2019年广东省惠城区惠城区惠州一中中考一模数学试卷

这是一份2019年广东省惠城区惠城区惠州一中中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. ∣−2019∣=
A. 2019B. −2019C. 12019D. −12019

2. 2018 年 10 月 24 日建成通车的港珠澳大桥是我国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，该工程项目总投资额 1269 亿元，将 1269 用科学记数法表示为
A. 12.69×102B. 1.269×103C. 1.269×104D. 0.1269×104

3. 如图图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 下列运算正确的是
A. 3x2−7x=−4xB. −3x2+4x2=x2
C. x23=x5D. x2⋅x4=x8

5. 已知平行四边形 ABCD 的周长是 26，△ABC 的周长是 18，则 AC 的长为
A. 5B. 6C. 7D. 8

6. 在体育中考跳绳项目中，某小组的 8 位成员跳绳次数如下：175，176，175，180，179，176，180，176，这组数据的众数为
A. 175B. 176C. 179D. 180

7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=m，∠B=β，那么 AB=
A. m⋅sinβB. msinβC. m⋅csβD. mcsβ

8. 若 3y−x 的值是 −2，则 3+2x−6y 的值是
A. 5B. 6C. 7D. 8

9. 如图，在 △ABC 中，AB=6，AC=4，∠ABC 和 ∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MN∥BC 分别交 AB，AC 于 M，N，则 △AMN 的周长为
A. 12B. 10C. 8D. 不确定

10. 如图，二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且对称轴为 x=1，点 B 坐标为 −1,0．则下面的四个结论：① abc>0；② 8a+c<0；③ b2−4ac>0；④当 y<0 时，x<−1 或 x>2．其中正确的有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 一个 n 边形的所有内角和等于 540∘，则 n 的值等于 ．

12. 因式分解：4x2y−9y3= ．

13. 已知有理数 a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则 cb ab．（填“>”或“<”或“=”）

14. 已知点 P2a+1,a−3 在第四象限，则 a 的取值范围是 ．

15. 矩形 ABDC 中，对角线相交于 O，以 C 为圆心，CD 长为半径画弧，交 AC 于 F，点 O 在圆弧上，若 AB=2，则阴影部分的面积为 ．

16. 矩形纸片 ABCD 中，已知 AD=8，AB=6，E 是边 BC 上的点，以 AE 为折痕折叠纸片，使点 B 落在点 F 处，连接 FC，当 △EFC 为直角三角形时，BE 的长为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：−12−1+π−30+−22．

18. 先化简，在求值：1−5x+3÷x2−4x+2，其中 x=2−2．

19. 如图，已知 △ABC，∠BAC=90∘．
（1）尺规作图：作 ∠ABC 的平分线交 AC 于 D 点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 ∠C=30∘，求证：DC=DB．

20. 网购已经成为一种时尚，某网络购物平台“双十一”全天交易额逐年增长，2016 年交易额为 500 亿元，2018 年交易额为 720 亿元．
（1）2016 年至 2018 年“双十一”交易额的年平均增长率是多少?
（2）若保持原来的增长率，试计算 2019 年该平台“双十一”的交易额将达到多少亿元?

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，BC>AB，在 BC 边上取点 D，使 AB=BD，构造正方形 ABDE，DE 交 AC 于点 F，作 EG⊥AC 交 AC 于点 G，交 BC 于点 H．
（1）求证：EF=DH；
（2）若 AB=6，DH=2DF，求 AC 的长．

22. 庆祝改革开放 40 周年暨我爱我家 ⋅ 美丽青羊群众文艺展演圆满落幕，某学习小组对文艺展演中的 A 舞蹈《不忘初心》，B 独舞《梨园一生》，C 舞蹈《炫动的玫瑰》，D 朝鲜组歌舞《阿里郎 +atep 》这四个节目开展“我最喜爱的舞蹈节目”调查，随机调查了部分观众（每位观众必选且只能选这四个节目中的一个）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：
（1）本次一共调查了 名观众；并将条形统计图补充完整；
（2）学习小组准备从 4 个节目中随机选取两个节目的录像带回学校给同学们观看，请用树状图或者列表的方法求恰好选中 A 舞蹈《不忘初心》和 C 舞蹈《炫动的玫瑰》 的概率．

23. 如图，一次函数 y=mx+nm≠0 的图象与反比例函数 y=kxk≠0 的图象交于 第一、三象限内的 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，过点 B 作 BM⊥x轴，垂足为点 M，BM=OM=2，点 A 的纵坐标为 4．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当 mx+n>kx 时，x 的取值范围；
（3）直线 AB 交 x 轴于点 D，过点 D 作直线 l⊥x轴，如果直线 l 上存在点 P，坐标平面内存在点 Q，使以 O，P，A，Q 为顶点的四边形是矩形，直接写出点 P 的坐标．

24. 如图 1，在四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AB=AC，BD 为 ⊙O 的直径，AE⊥BD，垂足为点 E，交 BC 于点 F．
（1）求证：FA=FB；
（2）如图 2，分别延长 AD，BC 交于点 G，点 H 为 FG 的中点，连接 DH，若 tan∠ACB=2，求证：DH 为 ⊙O 的切线．
（3）在（2）的条件下，若 DA=32，求 AE 的长．

25. 如图 1，在平行四边形 ABCD 中，AB=2，BC=6，∠D=60∘，点 E 从 B 点出发沿着线段 BC 每秒 1 个单位长度的速度向 C 运动，同时点 F 从 B 点出发沿着射线 BC 每秒 2 单位长度的速度向 C 运动，以 EF 为边在直线 BC 上方作等边 △EFG，设点 E，F 的运动时间为 t 秒，其中 0（1）当 t= 秒时，点 G 落在线段 AD 上；
（2）如图 2，连接 BG，试说明：无论 t 为何值，BG 始终平分 ∠ABC；
（3）求 △EFG 与平行四边形 ABCD 重叠部分面积 y 与 t 之间的函数关系式，当 t 取何值时，y 有最大值?并求出 y 的最大值．
答案
第一部分
1. A【解析】∣−2019∣=2019．
故选：A．
2. B【解析】1269 用科学记数法表示 1.269×103．
3. C【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意．
故选：C．
4. B【解析】A、不是同类项不能合并，故不符合题意；
B、 −3x2+4x2=x2，故符合题意；
C、 x23=x6，故不符合题意；
D、 x2⋅x4=x6，故不符合题意；
故选：B．
5. A
【解析】如图所示，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵ 平行四边形 ABCD 的周长是 26，△ABC 的周长是 18，
∴2AB+BC=26，即 AB+BC=13，AB+BC+AC=18，
∴AC=5．
6. B【解析】这组数据中 176 出现 3 次，次数最多，所以众数为 176，故选：B．
7. D【解析】∵∠C=90∘，BC=m，∠B=β，
∴csβ=BCAB，
∴AB=mcsβ．
8. C【解析】由题意得：3y−x=−2，即 x−3y=2，则
原式=3+2x−6y=3+2x−3y=3+2×2=3+4=7.
9. B【解析】∵∠ABC 和 ∠ACB 的平分线交于点 E，
∴∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，
∴∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，
∴BM=ME，CN=NE，
∴△AMN 的周长 =AM+ME+AN+NE=AB+AC，
∵AB=AC=4，
∴△AMN 的周长 =6+4=10．
10. C
【解析】①函数的对称轴在 y 轴右侧，则 ab<0，而 c>0，故 abc<0，故原答案错误，不符合题意；
②函数的对称轴为：x=−b2a=1，故 b=−2a，对称轴为 x=1，点 B 坐标为 −1,0，则点 A3,0，故 9a+3b+c=0，而 b=−2a，即 3a+c=0，a<0，故 8a+c<0，正确，符合题意；
③抛物线和 x 轴有两个交点，故 b2−4ac>0 正确，符合题意；
④点 B 坐标为 −1,0，点 A3,0，则当 y<0 时，x<−1 或 x>3．故错误，不符合题意．
故选：C．
第二部分
11. 5
【解析】依题意有 n−2⋅180∘=540∘，
解得 n=5．
12. y2x+3y2x−3y
【解析】原式=y4x2−9y2=y2x+3y2x−3y.
13. >
【解析】由图可知：a>0>b>c，
∴cb>ab．
14. −12【解析】∵ 点 P2a+1,a−3 在第四象限，
∴2a+1>0, ⋯⋯①a−3<0. ⋯⋯②
解不等式 ① 得 a>−12，
解不等式 ② 得 a<3，
∴a 的取值范围是 −1215. 23−23π
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC，OD=12AD，OC=12BC，
∴OD=OC，
∵CD=OC，
∴△OCD 是等边三角形，
∴∠DCO=60∘，
∵AB=CD=2，
∴BD=23，
∴阴影部分的面积=S△BCD−S扇形COD=12×23×2−60π×22360=23−23π．
16. 3 或 6
【解析】①当 ∠EFC=90∘ 时，如图 1，
∵∠AFE=∠B=90∘，∠EFC=90∘，
∴ 点 A，F，C 共线，
∵ 矩形 ABCD 的边 AD=8，
∴BC=AD=8，
在 Rt△ABC 中，AC=AB2+BC2=62+82=10，
设 BE=x，则 CE=BC−BE=8−x，
由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x，
∴CF=AC−AF=10−6=4，
在 Rt△CEF 中，EF2+CF2=CE2，
即 x2+42=8−x2，
解得 x=3，
即 BE=3．
②当 ∠CEF=90∘ 时，如图 2，
由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF=12×90∘=45∘，
∴ 四边形 ABEF 是正方形，
∴BE=AB=6．
综上所述，BE 的长为 3 或 6．
第三部分
17. 原式=−2+1+2=1．
18. 原式=x+3−5x+3÷x2−4x+2=x−2x+3⋅x+2x+2x−2=1x+3,
当 x=2−2 时，
原式=12−2+3=12+1=2−1．
19. （1） 射线 BD 即为所求．
（2） ∵∠A=90∘，∠C=30∘，
∴∠ABC=90∘−30∘=60∘，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC=30∘，
∴∠C=∠CBD=30∘，
∴DC=DB．
20. （1） 设 2016 年至 2018 年“双十一”交易额的年平均增长率为 x，
根据题意得：
5001+x2=720.
解得：
x1=0.2=20%,x2=−2.2舍去.
答：2016 年至 2018 年“双十一”交易额的年平均增长率为 20%．
（2） 7201+20%=864（亿元）．
答：2019 年该平台“双十一”的交易额将达到 864 亿元．
21. （1） 在正方形 ABDE 中，AE=ED，∠AEF=∠EDH=90∘，
∴∠DHE+∠GEF=90∘，
∵EG⊥AC，
∴∠GEF+∠GFE=90∘，
∴∠GFE=∠DHE，
在 △AFE 和 △EHD 中，
∠AFE=∠EHD,∠AEF=∠EDH=90∘,AE=ED,
∴△AFE≌△EHDAAS，
∴EF=DH．
（2） ∵DH=2DF，EF=DH，
∴ 设 DF=x，则 EF=DH=2x，
∵AB=6，
∴AE=DE=6，
∴x+2x=6，
∴x=2，
∴DF=2，EF=4，
∵ 在正方形 ABDE 中，AE∥BD，
∴△AEF∽△CDF，
∴DCAE=DFEF，
∴DC6=24，
∴DC=3，
∴BC=BD+DC=6+3=9，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=62+92=313，
∴AC 的长为 313．
22. （1） 50
补全条形图如下：
【解析】次调查的总人数为 15÷30%=50（人），
则 B 节目的人数为 50−16+15+7=12（人）．
（2） 如图所示：
一共有 12 种可能，恰好选中 A 舞蹈《不忘初心》和 C 舞蹈《炫动的玫瑰》的有 2 种，
故恰好选中 A 舞蹈《不忘初心》和 C 舞蹈《炫动的玫瑰》的概率为 212=16．
23. （1） ∵BM=OM=2，
∴ 点 B 的坐标为 −2,−2，
设反比例函数的解析式为 y=kx，则 −2=k−2，得 k=4，
∴ 反比例函数的解析式为 y=4x，
∵ 点 A 的纵坐标是 4，
∴4=4x，得 x=1，
∴ 点 A 的坐标为 1,4，
∵ 一次函数 y=mx+nm≠0 的图象过点 A1,4，点 B−2,−2，
∴m+n=4,−2m+n=−2,
解得：m=2,n=2,
即一次函数的解析式为 y=2x+2．
（2） 由图象可得当 x>1 或 −2kx．
（3） −1,14 或 −1,92 或 −1,2+2 或 −1,2−2．
【解析】存在，
若 AO 为边，如图 1，
当四边形 POAQ 是矩形时，则 ∠POA=90∘，
∵ 点 A1,4，点 O0,0，
∴AO 解析式为 y=4x，
∴ 直线 DO 解析式为：y=−14x，
∵ 直线 AB 于 x 轴交于 D，
∴D−1,0，
∴OD=1，
设 P−1,a，
∴a=14，
∴ 点 P−1,14；
当四边形 PAOQ 是矩形，则 ∠PAO=90∘，
同理可求：点 P−1,92；
若 AO 是对角线，如图 2，
当 ∠APO=90∘，
∵OP2=OA2−PA2=PD2+OD2，
∴12+42−1+12+4−a2=12+a2，解得：a=2±2，
∴P−1,2+2或−1,2−2，
综上所述，点 P 的坐标为 −1,14 或 −1,92 或 −1,2+2 或 −1,2−2．
24. （1） ∵BD 为 ⊙O 的直径，
∴∠BAD=90∘，
∴∠BAE+∠DAE=90∘，
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90∘，
∴∠DAE+∠ADE=90∘，
∴∠BAE=∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又 ∵∠ACB=∠ADE，
∴∠ABC=∠ADE=∠BAE，
∴FA=FB．
（2） 由（1）知，∠ABC=∠ACB=∠ADB，
∵tan∠ACB=2，
∴tan∠ABC=tan∠ADB=2，
又 ∵∠BAD=90∘，
∴ 在 Rt△BAD 中，AB=2AD，
在 Rt△BAG 中，AG=2AB，
∴AG=22AD=2AD，
∴ 点 D 为 AG 的中点，
又 ∵ 点 H 为 FG 的中点，
∴DH∥AF，
由（1）知，∠AED=90∘，
∴∠HDE=∠AED=90∘，
∴DH⊥OD，
∴DH 为 ⊙O 的切线．
（3） ∵AD=32，
∴AB=2AD=6，
∴ 在 Rt△ABD 中，BD=AB2+AD2=36，
∵S△ABD=12AB⋅AD=12BD⋅AE，
∴6×32=36×AE，
∴AE=23．
25. （1） 2
【解析】设等边三角形的边长为 a，则面积为：34a2，
平行四边形 ABCD 的高为 AB⋅sin∠ABC=AB⋅sin∠D=3，
等边 △EFG 的边长为 t，则高为 32t，
当点 G 落在线段 AD 上，32t=3，解得：t=2．
（2） 如图 1，△GEF 为边长为 t 的等边三角形．
BE=t=EF=GE，则 ∠GBE=∠EGB，
∠GBE=60∘=2∠GBE=2∠EGB，故 ∠GBE=30∘，
而 ∠ABC=∠D=60∘，∠ABG=∠GBE=30∘，
∴BG 始终平分 ∠ABC．
（3） △EFG 始终为边长为 t 的等边三角形，则 S△EFG=34t2．
①当 0此时，当 t=2 时，y 最大值为 3；
②当 2则 △HMG 为边长为 t−2 的等边三角形，
则 y=S△EFG−S△HMG=34t2−34t−22=3t−3；
当 t=3 时，y 的最大值为：23；
③当 3 △GMH，△MND，△FCN 均为等边三角形，
△GMH 的边长 HG=GE−HE=GE−AB=t−2，
△FCN 的边长 FC=EF−EC=t−6−t=2t−6，
△MND 的边长 MN=MF−NF=2−2t−6=8−2t，
y=S△GEF−S△GHM+S△NCF=34t2−t−22−8−2t2=−3t2+93t−173,
当 t=92 时，y 的最大值为：1334．
综上所述，当 t=92 时，y 的最大值为：1334．