2019年江苏省无锡市锡山区天一中学中考二模数学试卷

这是一份2019年江苏省无锡市锡山区天一中学中考二模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −3 的值等于
A. 3B. −3C. ±3D. 3

2. 函数 y=x+2 中自变量 x 的取值范围是
A. x≥−2B. x>−2C. x≤−2D. x<−2

3. 下列运算正确的是
A. x⋅x6=x6B. x23=x6
C. x+22=x2+4D. 2x3=2x3

4. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 一组数据 1，2，3，3，4，5．若添加一个数据 3，则下列统计量中，发生变化的是
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差

6. 若 −2amb4 与 5a2b2+n 是同类项，则 mn 的值是
A. 2B. 0C. 4D. 1

7. 已知点 Am+1,−2 和点 B3,m−1，若直线 AB∥x 轴，则 m 的值为
A. 2B. −4C. −1D. 3

8. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 PA 与 ⊙O 相切于点 A，PO 交 ⊙O 于点 C，连接 BC．若 ∠P=50∘，则 ∠ABC 的度数为
A. 20∘B. 25∘C. 40∘D. 50∘

9. 如图，平行四边形 ABCD 对角线 AC 与 BD 交于点 O，且 AD=3，AB=5，在 AB 延长线上取一点 E，使 BE=25AB，连接 OE 交 BC 于 F，则 BF 的长为
A. 23B. 34C. 56D. 1

10. 如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点 M 为矩形内一点，点 E 为 BC 边上任意一点，则 MA+MD+ME 的最小值为
A. 3+22B. 4+33C. 2+213D. 10

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 在实数范围内分解因式：2x2−32= ．

12. 2017 年无锡市国内生产总值（GDP）达到 10500 亿元，成为全国第 14 个突破万亿元的城市，数据 10500 亿元用科学记数法可表示为 亿元．

13. 化简：m−3m2−9= ．

14. 一个圆锥的母线长为 5 cm，底面半径为 2 cm，那么这个圆锥的侧面积为 cm2．

15. 如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿 CE 折叠，B 点恰好落在 AD 边上，设此点为 F，若 AB:BC=4:5，则 tan∠CFD= ．

16. 如图，点 A 是反比例函数 y=kx 的图象上的一点，过点 A 作 AB⊥x 轴，垂足为 B．点 C 为 y 轴上的一点，连接 AC，BC．若 △ABC 的面积为 4，则 k 的值是 ．

17. 如图，在 △ABC 中，CA=CB=4，∠ACB=90∘，以 AB 中点 D 为圆心，作圆心角为 90∘ 的扇形 DEF，点 C 恰好在弧 EF 上，则图中阴影部分面积为 ．

18. 如图，∠AOB=45∘，点 M，N 在边 OA 上，OM=x，ON=x+4，点 P 是边 OB 上的点．若使点 P，M，N 构成等腰三角形的点 P 恰好有三个，则 x 的值是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 回答下列问题．
（1）计算：1−20−−32+−2；
（2）化简：1+a1−a+aa−2．

20. 请回答下列问题．
（1）解方程：x2+x=8．
（2）解不等式组：5x≤3x+16,x−52<1+4x.

21. 如图，BD 是 △ABC 的角平分线，点 E，F 分别在 BC，AB 上，且 DE∥AB，BE=AF．
（1）求证：四边形 ADEF 是平行四边形；
（2）若 ∠ABC=60∘，BD=6，求 DE 的长．

22. 央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）图 2 中“小说类”所在扇形的圆心角为 度；
（4）若该校共有学生 2000 人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．

23. 在一次数学考试中，小明有一道选择题（只能在四个选项A，B，C，D中选一个）不会做，便随机选了一个答案；小亮有两道选择题都不会做，他也随机选了两个答案．
（1）小明随机选的这个答案，答对的概率是 ；
（2）通过画树状图或列表法求小亮两题都答对概率是多少?
（3）这个班数学老师参加集体阅卷，在阅卷过程中，发现学生的错误率较高，他想：若这 10 道选择题都是靠随机选择答案，则这 10 道选择题全对的概率是 ．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，以 AC 为直径作 ⊙O，交 AB 于 D．
（1）在图 1 中，用直尺和圆规过点 D 作 ⊙O 的切线 DE 交 BC 于点 E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图 2，如果 ⊙O 的半径为 3，ED=4，延长 EO 交 ⊙O 于 F，连接 DF，与 OA 交于点 G，求 OG 的长．

25. 2018 年 4 月，无锡外卖市场竞争激烈，美团、滴滴、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，每月工资：底薪 1000 元，另外外卖送单补贴（送一次外卖称为一单），具体方案如下：
外卖送单数量补贴元/单每月不超过500单6超过500单但不超过m单的部分700≤m≤9008超过m单的部分10
（1）若某“外卖小哥”4 月份送餐 600 单，求他这个月的工资总额；
（2）设这个月“外卖小哥”送餐 x 单，所得工资为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式；
（3）若“外卖小哥”本月送餐 800 单，所得工资 6400≤y≤6500，求 m 的取值范围．

26. 在平面直角坐标系中，点 O 为原点，点 A 的坐标为 −8,0．如图 1，正方形 OBCD 的顶点 B 在 x 轴的负半轴上，点 C 在第二象限．现将正方形 OBCD 绕点 O 顺时针旋转角 α 得到正方形 OEFG．
（1）如图 2，若 α=45∘，OE=OA，求直线 EF 的函数表达式；
（2）如图 3，若 α 为锐角，且 tanα=12，当 EA⊥x 轴时，正方形对角线 EG 与 OF 相交于点 M，求线段 AM 的长；
（3）当正方形 OEFG 的顶点 F 落在 y 轴正半轴上时，直线 AE 与直线 FG 相交于点 P，是否存在 △OEP 的两边之比为 2:1?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由．

27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2−2ax+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB=4，又 P 是第一象限抛物线上的一点，抛物线对称轴交 x 轴于点 F，交直线 AP 于点 E，AE:EP=1:2．
（1）求点 A 、点 B 的坐标；
（2）直线 AP 交 y 轴于点 G，若 CG=533，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点 D 是射线 AP 上一动点，沿着 DF 翻折 △ADF 得到 △AʹDF（点 A 的对应点为 Aʹ），△AʹDF 与 △ADB 重叠部分的面积为 △ADB 的 14，求此时 △ADB 的面积．

28. 如图，矩形 ABCD，AB=2，BC=10，点 E 为 AD 上一点，且 AE=AB，点 F 从点 E 出发，向终点 D 运动，速度为 1 cm/s，以 BF 为斜边在 BF 上方作等腰直角 △BFG，以 BG，BF 为邻边作平行四边形 BFHG，连接 AG．设点 F 的运动时间为 t 秒．
（1）试说明：△ABG∽△EBF．
（2）当点 H 落在直线 CD 上时，求 t 的值．
（3）点 F 从 E 运动到 D 的过程中，直接写出 HC 的最小值．
答案
第一部分
1. A【解析】−3=3．
2. A【解析】由 x+2≥0 可得 x≥−2．
3. B【解析】A、 x⋅x6=x7，故此选项错误；
B、 x23=x6，故此选项正确；
C、 x+22=x2+4x+4，故此选项错误；
D、 2x3=8x3，故此选项错误；
故选：B．
4. B【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
5. D
6. C【解析】单项式 −2amb4 与 5a2b2+n 是同类项，
∴m=2，2+n=4，
∴m=2，n=2．
∴mn=22=4．
7. C【解析】∵ 点 Am,−2，B3,m−1，直线 AB∥x 轴，
∴m−1=−2，
解得 m=−1．
8. A【解析】∵ 直线 PA 与 ⊙O 相切于点 A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90∘，
∴∠AOP=90∘−∠P=40∘，
∵∠AOP=∠B+∠OCB，而 OB=OC，
∴∠B=12∠AOP=20∘．
9. A【解析】取 AB 的中点 M，连接 OM，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∴OM∥AD∥BC，OM=12AD=12×3=32，
∴△EFB∽△EOM，
∴BFOM=BEEM，
∵AB=5，BE=25AB
∴BE=2，BM=52，
∴EM=52+2=92，
∴BF32=292，
∴BF=23．
10. B
【解析】将 △AMD 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 △AMʹDʹ，MD=MʹDʹ，
易得到 △ADDʹ 和 △AMMʹ 均为等边三角形，
∴AM=MMʹ，
∴MA+MD+ME=DʹM+MMʹ+ME，
∴DʹM，MMʹ，ME 共线时最短，
由于点 E 也为动点，
∴ 当 DʹE⊥BC 时最短，此时易求得 DʹE=DG+GE=4+33，
∴MA+MD+ME 的最小值为 4+33．
第二部分
11. 2x+4x−4
【解析】原式=2x2−16=2x+4x−4．
12. 1.05×104
【解析】10500亿元=1.05×104亿元．
故答案为：1.05×104．
13. 1m+3
【解析】原式=m−3m+3m−3=1m+3．
14. 10π
15. 43
16. −8
【解析】连接 OA，如图，
∵AB⊥x 轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△ABC=4，
而 S△OAB=12∣k∣，
∴12∣k∣=4，
∵k<0，
∴k=−8．
17. 2π−4
18. x=0 或 x=42−4 或 4【解析】分三种情况：
①如图 1，
当 M 与 O 重合时，即 x=0 时，点 P 恰好有三个；
②如图 2，
以 M 为圆心，以 4 为半径画圆，当 ⊙M 与 OB 相切时，设切点为 C，⊙M 与 OA 交于 D，
∴MC⊥OB，
∵∠AOB=45∘，
∴△MCO 是等腰直角三角形，
∴MC=OC=4，
∴OM=42，
当 M 与 D 重合时，即 x=OM−DM=42−4 时，同理可知：点 P 恰好有三个；
③如图 3，
取 OM=4，以 M 为圆心，以 OM 为半径画圆，
则 ⊙M 与 OB 除了 O 外只有一个交点，此时 x=4，即以 ∠PMN 为顶角，MN 为腰，符合条件的点 P 有一个，
以 N 圆心，以 MN 为半径画圆，与直线 OB 相离，说明此时以 ∠PNM 为顶角，以 MN 为腰，符合条件的点 P 不存在，
还有一个是以 NM 为底边的符合条件的点 P；
点 M 沿 OA 运动，到 M1 时，发现 ⊙M1 与直线 OB 有一个交点；
∴ 当 4综上所述，若使点 P，M，N 构成等腰三角形的点 P 恰好有三个，则 x 的值是：x=0 或 x=42−4 或 4第三部分
19. （1） 原式=1−9+2=−6.
（2） 原式=1−a2+a2−2a=1−2a.
20. （1） 整理得：
x2+x−8=0,∵a=1
，b=1，c=−8，
∴b2−4ac=12−4×1×−8=1+32=33>0，
则 x=−1±332．
（2） 解不等式组：
5x≤3x+16, ⋯⋯①x−52<1+4x. ⋯⋯②
解不等式 ① 得：
x≤8,
解不等式 ② 得：
x>−1,∴
原不等式组的解集是 −121. （1） ∵BD 是 △ABC 的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE；
∵BE=AF，
∴AF=DE；
∴ 四边形 ADEF 是平行四边形．
（2） 过点 E 作 EH⊥BD 于点 H．
∵∠ABC=60∘，BD 是 ∠ABC 的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30∘，
∴DH=12BD=12×6=3，
∵BE=DE，
∴BH=DH=3，
∴BE=BHcs30∘=23，
∴DE=BE=23．
22. （1） 200
（2） 生活类数据标 30，小说类数据标 70．
（3） 126
（4） 240 人．
23. （1） 14
（2） 116
（3） 1410
24. （1） 切线 DE 如图所示．
（2） 连接 CD，OD．
由题意 EC，ED 是 ⊙O 的切线，
∴EC=ED，
∵OC=OD，
∴OE⊥CD，
∵AC 是直径，
∴∠CDA=90∘，
∴CD⊥AB，
∴OE∥AB，
∴OGAG=OFAD，
在 Rt△ECO 中，EO=32+42=5，
∵∠EOC=∠CAD，
∴cs∠CAD=cs∠EOC=35=ADAC，
∴AD=185．
设 OG=x，则有 x3−x=3185，
∴x=1511，
∴OG=1511．
25. （1） 他这个月的工资总额为 4800 元．
（2） y 与 x 的函数关系式为 y=6x+1000,0≤x≤5008x,500m．
（3） 750≤m≤900．
26. （1） ∵OE=OA=8，α=45∘，
∴E−42,42，F0,82，
设直线 EF 的解析式为 y=kx+b，
则有 b=82,−42k+b=42, 解得 k=1,b=82
∴ 直线 EF 的解析式为 y=x+82．
（2） 如图 3 中，作 MH⊥OA 于 H，MK⊥AE 交 AE 的延长线于 K．
在 Rt△AEO 中，tan∠AOE=AEOA=12，OA=8，
∴AE=4，
∵ 四边形 EOGF 是正方形，
∴∠EMO=90∘，
∵∠EAO=∠EMO=90∘，
∴E，A，O，M 四点共圆，
∴∠EAM=∠EOM=45∘，
∴∠MAK=∠MAH=45∘，
∵MK⊥AE，MH⊥OA，
∴MK=MH，四边形 KAOM 是正方形，
∵EM=OM，
∴△MKE≌△MHO，
∴EK=OH，
∴AK+AH=2AH=AE+EK+OA−OH=12，
∴AH=6，
∴AM=2AH=62．
（3） 如图 2 中，设 F0,2a，则 E−a,a．
∵A−8,0，E−a,a，
∴ 直线 AP 的解析式为 y=a8−ax+8a8−a，直线 FG 的解析式为 y=−x+2a，
由 y=−x+2a,y=a8−ax+8a8−a, 解得 x=4a−a24,y=4a+a24,
∴P4a−a24,4a+a24．
①当 PO=2OE 时，
∴PO2=2OE2，
则有：4a−a2216+4a+a2216=4a2，
解得 a=4或−4舍弃或0舍弃，此时 P0,8；
②当 PO=2PE 时，
则有：4a−a2216+4a+a2216=24a−a24+a2+4a+a24−a2，
解得：a=4或12．
此时 P0,8或−24,48；
③当 PE=2EO 时，4a−a24+a2+4a+a24−a2=4a2，
解得 a=8或0舍弃，
∴P−8,24．
综上所述，满足条件的点 P 的坐标为 0,8，−8,24，−24,48．
27. （1） ∵ 抛物线的对称轴 x=1，AB=4，
∴AF=FB=2，
∴A−1,0，B3,0．
（2） 如图 1 中所示：过点 P 作 PF⊥x 轴，垂足为 F．设 Gm,0，
∵EG∥PF，AE:EP=1:2，
∴AGAP=AOAF=16．
又 ∵AO=1，
∴AF=6，
∴F5,0，
∵OG∥PF，
∴OG:PF=OA:AF，
∴PF=6m，
∴P5,6m，
由题意：3a+c=0,15a+c=6m,m−c=533, 解得 a=33,c=−3,m=233.
∴ 抛物线的解析式为 y=33x2−233x−3．
（3） 如图 2 中，作 DM⊥AB 于 M，设 AʹF 交 BD 于 N．
当 DN=BN 时，△AʹDF 与 △ADB 重叠部分的面积为 △ADB 的 14．
∵AF=FB，BN=ND，
∴AD∥FAʹ，
∴∠ADF=∠DFAʹ=∠FDAʹ，
∴DAʹ=AʹF=AD=AF，
∴ 四边形 ADAʹF 是菱形，
∴AD=AF=2，
∵OG∥DM，
∴AMDM=OAOG=1233．
设 AM=x，则 DM=233x，
在 Rt△ADM 中，
∵AD2=DM2+AM2，
∴4=x2+43x2，
∴x=2217，
∴DM=477，
∴S△ADB=12×4×477=877．
如图 3 中，当点 Aʹ 在 AB 的下方时，设 DAʹ 交 AB 于 N，
观察图象可知：点 N 不可能是 BF 中点，此种情形不存在．
∴ 当 △AʹDF 与 △ADB 重叠部分的面积为 △ADB 的 14 时 △ADB 的面积为 877．
28. （1） 如图 1 中，
∵△ABE，△BGF 都是等腰直角三角形，
∴ABBE=BGBF=22，
∵∠ABE=∠GBF=45∘，
∴∠ABG=∠EBF，
∴△ABG∽△EBF．
（2） 如图构建如图平面直角坐标系，
作 HM⊥AD 于 M，GN⊥AD 于 N．设 AM 交 BG 于 K．
∵△GFH 是等腰直角三角形，
∴FG=FH，∠GNF=∠GFH=∠HMF=90∘，
∴∠GFN+∠HFM=90∘，∠HFM+∠FHM=90∘，
∴∠GFN=∠FHM，
∴△GFN≌△FHM，
∴GN=FM，FN=HM，
∵△ABG∽△EBF，
∴AGEF=ABBE=22，∠AGB=∠EFB，
∵∠AKG=∠BKF，
∴∠GAN=∠KBF=45∘，
∵EF=t，
∴AG=22t，
∴AN=GN=FM=12t，
∴AM=2+32t，HM=FN=2+12t，
∴H2+32t,4+12t，
当点 H 在直线 CD 上时，2+32t=10，解得 t=163．
（3） 210
【解析】由（2）可知 H2+32t,4+12t，
令 x=2+32t，y=4+12t，
消去 t 得到 y=13x+103．
∴ 点 H 在直线 y=13x+103 上运动，
如图，作 CH 垂直直线 y=13x+103 垂足为 H．
根据垂线段最短可知，此时 CH 的长最小，
易知直线 CH 的解析式为 y=−3x+30，
由 y=−3x+30,y=13x+103, 解得 x=8,y=6,
∴H8,6，
∵C10,0，
∴CH=22+62=210，
∴HC 最小值是 210．