2019年浙江省温州市文成县中学平和中学中考数学一模试卷

这是一份2019年浙江省温州市文成县中学平和中学中考数学一模试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −1+3 的结果是
A. −4B. 4C. −2D. 2

2. 如图所示的几何体的左视图是
A. B.
C. D.

3. 已知点 −1,y1，−0.5,y2，1.5,y3 是直线 y=−2x+1 上的三个点，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y3>y2>y1B. y1>y2>y3C. y1>y3>y2D. y3>y1>y2

4. 已知关于 x 的不等式 4x−a≥−5 的解集如图所示，则 a 的值是
A. −3B. −2C. −1D. 0

5. 某篮球运动员在连续 7 场比赛中的得分（单位：分）依次为 20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是
A. 18 分，17 分B. 20 分，17 分C. 20 分，19 分D. 20 分，20 分

6. 下列命题中真命题是
A. 若 a2=b2，则 a=bB. 4 的平方根是 ±2
C. 两个锐角之和一定是钝角D. 相等的两个角是对顶角

7. 如统计图反映了我市 2011−2016 年气温变化情况，下列说法不合理的是
A. 2011−2014 年最高温度呈上升趋势
B. 2014 年出现了这 6 年的最高温度
C. 2011−2015 年的温差成下降趋势
D. 2016 年的温差最大

8. 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的公共点的坐标是 −1,0，5,0，则这条抛物线的对称轴是直线
A. x=1B. x=2C. x=3D. x=−2

9. 如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周， OA=OB=OC=2 ，则这朵三叶花的面积为 ( )
A. 3π−3B. 3π−6C. 6π−3D. 6π−6

10. 如图，点 A，B 为反比例函数 y=kx 在第一象限上的两点，AC⊥y 轴于点 C，BD⊥x 轴于点 D，若 B 点的横坐标是 A 点横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为 k−2，则 k 的值为
A. 43B. 83C. 143D. 163

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：x3y−2x2y+xy= ．

12. 如图，∠ADB=90∘，∠DCB=30∘，则 ∠ABD= ．

13. m 是方程 2x2+3x−1=0 的根，则式子 4m2+6m+2018 的值为 ．

14. 在一次绿色环保知识竞赛中，共有 20 道题，对于每一道题，答对了得 10 分，答错了或不答扣 5 分，小明要想在竞赛中得分不少于 100 分，则他至少要答对 道题．

15. 如图 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AC=1，且 AC 在直线 l 上，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转到 ①，可得到点 P1；将位置 ① 的三角形绕点 P1 顺时针旋转到位置 ②，可得到点 P2；将位置 ② 的三角形绕点 P2 顺时针旋转到位置 ③，可得到点 P3，⋯，按此规律继续旋转，直到点 P2012 为止，则 AP2012 等于 ．

16. 如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则AGFD的值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 解答下列各题：
（1）计算：2xx+2y+4yx+2y．
（2）计算：490+−12+4−2−1．
（3）解方程：32x=2x+1．

18. 先化简，再求值：3x+2y2−3x+y3x−y，其中 x=2，y=3．

19. 如图，平行四边形 ABCD 的四个顶点都在小方格的顶点上，每个小正方形边长都是 1，请画一个与平行四边形 ABCD 的面积相等的特殊平行四边形，并且满足下列要求．
（1）在图甲中画一个矩形；
（2）在图乙中画一个菱形．（注意：四边形的顶点均在方格的顶点上，四边形的边用实数表示，顶点写上字母）

20. 为了解某校 2400 名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）．
（1）问：在这次调查中，一共抽取了多少名学生?
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学；
（4）为了鼓励“低碳生活”，学校为随机抽到的步行或骑自行车上学的学生设计了一个摸奖游戏，具体规则如下：一个不透明的袋子中装着标有数字 1，2，3，4 的四个完全相同的小球，随机地从四个小球中摸出一球然后放回，再随机地摸出一球，若第二次摸出的小球标有的数字比第一次摸出的小球标有的数字大，则有小礼物赠送，问获得小礼物的概率是多少（用树状图或列表说明）?

21. 在矩形 ABCD 中，AD=2AB，E 是 AD 的中点，一块三角板的直角顶点与点 E 重合，两直角边与 AB，BC 分别交于点 M，N，求证：BM=CN．

22. 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分 3 本，则剩余 20 本；如果每人分 4 本，则还缺 25 本．
（1）这个班有多少名学生?
（2）这批图书共有多少本?

23. 如图所示，已知抛物线 y=ax2a≠0 与一次函数 y=kx+b 的图象相交于 A−1,−1，B2,−4 两点，点 P 是抛物线上不与 A，B 重合的一个动点，点 Q 是 y 轴上的一个动点．
（1）请直接写出 a，k，b 的值及关于 x 的不等式 ax2（2）当点 P 在直线 AB 上方时，请求出 △PAB 面积的最大值并求出此时点 P 的坐标；
（3）是否存在以 P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出 P，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

24. 如图：AD 是正 △ABC 的高，O 是 AD 上一点，⊙O 经过点 D，分别交 AB，AC 于 E，F．
（1）求 ∠EDF 的度数；
（2）若 AD=63，求 △AEF 的周长；
（3）设 EF，AD 相较于 N，若 AE=3，EF=7，求 DN 的长．
答案
第一部分
1. D【解析】−1+3=2．
2. D【解析】根据左视图是从左面看到的图形再结合几何体的特征即可得几何体的左视图是第四个．
3. B【解析】在一次函数 y=−2x+1 中，
∵k=−2<0，
∴y 随着 x 的增大而较小，
又 ∵−1<−0.5<1.5，
∴y1>y2>y3．
4. A【解析】解不等式 4x−a≥−5 得：x≥a−54，
根据数轴可知：a−54=−2，
解得：a=−3．
5. D
【解析】将数据重新排列为 17，18，18，20，20，20，23，
所以这组数据的众数为 20 分、中位数为 20 分．
6. B【解析】A、若 a2=b2，则 a=±b，错误，是假命题；
B、 4 的平方根是 ±2，正确，是真命题；
C、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；
D、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题．
7. C【解析】A．2011−2014 年最高温度呈上升趋势，正确；
B．2014 年出现了这 6 年的最高温度，正确；
C．2011−2015 年的温差成下降趋势，错误；
D．2016 年的温差最大，正确．
8. B【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的公共点的坐标是 −1,0，5,0，
∴ 这条抛物线的对称轴是直线 x=−1+52=2．
9. B
10. B
【解析】设 Bt,kt．
∵AC⊥y 轴于点 C，BD⊥x 轴于点 D，B 点的横坐标是 A 点横坐标的一半，
∴AC=2CE=2t，
∴A2t,k2t，
∴BD=2OC=2BE，
在 △OCM 和 △BEM 中，
∠OCM=∠MEB,∠CMO=∠EMB,OC=BE,
∴△OCM≌△BEM，
∴CM=EM=12t，
同理可证：△ODN≌△AEN，
∴EN=DN=k4t，
∴阴影部分的面积=12ME×BE+12NE×AE=12×t2×k2t+12×t×k4t=k−2.
解得：k=83．
第二部分
11. xyx−12
【解析】原式=xyx2−2x+1=xyx−12.
12. 60∘
【解析】∵∠A=∠DCB=30∘，∠ADB=90∘，
∴∠ABD=90∘−∠A=60∘．
13. 2020
【解析】把 x=m 代入 2x2+3x−1=0，得：2m2+3m−1=0，则 2m2+3m=1．
所以 4m2+6m+2018=22m2+3m+2018=2+2018=2020．
14. 14
15. 2012+6713
【解析】∵Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AC=1，
∴AB=2，BC=3，
∴ 将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转到 ①，可得到点 P1，此时 AP1=2；
将位置 ① 的三角形绕点 P1 顺时针旋转到位置 ②，可得到点 P2，此时 AP2=2+3；
将位置 ② 的三角形绕点 P2 顺时针旋转到位置 ③，可得到点 P3，此时 AP3=2+3+1=3+3；
又 ∵2012÷3=670⋯2，
∴AP2012=6703+3+2+3=2012+6713．
16. 43
【解析】【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：
第1步：利用角平分线的性质，得到BD=54CD；
第2步：延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；
第3步：过点M作MN∥AD，构造平行四边形DMNG．由MD=BD=KD=54CD，得到等腰△DMK；然后利用角之间关系证明DM∥GN，从而推出四边形DMNG为平行四边形；
第4步：由MN∥AD，列出比例式，求出AGFD的值．
【解析】解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．
∵BDCD=S△ABDS△ACD=12AB•h12AC•h=ABAC=54，
∴BD=54CD．
如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM．连接DM．
在△ABD与△AMD中，
AB=AM∠BAD=∠MADAD=AD
∴△ABD≌△AMD(SAS)，
∴MD=BD=54CD．
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．
∵MN∥AD，
∴CKCD=CMAC=14，
∴CK=14CD，
∴KD=54CD．
∴MD=KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK=∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2；
∵MN∥AD，
∴∠3=∠4=∠1=∠2，
又∵∠DKM=∠3(对顶角)
∴∠DMK=∠1，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN=DG=2FD．
∵点H为AC中点，AC=4CM，
∴AHMH=23．
∵MN∥AD，
∴AGMN=AHMH，即AG2FD=23，
∴AGFD=43．
故答案为：43．
方法二：
如右图，有已知易证△DFE≌△GFE，
故∠5=∠B+∠1=∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，
所以∠3=∠B，则可证△AGH∽△ADB
设AB=5a，则AC=4a，AH=2a，
所以AG/AD=AH/AB=2/5，而 AD=AG+GD，故GD/AD=3/5，
所以AG：GD=2：3，F是GD的中点，
所以AG：FD=4：3．
【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．
第三部分
17. （1） 原式=2x+4yx+2y=2x+2yx+2y=2.
（2） 原式=1+12+2−12=3.
（3） 方程两边同时乘 2xx+1 得：
3x+1=4x.
解得：
x=3.
经检验 x=3 是原方程的解，
∴ 原方程的解为 x=3．
18. 原式=9x2+12xy+4y2−9x2+y2=5y2+12xy.
当 x=2，y=3 时，
原式=5×32+12×2×3=45+72=117.
19. （1） 如图甲所示，矩形 EFGH 即为所求．
（2） 如图乙所示，菱形 PQMN 即为所求．
20. （1） 32÷40%=80（名），则在这次调查中，一共抽取了 80 名学生．
（2） 上学方式为“公交车”的学生为 80−8+12+32+8=20（名），
补全频数分布直方图，如图所示：
（3） 根据题意得：2400×2080=600（名），则全校所有学生中有 600 名学生乘坐公交车上学．
（4） 根据题意画出树状图，如图所示：
得到所有等可能的情况数有 16 种，其中第二次摸出的小球标有的数字比第一次摸出的小球标有的数字大，即有小礼物赠送的有 6 种，则 P=616=38，
则获得小礼物的概率是 38．
21. 如图，连接 BE，CE．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90∘，
∵AD=2AB，E 是 AD 的中点，
∴AE=DE=AB=CD，
∴∠ABE=∠AEB=∠DEC=∠DCE=45∘，
∴∠BEC=180∘−∠AEB−∠DEC=90∘，
∵AB=CD，∠ABE=∠AEB=∠DEC=∠DCE=45∘，
∴△ABE≌△DCEAAS，
∴BE=CE，
∵∠BEN+∠CEN=90∘，∠BEM+∠BEN=90∘，
∴∠BEM=∠CEN，且 BE=CE，∠ABE=∠ECN，
∴△BEM≌△CENASA，
∴BM=CN．
22. （1） 设这个班有 x 名学生．
依题意有：
3x+20=4x−25.
解得：
x=45.
答：这个班有 45 名学生．
（2） 3x+20=3×45+20=155．
答：这批图书共有 155 本．
23. （1） a=−1，k=−1，b=−2，关于 x 的不等式 ax22．
【解析】把 A−1,−1 代入 y=ax2 中，可得：a=−1；
把 A−1,−1，B2,−4 代入 y=kx+b 中，
可得：−k+b=−1,2k+b=−4, 解得：k=−1,b=−2,
∴a=−1，k=−1，b=−2，
关于 x 的不等式 ax22．
（2） 过点 A 作 y 轴的平行线，过点 B 作 x 轴的平行线，两者交于点 C．
∵A−1,−1，B2,−4，
∴C−1,−4，AC=BC=3，
设点 P 的横坐标为 m，则点 P 的纵坐标为 −m2．
过点 P 作 PD⊥AC 于 D，作 PE⊥BC 于 E．
则 D−1,−m2，Em,−4，
∴PD=m+1，PE=−m2+4．
∴S△APB=S△APC+S△BPC−S△ABC=12AC⋅PD+12BC⋅PE−12AC⋅BC=12×3m+1+12×3−m2+4−12×3×3=−32m2+32m+3.
∵−32<0，m=−322×−32=12，−1 ∴ 当 m=12 时，S△APB 的值最大．
∴ 当 m=12 时，−m2=−14，S△APB=−32m2+32m+3=338，
即 △PAB 面积的最大值为 338，此时点 P 的坐标为 12,−14．
（3） P 的坐标为 −3,−9 或 3,−9 或 1,−1，
Q 的坐标为：Q0,−12 或 0,−6 或 0,−4．
【解析】存在三组符合条件的点．
当以 P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形时，
∵AP=BQ，AQ=BP，A−1,−1，B2,−4，
可得坐标如下：
① Pʹ 的横坐标为 −3，代入二次函数表达式，
解得：Pʹ−3,−9，Qʹ0,−12；
② Pʺ 的横坐标为 3，代入二次函数表达式，
解得：Pʺ3,−9，Qʺ0,−6；
③ P 的横坐标为 1，代入二次函数表达式，
解得：P1,−1，Q0,−4．
故：P 的坐标为 −3,−9 或 3,−9 或 1,−1，
Q 的坐标为：Q0,−12 或 0,−6 或 0,−4．
24. （1） AD 是正 △ABC 的高，
∴∠BAC=60∘，AD 平分 ∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30∘，
作 OI⊥AB 于 I，OJ⊥AC 于 J，连接 OE，OF，
∴OI=OJ，
∴△OIE≌△OJFHL，
∴∠IOE=∠JOF，
∴∠EOF=∠EOJ+∠FOJ=∠EOJ+∠IOE=∠IOJ=120∘，
∴∠EDF=12∠EOF=60∘．
（2） 设 AD 与圆 O 交于点 G，连接 FG，AD 是正 △ABC 的高，∠B=∠C=60∘，CD=BD，GD 是圆 O 的直径，
由圆与正三角形的对称性，可得 ∠BED=∠FED，
作 DK⊥AB，DL⊥AC，DM⊥EF，可得 DK=DL，
∵∠BED=∠FED，DK⊥AB，DM⊥EF，ED=ED，
∴△EKD≌EFD，
∴EK=EM，DK=DM，
在 △DMF 与 △DLF 中，DK=DM=DL，DL⊥AC，DM⊥EF，
∴△DMF≌△DLF，
∴MF=FL，易得：AK=AL，AL=34AC=9，
△AEF 的周长 =AF+AE+EF=2AL，AL=9，
∴C△AEF=18=12C△ABC．
（3） 过 E 点 AC 的垂线，长为 h3，过 E 点做 AD 的垂线，长为 h2，过 F 做 AD 的垂线，长为 h1，
设 AC=x，C△AEF=12C△ABC=32x，AF=32x−10，FC=10−12x，EB=x−3，BD=DC=12x，
由 △FDC∽△DEB，可得 FCDB=DCEB，
代入得：12x2=10−12xx−3，
解得：x1=12，x2=103（舍去），
AF=32x−10=8，AD=32AB=63，
S△AEF=12AF⋅h3=S△AEF=12AN⋅h1+h2，
可得 AN=24311，
∴DN=42311．