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2019年天津市河北区中考一模数学试卷
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这是一份2019年天津市河北区中考一模数学试卷,共13页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(共12小题;共60分)
1. 计算 (−5)−3 的结果等于 ( )
A. −8B. −2C. 2D. 8
2. sin45∘ 的值等于 ( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
3. 下列表示天气的图形中,是中心对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.
4. 据国家统计局全国农村贫困监测调查,按现行国家农村贫困标准测算,2018 年末,全国农村贫困人口 1660 万人,比上年末减少 13860000 人.将 13860000 用科学记数法表示为 ( )
A. 0.1386×108B. 1.386×107C. 13.86×106D. 1386×104
5. 如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图是 ( )
A. B.
C. D.
6. 估计 27 的值在 ( )
A. 4 和 5 之间B. 5 和 6 之间C. 6 和 7 之间D. 7 和 8 之间
7. 计算 4x−5+1 的结果为 ( )
A. x+1x−5B. x−1x−5C. 5x−5D. 4x−4
8. 若关于 x,y 的方程组 3x−my=5,2x+ny=6 的解是 x=1,y=2, 则 mn 的值为 ( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
9. 已知在反比例函数 y=−1x 上有两个点 A(xA,yA),B(xB,yB) , 若 xA<0A. yA+yB<0B. yA+yB>0C. yAyB
10. 某同学记录了一个秋千离地面的高度 hm 与摆动时间 ts 之间的关系,如图所示,则这个秋千摆动第一个来回所需的时间为
A. 0.7 sB. 1.4 sC. 2.8 sD. 5.4 s
11. 如图,已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点,正方形 EFGH 的顶点 G 、 H 都在边 AD 上,若 AB=2,BC=5 , 则 tan∠AFE 的值
A. 等于 25
B. 等于 27
C. 等于 57
D. 不确定,随点 E 位置的变化而变化
12. 如图,一段抛物线 y=−x2+9−3≤x≤3 为 C1,与 x 轴交于 A0,A1 两点,顶点为 D1;将 C1 绕点 A1 旋转 180∘ 得到 C2,顶点为 D2;C1 与 C2 组成一个新的图象.垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1x1,y1,P2x2,y2,与线段 D1D2 交于点 P3x3,y3 , 且 x1,x2,x3 均为正数,设 t=x1+x2+x3,则 t 的最大值是
A. 15B. 18C. 21D. 24
二、填空题(共6小题;共30分)
13. 计算 a4a32 的结果等于 .
14. 分解因式:ab−ac= .
15. 在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字,这个字是“山”的概率是 .
16. 已知正多边形的一个外角等于 40∘,那么这个正多边形的边数为 .
17. 若 m 为任意实数,则关于 x 的一元二次方程 (x−3)(x−2)−14m2=12m+1 实数根的个数为 .
18. 如图,在每个小正方形的边长为 1 的网格中,点 A,B,O,P 均在格点上.
(I)OB 的长等于 ;
(II)点 M 在射线 OA 上,点 N 在射线 OB 上,当 △PMN 的周长最小时,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出 △PMN,并简要说明点 M,N 的位置是如何找到的(不要求证明) .
三、解答题(共7小题;共91分)
19. 解不等式组 x+1≤4,①2x+3>x+2,②,请结合题意填空,完成本题的解答.
(1)解不等式 ①,得 ;
(2)解不等式 ②,得 ;
(3)把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为 .
20. 某学校组织全校 1500 名学生进行经典诗词诵背活动,为了解本次系列活动的效果,学校团委在活动开展一个月之后,随机抽取部分学生调查了“一周诗词诵背数量”,并根据调查结果绘制成如下的统计图 1 和图 2.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)图 2 中的 m 值为 ;
(2)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数;
(3)估计此时该校学生一周诗词诵背 6 首(含 6 首)以上的人数.
21. 已知 △ABC 内接于 ⊙O,D 是 BC 上一点,OD⊥BC,垂足为 H,连接 AD,CD,AD 与 BC 交于点 P.
(1)如图 1,求证:∠ACD=∠APB;
(2)如图 2,若 AB 过圆心,∠ABC=30∘,⊙O 的半径长为 3,求 AP 的长.
22. 如图,某同学要测量海河某处的宽度 AB,该同学使用无人机在 C 处测得 A,B 两点的俯角分别为 45∘ 和 30∘,若无人机此时离地面的高度 CH 为 1000 米,且点 A,B,H 在同一水平直线上,求这处海河的宽度 AB(结果取整数).参考数据:2≈1.414,3≈1.732.
23. 某货运公司有大小两种货车,3 辆大货车与 4 辆小货车一次可以运货 29 吨,2 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运货 31 吨.
(1)请问 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货多少吨;
(2)目前有 46.4 吨货物需要运输,货运公司拟安排大小货车共 10 辆,全部货物一次运完,其中每辆大货车一次运货花费 500 元,每辆小货车一次运货花费 300 元,请问货运公司应如何安排车辆最节省费用?
24. 如图,在平面直角坐标系 xOy 第一象限中有正方形 OABC,A4,0,点 Pm,0 是 x 轴上一动点 0(1)求证:BP⊥PM;
(2)求 t 与 m 的函数关系式,并求出 t 的最大值;
(3)当 △ABP≌△CBN 时,直接写出 m 的值.
25. 如图,抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 A(0,2),对称轴为直线 x=−2,平行于 x 轴的直线与抛物线交于 B,C 两点,点 B 在对称轴左侧,BC=6.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)已知在 x 轴上存在一点 D,使得 △ABD 的周长最小,求点 D 的坐标;
(3)若过点 C 的直线 l 将 △ABC 的面积分成 2:3 两部分,试求直线 l 的解析式.
答案
第一部分
1. A【解析】(−5)−3=(−5)+(−3)=−8.
2. B【解析】sin45∘=22.
3. C【解析】A、不是中心对称图形,故本选项错误;
B、不是中心对称图形,故本选项错误;
C、是中心对称图形,故本选项正确;
D、不是中心对称图形,故本选项错误.
4. B【解析】将 13860000 用科学记数法表示为:1.386×107.
5. A
【解析】从上面看易得:有 3 列小正方形第 1 列有 2 个正方形,第 2 列有 1 个正方形,第 3 列有 1 个正方形.
6. B【解析】∵2.6<7<2.7,
∴5<27<6.
7. B【解析】原式=4+x−5x−5=x−1x−5.
8. A【解析】把 x=1,y=2 代入方程组 3x−my=5,2x+ny=6, 中,可得:3−2m=5,2+2n=6,
解得:m=−1,n=2,
所以 mn=−2.
9. D【解析】∵ 反比例函数 y=−1x 中的 k=−1<0,
∴ 反比例函数 y=−1x 的图象经过第二、四象限.
∵xA<0 ∴ 点 A(xA,yA) 在第二象限,则 yA>0,点 B(xB,yB) 在第四象限,则 yB<0,
∴yA>yB.
10. C
【解析】观察函数图象,可知:秋千摆动第一个来回需 2.8 s .
11. B【解析】∵EH∥CD,
∴△AEH∼△ACD.
∴EHAH=25 .
设 EH=2x,则 AH=5x,
∴HG=GF=2x.
∴tan∠AFE=tan∠FAG=2x2x+5x=27 .
12. B【解析】由已知可得:A13,0,D10,9,将 C1 绕点 A1 旋转 180∘ 后,
得到:D26,−9,新函数的对称轴为 x=6,垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1x1,y1,P2x2,y2,
∴P1x1,y1,P2x2,y2 两点关于对称轴 x=6 对称,
∴x1+x2=12,
∵ 垂直于 y 轴的直线 l 与线段 D1D2 交于点 P3x3,y3,
∴0≤x3≤6,
∴t=x1+x2+x3=12+x3,当 x3=6 时,t 有最大值 18.
第二部分
13. a10
【解析】原式 =a4⋅a6=a10.
14. a(b−c)
【解析】ab−ac=a(b−c).
15. 310
【解析】∵ 在“绿水青山就是金山银山”这 10 个字中,“山”字有 3 个,
∴ 这句话中任选一个汉字,这个字是“山”的概率是 310.
16. 9
【解析】∵ 正多边形外角和是 360∘,每一个外角是 360∘n,
又因为每个外角等于 40∘,
∴n=9.
17. 两个不相等的实数根
【解析】方程整理为一般式为 x2−5x−14m2−12m+5=0,
∵Δ=(−5)2−4×1×−14m2−12m+5=m2+2m+5=(m+1)2+4>0.
∴ 这个方程有两个不相等的实数根.
18. 13,
作点 P 关于 OA,OB 的对称点,连接两个对称点交 OB 于 N,交 OA 于 M
【解析】(1)OB=32+22=13.
第三部分
19. (1) x≤3
(2) x>−1
(3) 把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来:
(4) −120. (1) 25
【解析】m%=2515+25+20+16+13+11×100%=25%,
则 m=25.
(2) 平均数是:3×15+4×25+5×20+6×16+7×13+8×1115+25+20+16+13+11=5.2,
众数是 4,中位数是 5.
(3) 1500×16+13+1115+25+20+16+13+11=600(人),
答:该校学生一周诗词诵背 6 首(含 6 首)以上的有 600 人.
21. (1) ∵OD⊥BC,
∴CD=BD,
∴∠DAC=∠BCD,
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠APB=∠ACB+∠DAC,
∴∠ACD=∠APB.
(2) ∵AB 是 ⊙O 的直径,
∴∠ACB=90∘,
∵∠ABC=30∘,AB=2OB=6,
∴∠BAC=60∘,AC=12AB=3,
∵OD⊥BC,
∴CD=BD,
∴∠BAD=∠CAD=30∘,
在 Rt△ACP 中,∠CAP=30∘,
∴AP=2CP,AC=3CP=3,
∴CP=3,
∴AP=23.
22. 由于 CD∥HB,
∴∠CAH=∠ACD=45∘,∠B=∠BCD=30∘,
在 Rt△ACH 中,
∵∠CAH=45∘,
∴AH=CH=1200 米,
在 Rt△HCB,
∵tan∠B=CHHB,
∴HB=CHtan∠B=1000tan30∘=10003(米).
∴AB=HB−HA=10003−1000=1000(3−1) 米.
23. (1) 设 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货 x 吨和 y 吨,
根据题意可得:
3x+4y=29,2x+6y=31.
解得:
x=5,y=3.5.
答:1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货 5 吨和 3.5 吨.
(2) 设货运公司安排大货车 m 辆,则安排小货车 10−m 辆,
根据题意可得:
5m+3.510−m≥46.4.
解得:
m≥7.6∵m
是正整数,且 m≤10,
∴m=8或9或10.
∴10−m=2或1或0.
方案一:所需费用 =500×8+300×2=4600(元);
方案二:所需费用 =500×9+300×1=4800(元);
方案三:所需费用 =500×10+300×0=5000(元),
∵4600<4800<5000.
∴ 货运公司安排大货车 8 辆,则安排小货车 2 辆,最节省费用.
24. (1) 由折叠知,∠APB=∠NPB,∠OPM=∠NPM,
∵∠APN+∠OPN=180∘,
∴2∠NPB+2∠NPM=180∘,
∴∠NPB+∠NPM=90∘,
∴∠BPM=90∘,
∴BP⊥PM.
(2) ∵ 四边形 OABC 是正方形,
∴∠OAB=90∘,AB=OA,
∵A4,0,
∴AB=OA=4,
∵ 点 Pm,0,
∴OP=m,
∵0 ∴AP=OA−OP=4−m,
∵M0,t,
∴OM=t,
由(1)知,∠BPM=90∘,
∴∠APB+∠OPM=90∘,
∵∠OMP+∠OPM=90∘,
∴∠OMP=∠APB,
∵∠MOP=∠PAB=90∘,
∴△MOP∽△PAB,
∴MOPA=OPAB,
∴t4−m=m4,
∴t=−14m(m−4)=−14m−22+1,
∵0 ∴ 当 m=2 时,t 的最大值为 1.
(3) m=8−2.
【解析】∵△ABP≌△CBN,
∵∠CBN=∠ABP,BP=BN,
由折叠知,∠ABP=∠EBP,∠BEP=∠BAP=90∘,
∴NE=PE,∠NBE=∠PBE,
∴∠CBN=∠NBE=∠EBP=∠PBA,
∴∠CBE=∠ABE=45∘,
连接 OB,
∵ 四边形 OABC 是正方形,
∴∠OBC=∠OBA=45∘,
∴ 点 E 在 OB 上,
∴OP=ON=m,
∴PN=2m,
∵OM=t,
∴MN=ON=OM=m−t,
如图,过点 N 作 OP 的平行线交 PM 的延长线于 G,
∴∠OPM=∠G,
由折叠知,∠OPM=∠NPM,
∴∠NPM=∠G,
∴NG=PN=2m,
∵GN∥OP,
∴△OMP∽△NMG,
∴OMMN=OPNG,
∴tm−t=m2m=22, ⋯⋯①
由(2)知,t=−14mm−4, ⋯⋯②
联立 ①② 解得,m=0(舍)或 m=8−2.
25. (1) 依题意,得:−b2=−2,c=2,
解得:b=4,c=2,
∴ 此抛物线的解析式为 y=x2+4x+2.
(2) ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−1,BC=6,且点 B,C 关于直线 x=−2 对称,
∴ 点 B 的横坐标为 −5,点 C 的横坐标为 1,
∴ 点 B 的坐标 (−5,7),点 C 的坐标为 (1,7).
作点 A 关于 x 轴的对称点 Aʹ,连接 AʹB 交 x 轴于点 D,
此时 △ABD 的周长最小,如图 1 所示.
∵ 点 A 的坐标为 (0,2),
∴ 点 Aʹ 的坐标为 (0,−2).
设直线 AʹB 的解析式为 y=kx+a(k≠0),
将点 Aʹ(0,−2),B(−5,7) 代入 y=kx+a,得:a=−2,−5k+a=7,
解得:k=−95,a=−2,
∴ 直线 AʹB 的解析式为 y=−95x−2.
当 y=0 时,−95x−2=0,解得:x=−109,
∴ 点 D 的坐标为 −109,0.
(3) ∵ 点 A 的坐标为 (0,2),点 B 的坐标为 (−5,7),
∴AB=52.
设直线 l 与线段 AB 交于点 P,则 AP=32或22.
过点 P 作 PE∥y轴,过点 A 作 AE∥x轴,交直线 PE 于点 E,如图 2 所示.
∵ 点 A 的坐标为 (0,2),点 B 的坐标为 (−5,7),
∴ 直线 AB 的解析式为 y=−x+2,
∴∠PAE=45∘,
∴△APE 为等腰直角三角形,
∴AE=PE=2或3,
∴ 点 P 的坐标为 (−2,4) 或 (−3,5).
当点 P 的坐标为 (−2,4) 时,直线 l 的解析式为 y=x+6;
当点 P 的坐标为 (−3,5) 时,直线 l 的解析式为 y=12x+132.
综上所述:直线 l 的解析式为 y=x+6 或 y=12x+132.
一、选择题(共12小题;共60分)
1. 计算 (−5)−3 的结果等于 ( )
A. −8B. −2C. 2D. 8
2. sin45∘ 的值等于 ( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
3. 下列表示天气的图形中,是中心对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.
4. 据国家统计局全国农村贫困监测调查,按现行国家农村贫困标准测算,2018 年末,全国农村贫困人口 1660 万人,比上年末减少 13860000 人.将 13860000 用科学记数法表示为 ( )
A. 0.1386×108B. 1.386×107C. 13.86×106D. 1386×104
5. 如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图是 ( )
A. B.
C. D.
6. 估计 27 的值在 ( )
A. 4 和 5 之间B. 5 和 6 之间C. 6 和 7 之间D. 7 和 8 之间
7. 计算 4x−5+1 的结果为 ( )
A. x+1x−5B. x−1x−5C. 5x−5D. 4x−4
8. 若关于 x,y 的方程组 3x−my=5,2x+ny=6 的解是 x=1,y=2, 则 mn 的值为 ( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
9. 已知在反比例函数 y=−1x 上有两个点 A(xA,yA),B(xB,yB) , 若 xA<0
10. 某同学记录了一个秋千离地面的高度 hm 与摆动时间 ts 之间的关系,如图所示,则这个秋千摆动第一个来回所需的时间为
A. 0.7 sB. 1.4 sC. 2.8 sD. 5.4 s
11. 如图,已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点,正方形 EFGH 的顶点 G 、 H 都在边 AD 上,若 AB=2,BC=5 , 则 tan∠AFE 的值
A. 等于 25
B. 等于 27
C. 等于 57
D. 不确定,随点 E 位置的变化而变化
12. 如图,一段抛物线 y=−x2+9−3≤x≤3 为 C1,与 x 轴交于 A0,A1 两点,顶点为 D1;将 C1 绕点 A1 旋转 180∘ 得到 C2,顶点为 D2;C1 与 C2 组成一个新的图象.垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1x1,y1,P2x2,y2,与线段 D1D2 交于点 P3x3,y3 , 且 x1,x2,x3 均为正数,设 t=x1+x2+x3,则 t 的最大值是
A. 15B. 18C. 21D. 24
二、填空题(共6小题;共30分)
13. 计算 a4a32 的结果等于 .
14. 分解因式:ab−ac= .
15. 在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字,这个字是“山”的概率是 .
16. 已知正多边形的一个外角等于 40∘,那么这个正多边形的边数为 .
17. 若 m 为任意实数,则关于 x 的一元二次方程 (x−3)(x−2)−14m2=12m+1 实数根的个数为 .
18. 如图,在每个小正方形的边长为 1 的网格中,点 A,B,O,P 均在格点上.
(I)OB 的长等于 ;
(II)点 M 在射线 OA 上,点 N 在射线 OB 上,当 △PMN 的周长最小时,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出 △PMN,并简要说明点 M,N 的位置是如何找到的(不要求证明) .
三、解答题(共7小题;共91分)
19. 解不等式组 x+1≤4,①2x+3>x+2,②,请结合题意填空,完成本题的解答.
(1)解不等式 ①,得 ;
(2)解不等式 ②,得 ;
(3)把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为 .
20. 某学校组织全校 1500 名学生进行经典诗词诵背活动,为了解本次系列活动的效果,学校团委在活动开展一个月之后,随机抽取部分学生调查了“一周诗词诵背数量”,并根据调查结果绘制成如下的统计图 1 和图 2.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)图 2 中的 m 值为 ;
(2)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数;
(3)估计此时该校学生一周诗词诵背 6 首(含 6 首)以上的人数.
21. 已知 △ABC 内接于 ⊙O,D 是 BC 上一点,OD⊥BC,垂足为 H,连接 AD,CD,AD 与 BC 交于点 P.
(1)如图 1,求证:∠ACD=∠APB;
(2)如图 2,若 AB 过圆心,∠ABC=30∘,⊙O 的半径长为 3,求 AP 的长.
22. 如图,某同学要测量海河某处的宽度 AB,该同学使用无人机在 C 处测得 A,B 两点的俯角分别为 45∘ 和 30∘,若无人机此时离地面的高度 CH 为 1000 米,且点 A,B,H 在同一水平直线上,求这处海河的宽度 AB(结果取整数).参考数据:2≈1.414,3≈1.732.
23. 某货运公司有大小两种货车,3 辆大货车与 4 辆小货车一次可以运货 29 吨,2 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运货 31 吨.
(1)请问 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货多少吨;
(2)目前有 46.4 吨货物需要运输,货运公司拟安排大小货车共 10 辆,全部货物一次运完,其中每辆大货车一次运货花费 500 元,每辆小货车一次运货花费 300 元,请问货运公司应如何安排车辆最节省费用?
24. 如图,在平面直角坐标系 xOy 第一象限中有正方形 OABC,A4,0,点 Pm,0 是 x 轴上一动点 0
(2)求 t 与 m 的函数关系式,并求出 t 的最大值;
(3)当 △ABP≌△CBN 时,直接写出 m 的值.
25. 如图,抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 A(0,2),对称轴为直线 x=−2,平行于 x 轴的直线与抛物线交于 B,C 两点,点 B 在对称轴左侧,BC=6.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)已知在 x 轴上存在一点 D,使得 △ABD 的周长最小,求点 D 的坐标;
(3)若过点 C 的直线 l 将 △ABC 的面积分成 2:3 两部分,试求直线 l 的解析式.
答案
第一部分
1. A【解析】(−5)−3=(−5)+(−3)=−8.
2. B【解析】sin45∘=22.
3. C【解析】A、不是中心对称图形,故本选项错误;
B、不是中心对称图形,故本选项错误;
C、是中心对称图形,故本选项正确;
D、不是中心对称图形,故本选项错误.
4. B【解析】将 13860000 用科学记数法表示为:1.386×107.
5. A
【解析】从上面看易得:有 3 列小正方形第 1 列有 2 个正方形,第 2 列有 1 个正方形,第 3 列有 1 个正方形.
6. B【解析】∵2.6<7<2.7,
∴5<27<6.
7. B【解析】原式=4+x−5x−5=x−1x−5.
8. A【解析】把 x=1,y=2 代入方程组 3x−my=5,2x+ny=6, 中,可得:3−2m=5,2+2n=6,
解得:m=−1,n=2,
所以 mn=−2.
9. D【解析】∵ 反比例函数 y=−1x 中的 k=−1<0,
∴ 反比例函数 y=−1x 的图象经过第二、四象限.
∵xA<0
∴yA>yB.
10. C
【解析】观察函数图象,可知:秋千摆动第一个来回需 2.8 s .
11. B【解析】∵EH∥CD,
∴△AEH∼△ACD.
∴EHAH=25 .
设 EH=2x,则 AH=5x,
∴HG=GF=2x.
∴tan∠AFE=tan∠FAG=2x2x+5x=27 .
12. B【解析】由已知可得:A13,0,D10,9,将 C1 绕点 A1 旋转 180∘ 后,
得到:D26,−9,新函数的对称轴为 x=6,垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1x1,y1,P2x2,y2,
∴P1x1,y1,P2x2,y2 两点关于对称轴 x=6 对称,
∴x1+x2=12,
∵ 垂直于 y 轴的直线 l 与线段 D1D2 交于点 P3x3,y3,
∴0≤x3≤6,
∴t=x1+x2+x3=12+x3,当 x3=6 时,t 有最大值 18.
第二部分
13. a10
【解析】原式 =a4⋅a6=a10.
14. a(b−c)
【解析】ab−ac=a(b−c).
15. 310
【解析】∵ 在“绿水青山就是金山银山”这 10 个字中,“山”字有 3 个,
∴ 这句话中任选一个汉字,这个字是“山”的概率是 310.
16. 9
【解析】∵ 正多边形外角和是 360∘,每一个外角是 360∘n,
又因为每个外角等于 40∘,
∴n=9.
17. 两个不相等的实数根
【解析】方程整理为一般式为 x2−5x−14m2−12m+5=0,
∵Δ=(−5)2−4×1×−14m2−12m+5=m2+2m+5=(m+1)2+4>0.
∴ 这个方程有两个不相等的实数根.
18. 13,
作点 P 关于 OA,OB 的对称点,连接两个对称点交 OB 于 N,交 OA 于 M
【解析】(1)OB=32+22=13.
第三部分
19. (1) x≤3
(2) x>−1
(3) 把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来:
(4) −1
【解析】m%=2515+25+20+16+13+11×100%=25%,
则 m=25.
(2) 平均数是:3×15+4×25+5×20+6×16+7×13+8×1115+25+20+16+13+11=5.2,
众数是 4,中位数是 5.
(3) 1500×16+13+1115+25+20+16+13+11=600(人),
答:该校学生一周诗词诵背 6 首(含 6 首)以上的有 600 人.
21. (1) ∵OD⊥BC,
∴CD=BD,
∴∠DAC=∠BCD,
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠APB=∠ACB+∠DAC,
∴∠ACD=∠APB.
(2) ∵AB 是 ⊙O 的直径,
∴∠ACB=90∘,
∵∠ABC=30∘,AB=2OB=6,
∴∠BAC=60∘,AC=12AB=3,
∵OD⊥BC,
∴CD=BD,
∴∠BAD=∠CAD=30∘,
在 Rt△ACP 中,∠CAP=30∘,
∴AP=2CP,AC=3CP=3,
∴CP=3,
∴AP=23.
22. 由于 CD∥HB,
∴∠CAH=∠ACD=45∘,∠B=∠BCD=30∘,
在 Rt△ACH 中,
∵∠CAH=45∘,
∴AH=CH=1200 米,
在 Rt△HCB,
∵tan∠B=CHHB,
∴HB=CHtan∠B=1000tan30∘=10003(米).
∴AB=HB−HA=10003−1000=1000(3−1) 米.
23. (1) 设 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货 x 吨和 y 吨,
根据题意可得:
3x+4y=29,2x+6y=31.
解得:
x=5,y=3.5.
答:1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货 5 吨和 3.5 吨.
(2) 设货运公司安排大货车 m 辆,则安排小货车 10−m 辆,
根据题意可得:
5m+3.510−m≥46.4.
解得:
m≥7.6∵m
是正整数,且 m≤10,
∴m=8或9或10.
∴10−m=2或1或0.
方案一:所需费用 =500×8+300×2=4600(元);
方案二:所需费用 =500×9+300×1=4800(元);
方案三:所需费用 =500×10+300×0=5000(元),
∵4600<4800<5000.
∴ 货运公司安排大货车 8 辆,则安排小货车 2 辆,最节省费用.
24. (1) 由折叠知,∠APB=∠NPB,∠OPM=∠NPM,
∵∠APN+∠OPN=180∘,
∴2∠NPB+2∠NPM=180∘,
∴∠NPB+∠NPM=90∘,
∴∠BPM=90∘,
∴BP⊥PM.
(2) ∵ 四边形 OABC 是正方形,
∴∠OAB=90∘,AB=OA,
∵A4,0,
∴AB=OA=4,
∵ 点 Pm,0,
∴OP=m,
∵0
∵M0,t,
∴OM=t,
由(1)知,∠BPM=90∘,
∴∠APB+∠OPM=90∘,
∵∠OMP+∠OPM=90∘,
∴∠OMP=∠APB,
∵∠MOP=∠PAB=90∘,
∴△MOP∽△PAB,
∴MOPA=OPAB,
∴t4−m=m4,
∴t=−14m(m−4)=−14m−22+1,
∵0
(3) m=8−2.
【解析】∵△ABP≌△CBN,
∵∠CBN=∠ABP,BP=BN,
由折叠知,∠ABP=∠EBP,∠BEP=∠BAP=90∘,
∴NE=PE,∠NBE=∠PBE,
∴∠CBN=∠NBE=∠EBP=∠PBA,
∴∠CBE=∠ABE=45∘,
连接 OB,
∵ 四边形 OABC 是正方形,
∴∠OBC=∠OBA=45∘,
∴ 点 E 在 OB 上,
∴OP=ON=m,
∴PN=2m,
∵OM=t,
∴MN=ON=OM=m−t,
如图,过点 N 作 OP 的平行线交 PM 的延长线于 G,
∴∠OPM=∠G,
由折叠知,∠OPM=∠NPM,
∴∠NPM=∠G,
∴NG=PN=2m,
∵GN∥OP,
∴△OMP∽△NMG,
∴OMMN=OPNG,
∴tm−t=m2m=22, ⋯⋯①
由(2)知,t=−14mm−4, ⋯⋯②
联立 ①② 解得,m=0(舍)或 m=8−2.
25. (1) 依题意,得:−b2=−2,c=2,
解得:b=4,c=2,
∴ 此抛物线的解析式为 y=x2+4x+2.
(2) ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−1,BC=6,且点 B,C 关于直线 x=−2 对称,
∴ 点 B 的横坐标为 −5,点 C 的横坐标为 1,
∴ 点 B 的坐标 (−5,7),点 C 的坐标为 (1,7).
作点 A 关于 x 轴的对称点 Aʹ,连接 AʹB 交 x 轴于点 D,
此时 △ABD 的周长最小,如图 1 所示.
∵ 点 A 的坐标为 (0,2),
∴ 点 Aʹ 的坐标为 (0,−2).
设直线 AʹB 的解析式为 y=kx+a(k≠0),
将点 Aʹ(0,−2),B(−5,7) 代入 y=kx+a,得:a=−2,−5k+a=7,
解得:k=−95,a=−2,
∴ 直线 AʹB 的解析式为 y=−95x−2.
当 y=0 时,−95x−2=0,解得:x=−109,
∴ 点 D 的坐标为 −109,0.
(3) ∵ 点 A 的坐标为 (0,2),点 B 的坐标为 (−5,7),
∴AB=52.
设直线 l 与线段 AB 交于点 P,则 AP=32或22.
过点 P 作 PE∥y轴,过点 A 作 AE∥x轴,交直线 PE 于点 E,如图 2 所示.
∵ 点 A 的坐标为 (0,2),点 B 的坐标为 (−5,7),
∴ 直线 AB 的解析式为 y=−x+2,
∴∠PAE=45∘,
∴△APE 为等腰直角三角形,
∴AE=PE=2或3,
∴ 点 P 的坐标为 (−2,4) 或 (−3,5).
当点 P 的坐标为 (−2,4) 时,直线 l 的解析式为 y=x+6;
当点 P 的坐标为 (−3,5) 时,直线 l 的解析式为 y=12x+132.
综上所述:直线 l 的解析式为 y=x+6 或 y=12x+132.