2019年江苏省苏州市吴中区、相城区、吴江区中考一模数学试卷

这是一份2019年江苏省苏州市吴中区、相城区、吴江区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列实数中，无理数是
A. 0B. −1C. 3D. 13

2. 一个整数 8150⋯0 用科学记数法表示为 8.15×1010，则原数中“0”的个数为
A. 7B. 8C. 9D. 10

3. 有一组数据：1，2，2，5，6，8，这组数据的中位数是
A. 2B. 2.5C. 3.5D. 5

4. 下列运算结果正确的是
A. a23=a5B. a−b2=a2−b2
C. −3a2b−2a2b=−5a2bD. −a2b+a2=−b

5. 如图，△ABC 是等边三角形，点 C 在直线 b 上，若直线 a∥b，∠1=34∘，则 ∠2 的度数为
A. 26∘B. 28∘C. 34∘D. 36∘

6. 已知反比例函数 y=k−3x（k 为常数），当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小，k 的取值范围是
A. k<0B. k>0C. k<3D. k>3

7. 如图，△ABC 内接于圆 O，∠OAC=25∘，则 ∠ABC 的度数为
A. 110∘B. 115∘C. 120∘D. 125∘

8. 如图，在边长为 1 的小正方形网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在 △ABC 内部的概率是
A. 14B. 38C. 516D. 12

9. 如图，在等腰 △ABC 中，AB=AC，BC=310，sinA=35，则 AB 的长为
A. 15B. 510C. 20D. 105

10. 若二次函数 y=ax2+a+2x+4a 的图象与 x 轴有两个交点 x1,0，x2,0，且 x1<1A. −25
二、填空题（共8小题；共40分）
11. −2 的相反数是 ．

12. 当 时，分式 1x−1 有意义．

13. 若圆锥的母线为 5，底面半径为 3，则圆锥的侧面积为 ．

14. 若 a+b=−3，ab=2，则 a2+b2= ．

15. 如果 α，β 是一元二次方程 x2+3x−2=0 的两个根，则 α2+4α+β+2019 的值是 ．

16. 如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C，D 是半圆的三等分点，若弦 CD=6，则图中阴影部分的面积为 ．

17. 在一次综合社会实践活动中，小东同学从 A 处出发，要到 A 地北偏东 60∘ 方向的 C 处，他先沿正东方向走了 2 千米到达 B 处，再沿北偏东 15∘ 方向走，恰能到达目的地 C，如图所示，则 A，C 两地相距 千米．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=10，BC=5，将直角三角板的直角顶点与 AC 边的中点 P 重合，直角三角板绕着点 P 旋转，两条直角边分别交 AB 边于 M，N，则 MN 的最小值是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：−3+π−10−2cs30∘．

20. 解不等式组：3x+2≥2x,1−x−13>x+12.

21. 先化简，再求值：1−2x+1÷x−2x2+2x+1，其中 x=3−1．

22. 2018 年 8 月中国铁路总公司宣布，京津高铁将再次提速，担任此次运营任务是最新的复兴号动车组，提速后车速是之前的 1.5 倍，100 千米缩短了 10 分钟，问提速前后的速度分别是多少千米与小时?

23. 为了缓解上学时校门口的交通压力，某校随机抽取了部分学生进行了调查，来了解学生的到校方式，并根据调查结果绘制了如下统计图表：
某校学生到校方式抽样调查统计表
到校方式学生人数乘车90骑车m步行20其他50
根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中的样本容量是 ，m= ；
（2）扇形统计图中学生到校方式是“步行”所对应扇形的圆心角的度数是 ；
某校学生到校方式抽样调查扇形统计图
（3）若该校共有 1500 名学生，请根据统计结果估计该校到校方式为“乘车”的学生人数；
（4）现从四名采取不同到校方式的学生中抽取两名学生进行问卷调查，请你用列表或画树状图的方法，求出正好选到到校方式为“骑车”和“步行”的两名学生的概率．

24. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC⊥DE，AE=AD，AE 交 BC 于 O．
（1）求证：∠BCA=∠EAC；
（2）若 CE=3，AC=4，求 △COE 的周长．

25. 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴正半轴上，反比例函数 y=kx 在第一象限的图象经过点 D，交 BC 于 E．
（1）当点 E 的坐标为 3,n 时，求 n 和 k 的值；
（2）若点 E 是 BC 的中点，求 OD 的长．

26. 如图，⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆．AC，BD 是四边形 ABCD 的对角线，BD 经过圆心 O，点 E 在 BD 的延长线上，BA 与 CD 的延长线交于点 F，DF 平分 ∠ADE．
（1）求证：AC=BC；
（2）若 AB=AF，求 ∠F 的度数；
（3）若 CDAC=12，⊙O 半径为 5，求 DF 的长．

27. 如图，抛物线 y=ax2−3ax−4aa<0 与 x 轴交于 A，B 两点，直线 y=12x+12 经过点 A，与抛物线的另一个交点为点 C，点 C 的横坐标为 3，线段 PQ 在线段 AB 上移动，PQ=1，分别过点 P，Q 作 x 轴的垂线，交抛物线于 E，F，交直线于 D，G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形 DEFG 为平行四边形时，求出此时点 P，Q 的坐标；
（3）在线段 PQ 的移动过程中，以 D，E，F，G 为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．

28. 如图①，在矩形 ABCD 中，点 P 从 AB 边的中点 E 出发，沿着 E−B−C 匀速运动，速度为每秒 2 个单位长度，到达点 C 后停止运动，点 Q 是 AD 上的点，AQ=10，设 △APQ 的面积为 y，点 P 运动的时间为 t 秒，y 与 t 的函数关系如图②所示．
（1）图①中 AB= ，BC= ，图②中 m= ；
（2）当 t=1 秒时，试判断以 PQ 为直径的圆是否与 BC 边相切?请说明理由；
（3）点 P 在运动过程中，将矩形沿 PQ 所在直线折叠，则 t 为何值时，折叠后顶点 A 的对应点 Aʹ 落在矩形的一边上．
答案
第一部分
1. C【解析】A、 0 是整数，是有理数，选项错误；
B、 −1 是整数，是有理数，选项错误；
C、 3 是无理数，选项正确；
D、 13 是整数，是有理数，选项错误．
2. B【解析】∵8.15×1010 表示的原数为 81500000000，
∴ 原数中“0”的个数为 8，
故选：B．
3. C【解析】从小到大排列此数据为：1，2，2，5，6，8；
数据 2，5 处在最中间，故中位数为 2+52=3.5．
4. C【解析】A选项：a23=a2⋅a2⋅a2=a6，
∴ A选项的答案不对；
B选项：先默写完全平方公式；a−b2=a2−2ab+b2，
∴ B选项的答案不对；
C选项：提取公因数 a2b；−3a2b−2a2b=−2−3a2b=−5a2b，
∴ C选项的答案正确；
D选项：提取公因数 a2；−a2b+a2=−b+1a2，
∴ D选项的答案不对．
5. A
【解析】过 B 作 BD∥ 直线 a，
∵ 直线 a∥b，
∴BD∥ 直线 b，
∴∠ABD=∠1，∠CBD=∠2，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠1+∠2=60∘，
∵∠1=34∘，
∴∠2=26∘，
故选：A．
6. D【解析】∵ 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴k−3>0，
∴k>3．
7. B【解析】∵OA=OC，∠OAC=25∘，
∴∠AOC=180∘−25∘×2=130∘，
由圆周角定理得，∠ABC=360∘−130∘÷2=115∘，
故选：B．
8. C【解析】∵ 阴影部分的面积为 12×5×25=5，总面积为 16，
∴ 向正方形网格中投针，落在 △ABC 内部的概率是 516．
9. A【解析】过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，
在 Rt△ACD 中，sinA=35，
设 CD=3k，则 AB=AC=5k，
∴AD=AC2−CD2=4k．
在 Rt△BCD 中，
∵BD=AB−AD=5k−4k=k，
在 Rt△BCD 中，BC=BD2+CD2=k2+9k2=10k，
∵BC=10，
∴10k=310，
∴k=3．
∴AB=5k=15，
故选：A．
10. B
【解析】由已知得：a≠0 且 Δ=a+22−16a2>0，
解得：−25 ∵x1<1 ∴x1−1x2−1<0，
∴x1x2−x1+x2+1<0，
∴4+a+2a+1<0，
解得：−13综合以上可得，−13第二部分
11. 2
【解析】−2 的相反数是：−−2=2．
12. x≠1
【解析】分式有意义，则 x−1≠0，解得：x≠1．
13. 15π
【解析】圆锥的侧面积 =12⋅2π⋅3⋅5=15π．
14. 5
【解析】∵a+b=−3，ab=2，
∴a2+b2=a+b2−2ab=9−4=5．
15. 2018
【解析】∵α，β 是一元二次方程 x2+3x−2=0 的两个根，
∴α2+3α−2=0 即 α2+3α=2，α+β=−3．
∵α2+4α+β+2019=α2+3α+α+β+2019=2+−3+2019，
∴α2+4α+β+2019=2018．
16. 6π
【解析】连接 OC，OD，AC，
∵ 点 C，D 是半圆 O 的三等分点，
∴CD∥AB，∠COD=60∘，
∵OC=OD，
∴△ODC 是等边三角形，
∵CD∥AB，
∴△ACD 面积等于 △OCD 面积，
∴ 阴影部分面积等于扇形 COD 面积 =60⋅π⋅62360=6π．
17. 1+3
【解析】∵B 在 A 的正东方，C 在 A 地的北偏东 60∘ 方向，
∴∠BAC=90∘−60∘=30∘，
∵C 在 B 地的北偏东 15∘ 方向，
∴∠ABC=90∘+15∘=105∘，
∴∠C=180∘−∠BAC−∠ABC=180∘−30∘−105∘=45∘，
过 B 作 BD⊥AC 于 D，
在 Rt△ABD 中，∠BAD=30∘，AB=2 km，
∴BD=12AB=1 km，AD=3 km，
在 Rt△BCD 中，∠C=45∘，
∴CD=BD=1 km，AC=AD+CD=1+3m，
答：A，C 两地相距 1+3 千米．
18. 25
【解析】∵∠C=90∘，AC=10，BC=5，
∴AB=AC2+BC2=55，
∵PM−PN2≥0，
当 PM=PN 时，PM−PN2 值最小为 0，
∴MN2=PM2+PN2≥2PM⋅PN，
当 PM=PN 时，PM2+PN2 有最小值为 2PM⋅PN，
∴MN 为最小值时，PM=PN，
过 P 点作 PD⊥AB 于点 D，如图所示，
则 MN=2PD，
∵∠A=∠A，∠ADP=∠ACB=90∘，
∴△APD∽△ABC，
∴PDBC=APAB，即 PD5=555，
∴PD=5，
∴MN=2PD=25．
故答案为：25．
第三部分
19. 原式=3+1−2×32=1.
20.
3x+2≥2x, ⋯⋯①1−x−13>x+12. ⋯⋯②
解不等式①得：
x≥−2.
解不等式②得：
x<1.
所以不等式组的解集为：−2≤x<1．
21. 原式=x+1x+1−2x+1×x+12x−2=x−1x+1×x+12x−2=x−1x+1x−2,
当 x=3−1 时，
原式=3−1−13−1+13−1−2=33−23+33−33+3=−3−336=−12+32.
22. 设提速前后的速度分别为 x 千米每小时和 1.5x 千米每小时，
根据题意得，
100x−1001.5x=1060.
解得：
x=200.
经检验：x=200 是原方程的根，
∴1.5x=300，
答：提速前后的速度分别是 200 千米每小时和 300 千米每小时．
23. （1） 200；40
【解析】本次抽样调查中的样本容量为：50÷25%=200，m=200×20%=40；
∴ 本次抽样调查中的样本容量是 200，m=40．
（2） 36∘
【解析】20÷200=10%，10%×360∘=36∘，
∴“步行”所对应扇形的圆心角的度数为：36∘．
（3） “乘车”的学生人数的百分比为 90200×100%=45%，
用样本估计总体：45%×1500=675 人，
故估计该校到校方式为“乘车”的学生人数为 675 人．
（4） 画树形图得：
正好选到到校方式为“骑车”和“步行”的两名学生的概率 =212=16．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA=∠DAC，
∵AC⊥DE，AE=AD，
∴∠EAC=∠DAC，
∴∠BCA=∠EAC．
（2） ∵AC⊥DE，
∴∠ACE=90∘，
∴AE=AC2+CE2=42+32=5，
由（1）得：∠BCA=∠EAC，
∴OA=OC，
∴△COE的周长=OE+OC+CE=OE+OA+CE=AE+CE=5+3=8.
25. （1） ∵ 正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 的坐标为 3,n，
∴OB=3，AB=AD=2，
∴D1,2，
∵ 反比例函数 y=kx 在第一象限的图象经过点 D，
∴k=1×2=2，
∴ 反比例函数为：y=2x，
∵ 反比例函数 y=kx 在第一象限的图象交 BC 于 E，
∴n=23．
（2） 设 Dx,2 则 Ex+2,1，
∵ 反比例函数 y=kx 在第一象限的图象经过点 D 、点 E，
∴2x=x+2，
解得 x=2．
∴D2,2，
∴OA=AD=2，
∴OD=OA2+OD2=22．
26. （1） ∵DF 平分 ∠ADE，
∴∠EDF=∠ADF，
∵∠EDF=∠ABC，∠BAC=∠BDC，∠EDF=∠BDC，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC．
（2） ∵BD 是 ⊙O 的直径，
∴AD⊥BF，
∵AF=AB，
∴DF=DB，
∴∠FDA=∠BDA，
∴∠ADB=∠CAB=∠ACB，
∴△ACB 是等边三角形，
∴∠ADB=∠ACB=60∘，
∴∠ABD=90∘−60∘=30∘，
∴∠F=∠ABD=30∘．
（3） ∵CDAC=12，
∴CDBC=12，
设 CD=k，BC=2k，
∴BD=CD2+BC2=5k=10，
∴k=25，
∴CD=25，BC=AC=45，
∵∠ADF=∠BAC，
∴∠FAC=∠ADC，
∵∠ACF=∠DCA，
∴△ACF∽△DCA，
∴CDAC=ACCF，
∴CF=85，
∴DF=CF−CD=65．
27. （1） ∵ 点 C 的横坐标为 3，
∴y=12×3+12=2，
∴ 点 C 的坐标为 3,2，
把点 C3,2 代入抛物线，可得 2=9a−9a−4a，
解得：a=−12，
∴ 抛物线的解析式为 y=−12x2+32x+2．
（2） 设点 Pm,0，Qm+1,0，
由题意，点 Dm,12m+12m，Em,−12m2+32m+2，Gm+1,12m+1，Fm+1,−12m2+12m+3，
∵ 四边形 DEFG 为平行四边形，
∴ED=FG，
∴−12m2+32m+2−12m+12=−12m2+12m+3−12m+1，即 −12m2+m+32=−12m2+2，
∴m=0.5，
∴P0.5,0，Q1.5,0．
（3） 设以 D，E，F，G 为顶点的四边形面积为 S，
由（2）可得，
S=−12m2+m+32−12m2+2×1÷2=12−m2+m+72=−12m−122+158,
∴ 当 m=12 时，S 最大值为 158，
∴ 以 D，E，F，G 为顶点的四边形面积有最大值，最大值为 158．
28. （1） 8；18；20
【解析】∵ 点 P 从 AB 边的中点 E 出发，速度为每秒 2 个单位长度，
∴AB=2BE，
由图象得：t=2 时，BE=2×2=4，
∴AB=2BE=8，AE=BE=4，
t=11 时，2t=22，
∴BC=22−4=18，
当 t=0 时，点 P 在 E 处，
m=△AEQ 的面积 =12AQ×AE=12×10×4=20．
（2） 当 t=1 秒时，以 PQ 为直径的圆不与 BC 边相切，理由如下：
当 t=1 时，PE=2，
∴AP=AE+PE=4+2=6，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=90∘，
∴PQ=AQ2+AP2=102+62=234，
设以 PQ 为直径的圆的圆心为 Oʹ，
作 OʹN⊥BC 于 N，延长 NOʹ 交 AD 于 M，如图 1 所示：
则 MN=AB=8，OʹM∥AB，MN=AB=8，
∵Oʹ 为 PQ 的中点，
∴OʹM 是 △APQ 的中位线，
∴OʹM=12AP=3，
∴OʹN=MN−OʹM=5<34，
∴ 以 PQ 为直径的圆不与 BC 边相切．
（3） 分三种情况：
①当点 P 在 AB 边上，Aʹ 落在 BC 边上时，作 QF⊥BC 于 F，如图 2 所示：
则 QF=AB=8，BF=AQ=10，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90∘，CD=AB=8，AD=BC=18，
由折叠的性质得：PAʹ=PA，AʹQ=AQ=10，∠PAʹQ=∠A=90∘，
∴AʹF=AʹQ2−QF2=6，
∴AʹB=BF−AʹF=4，
在 Rt△AʹBP 中，BP=4−2t，PAʹ=AP=8−4−2t=4+2t，
由勾股定理得：42+4−2t2=4+2t2，解得：t=12；
②当点 P 在 BC 边上，Aʹ 落在 BC 边上时，连接 AAʹ，如图 3 所示：
由折叠的性质得：AʹP=AP，
∴∠APQʹ=∠AʹPQ，
∵AD∥BC，
∴∠AQP=∠AʹPQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ=AʹP=10，
在 Rt△ABP 中，由勾股定理得：BP=102−82=6，
又 ∵BP=2t−4，
∴2t−4=6，解得：t=5；
③当点 P 在 BC 边上，Aʹ 落在 CD 边上时，连接 AP，AʹP，如图 4 所示：
由折叠的性质得：AʹP=AP，AʹQ=AQ=10，
在 Rt△DQAʹ 中，DQ=AD−AQ=8，
由勾股定理得：DAʹ=102−82=6，
∴AʹC=CD−DAʹ=2，
在 Rt△ABP 和 Rt△AʹPC 中，BP=2t−4，CP=BC−BP=18−2t−4=22−2t，
由勾股定理得：AP2=82+2t−42，AʹP2=22+22−2t2，
∴82+2t−42=22+22−2t2，解得：t=173．
综上所述，t 为 12 或 5 或 173 时，折叠后顶点 A 的对应点 Aʹ 落在矩形的一边上．