2019年天津市河西区中考一模数学试卷

这是一份2019年天津市河西区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 (−10)−5 的结果等于 ( )
A. 15B. −15C. −5D. 5

2. sin45∘ 的值是 ( )
A. 12B. 1C. 32D. 22

3. 下列标志中，可以看作是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 据报道，截止至 2018 年 12 月，天津轨道交通运营线路共有 6 条，线网覆盖 10 个市辖区，运营里程 215000 米，共设车站 154 座．将 215000 用科学记数法表示应为 ( )
A. 215×103B. 21.5×104C. 2.15×105D. 0.215×106

5. 将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是 ( )
A. B.
C. D.

6. 估计 21 的值在 ( )
A. 2 和 3 之间B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间D. 5 和 6 之间

7. 分式方程 13x=2x−2 的解为 ( )
A. x=−25B. x=−1C. x=1D. x=25

8. 二元一次方程组 4x+y=5,2x−y=1 的解是 ( )
A. x=1,y=1B. x=−2,y=1C. x=−3,y=2D. x=2,y=−1

9. 要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排 6 天，每天安排 6 场比赛，设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为 ( )
A. 12x(x+1)=36B. 12x(x−1)=36C. x(x+1)=36D. x(x−1)=36

10. 已知反比例函数 y=6x，当 1A. 06D. 2
11. 如图，△COD 是 △AOB 绕点 O 顺时针旋转 40∘ 后得到的图形，若点 C 恰好落在 AB 上，且 ∠AOD 的度数为 90∘，则 ∠B 的度数是 ( )
A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘

12. 已知抛物线 y=(x+a)(x−a−1)（a 为常数，a≠0）．有下列结论：
（1）抛物线的对称轴为 x=12；
（2）(x+a)(x−a−1)=1 有两个不相等的实数根；
（3）抛物线上有两点 P(x0,m)，Q(1,n)，若 m其中，正确结论的个数为 ( )
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 a6÷a3 的结果等于 ．

14. 已知反比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象在第二、四象限，请写出符合上述条件的 k 的一个值： ．

15. 不透明袋子中装有 7 个球，其中有 2 个红球，2 个绿球和 3 个黑球，这些球出颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是黑球的概率是 ．

16. 如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上一个动点，点 M，N 分别是 AB，BC 边上的中点，则 MP+NP 的最小值是 ．

17. 如图，在四边形 ABCD 中，BD 平分 ∠ABC，∠BAD=∠BDC=90∘，E 为 BC 的中点，AE 与 BD 相交于点 F．若 BC=6，∠CBD=30∘，则 DF 的长为 ．

18. 在每个小正方形边长为 1 的网格中，有等腰三角形 ABC，点 A，B，C 都在格点上，点 D 为线段 BC 上的动点．
（Ⅰ）AC 的长度等于 ．
（Ⅱ）当 AD 最短时，请用无刻度的直尺，画出点 D，并简要说明点 D 的位置是如何找到的 ．（不要求证明）

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 x+1≤5,⋯⋯①3x−1>x,⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 为了了解某校九年级学生体育测试成绩情况，现从中随机抽取部分学生的体育成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次随机抽样调查的学生人数为 ，图①中的 m 的值为 ；
（2）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（3）若该校九年级共有学生 300 人，如果体育成绩达 28 分以上（含 28 分）为优秀，请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的人数．

21. 已知 A，B，C 是半径为 2 的 ⊙O 上的三个点，四边形 OABC 是平行四边形，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 D．
（1）如图 ①，求 ∠ADC 的大小；
（2）如图 ②，取 AB 的中点 F，连接 OF，与 AB 交于点 E，求四边形 EOCD 的面积．

22. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 78 m，从甲的顶部 A 处测得乙的顶部 D 处的俯角为 49∘，测得底部 C 处的俯角为 58∘，求甲、乙建筑物的高度 AB 和 DC（结果取整数）．
参考数据：tan49∘≈1.15，tan58∘≈1.60．

23. 一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 y（升）与行驶路程 x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为 8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了 500 千米时，司机发现离前方最近的加油站有 30 千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米?

24. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 O0,0，点 A3,0，点 C0,4，连接 OB，以点 A 为中心，顺时针旋转矩形 AOCB，旋转角为 α0∘<α<360∘，得到矩形 ADEF，点 O，C，B 的对应点分别为 D，E，F．
（1）如图，当点 D 落在对角线 OB 上时，求点 D 的坐标；
（2）在（Ⅰ）的情况下，AB 与 DE 交于点 H．
①求证 △BDE≌△DBA；
②求点 H 的坐标；
（3）α 为何值时，FB=FA（直接写出结果即可）．

25. 如图，抛物线 y=−(x−1)2+c 与 x 轴交于 A，B（A，B 分别在 y 轴的左右两侧）两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，已知 A(−1,0)．
（1）求点 B，C 的坐标；
（2）判断 △CDB 的形状并说明理由；
（3）将 △COB 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度 (0答案
第一部分
1. B【解析】(−10)−5=(−10)+(−5)=−(10+5)=−15．
2. D【解析】由特殊角的三角函数值可知，sin45∘=22．
3. C【解析】A．不是轴对称图形，故错误；
B．不是轴对称图形，故错误；
C．是轴对称图形，故正确；
D．不是轴对称图形，故错误．
4. C【解析】将 215000 用科学记数法表示应为 2.15×105．
5. C
【解析】根据左视图的定义，从左边观察得到的图形，是选项C．
6. C【解析】∵16<21<25，
∴4<21<5，
则 21 的值在 4 和 5 之间．
7. A【解析】去分母得：x−2=6x，
解得：x=−25，
经检验 x=−25 是分式方程的解．
8. A【解析】4x+y=5, ⋯⋯①2x−y=1. ⋯⋯②
①+② 得：6x=6，
∴x=1 把 x=1 代入 ① 得：4+y=5，
解得：y=1，
∴ 原方程组的解为 x=1,y=1.
9. B【解析】由题意可得，12x(x−1)=6×6，
即：12x(x−1)=36．
10. D
【解析】∵k=6>0，
∴ 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，
又 ∵ 当 x=1 时，y=6，
当 x=3 时，y=2，
∴ 当 111. C【解析】由题意得：△AOB≌△COD，
∴OA=OC，∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠OCA，∠AOC=∠BOD=40∘，
∴∠OCA=180∘−40∘2=70∘，
∵∠AOB=90∘，
∴∠BOC=10∘，
∵∠OCA=∠B+∠BOC，
∴∠B=70∘−10∘=60∘．
12. D【解析】抛物线 y=(x+a)(x−a−1)=x2−x−a2−a，
（1）抛物线的对称轴为 x=−−12=12，所以此答案正确；
（2）令 y=1，即 x2−x−a2−a=1，整理得一元二次方程 x2−x−a2−a−1=0，
∵Δ=1−4(−a2−a−1)=4a2+4a+5=2(a+1)2+3>0，
∴(x+a)(x−a−1)=1 有两个不相等的实数根，所以此答案正确；
（3）∵1>0，
∴ 抛物线开口向上，当 x<12 时，y 随 x 的增大而减小，当 x>12 时，y 随 x 的增大而增大，
∴ 若 m（1）（2）（3）均正确．
第二部分
13. a3
【解析】a6÷a3=a3．
14. −1
【解析】∵ 反比例函数的图象在二、四象限，
∴k<0，
只要是小于 0 的所有实数都可以．例如：−1．
15. 27
【解析】∵ 不透明袋子中装有 7 个球，其中有 2 个红球、 2 个绿球和 3 个黑球，
∴ 从袋子中随机取出 1 个球，则它是绿球的概率是：27．
16. 1
【解析】作点 M 关于 AC 的对称点 Mʹ，连接 MʹN 交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值．
∵ 菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点，
∴Mʹ 是 AD 的中点，又 N 是 BC 边上的中点，
∴AMʹ∥BN，AMʹ=BN，
∴ 四边形 AMʹNB 是平行四边形，
∴PN∥AB，
连接 PM，
又 ∵N 是 BC 边上的中点，
∴P 是 AC 中点，
∴PM∥BN，PM=BN，
∴ 四边形 PMBN 是平行四边形，
∵BM=BN，
∴ 平行四边形 PMBN 是菱形，
∴MP+NP=BM+BN=BC=1．
17. 635
【解析】如图，在 Rt△BDC 中，BC=6，∠DBC=30∘，
∴BD=33，
∵∠BDC=90∘，点 D 是 BC 中点，
∴DE=BE=CE=12BC=3，
∵∠DCB=30∘，
∴∠BDE=∠DBC=30∘，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴DFBF=DEAB，
在 Rt△ABD 中，∠ABD=30∘，BD=33，
∴AB=92，
∴DFBF=392=23，
∴DFBD=25，
∴DF=25BD=25×33=635，
故答案是：635．
18. 5，
根据垂线段最短即可解决问题
【解析】（Ⅰ）AC=32+42=5．
（Ⅱ）如图线段 AD 即为所求，理由：根据垂线段最短即可解决问题．
第三部分
19. （1） x≤4
（2） x>12
（3） 把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4） 1220. （1） 50；24
【解析】本次随机抽样调查的学生人数为 5÷10%=50；
m=100−18−10−20−28=24．
（2） ∵ 数据中 28 出现的次数最多，
∴ 本次抽样调查获取的样本数据的众数为 28，
∵ 排序后，处于最中间的两个数为 28 和 28，
∴ 中位数为 12(28+28)=28，
∵x=150(9×26+12×27+14×28+10×29+5×30)=27.8，
∴ 平均数为 27.8．
（3） 该校九年级学生体育成绩达到优秀的人数约为 300×14+10+550=174（人）．
21. （1） 如图 1，
∵CD 为切线，
∴OC⊥CD，
∵ 四边形 OABC 为平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AD⊥CD，
∴∠ADC=90∘．
（2） ∵F 点为 AB 的中点，
∴OF⊥AB，
∴ 四边形 EOCD 为矩形，
连接 OB，如图 ②，
∵ 四边形 OABC 为平行四边形，
∴AB=OC，而 OA=OB，
∴OA=OB=AB，
∴△ABO 为等边三角形，
∴∠A=60∘，
在 Rt△AOE 中，AE=12OA=1，OE=3AE=3，
∴四边形EOCD的面积=OE⋅OC=3×2=23．
22. 作 DE⊥AB 于 E，
由题意得，∠ADE=49∘，∠ACB=58∘，DE=BC=78，
在 Rt△ACB 中，tan∠ACB=ABBC，
则 AB=BC⋅tan∠ACB=78×1.60=124.8≈125，
在 Rt△ADE 中，tan∠ADE=AEDE，
则 AE=BC⋅tan∠ADE=78×1.15=89.7，
DC=BE=AB−AE=124.8−89.7=35.1≈35，
答：甲建筑物的高度 AB 约为 125 m，乙建筑物的高度 DC 约为 35 m．
23. （1） 设该一次函数解析式为 y=kx+b，
将点 150,45，0,60 代入 y=kx+b 中，
得 150k+b=45,b=60,
解得：k=−110,b=60,
所以该一次函数解析式为 y=−110x+60．
（2） 当 y=−110x+60=8 时，
解得 x=520，
即行驶 520 千米时，油箱中的剩余油量为 8 升，
530−520=10（千米），
所以在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是 10 千米．
24. （1） 如图 1，过 D 作 DG⊥OA 于 G，
∵ 点 A3,0，点 C0,4，
∴OC=4，OA=3，
∵ 四边形 OABC 是矩形，
∴∠OAB=90∘，AB=OC=4，
∴DG∥AB，
∴△ODG∽△OBA，
∴OGDG=OAAB=34，
设 OG=3x，DG=4x，
∴AG=3−3x，
由旋转得：AD=OA=3，
由勾股定理得：AD2=DG2+AG2，32=4x2+3−3x2，
解得：x1=0（舍），x2=1825，
∴OG=3x=5425，DG=4x=7225，
∴D5425,7225．
（2） ①由旋转得：DE=OC=AB，
∵AD=OA，
∴∠ADO=∠AOD，
∵BC∥OA，
∴∠AOD=∠CBD，
∴∠CBD=∠ADO，
∴∠DBE=∠ADB，
∵∠ADH=∠HBE=90∘，∠AHD=∠BHE，
∴∠DAB=∠BED，
在 △BDE 和 △DBA 中，
∵∠BED=∠DAB,∠DBE=∠ADB,DE=AB,
∴△BDE≌△DBAAAS；
② ∵△BDE≌△DBA，
∴∠DBH=∠BDH，
∴BH=DH，
设 BH=x，则 DH=x，AH=4−x，
在 Rt△ADH 中，由勾股定理得：AD2+DH2=AH2，
x2+32=4−x2，x=78，
∴AH=4−78=258，
∴H3,258．
（3） α 为 60∘ 或 300∘ 时，FB=FA．
【解析】分两种情况：
①当 F 在 AB 的右侧时，如图 2，过 F 作 FM⊥AB 于 M，
∵FB=FA，
∴AM=BM=12AB=12AF，
∴∠AFM=30∘，
∴∠MAF=60∘，即 α=60∘ 时，FA=FB；
②当 F 在 AB 的左侧时，如图 3，过 F 作 FM⊥AB 于 M，
同理得：∠FAM=60∘，此时 α=360∘−60∘=300∘．
综上，α 为 60∘ 或 300∘ 时，FB=FA．
25. （1） ∵ 点 A(−1,0) 在抛物线 y=−(x−1)2+c 上，
∴0=−(−1−1)2+c，得 c=4，
∴ 抛物线解析式为：y=−(x−1)2+4，
令 x=0，得 y=3，
∴C(0,3)；
令 y=0，得 x=−1 或 x=3，
∴B(3,0)．
（2） △CDB 为直角三角形．理由如下：
由抛物线解析式，得顶点 D 的坐标为 (1,4)．
如图 1 所示，
过点 D 作 DM⊥x 轴于点 M，则 OM=1，DM=4，BM=OB−OM=2．
过点 C 作 CN⊥DM 于点 N，则 CN=1，DN=DM−MN=DM−OC=1．
在 Rt△OBC 中，由勾股定理得：BC=OB2+OC2=32+32=32；
在 Rt△CND 中，由勾股定理得：CD=CN2+DN2=12+12=2；
在 Rt△BMD 中，由勾股定理得：BD=BM2+DM2=22+42=25．
∵BC2+CD2=BD2，
∴△CDB 为直角三角形（勾股定理的逆定理）．
（3） 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴3k+b=0,b=3.
解得 k=−1，b=3，
∴y=−x+3，
直线 QE 是直线 BC 向右平移 t 个单位得到，
∴ 直线 QE 的解析式为：y=−(x−t)+3=−x+3+t；
设直线 BD 的解析式为 y=mx+n，
∵B(3,0)，D(1,4)，
∴3m+n=0,m+n=4.
解得：m=−2，n=6，
∴y=−2x+6．
连接 CQ 并延长，射线 CQ 交 BD 于点 G，则 G32,3．
在 △COB 向右平移的过程中：
（I）当 0设 PQ 与 BC 交于点 K，可得 QK=CQ=t，PB=PK=3−t．
设 QE 与 BD 的交点为 F，则：y=−2x+6,y=−x+3+t, 解得 x=3−t,y=2t,
∴F(3−t,2t)．
S=S△QPE−S△PBK−S△FBE=12PE⋅PQ−12PB⋅PK−12BE⋅yF=12×3×3−12(3−t)2−12t⋅2t=−32t2+3t.
（II）当 32设 PQ 分别与 BC，BD 交于点 K 、点 J．
∵CQ=t，
∴KQ=t，PK=PB=3−t．
直线 BD 解析式为 y=−2x+6，令 x=t，得 y=6−2t，
∴J(t,6−2t)．
S=S△PBJ−S△PBK=12PB⋅PJ−12PB⋅PK=12(3−t)(6−2t)−12(3−t)2=12t2−3t+92.
综上所述，S 与 t 的函数关系式为：
S=−32t2+3t,0