2019年广东省深圳市福田区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2019年广东省深圳市福田区中考二模数学试卷（期中），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 给出四个数 0，−1，−2，12，其中最小的是
A. −2B. −1C. 0D. 12

2. 马大哈做题很快，但经常不仔细思考，所以往往错误率很高，有一次做了四个题，但只做对了一个，他做对的是
A. a8÷a4=a2B. a3⋅a4=a12C. 4=±2D. 2x3⋅x2=2x5

3. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 由吴京特别出演的国产科幻大片《流浪地球》自今年 1 月放映以来实现票房与口碑双丰收，票房有望突破 50 亿元，其中 50 亿元可用科学记数法表示为 元．
A. 0.5×1010B. 5×108C. 5×109D. 5×1010

5. 如图，直线 a∥b．将一直角三角形的直角顶点置于直线 b 上，若 ∠1=28∘，则 ∠2 的度数是
A. 108∘B. 118∘C. 128∘D. 152∘

6. 下列立体图形中，主视图是三角形的是
A. B.
C. D.

7. 下表来源市气象局 2019 年 3 月 7 日发布的全市六个监测点监测到空气质量指数（AQ）数据：
监测点福田罗田盐田大鹏南山宝安AQI595917134638质量良良优优优优
上述（AQI）数据中，中位数是
A. 15B. 42C. 46D. 59

8. 在 2018−2019 赛季英超足球联赛中，截止到 3 月 12 号止，蓝月亮曼城队在联赛前 30 场比赛中只输 4 场，其它场次全部保持不败，共取得了 74 个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，设曼城队一共胜了 x 场，则可列方程为
A. 3x+30−x=74B. x+330−x=74
C. 3x+26−x=74D. x+326−x=74

9. 定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角 A 的正对记作 sadA，即 sadA= 底边：腰．如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=4∠B．则 csB⋅sadA=
A. 1B. 32C. 32D. 34

10. 如图仔细观察其中的两个尺规作图痕迹，两直线相交于点 O，则下列说法中不正确的是
A. EF 是 △ABC 的中位线
B. ∠BAC+∠EOF=180∘
C. O 是 △ABC 的内心
D. △AEF 的面积等于 △ABC 的面积的 14

11. 如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点 P．若点 P 的横坐标为 −1，则一次函数 y=a−bx+b 的图象大致是
A. B.
C. D.

12. 如图，正方形 ABCD 中，以 BC 为边向正方形内部作等边 △BCE．连接 AE，DE，连接 BD 交 CE 于 F，下列结论：
① ∠AED=150∘；
② △DEF∽△BAE；
③ tan∠ECD=DFFB；
④ △BEC的面积:△BFC的面积=3+1:2；
其中正确的结论有 个．
A. 4B. 3C. 2D. 1

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知 a−2b=10，则代数式 a2−4ab+4b2 的值为 ．

14. 深圳市去年中考首次对九年级学生进行了物理，化学实验操作考试，其中化学实验操作考试有 3 个考题．分别记为A，B，C供学生选择，每个学生都可以从 3 个考题中随机抽取一个考题进行操作，如果每一个考题被抽到的机会均等，那么甲乙两个学生抽到的考题都是A的概率是 ．

15. 如图在平面直角坐标系中，周长为 12 的正六边形 ABCDEF 的对称中心与原点 O 重合，点 A 在 x 轴上．点 B 在反比例函数 y=kx 位于第一象限的图象上，则 k 的值为 ．

16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为 D．AF 平分 ∠CAB，交 CB 于点 F．交 CD 于点 E．若 AC=6，sinB=35，则 DE 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：9−2cs60∘+14−1−∣−5∣．

18. 先化简，再求值：1+3x−1x+1÷xx2−1，其中 x 是不等式组 1−x>−1−x2,x−1>0 的整数解．

19. 随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们 6 月 1 日那天行走的情况分为四个类别：A（0∼5000 步）（说明：“0∼5000”表示大于等于 0，小于等于 5000，下同），B（5001∼10000 步），C（10001∼15000 步），D（15000 步以上），统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 位好友；
（2）已知A类好友人数是D类好友人数的 5 倍；
①请补全条形图；
②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 度．
③若小陈微信朋友圈共有好友 150 人，请根据调查数据估计大约有多少位好友 6 月 1 日这天行走的步数超过 10000 步?

20. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB=AD，对角线 AC．BD 交于点 O，AC 平分 ∠BAD，过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E．连接 OE．
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形．
（2）若 AB=5．OE=2，求线段 CE 的长．

21. 如图所示，要在某东西走向的 A，B 两地之间修一条笔直的公路，在公路起点 A 处测得某农户 C 在 A 的北偏东 68∘ 方向上．在公路终点 B 处测得该农户 C 在点 B 的北偏西 45∘ 方向上．已知 A，B 两地相距 2400 米．
（1）求农户 C 到公路 B 的距离；（参考数据：sin22∘≈38，cs22∘≈1516，tan22∘≈25）
（2）现在由于任务紧急，要使该修路工程比原计划提前 4 天完成，需将该工程原定的工作效率提高 20%，求原计划该工程队毎天修路多少米?

22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点．经过点 A，D 两点的 ⊙O 分別交 AB，AC 于点 F，E．
（1）求证：BC 是 ⊙O 的切线；
（2）已知 AD=23，试求 AB⋅AE 的值；
（3）在（2）的条件下，若 ∠B=30∘，求图中阴影部分的面积（结果保留 π 和根号）．

23. 如图，直线 y=−x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．抛物线 y=−12x2+bx+c 经过 A，B 两点，与 x 轴的另外一个交点为 C．
（1）填空：b= ，c= ，点 C 的坐标为 ．
（2）如图 1，若点 P 是第一象限抛物线上的点，连接 OP 交直线 AB 于点 Q，设点 P 的横坐标为 m．PQ 与 OQ 的比值为 y，求 y 与 m 的数学关系式，并求出 PQ 与 OQ 的比值的最大值．
（3）如图 2，若点 P 是第四象限的抛物线上的一点．连接 PB 与 AP，当 ∠PBA+∠CBO=45∘ 时．求 △PBA 的面积．
答案
第一部分
1. A【解析】∵∣−2∣=2，∣−1∣=1，
而 1<2，
∴−1>−2，
∴12>0>−1>−2，
∴ 四个数中最小的是 −2．
2. D【解析】A、 a8÷a4=a4，故此选项错误；
B、 a3⋅a4=a7，故此选项错误；
C、 4=2，故此选项错误；
D、 2x3⋅x2=2x5，正确．
3. B【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．
4. C【解析】50 亿元 =5×109 元．
5. B
【解析】如图，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠ABC=∠1+∠CBE=28∘+90∘=118∘．
6. B【解析】A主视图是矩形，C主视图是正方形，D主视图是圆，故A，C，D不符合题意；
B、主视图是三角形，故B正确．
7. B【解析】把这些数从小到大排列为：13，17，38，46，59，59，则这组数据的中位数是 38+462=42．
8. C【解析】设曼城队一共胜了 x 场，则平了 30−x−4 场，
依题意，得：3x+30−x−4=74，
即 3x+26−x=74．
9. B【解析】∵ 在 △ABC 中，AB=AC，∠A=4∠B，
∴∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴6∠B=180∘，解得，∠B=30∘，
作 AD⊥BC 于点 D，
设 AD=a，则 AB=2a，BD=3a，
∵BC=2BD，
∴BC=23a，
∴sadA=BCAB=23a2a=3，csB=BDAB=3a2a=32，
∴csB⋅sadA=32×3=32．
10. C
【解析】∵ 所作的两条直线是 AB，AC 边的垂直平分线，
∴EF 是 △ABC 的中位线，∠AEO=∠AFO=90∘，
∴∠BAC+∠EOF=360∘−90∘−90∘=180∘，
故选项A，B都正确；
∵EF 是 △ABC 的中位线，
∴EF 是 BC 的一半，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴△AEF 的面积等于 △ABC 的面积的四分之一，
故选项D是正确的；
只有选项C是错误的，因为三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
11. D【解析】由二次函数的图象可知，a<0，b<0，
当 x=−1 时，y=a−b<0，
∴y=a−bx+b 的图象在第二、三、四象限．
12. A【解析】∵△BEC 为等边三角形，
∴∠EBC=∠BCE=∠ECB=60∘，AB=EB=EC=BC=DC，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠ABE=∠ECD=90∘−60∘=30∘，
∴ 在 △ABE 和 △DCE 中，
AB=DC，∠ABE=∠ECD，BE=EC，
∴△ABE≌△DCESAS，
∴∠AEB=∠DEC=180∘−30∘2=75∘，
∴∠AED=360∘−60∘−75∘×2=150∘，故①正确．
由①知 AE=ED，
∴∠EAD=∠EDA=15∘，
∴∠EDF=45∘−15∘=30∘，
∴∠EDF=∠ABE，
由 ① 知 ∠AEB=∠DEC，
∴△DEF∽△BAE，故②正确．
过点 F 作 FM⊥DC 交于 M，如图，
设 DM=x，则 FM=x，DF=2x，
∵∠FCD=30∘，
∴MC=3x，
则在 Rt△DBC 中，BD=2⋅3+1x，
∴BF=BD−DF=2⋅3+1x−2x，
则 DFBF=2x23+1−1x=33，
∵tan∠ECD=tan30∘=33，
∴tan∠ECD=DFBF，故③正确．
如图过点 E 作 EH⊥BC 交于 H，过 F 作 FG⊥BC 交于 G，得：
由③知 MC=3x，MC=FG，
∴FG=3x，
∵BC=DC=3+1x，
∴BH=3+12x，
∵∠EBC=60∘，
∴EH=3⋅3+12，
∴S△BECS△BFC=12⋅EH⋅BC12⋅FG⋅BC=EHFG=3⋅3+12x3x=3+12，故④正确．
第二部分
13. 100
【解析】∵a−2b=10，
∴a2−4ab+4b2=a−2b2=102=100．
14. 19
【解析】画树状图如下：
由树状图知，共有 9 种等可能结果，其中甲乙两个学生抽到的考题都是A的有 1 种结果，
所以甲乙两个学生抽到的考题都是A的概率为 19．
15. 3
【解析】如图，连接 OB，
∵ 周长为 12 的正六边形 ABCDEF 的对称中心与原点 O 重合，
∴ 正六边形 ABCDEF 的边长为 2，
∴OB=2，BM=1，
∵OM⊥BC，
∴OM=OB2−BM2=22−12=3，
点 B 在反比例函数 y=kx 位于第一象限的图象上，
点 B 的坐标为 1,3，
将点 1,3 代入 y=kx 中，得 k=3．
16. 355
【解析】过点 E 作 EG⊥AC 于点 G，
又 ∵AF 平分 ∠CAB，CD⊥AB，交 CB 于点 F，交 CD 于点 E，
∴EG=ED，
在 Rt△AED 和 Rt△AEG 中，
AE=AE,EG=ED,
∴Rt△AED≌△Rt△AEGHL，
AG=AD，
∵∠ACB=90∘，CD⊥AB，
∴∠B+∠BAC=∠DCA+∠BAC=90∘，
∴∠DCA=∠B，
∵AC=6，sinB=35，
∴sin∠DCA=sinB=35，
∴ADAC=AD6=35，
∴AD=185，
∴DC=AC2−AD2=62−1852=245，
∴AG=AD=185，CG=AC−AG=125，
∴ 在 Rt△CEG 中，CE2=EG2+CG2，
∴DC−ED2=DC−EG2=EG2+CG2，
∴245−EG2=EG2+1252，
∴EG=355，
∴DE=355．
第三部分
17. 9−2cs60∘+14−1−∣−5∣=3−2×12+4−5=3−1−1=1.
18. 不等式组 1−x>−1−x2, ⋯⋯①x−1>0. ⋯⋯②
解 ①，得 x<3；
解 ②，得 x>1．
∴ 不等式组的解集为 1 ∴ 不等式组的整数解为 x=2．
∵1+3x−1x+1÷xx2−1=4xx+1×x+1x−1x=4x−1.
当 x=2 时，
原式=4×2−1=4.
19. （1） 30
【解析】本次调查的好友人数为 6÷20%=30 人．
（2） ①设D类人数为 a，则A类人数为 5a，
根据题意，得：a+6+12+5a=30，
解得：a=2，
即A类人数为 10 、D类人数为 2，
补全图形如下：
② 120
③估计大约 6 月 1 日这天行走的步数超过 10000 步的好友人数为 150×12+230=70 人．
【解析】②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 360∘×1030=120∘．
20. （1） ∵ AB∥CD，
∴ ∠OAB=∠DCA，
∵ AC 为 ∠DAB 的平分线，
∴ ∠OAB=∠DAC，
∴ ∠DCA=∠DAC，
∴ CD=AD=AB，
∵ AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵ AD=AB，
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ OA=OC，BD⊥AC，
∵ CE⊥AB，
∴ OE=OA=OC=2，
∴ OB=AB2−AO2=1，
∵ ∠AOB=∠AEC=90∘，
∠OAB=∠EAC，
∴ △AOB∽△AEC，
∴ ABAC=OBCE，
∴ 54=1CE，
∴ CE=455．
21. （1） 如图，过 C 作 CH⊥AB 于 H．
设 CH=x，
由已知有 ∠EAC=68∘，∠FBC=45∘，
则 ∠CAH=22∘，∠CBA=45∘．
在 Rt△BCH 中，BH=CH=x，
在 Rt△HBC 中，tan∠HBC=CHHB，
∴HB=CHtan22∘=5x2，
∵AH+HB=AB，
∴x+52x=2400，
解得 x=48007（米），
∴ 农户 C 到公路的距离 48007 米．
（2） 设原计划完成这项工程需要 y 天，则实际完成工程需要 y−4 天．
根据题意得：
1y−4=1+20%×1y.
解得：
y=24.
经检验知：y=24 是原方程的根，
2400÷24=100（米）．
答：原计划该工程队每天修路 100 米．
22. （1） 如图 1，连接 OC，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90∘，
∴∠ODB=90∘，
∴OD⊥BC，
∴BC 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图 2，连接 FD，ED，FE，
由题意知，AF 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADF=∠C=∠AEF=90∘，
由（1）知，∠FAD=∠DAC，
∴△AFD∽△ADC，
∴AFAD=ADAC，
∵AD=23，
∴AF⋅AC=AD2=12，
∵∠B=30∘，
∴∠BAC=90∘−30∘=60∘，
∴∠FAE=∠DAC=12∠BAC=30∘，
在 Rt△AFD 中，AD=23，
∴AF=23×233=4，
∵∠BAC=60∘，OA=OE，
∴△AOE 为等边三角形，
∴∠AOE=∠OAH=60∘，OA=OE=AE=12AF=2，
在 Rt△AOH 中，OH=2×32=3，
∵∠C=∠AEF=90∘，
∴FE∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
∴AFAB=AEAC，
∴AB⋅AE=AF⋅AC=12．
（3） 如图 3，连接 OE，FD，过点 O 作 OH⊥AE 于点 H，
∵∠B=30∘，
∴∠BAC=90∘−30∘=60∘，
∴∠FAD=∠DAC=12∠BAC=30∘，
在 Rt△AFD 中，AD=23，
∴AF=23×233=4，
∵∠BAC=60∘，OA=OE，
∴△AOE 为等边三角形，
∴∠AOE=∠OAH=60∘，OA=OE=AE=12AF=2，
在 Rt△AOH 中，OH=2×32=3，
∴S阴影=S扇形OAE−S△OAE=60π×22360−12×2×3=2π3−3.
23. （1） 1；4；−2,0
【解析】∵ 直线 y=−x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．
∴A4,0，B0,4．
又 ∵ 抛物线过 B0,4，
∴c=4．
把 A4,0 代入 y=−12x2+bx+4 得，
0=−12×42+4b+4，解得，b=1，
∴ 抛物线解析式为，y=−12x2+x+4，
令 −12x2+x+4=0，
解得，x=−2 或 x=4，
∴C−2,0．
（2） 如图 1，分别过 P，Q 作 PE，QD 垂直于 x 轴交 x 轴于点 E，D．
设 Pm,−12m2+m+4，Qn,−n+4，
则 PE=−12m2+m+4，QD=−n+4，
又 ∵PQOQ=m−nn=y，
∴n=my+1，
又 ∵PEQD=OEOD，即 −12m2+m+4−n+4=mn，
把 n=my+1 代入上式得 −12m2+m+4−my+1+4=mmy+1，
整理得，4y=−12m2+2m，
∴y=−18m2+12m，
ymax=0−1224×−18=12，
即 PQ 与 OQ 的比值的最大值为 12．
（3） 如图 2，
∵∠OBA=∠OBP+∠PBA=45∘，∠PBA+∠CBO=45∘，
∴∠OBP=∠CBO，此时 PB 过点 2,0．
设直线 PB 解析式为，y=kx+4．
把点 2,0 代入上式得，0=2k+4．
解得，k=−2，
∴ 直线 PB 解析式为，y=−2x+4．
令 −2x+4=−12x2+x+4，
整理得，12x2−3x=0，
解得，x=0（舍去）或 x=6，
当 x=6 时，−2x+4=−2×6+4=−8，
∴P6,−8，
过 P 作 PH⊥y轴 于点 H，
则 S四边形OHPA=12OA+PH⋅OH=124+6×8=40，
S△OAB=12OA⋅OB=12×4×4=8，
S△BHP=12PH⋅BH=12×6×12=36，
∴S△PBA=S四边形OHPA+S△OAB−S△BHP=40+8−36=12.