2019年北京市丰台区中考数学一模试卷

这是一份2019年北京市丰台区中考数学一模试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下面的多边形中，内角和与外角和相等的是
A. B.
C. D.

2. 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A. ∣a∣>4B. a+d>0C. c−b>0D. ad>0

3. 2019 年春运期间，全国铁路有 23 天旅客发送量每天超过 1000 万人次，那么这 23 天约发送旅客总人次是
A. 2.3×103B. 2.3×104C. 2.3×107D. 2.3×108

4. 方程组 x−y=2,2x−3y=7 的解为
A. x=1,y=3B. x=−1,y=3C. x=−1,y=−3D. x=3,y=1

5. 如图是某几何体的三视图，该几何体是
A. 三棱锥B. 三棱柱C. 长方体D. 正方体

6. 如果 3x−4y=0，那么代数式 x2y−y⋅3x+y 的值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

7. 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 y（单位：m3）与旋钮的旋转角度 x（单位：度）（0∘A. 18∘B. 36∘C. 41∘D. 58∘

8. 某市组织全民健身活动，有 100 名男选手参加由跑、跳、投等 10 个田径项目组成的“十项全能”比赛，其中 25 名选手的一百米跑成绩排名，跳远成绩排名与 10 项总成绩排名情况如图所示．
甲、乙、丙表示三名男选手，下面有 3 个推断：
①甲的一百米跑成绩排名比 10 项总成绩排名靠前；
②乙的一百米跑成绩排名比 10 项总成绩排名靠后；
③丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前．
其中合理的是
A. ①B. ②C. ①②D. ①③

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若二次根式 x−2 有意义，则 x 的取值范围是 ．

10. 关于 x 的不等式 ax−1，写出一组满足条件的实数 a，b 的值：a= ，b= ．

11. 如图，等腰直角三角板的顶点 A，C 分别在直线 a，b 上．若 a∥b，∠1=35∘，则 ∠2 的度数为 ．

12. 如图，将 △ABC 沿 BC 所在的直线平移得到 △DEF，如果 AB=7，GC=2，DF=5，那么 GE= ．

13. 为了解同学们对网络游戏的喜好和作业量多少的相关性，小明随机对年级 50 名同学进行了调查，并将调查的情况进行了整理，如下表：
如果小明再随机采访一名同学，那么这名同学是“喜欢网络游戏并认为作业多”的可能性 “不喜欢网络游戏并认为作业不多”的可能性．（填“>”，“=”或“<”）

14. 如图，点 A，B，C，D 在 ⊙O 上，且 AD 为直径，如果 ∠BAD=70∘，∠CDA=50∘，BC=25，那么 AD= ．

15. 京张高铁是 2022 年北京冬奥会的重要交通保障设施．京张高铁设计时速 350 公里，建成后，乘高铁从北京到张家口的时间将缩短至 1 小时．如图，京张高铁起自北京北站，途经昌平、八达岭长城、怀来等站，终点站为河北张家口南，全长 174 公里．如果按此设计时速运行，设每站（不计起始站和终点站）停靠的平均时间是 x 分钟，那么依题意，可列方程为 ．

16. 如图是 4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1 且顶点称为格点，点 A，B 均在格点上．在网格中建立平面直角坐标系，且 A−1,1，B1,2．如果点 C 也在此 4×4 的正方形网格的格点上，且 △ABC 是等腰三角形，那么当 △ABC 的面积最大时，点 C 的坐标为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线 l 及直线 l 上一点 A．
求作：直线 AB，使得 AB⊥l．
作法：① 以点 A 为圆心，任意长为半径画弧，交直线 l 于 C，D 两点；
② 分别以点 C 和点 D 为圆心，大于 12CD 长为半径画弧，两弧在直线 l 一侧相交于点 B；
③ 作直线 AB．
所以直线 AB 就是所求作的垂线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AC= ，BC= ，
∴AB⊥l（ ）．（填推理的依据）

18. 计算：2−1−2cs30∘+−12+3.14−π0．

19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−m+3x+m+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时 m 的值．

20. 解不等式组：3x−1<2x+1,x−12≤x+4.

21. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 O 关于直线 CD 的对称点为 E，连接 DE，CE．
（1）求证：四边形 ODEC 为菱形；
（2）连接 OE，若 BC=22，求 OE 的长．

22. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AE 是弦，C 是 AE 的中点，过点 C 作 ⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 G，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，交 AE 于点 F．
（1）求证：GC∥AE；
（2）若 sin∠EAB=35，OD=3，求 AE 的长．

23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=x+1 与 y 轴交于点 A，与函数 y=kxx>0 的图象交于点 B2,a．
（1）求 a，k 的值；
（2）点 M 是函数 y=kxx>0 图象上的一点，过点 M 作平行于 y 轴的直线，交直线 l 于点 P，过点 A 作平行于 x 轴的直线交 MP 于点 N，已知点 M 的横坐标为 m．
①当 m=32 时，求 MP 的长；
②若 MP≥PN，结合函数的图象，直接写出 m 的取值范围．

24. 体育李老师为了解九年级女生体质健康的变化情况，本学期从九年级全体 90 名女生中随机抽取 15 名女生进行体质测试，并调取该 15 名女生上学期的体质测试成绩进行对比，李老师对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）；
b．上学期测试成绩在 80≤x<90 的是：80，81，83，84，84，88；
c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
学期平均数中位数众数上学期82.9n84本学期838686
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中 n 的值是 ；
（2）体育李老师计划根据本学期统计数据安排 80 分以下的同学参加体质加强训练项目，则九年级约有 名女生参加此项目；
（3）分析这 15 名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况（从两个方面进行分析）．

25. 有这样一个问题：探究函数 y=2x+1x2 的图象，并利用图象解决问题．小泽根据学习函数的经验，对函数 y=2x+1x2 的图象进行了探究．下面是小泽的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=2x+1x2 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）下表是 y 与 x 的几组对应值．
x⋯−2−32−1−34−121234132252⋯y⋯−154−239−15183559183319m12925⋯
其中 m 的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数图象，解决问题：当 2x+1x2=4 时，x 的值约为 ．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 过原点和点 A−2,0．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点 B0,32．记抛物线与直线 AB 围成的封闭区域（不含边界）为 W．
①当 a=1 时，求出区域 W 内的整点个数；
②若区域 W 内恰有 3 个整点，结合函数图象，直接写出 a 的取值范围．

27. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，D 为 AB 的中点，点 E 为 AC 延长线上一点，连接 DE，过点 D 作 DF⊥DE 交 CB 的延长线于点 F．
（1）求证：BF=CE；
（2）若 CE=AC，用等式表示线段 DF 与 AB 的数量关系，并证明．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 G，给出如下定义：若在图形 G 上存在两个点 A，B，使得以 P，A，B 为顶点的三角形为等边三角形，则称 P 为图形 G 的“等边依附点”．
（1）已知 M−3,−3，N3,−3．
① 在点 C−2,2，D0,1，E1,3 中，是线段 MN 的“等边依附点”的是 ；
② 点 Pm,0 在 x 轴上运动，若 P 为线段 MN 的“等边依附点”，求点 P 的横坐标 m 的取值范围；
（2）已知 ⊙O 的半径为 1，若 ⊙O 上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长 n 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】设多边形的边数为 n，根据题意得 n−2⋅180∘=360∘，解得 n=4．
2. C【解析】易知：3<∣a∣<4，选项A错误；
∵∣a∣>∣b∣，a<0，
∴a+d<0，选项B错误；
∵c>0，b<0，
∴c−b>0 选项C正确；
∵a<0，d>0，
∴ad>0 选项D错误．
3. D【解析】1000 万 ×23=2.3×108．
4. C【解析】x−y=2, ⋯⋯①2x−3y=7. ⋯⋯②
①×2−② 得：y=−3，
把 y=−3 代入 ① 得：x+3=2，解得：x=−1，
原方程组的解为：x=−1,y=−3.
5. B
【解析】根据有一个视图为三角形，排除长方体和正方体，根据有两个视图是矩形，排除掉三棱锥，综上所述，该几何体为三棱柱．
6. A【解析】∵3x−4y=0，
∴x=43y，
∴x2y−y⋅3x+y=x2−y2y⋅3x+y=3x−yy=343y−yy=1．
7. C【解析】由图象可得，该函数的对称轴 x>18+542 且 x<54，
∴368. D【解析】由折线统计图可知：
①甲的一百米跑成绩排名比 10 项总成绩排名靠前，结论正确；
②乙的一百米跑成绩排名比 10 项总成绩排名靠前，故原说法错误；
③由图 2 中 10 项总成绩的位置可知丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前，结论正确．
所以合理的是①③．
第二部分
9. x≥2
【解析】根据题意，使二次根式 x−2 有意义，即 x−2≥0，解得 x≥2．
10. −2，2
【解析】∵ 不等式 ax−1，
∴ba=−1，且 a<0，则一组满足条件的实数 a=−2，b=2．
11. 10∘
【解析】如图所示：
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90∘，∠ACB=45∘，
∴∠1+∠BAC=35∘+90∘=125∘，
∵a∥b，
∴∠ACD=180∘−125∘=55∘，
∴∠2=∠ACD−∠ACB=55∘−45∘=10∘．
12. 145
【解析】∵△DEF 由 △ABC 平移而成，
∴AB=DE=7，BE=CF，AC∥DF，
∴△EGC∽△EDF．
∴EGED=GCDF．
∵AB=7，GC=2，DF=5，
∴EG7=25．
∴GE=145．
13. >
【解析】随机采访一名同学，这名同学是“喜欢网络游戏并认为作业多”的概率 =1850=925，
随机采访一名同学，这名同学是“不喜欢网络游戏并认为作业不多”的概率 =1550=310，
而 925>310，
所以这名同学是“喜欢网络游戏并认为作业多”的可能性 >“不喜欢网络游戏并认为作业不多”的可能性．
14. 45
【解析】连接 OB，OC．
∵OB=OA，OC=OD，
∴∠OBA=∠A=70∘，∠OCD=∠D=50∘，
∴∠AOB=40∘，∠COD=80∘，
∴∠COB=60∘，
∴△COB 是等边三角形，
∴OB=OA=25,
∴AB=2OA=45．
15. 8×x60+174350=1
【解析】设每站（不计起始站和终点站）停靠的平均时间是 x 分钟，依题意得 8×x60+174350=1．
16. 0,−1 或 2,0
【解析】如图：
AB=AC=BCʹ=ACʺ=22+12=5，
△ABC 的面积 =12×4×1=2，
△ABCʹ 的面积 =2×3−12×1×2×2−12×1×3=52，
△ABCʺ 的面积 =2×3−12×1×2×2−12×1×3=52，
则当 △ABC 的面积最大时，点 C 的坐标为 0,−1 或 2,0．
第三部分
17. （1） 如图：
（2） AD；BD；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
18. 原式=12−2×32+23+1=32+3.
19. （1） ∵Δ=m+32−4m+2=m+12≥0，
∴ 方程总有两个实数根．
（2） ∵x=m+3±m+122，

∴x1=m+2，x2=1．
∵ 方程两个根的绝对值相等，
∴m+2=±1．
∴m=−3或−1．
20. 由 ①，得
x<4.
由 ②，得
x≥−9.∴
此不等式组的解集是
−9≤x<4.
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴OD=OC．
∵ 点 O 关于直线 CD 的对称点为 E，
∴OD=ED，OC=EC．
∴OD=DE=EC=CO．
∴ 四边形 ODEC 为菱形．
（2） 由（1）知四边形 ODEC 为菱形，连接 OE．
∴CE∥OD且CE=OD．
∴CE∥BO且CE=BO．
∴ 四边形 OBCE 为平行四边形．
∴OE=BC=22．
22. （1） 连接 OC，交 AE 于点 H．
∵C 是弧 AE 的中点，
∴OC⊥AE．
∵GC 是 ⊙O 的切线，
∴OC⊥GC，
∴∠OHA=∠OCG=90∘，
∴GC∥AE．
（2） ∵OD⊥AE，CD⊥AB，
∴∠OCD=∠EAB．
∴sin∠OCD=sin∠EAB=35．
在 Rt△CDO 中，OD=3，
∴OC=533，
∴AB=1033，
连接 BE．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90∘．
在 Rt△AEB 中，
∵sin∠EAB=BEAB=35，
∴BE=23，
∴AE=833．
23. （1） 由题意得 A0,1．
∵ 直线 l 过点 B2,a，
∴a=3．
∵ 反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 B2,3，
∴k=6．
（2） ①由题意得 M32,4，P32,52．
∴MP=32；
②如图所示，024. （1） 83
（2） 18
【解析】90×315=18．
答：九年级约有 18 名女生参加此项目；
（3） 这 15 名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况为：体质测试成绩本学期比上学期明显变好，①平均分提高了，①高于 80 分占 80%．
25. （1） x≠0
（2） 414
【解析】把 x=2 代入 y=2x+1x2 得，解得：y=414，
∴m=414．
（3） 该函数的图象如图所示：
（4） 12
26. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 过原点 0,0 和点 A−2,0，
∴ 抛物线的对称轴为 x=−1．
（2） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 过原点 0,0 和点 A−2,0，
∴c=0，b=2a．
∴ 抛物线解析式可化为 y=ax2+2ax．
① a=1 时，抛物线解析式为 y=x2+2x，
∴ 抛物线的顶点为 −1,−1．
由图象知，区域 W 的整点个数为 2．
②当 a>0，结合图象：W 内已有 2 个固定整点 −1,0，0,1，剩下一个整点只可为 −1,−1 或 1,2．
（Ⅰ）当整点为 −1,−1 时，x=−1，y<−1，y 也必须大于 −2，（除点 −1,−2 外），
∴x=−1 时，−2≤y<−1，则 1（Ⅱ）当整点为 1,2 时，x=1，y<2，y 也必须大于 1（除点 1,1 外），
∴x=1 时，1≤y≤2，则 13≤a<23，
当 a<0 时，
∵ 抛物线过 −2,0，0,0，
∴ 整点的横坐标只可能为 −1，
有三个整点，即 −1,1，−1,2，−1,3，但不过 −1,4，
∴x=−1 时，4≥y>3，
∴−4≤a<−3．
综上所述，13≤a<23 或 127. （1） 如图 1 所示，连接 CD，DE 与 CF 相交于点 H．
∵ 在 Rt△ABC 中，D 为 AB 中点，
∴CD=BD，
又 ∵AC=BC，
∴DC⊥AB，
∴∠ABC=∠DCB=45∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠BCE=90∘，
∵∠ABC+∠ABF=180∘，∠DCE=∠DCB+∠BCE，
∴∠DBF=180∘−45∘=135∘，∠DCB=90∘+45∘=135∘，
∴∠DBF=∠DCB，
∵DF⊥DE，
∴∠DHF+∠F=90∘，
又 ∵∠CHE+∠E=90∘，∠CHE=∠DHF，
∴∠F=∠E，
在 △DBF 和 △DCE 中，
∠F=∠E,∠DBF=∠DCEDB=DC,
∴△DBF≌△DCEAAS，
∴BF=CE．
（2） 如图 2 所示，线段 DF 与 AB 的数量关系：DF=52AB．
连接 BC，设 AD=BD=a，则 AB=2a．
∵△DBF≌△DCE，
∴DF=DE．
∵CE=AC，DA=DB，
∴DC∥BE，
又 ∵∠ADC=90∘，
∴∠ABE=90∘，
∵∠A=45∘，
∴∠AEB=45∘，
∴AB=BC=2a，
在 Rt△BDE 中，由勾股定理得 DE2=DB2+BE2，
∴DE=a2+2a2=5a，
∴DF=5a，
∴DFAB=5a2a=52，即 DF=52AB．
28. （1） ①D，E
如图 1，过点 C 作 CD⊥MN 于 D，连接 CM，过点 E 作 EF⊥MN 于 F，连接 EN，EM，DM，DN，
∵tan∠CMD=CDMD=2>3=tan60∘，
∴∠CMD>60∘，
∴ 点 C 不是线段 MN 的“等边依附点”；
∵tan∠DMN=tan∠DNM=3+13<3，
∴∠DMN=∠DNM<60∘，
∴D 是线段 MN 的“等边依附点”；
∵tan∠ENF=EFNF=232=3，tan∠EMN=EFMF=234=32<3，
∴∠ENF=60∘，∠EMN<60∘，
∴E 是线段 MN 的“等边依附点”．
② 在图 1 中，分别在线段 MN 上方作 ∠NMQ=∠MNP=60∘，角的一条边与 MN 重合，另一边分别与 x 轴交于 Q，P，
作 QD⊥MN 于 D，
∵QDMD=tan60∘，即：3MD=3，解得：MD=1，
∴Q−2,0，
同理，可得 P2,0，
∴ 点 P 的横坐标 m 的取值范围为：−2≤m≤2．
（2） n≥433
【解析】如图 2，
△ABC 是等边三角形，点 O 为 AB 的中点，⊙O 与 AC，BC 分别相切于 P，Q，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60∘，
连接 CO，OP，OQ，则 OC⊥AB，OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴OPOA=sin60∘，OQOB=sin60∘；
∵OP=OQ=1，
∴OA=OB=233，
∴AB 的最小值为 433，
∴n≥433．