2019年广东省佛山市南海区狮山镇中考一模数学试卷

这是一份2019年广东省佛山市南海区狮山镇中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −3 的绝对值是
A. −3B. 3C. 13D. −13

2. 港珠澳大桥于 2018 年 10 月 24 日正式开通运营，据报道，该工程项目总投资额 127000000000 元，将 127000000000 用科学记数法表示为
A. 0.127×1011B. 0.127×1012C. 1.27×1011D. 1.27×1012

3. 下列图形是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 如图，由 5 个相同正方体组成的几何体，它的俯视图是
A. B.
C. D.

5. 在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是
A. 90，96B. 91，92C. 92，98D. 92，96

6. 在平面直角坐标系中，点 A−1,2 关于 y 轴的对称点在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

7. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是
A. x2−4x−4=0B. x2−36x+36=0
C. 4x2+4x+1=0D. x2−2x−1=0

8. 下列运算中，计算结果正确的是
A. a2⋅a3=a6B. a23=a5C. a3+a3=2a3D. a2b2=a2b2

9. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，CD 是弦，连接 BD，OC，若 ∠AOC=120∘，∠D 的度数是
A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 20∘

10. 点 A，B 的坐标分别为 2,−3 和 1,3，抛物线 y=ax2+bx+ca<0 的顶点在线段 AB 上运动时，形状保持不变，且与 x 轴交于 C，D 两点（C 在 D 的左侧），给出下列结论：
① c<3；
②当 x<−3 时，y 随 x 的增大而增大；
③若点 D 的横坐标最大值为 5，则点 C 的横坐标最小值为 −5；
④当四边形 ACDB 为平行四边形时，a=−43．
其中正确的是
A. ②④B. ②③C. ①③④D. ①②④

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：2x2−4xy+2y2= ．

12. 一个 n 边形的内角和是它外角和的 3 倍，则边数 n= ．

13. 不等式组 x−4≤0,1<12x+4 的解集是 ．

14. 如图所示，在 △ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，延长 DE 到点 F，使 EF=DE，若 AB=10，BC=8，则四边形 BCFD 的周长 = ．

15. 观察下列一组数：32，−1，710，−917，1126，⋯，根据该组数的排列规律，可推出第 10 个数是 ．

16. 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45∘ 后得到正方形 AB1C1D1，边 B1C1 与 CD 交于点 O，则图中阴影部分的面积为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：π−30+6cs30∘−12−−12−1．

18. 先化简，再求值：x−2+8xx−2÷x+22x−4，其中 x=−12．

19. 如图，△ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 BD=AD=AC．
（1）请用尺规作图法，作出线段 DC 的垂直平分线 AE，交 DC 于 E 点（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
（2）若 ∠CAE=16∘，求 ∠B 的度数．

20. 为了完成“舌尖上的中国”的录制，节目组随机抽查了某省“A．奶制品类，B．肉制品类，C．面制品类，D．豆制品类”四类特色美食若干种，将收集的数据整理并绘制成下面两幅尚不完整的统计图，请根据图中信息完成下列问题：
（1）这次抽查了四类特色美食共 种，扇形统计图中 a= ，扇形统计图中 A 部分圆心角的度数为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）如果节目组想从 A 类的甲、乙、丙、丁四种特色美食中随机选择两种进行节目录制，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两种美食的概率．

21. 如图，平行四边形 ABCD，F 是对角线 AC 上的一点，过点 D 作 DE∥AC，且 DE=CF，连接 AE，DE，EF．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若 ∠BAF+∠AED=180∘，求证：四边形 ABFE 为菱形．

22. 某市政府为美化城市环境，计划对面积为 1500 平方米的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队每天能完成绿化的面积是甲队每天能完成绿化面积的 1.5 倍，并且在独立完成面积为 450 平方米区域的绿化时，甲队比乙队多用 5 天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米?
（2）若市政府每天需付给甲队的绿化费用为 0.3 万元，乙队为 0.9 万元，要使这次的绿化总费用不超过 24 万元，至少应安排甲队工作多少天?

23. 如图，点 Am,4，B−4,n 在反比例函数 y=kxk>0 的图象上，经过点 A，B 的直线与 x 轴相交于点 C，与 y 轴相交于点 D．
（1）若 m=2，求 n 的值；
（2）求 m+n 的值；
（3）连接 OA，OB，若 tan∠AOD+tan∠BOC=1，求直线 AB 的函数关系式．

24. 如图，点 P 是 ⊙O 外一点，PA 切 ⊙O 于点 A，AB 是 ⊙O 的直径，连接 OP，过点 B 作 BC∥OP 交 ⊙O 于点 C，连接 AC 交 OP 于点 D．
（1）求证：PC 是 ⊙O 的切线；
（2）若 PD=163，AC=8，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，若点 E 是 AB 的中点，连接 CE，求 CE 的长

25. 如图，四边形 ABCD 为矩形，AB=4，AD=3，动点 M，N 分别从 D，B 同时出发，以 1 个单位/秒的速度运动，点 M 沿 DA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动．过点 N 作 NP⊥BC，交 AC 于点 P，连接 MP．已知动点运动了 x 秒．
（1）请直接写出 PN 的长；（用含 x 的代数式表示）
（2）若 0 秒 ≤x≤1 秒，试求 △MPA 的面积 S 与时间 x 秒的函数关系式，利用函数图象，求 S 的最大值；
（3）若 0 秒 ≤x≤3 秒，△MPA 能否为一个等腰三角形?若能，试求出所有 x 的对应值；若不能，试说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】−3 的绝对值是：3．
2. C【解析】将 127000000000 用科学记数法表示为 1.27×1011．
3. B【解析】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
4. B【解析】这个几何体的俯视图为：
5. D
【解析】将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98，最中间的数是 92，则中位数是 92；
∵96 出现了 2 次，出现的次数最多，
∴ 众数是 96．
6. A【解析】点 A−1,2 关于 y 轴的对称点是 1,2，在第一象限，
故选：A．
7. C【解析】A、 ∵Δ=−42−4×1×−4=32>0，
∴ 该方程有两个不相等的实数根，A不符合题意；
B、 Δ=−362−4×1×36=1152>0，
∴ 该方程有两个不相等的实数根，B不符合题意；
C、 ∵Δ=42−4×4×1=0，
∴ 该方程有两个相等的实数根，C符合题意；
D、 ∵Δ=−22−4×1×−1=8>0，
∴ 该方程有两个不相等的实数根，D不符合题意．
故选：C．
8. C【解析】A、 a2⋅a3=a5，故此选项错误；
B、 a23=a6，故此选项错误；
C、 a3+a3+2a3，正确；
D、 a2b2=a4b2，故此选项错误；
故选：C．
9. C【解析】∵∠AOC=120∘，
∴∠BOC=180∘−∠AOC=60∘，
∴∠BDC=12∠BOC=30∘．
10. A
【解析】∵ 点 A，B 的坐标分别为 2,−3 和 1,3，
∴ 线段 AB 与 y 轴的交点坐标为 0,3，
又 ∵ 抛物线的顶点在线段 AB 上运动，抛物线与 y 轴的交点坐标为 0,c，
∴c≤3（顶点在 y 轴上时取“=”），故①错误；
∵ 抛物线的顶点在线段 AB 上运动，
∴ 当 x<−2 时，y 随 x 的增大而增大，
因此，当 x<−3 时，y 随 x 的增大而增大，故②正确；
若点 D 的横坐标最大值为 5，则此时对称轴为直线 x=1，
根据二次函数的对称性，点 C 的横坐标最小值为 −2−4=−6，故③错误；
根据顶点坐标公式，4ac−b24a=3，
令 y=0，则 ax2+bx+c=0，
CD2=−ba2−4×ca=b2−4aca2，
根据顶点坐标公式，4ac−b24a=3，
∴b2−4aca=−12，
∴CD2=1a×−12=12−a，
∵ 四边形 ACDB 为平行四边形，
∴CD=AB=1−−2=3，
∴12−a=32=9，
解得 a=−43，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
第二部分
11. 2x−y2
【解析】2x2−4xy+2y2=2x2−2xy+y2=2x−y2.
故答案为：2x−y2．
12. 8
【解析】根据题意列方程，得：
n−2180∘=3×360∘，
解得：n=8，
即边数 n 等于 8．
故答案为 8．
13. −2【解析】解不等式 x−4≤0，得：x≤4，
解不等式 1<12x+4，得：x>−2，
则不等式组的解集为 −214. 26
15. −21101
【解析】由分析知：第 10 个数为 −21101．
16. π4−2+2
【解析】连接 DC1，
∵∠CAC1=∠DCA=∠COB1=∠DOC1=45∘，
∴∠AC1B1=45∘，
∵∠ADC=90∘，
∴A，D，C1 在一条直线上，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AC=2，∠OCB1=45∘，
∴CB1=OB1，
∵AB1=1，
∴CB1=OB1=AC−AB1=2−1，
∴S△OB1C=12⋅OB1⋅CB1=122−12，
∵S△AB1C1=12AB1⋅B1C1=12×1×1=12，
∴ 图中阴影部分的面积 =45⋅π⋅22360−122−12−12=π4−2+2．
故答案为 π4−2+2．
第三部分
17. 原式=1+6×32−23+2=3+3.
18. 原式=x2−4x+4x−2+8xx−2⋅2x−2x+2=x+22x−2⋅2x−2x+2=2x+2=2x+4.
当 x=−12 时，
原式=2×−12+4=−1+4=3.
19. （1） 如图，AE 为所作．
（2） ∵AE⊥CD，
∴∠C=90∘−∠CAE=90∘−16∘=74∘，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74∘，
∵BD=AD，
∴∠B=∠DAB，而 ∠ADC=∠B+∠DAB，
∴∠B=12∠ADC=12×74∘=37∘．
20. （1） 20；40；72∘；
【解析】4÷20%=20，所以这次抽查了四类特色美食共 20 种，
扇形统计图中 C 类所占的百分比 =820×100%=40%，即 a=40；
扇形统计图中 A 部分圆心角的度数为 360∘×20%=72∘．
（2） B 类的种数为 20−4−8−6=2，条形统计图为：
（3） 画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙两种美食的结果数为 2，
∴ 恰好选中甲和乙两种美食的概率 =212=16．
21. （1） ∵ 平行四边形 ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCF，
∵DE∥AC，
∴∠DAC=∠EDA，
∴∠FCB=∠EDA，
在 △ADE 和 △BCF 中，
AD=BC,∠FCB=∠EDA,DE=CF,
∴△ADE≌△BCFSAS．
（2） ∵DE∥AC，且 DE=FC，
∴ 四边形 EFCD 是平行四边形，
∴DC=EF，且 DC∥EF，
又 ∵AB=CD，AB∥CD，
∴AB=EF，AB∥EF，
∴ 四边形 ABFE 是平行四边形，
∵△ADE≌△BCF，
∴∠AED=∠BFC，
∵∠BAF+∠AED=180∘，
∴∠BAF+∠BFC=180∘，
又 ∠BFA+∠BFC=180∘，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BA=BF，
∴ 四边形 ABFE 为菱形．
22. （1） 设甲工程队每天能完成绿化的面积是 x 平方米，
则乙工程队每天能完成绿化的面积是 1.5x 平方米，
依题意，得：
450x−4501.5x=5.
解得：
x=30.
经检验，x=30 是原方程的解，且符合题意．
∴1.5x=45．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积是 30 平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是 45 平方米．
（2） 设安排甲队工作 m 天，则需安排乙队工作 1500−30m45 天．
依题意，得：
0.3m+0.9×1500−30m45≤24.
解得：
m≥20.
答：至少应安排甲队工作 20 天．
23. （1） 当 m=2，则 A2,4，
把 A2,4 代入 y=kx 得 k=2×4=8，
所以反比例函数解析式为 y=8x，
把 B−4,n 代入 y=8x 得 −4n=8，解得 n=−2．
（2） ∵ 点 Am,4，B−4,n 在反比例函数 y=kxk>0 的图象上，
∴4m=k，−4n=k，
∴4m+4n=0，即 m+n=0．
（3） 作 AE⊥y 轴于 E，BF⊥x 轴于 F，如图．
在 Rt△AOE 中，tan∠AOE=AEOE=m4，
在 Rt△BOF 中，tan∠BOF=BFOF=−n4，
而 tan∠AOD+tan∠BOC=1，
∴m4+−n4=1，而 m+n=0，解得 m=2，n=−2，
则 A2,4，B−4,−2，
设直线 AB 的解析式为 y=px+q，
把 A2,4，B−4,−2 代入得 2p+q=4,−4p+q=−2, 解得 p=1,q=2,
∴ 直线 AB 的解析式为 y=x+2．
24. （1） 如图 1，连接 OC，
∵PA 切 ⊙O 于点 A，
∴∠PAO=90∘，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOP=∠COP，
在 △PAO 和 △PCO 中，
OA=OC,∠AOP=∠COP,OP=OP,
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PCO=∠PAO=90∘，
∴PC 是 ⊙O 的切线．
（2） 由（1）得 PA，PC 都为圆的切线，
∴PA=PC，OP 平分 ∠APC，∠ADO=∠PAO=90∘，
∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，
∴∠PAD=∠AOD
∴△ADP∽△ODA，
∴ADPD=DOAD，
∴AD2=PD⋅DO，
∵AC=8，PD=163，
∴AD=12AC=4，OD=3，AO=5，
由题意知 OD 为 △ 的中位线，
∴BC=6，OD=3，AB=10，
∴S阴=12S⊙O−S△ABC=25π2−24．
，
（3） 如图 2，连接 AE，BE，作 BM⊥CE 于 M，
∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90∘，
∵ 点 E 是 AB 的中点，
∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45∘，
CM=MB=32，
BE=AB⋅cs45∘=52，
∴EM=BE2−BM2=42，
则 CE=CM+EM=72．
25. （1） 12−4x3．
（2） 延长 NP 交 AD 于点 Q，则 PQ⊥AD．
由（1）得：PN=12−4x3，则 PQ=QN−PN=4−12−4x3=43x．
依题意，可得：AM=3−x，
S=12AM⋅PQ=123−x⋅4x3=2x−23x2=−23x−322+32．
∵0≤x≤1，即函数图象在对称轴的左侧，函数值 S 随着 x 的增大而增大，
∴ 当 x=1 时，S 有最大值，S最大值=43．
（3） △MPA 能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：
①若 PM=PA，
∵PQ⊥MA，
∴ 四边形 ABNQ 是矩形，
∴QA=NB=x，
∴MQ=QA=x，
又 ∵DM+MQ+QA=AD，
∴3x=3，即 x=1；
②若 MP=MA，则 MQ=3−2x，PQ=43x，MP=MA=3−x，
在 Rt△PMQ 中，由勾股定理得：MP2=MQ2+PQ2，
∴3−x2=3−2x2+43x2，解得：x=5443（x=0 不合题意，舍去）；
③若 AP=AM，由题意可得：AP=53x，AM=3−x
∴53x=3−x，解得：x=98．
综上所述，当 x=1 或 x=5443 或 x=98 时，△MPA 是等腰三角形．