2019年天津市和平区中考一模数学试卷

这是一份2019年天津市和平区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −15+35 的结果等于 ( )
A. 20B. −50C. −20D. 50

2. sin60∘ 的值等于 ( )
A. 12B. 22C. 32D. 1

3. 下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.

4. 将 6120000 用科学记数法表示应为 ( )
A. 0.612×107B. 6.12×106C. 61.2×105D. 612×104

5. 如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是 ( )
A. B.
C. D.

6. 估计 22 的值在 ( )
A. 2 和 3 之间B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间D. 5 和 6 之间

7. 计算 xx−2+2x−2 的结果为 ( )
A. 0B. 1C. 2−xx−2D. x+2x−2

8. 《九章算术》中己载：“今有甲乙二人持钱不知其数甲得乙半面钱五十，乙得甲太半面亦钱五十．问甲乙持钱各几何?“其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 50；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱 50 问甲、乙两人共带了多少钱?设甲带钱为 x，乙带钱为 y，根据题意，可列方程组为 ( )
A. x+y2=50,2x3+y=50B. x2+y=50,x+2y3=50
C. x+y2=50,y+23x+y2=50D. x=50+y2,y=50+2x3

9. 如图，将平行四边形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在 Bʹ 处，若 ∠1=∠2=44∘，则 ∠B 为 ( )
A. 66∘B. 104∘C. 114∘D. 124∘

10. 已知点 A(1,y1)，B(2,y2)，C(−3,y3) 都在反比例函数 y=6x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是 ( )
A. y3
11. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60∘，AB=1，点 P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点 P，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P，D（P，D 两点不重合）两点间的最短距离为多少?( )
A. 1B. 3C. 2D. 3−1

12. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A(−2,0) 和点 B，交 y 轴负半轴于点 C，且 OB=OC，有下列结论：① 2b−c=2；② a=12；③ a+bc>0，其中，正确结论的个数是 ( )
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 2x23 的结果等于 ．

14. 计算 5+35−3 的结果等于 ．

15. 不透明袋子中装有 8 个球，其中有 2 个红球，3 个绿球和 3 个黑球，这些球除颜色外无其它差别从袋子中随机取出 1 个球，则它是绿球的概率是 ．

16. 如图，A，B 的坐标为 (2,0)，(0,1) 若将线段 AB 平移至 A1B1，则 a+b 的值为 ．

17. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，正方形 AEFG 的边长为 22，点 B 在线段 DG 上，则 BE 的长为 ．

18. 如图，在每个小正方形边长为 1 的网格中，△OAB 的顶点 O，A，B 均在格点上．
（1）OEOB 的值为 ；
（2）DE 是以 O 为圆心，2 为半径的一段圆弧在如图所示的网格中，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OEʹ，旋转角为 α(0∘<α<90∘)，连接 EʹA，EʹB，当 EʹA+23EʹB 的值最小时，请用无刻度的直尺画出点 Eʹ，并简要说明点 Eʹ 的位置是如何找到的 （不要求证明）．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 3x≥4x−4, ⋯⋯①5x−11≥−1. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ．
（2）解不等式 ②，得 ．
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组数据，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题．
（1）该商场服装部营业员的人数为 ，图①中 m 的值为 ．
（2）求统计的这组销售额额数据的平均数、众数和中位数．

21. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，点 C，D 是 ⊙O 上的点，∠A=50∘，∠B=70∘，连接 DO，CO，DC．
（1）如图①，求 ∠OCD 的大小；
（2）如图②，分别过点 C，D 作 OC，OD 的垂线，相交于点 P，连接 OP，交 CD 于点 M，已知 ⊙O 的半径为 2，求 OM 及 OP 的长．

22. 如图，某学校甲楼的高度 AB 是 18.6 m，在甲楼楼底 A 处测得乙楼楼顶 D 处的仰角为 40∘，在甲楼楼顶 B 处测得乙楼楼顶 D 的仰角为 19∘，求乙楼的高度 DC 及甲乙两楼之间的距离 AC（结果取整数）．
参考数据：cs19∘≈0.95，tan19∘=0.34，cs40∘=0.77，tan40∘=0.84．

23. ；某市居民用水实宁以户为单位的三级阶梯收费办法：第一级：居民每户每月用水 18 吨以内含 18 吨，每吨收费 a 元，第二级：居民每户每月用水超过 18 吨但不超过 25 吨，未超过 18 吨的部分按照第一级标准收费，超过部分每吨收水费 b 元．第三级：居民每户每月用水超过 25 吨，未超过 25 吨的部分按照第一二级标准收费，超过部分每吨收水费 c 元．设一户居民月用水 x 吨，应缴水费 y 元，y 与 x 之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象直接作答：a= ，b= ，c= ．
（2）求当 x≥25 时，y 与 x 之间的函数关系式；
（3）把上述水费阶梯收费方法称为方案①，假设还存在方案②：居民每户月用水一律按照每吨 4 元的标准缴费当居民每户月用水超过 25 吨时，请你根据居民每户月用水量的大小设计出对居民缴费最实惠的方案．

24. 如图，将一个直角三角形纸片 AOB，放置在平面直角坐标系中，点 A(3,3)，点 B(3,0)，点 O(0,0)，将 △AOB 沿 OA 翻折得到 △AOD（点 D 为点 B 的对应点）．
（1）求 OA 的长及点 D 的坐标：
（2）点 P 是线段 OD 上的点，点 Q 是线段 AD 上的点．
①已知 OP=1，AQ=43，R 是 x 轴上的动点，当 PR+QR 取最小值时，求出点 R 的坐标及点 D 到直线 RQ 的距离；
②连接 BP，BQ，且 ∠PBQ=45∘，现将 △OAB 沿 AB 翻折得到 △EAB（点 E 为点 O 的对应点），再将 ∠PBQ 绕点 B 顺时针旋转，旋转过程中，射线 BP，BQ 交直线 AE 分别为点 M，N，最后将 △BMN 沿 BN 翻折得到 △BGN（点 G 为点 M 的对应点），连接 EG，若 ENEG=512，求点 M 的坐标（直接写出结果即可）．

25. 已知抛物线 y=ax2+bx+3（a，b 是常数，且 a≠0），经过点 A−1,0，B3,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 P 是射线 CB 上一点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 H，交抛物线于点 Q．设 P 点的横坐标为 t，线段 PQ 的长为 d．求出 d 与 t 之间的函数关系式，写出相应的自变量 t 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点 P 在线段 BC 上时，设 PH=e，已知 d，e 是以 z 为未知数的一元二次方程 z2−m+3z+145m2−2m+13=0（m 为常数）的两个实数根，点 M 在抛物线上，连接 MQ，MH，PM，且 MP 平分 ∠QMH，求出 t 值及点 M 的坐标．
答案
第一部分
1. A【解析】−15+35=20．
2. C【解析】根据特殊角的三角函数值可知：sin60∘=32．
3. B【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
4. B【解析】6120000=6.12×106．
5. B
【解析】A选项是从上面看到的，是俯视图；
D选项是从正面看到的，是主视图．
6. C【解析】∵16<22<25，即 4<22<5，
∴22 的值在 4 和 5 之间．
7. D【解析】xx−2+2x−2=x+2x−2．
8. A【解析】设甲需带钱 x，乙带钱 y，根据题意，得 x+y2=50,2x3+y=50.
9. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠BʹAC，
∴∠BAC=∠ACD=∠BʹAC=12∠1=22∘，
∴∠B=180∘−∠2−∠BAC=180∘−44∘−22∘=114∘．
10. D
【解析】∵ 点 A(1,y1)，B(2,y2)，C(−3,y3) 都在反比例函数 y=6x 的图象上，
∴y1=61=6，y2=62=3，y3=6−3=−2，
∵6>3>−2，
∴y1>y2>y3．
11. D【解析】在菱形 ABCD 中，
∵∠ABC=60∘，AB=1，
∴△ABC，△ACD 都是等边三角形．
①若以边 BC 为底，则 BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点 P 与点 A 重合时，PD 值最小，最小值为 1；
②若以边 PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点 B 为圆心，BC 长为半径作圆，与 BD 相交于一点，则弧 AC（除点 C 外）上的所有点都满足 △PBC 是等腰三角形，当点 P 在 BD 上时，PD 最小，最小值为 3−1；
③若以边 PB 为底，∠PCB 为顶角，以点 C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧 BD 上的点 A 与点 D 均满足 △PBC 为等腰三角形，当点 P 与点 D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在．
综上所述，PD 的最小值为 3−1．
12. C【解析】据图象可知 a>0，c<0，b>0，
∴a+bc<0，故③错误；
∵OB=OC，
∴OB=−c，
∴ 点 B 坐标为 (−c,0)，
∴ac2−bc+c=0，
∴ac−b+1=0，
∴ac=b−1，
∵A(−2,0)，B(−c,0)，抛物线线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A(−2,0) 和 B(−c,0) 两点，
∴2c=ca，
∴a=12，故②正确；
∵ac−b+1=0，
∴b=ac+1，
∴b=12c+1，
∴2b−c=2，故①正确．
第二部分
13. 8x6
【解析】2x23=8x6．
14. 2
【解析】原式=52−32=5−3=2.
15. 38
【解析】取出绿球的概率为 38．
16. 2
【解析】由题意可知：a=0+(3−2)=1；b=0+(2−1)=1；
∴a+b=2．
17. 2+6
【解析】连接 EG．
在 △DAG 和 △BAE 中，
AD=AB,∠DAG=∠BAE,AG=AE,
∴△DAG≌△BAESAS．
∴DG=BE，∠DGA=∠BEA．
∵∠AEO+∠AOE=90∘，∠BOG=∠AOE，
∴∠BGO+∠GOB=90∘，即 ∠GBE=90∘．
设 BE=x，则 BG=x−22，EG=4，
在 Rt△BGE 中，利用勾股定理可得 x2+x−222=42，
解得 x=2+6．
18. 23，构造相似三角形把 23EʹB 转化为 EʹH，利用两点之间线段最短即可解决问题
【解析】（1）由题意 OE=2，OB=3，
∴OEOB=23．
（2）如图，取格点 K，T，连接 KT 交 OB 于 H，连接 AH 交 DE 于 Eʹ，连接 BEʹ，点 Eʹ 即为所求．
第三部分
19. （1） x≤4
【解析】解不等式 ① 得 x≤4．
（2） x≥2
【解析】解不等式 ② 得 x≥2．
（3） 如图所示：
（4） 2≤x≤4
20. （1） 25；28
【解析】根据条形图 2+5+7+8+3=25（人），m=100−20−32−12−8=28．
（2） 观察条形统计图，
∵x=12×2+15×5+18×7+21×8+24×325=18.6，
∴ 这组数据的平均数是 18.6，
∵ 在这组数据中，21 出现了 8 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数是 21，
∵ 将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是 18，
∴ 这组数据的中位数是 18．
21. （1） ∵OA=OD，OB=OC，
∴∠A=∠ODA=50∘，∠B=∠OCB=70∘，
∴∠AOD=80∘，∠BOC=40∘，
∴∠COD=180∘−∠AOD−∠BOC=60∘，
∵OD=OC，
∴△COD 是等边三角形，
∴∠OCD=60∘．
（2） ∵PD⊥OD，PC⊥OC，
∴∠PDO=∠PCO=90∘，
∴∠PDC=∠PCD=30∘，
∴PD=PC，
∵OD=OC，
∴OP 垂直平分 CD，
∴∠DOP=30∘，
∵OD=2，
∴OM=32OD=3，OP=433．
22. 过 BE 作 CD 的垂线，与 CD 交于点 E；
在 Rt△BDE 中，tan19∘=EDBE，
在 Rt△ACD 中，tan40∘=CDAC，
∵BE=AC，
∴0.34AC=DE，0.84AC=CD，
∵AB=CE=18 米，
∴AC=36 米，ED=12.24 米，
∴CD=30.24 米；
23. （1） 3；4；6
【解析】a=54÷18=3；
b=82−54÷25−18=4；
c=142−82÷35−25=6．
（2） 当 x≥25 时，设 y=kx+bk≠0，把 25,82，35,142 代入，
得 82=25k+b,142=35k+b,
解得 k=6,b=−68,
当 x≥25 时，y 与 x 之间的函数关系式 y=6x−68．
（3） 方案②：y=4x，
当方案①和方案②水费相等时，即 4x=6x−68，
解得 x=34．
故当用水量 25≤x≤34 时，方案 ① 合算；当用水量 x≥34 时，方案②合算．
24. （1） 如图 1 中，
∵A(3,3)，B(3,0)，
∴AB=OB=3，∠ABO=90∘，
∴∠BOA=45∘，
∵ 将 △AOB 沿 OA 翻折得到 △AOD，
∴∠AOD=∠AOB=45∘，
∴∠BOD=90∘，
∴ 点 D 在 y 轴的正半轴上，
∴D(0,3)．
（2） ①如图 1 中，作点 P 关于点 O 的对称点 K，连接 KQ 交 OB 于 Rʹ，此时 PRʹ+QRʹ 的值最小．作 DH⊥QK 于 H．
由题意：K(0,−1)，Q53,3，
∴ 直线 KQ 的解析式为 y=125x−1，令 y=0，得到 x=512，
∴Rʹ512,0，
∵DH⊥KQ，
∴ 直线 KQ 的解析式为 y=−512x+3，
由 y=125x−1,y=512x+3 解得 x=240169,y=407169,
∴H240169,407169，
∴DH=2401692+3−4071692=2013，
∴Rʹ512,0，点 D 到直线 KQ 的距离为 2013．
② M72,52．
【解析】②如图 2 中，易证 △ABM≌△EBG(SAS)，
∴∠BAM=∠BEC=45∘，
∵∠AEB=45∘，
∴∠GEN=90∘，
∴ENEG=512，
∴ 可以假设 EN=12k，EG=5k，则 NG=MN=13k，
∵AM=EG=5k，
∴5k+13k+12k=32，
∴k=210，
∴AM=22，
作 MH⊥AB 于 H，
∵∠MAH=45∘，AM=22，
∴AH=MH=12，可得 M72,52．
25. （1） 将点 A−1,0，点 B3,0 代入抛物线 y=ax2+bx+3，
得 0=a−b+3,0=9a+3b+3, 解得 a=−1,b=2,
则抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3．
（2） 如图 1，当点 P 在线段 CB 上时，
∵P 点的横坐标为 t 且 PQ 垂直于 x 轴，
∴ 点 P 的坐标为 t,−t+3，Q 点的坐标为 t,−t2+2t+3，
∴PQ=−t2+2t+3−−t+3=−t2+3t；
如图 2，当点 P 在射线 BN 上时，
∵P 点的横坐标为 t 且 PQ 垂直于 x 轴，
∴ 点 P 的坐标为 t,−t+3，Q 点的坐标为 t,−t2+2t+3，
∴PQ=−t+3−−t2+2t+3=t2−3t，
∵BO=3，
∴d=−t2+3t03．
故当 0当 t>3 时，d 与 t 之间的函数关系式为：d=t2−3t．
（3） ∵d，e 是 z2−m+3z+145m2−2m+13=0 的两个实数根，
∴Δ≥0，即 Δ=m+32−4×145m2−2m+13≥0，
整理得 Δ=−4m−12≥0，
∵Δ=−4m−12≤0，
∴Δ=0，
∴m=1，
∴z2−4z+4=0，
∵PH 与 PQ 是 z2−4z+4=0 的两个实数根，解得 z1=z2=2，
∴PH=PQ=2，
∴−t+3=2，
∴t=1，
∵y=−x2+2x+3，
∴y=−x−12+4，
∴ 抛物线的顶点坐标为 1,4，此时 Q 是抛物线的顶点，
延长 MP 至 L，使 MP=LP，连接 LQ，LH，如图 3，
∵LP=MP，PQ=PH，
∴ 四边形 LQMH 是平行四边形，
∴LH∥QM，
∴∠QML=∠MLH，
∵∠QML=∠LMH，
∴∠MLH=∠LMH，
∴LH=MH，
∴ 平行四边形 LQMH 是菱形，
∴PM⊥QH，
∴ 点 M 的纵坐标与 P 点纵坐标相同，都是 2，
∴ 在 y=−x2+2x+3 中，当 y=2 时，有 x2−2x−1=0，
解得 x1=1+2，x2=1−2．
综上所述，t 的值为 1，M 点的坐标为 1+2,2 或 1−2,2．