 A−1,0 ， B4,0 代入 y=ax2+bx+2 ，
得 a−b+2=0,16a+4b+2=0, 解得 a=−12,b=32.
∴ 抛物线的解析式为 y=−12x2+32x+2 ．
（2） 当 x=0 时， y=−12x2+32x+2=2 ，
∴ 点 C 的坐标为 0,2 ．
∵ 点 B 的坐标为 4,0 ，
∴BC=22+42=25 ．
设点 E 的坐标为 m,0 ，分两种情况考虑（如图 3 所示）：
①当 BE=BC 时， m−4=25 ，
∴m=4+25 ，
∴ 点 E 的坐标为 4+25,0 ；
②当 CE=BE 时， m2+22=4−m2 ，解得 m=32 ，
∴ 点 E 的坐标为 32,0 ．
（3） 分两种情况考虑：
①当 ∠DCM=2∠ABC 时，取点 F0,−2 ，连接 BF ，如图 4 所示．
∵OC=OF ， OB⊥CF ，
∴∠ABC=∠ABF ，
∴∠CBF=2∠ABC ．
∵∠DCB=2∠ABC ，
∴∠DCB=∠CBF ，
∴CD∥BF ．
∵ 点 B4,0 ， F0,−2 ，
∴ 直线 BF 的解析式为 y=12x−2 ，
∴ 直线 CD 的解析式为 y=12x+2 ．
联立直线 CD 及抛物线的解析式成方程组，
得 y=12x+2,y=−12x2+32x+2, 解得 x1=0,y1=2 （舍去）， x2=2,y2=3.
∴ 点 D 的坐标为 2,3 ；
②当 ∠CDM=2∠ABC 时，过点 C 作 CN⊥BF 于点 N ，
作点 N 关于 BC 的对称点 P ，连接 NP 交 BC 于点 Q ，如图 5 所示．
设直线 CN 的解析式为 y=kx+ck≠0 ，
∵ 直线 BF 的解析式为 y=12x−2 ， CN⊥BF ，
∴k=−2 ．
又 ∵ 点 C0,2 在直线 CN 上，
∴ 直线 CN 的解析式为 y=−2x+2 ．
连接直线 BF 及直线 CN 成方程组，
得 y=12x−2,y=−2x+2, 解得 x=85,y=−65.
∴ 点 N 的坐标为 85,−65 ．
∵ 点 B4,0 ， C0,2 ，
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−12x+2 ．
∵NP⊥BC ，且点 N85,−65 ，
∴ 直线 NP 的解析式为 y=2x−225 ．
联立直线 BC 及直线 NP 成方程组，
得 y=−12x+2,y=2x−225, 解得 x=6425,y=1825,
∴ 点 Q 的坐标为 6425,1825 ．
∵ 点 N85,−65 ，点 N ， P 关于 BC 对称，
∴ 点 P 的坐标为 8825,6625 ．
∵ 点 C0,2 ， P8825,6625 ，
∴ 直线 CP 的解析式为 y=211x+2 ．
将 y=211x+2 代入 y=−12x2+32x+2 ，整理得 11x2−29x=0 ，
解得： x1=0 （舍去）， x2=2911 ，
∴ 点 D 的横坐标为 2911 ．
综上所述：存在点 D ，使得 △CDM 的某个角恰好等于 ∠ABC 的 2 倍，点 D 的横坐标为 2 或 2911 ．