2020年上海市徐汇区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2020年上海市徐汇区中考一模数学试卷（期末），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知二次函数 y=−x2+2x−3，那么下列关于该函数的判断正确的是
A. 该函数图象有最高点 0,−3
B. 该函数图象有最低点 0,−3
C. 该函数图象在 x 轴的下方
D. 该函数图象在对称轴左侧是下降的

2. 如图，AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，那么下列结论正确的是
A. DF=154B. EF=154C. CD=154D. BF=154

3. 线段 AB 内一点 P，且 AP2=AB⋅BP，AB=1，则 AP=
A. 5+12B. 3−52C. 5−12D. 3+52

4. 在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，BC=3，AC=5，那么下列结论正确的是
A. sinA=34B. csA=45C. ctA=54D. tanA=43

5. 跳伞运动员小李在 200 米的空中测得地面上的着落点 A 的俯角为 60∘，那么此时小李离着落点 A 的距离是
A. 200 米B. 400 米C. 20033 米D. 40033 米

6. 下列命题中，假命题是
A. 凡有内角为 30∘ 的直角三角形都相似
B. 凡有内角为 45∘ 的等腰三角形都相似
C. 凡有内角为 60∘ 的直角三角形都相似
D. 凡有内角为 90∘ 的等腰三角形都相似

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：2sin60∘−ct30∘⋅tan45∘= ．

8. 已知线段 a=4，c=9，那么 a 和 c 的比例中项 b= ．

9. 如果两个相似三角形的对应高比是 \（\sqrt 3\mathbin{：}2\），那么它们的相似比是 ．

10. 四边形 ABCD 和四边形 AʹBʹCʹDʹ 是相似图形，点 A，B，C，D 分别与 Aʹ，Bʹ，Cʹ，Dʹ 对应，已知 BC=3，CD=2.4，BʹCʹ=2，那么 CʹDʹ 的长是 ．

11. 已知二次函数 y=2x+22，如果 x>−2，那么 y 随 x 的增大而 ．

12. 同一时刻，高为 12 米的学校旗杆的影长为 9 米，一座铁塔的影长为 21 米，那么此铁塔的高是 米．

13. 一山坡的坡度 i=1:3，小刚从山坡脚下点 P 处上坡走了 5010 米到达点 N 处，那么他上升的高度是 米．

14. 在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AB=6，AC=4，BC=5，AD=2，AE=3，那么 DE 的长是 ．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=2，BC=1，正方形 DEFG 内接于 △ABC，点 G，F 分别在边 AC，BC 上，点 D，E 在斜边 AB 上，那么正方形 DEFG 的边长是 ．

16. 如图，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，AD⊥AC，∠BAD=∠C，BD=2，CD=6，那么 tanC= ．

17. 我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，其中 △ABC 的中线 BD，CE 互相垂直于点 G，如果 BD=9，CE=12，那么 D，E 两点间的距离是 ．

18. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，将矩形 ABCD 绕着点 B 顺时针旋转后得到矩形 AʹBʹCʹDʹ，点 A 的对应点 Aʹ 在对角线 AC 上，点 C，D 分别与点 Cʹ，Dʹ 对应，AʹDʹ 与边 BC 交于点 E，那么 BE 的长是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知：a:b:c=2:3:5．
（1）求代数式 3a−b+c2a+3b−c 的值；
（2）如果 3a−b+c=24，求 a，b，c 的值．

20. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 自变量 x 的值和它对应的函数值 y 如下表所示：
x⋯01234⋯y⋯30−10m⋯
（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和 m 的值；
（2）设该二次函数图象与 x 轴的左交点为 B，它的顶点为 A，该图象上点 C 的横坐标为 4，求 △ABC 的面积．

21. 如图，一艘游艇在离开码头 A 处后，沿南偏西 60∘ 方向行驶到达 B 处，此时从 B 处发现灯塔 C 在游轮的东北方向，已知灯塔 C 在码头 A 的正西方向 200 米处，求此时游轮与灯塔 C 的距离（精确到 1 米）．
（参考数据：2=1.414，3=1.732，6=2.449）

22. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，且 DE=23BC．
（1）如果 AC=6，求 AE 的长；
（2）设 AB=a，AC=b，求向量 DE（用向量 a，b 表示）．

23. 如图，在 △ABC 中，点 D，E，F，G 分别在 AB，AC，BC 上，AB=3AD，CE=2AE，BF=FG=CG，DG 与 EF 交于点 H．
（1）求证：FH⋅AC=HG⋅AB；
（2）连接 DF，EG，求证：∠A=∠FDG+∠GEF．

24. 如图，将抛物线 y=−43x2+4 平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点 C，新抛物线与 x 轴正半轴交于点 B，连接 BC，tanB=4，设新抛物线与 x 轴的另一交点是 A，新抛物线的顶点是 D．
（1）求点 D 的坐标；
（2）设点 E 在新抛物线上，连接 AC，DC，如果 CE 平分 ∠DCA，求点 E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线 y=−43x2+4 沿 x 轴左右平移，点 C 的对应点为 F，当 △DEF 和 △ABC 相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D 是边 AB 上的动点（点 D 不与点 A，B 重合），点 G 在边 AB 的延长线上，∠CDE=∠A，∠GBE=∠ABC，DE 与边 BC 交于点 F．
（1）求 csA 的值；
（2）当 ∠A=2∠ACD 时，求 AD 的长；
（3）点 D 在边 AB 上运动的过程中，AD:BE 的值是否会发生变化?如果不变化，请求 AD:BE 的值；如果变化，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】∵ 二次函数 y=−x2+2x−3=−x−12−2，
∴ 该函数图象有最高点 1,−2，故选项A错误，选项B错误；
该函数图象在 x 轴下方，故选项C正确；
该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误．
2. D【解析】∵AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，
∴ACCE=BDDF，即 25−2=1.5DF，解得：DF=94．
∴BF=BD+DF=94+32=154．
3. C【解析】设 AP=x，则 BP=1−x，
∵AP2=AB⋅BP，
∴x2=1−x，
解得：x1=−5−12（舍去），x2=5−12．
故选C．
4. B【解析】如图所示：
∵∠ACB=90∘，BC=3，AC=5，
∴AB=4，
∴sinA=BCAC=35，故选项A错误；
csA=ABAC=45，故选项B正确；
ctA=ABBC=43，故选项C错误；
tanA=BCAB=34，故选项D错误．
5. D
【解析】根据题意，此时小李离着落点 A 的距离是 200sin30∘=40033．
6. B【解析】A、凡有内角为 30∘ 的直角三角形都相似，所以A选项的命题为真命题；
B、凡有内角为 45∘ 的等腰三角形不一定相似，所以B选项的命题为假命题；
C、凡有内角为 60∘ 的直角三角形都相似所以C选项的命题为真命题；
D、凡有内角为 90∘ 的等腰三角形都相似，所以D选项的命题为真命题．
故选：B．
第二部分
7. 0
【解析】2sin60∘−ct30∘⋅tan45∘=2×32−3×1=3−3=0.
8. 6
【解析】∵b 是 a，c 的比例中项，
∴b2=ac，即 b2=36，
∴b=6（负数舍去），故答案是 6．
9. \（\sqrt 3\mathbin{：}2\）
【解析】∵ 两个相似三角形的对应高比是 \（\sqrt 3\mathbin{：}2\），
∴ 它们的相似比是 \（\sqrt 3\mathbin{：}2\），
故答案为：\（\sqrt 3\mathbin{：}2\）．
10. 1.6
【解析】∵ 四边形 ABCD∽ 四边形 AʹBʹCʹDʹ，
∴CD:CʹDʹ=BC:BʹCʹ，
∵BC=3，CD=2.4，BʹCʹ=2，
∴CʹDʹ=1.6．
11. 增大
【解析】∵y=2x+22，
∴ 抛物线开口向上，且对称轴为 x=−2，
∴ 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x>−2 时，y 随 x 的增大而增大．
12. 28
【解析】设铁塔高度为 x，有 129=x21，
解得：x=28．
答：铁塔的高是 28 米．
13. 50
【解析】设坡面的铅直高度为 x 米，
∵ 山坡的坡度 i=1:3，
∴ 坡面的水平宽度为 3x 米，
由勾股定理得 3x2+x2=50102，
解得 x=50，则他上升的高度是 50 米．
14. 52
【解析】∵ADAC=24=12，AEAB=36=12，
∴ADAC=AEAB，且 ∠DAE=∠BAC，
∴△AED∽△ABC，
∴DEBC=ADAC=12，
∴DE=12BC=52，
故答案为：52．
15. 257
【解析】作 CM⊥AB 于 M，交 GF 于 N，如图所示：
∵Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=2，BC=1，
∴AB=22+12=5，
∴CM=AC×BCAB=2×15=255，
∵ 正方形 DEFG 内接于 △ABC，
∴GF=EF=MN，GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴CNCM=GFAB，即 255−EF255=EF5，
解得：EF=257．
16. 12
【解析】∵BD=2，CD=6，
∴BC=BD+CD=8，
∵∠B=∠B，∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△CBA，
∴ADAC=ABBC=BDAB，
∴AB2=BD×BC=2×8=16，
∴AB=4，
∵AD⊥AC，
∴tanC=ADAC=ABBC=48=12．
17. 5
【解析】连接 DE，设 BD，CE 交于点 G，如图所示：
∵△ABC 的中线 BD，CE 互相垂直，
∴DE 是 △ABC 的中位线，∠BGC=90∘，
∴DE=12BC，DE∥BC，
∴△GDE∽△GBC，
∴GDGB=GEGC=DEBC=12，
∴GC=23CE=23×12=8，GB=23BD=23×9=6，
∴BC=GC2+GB2=82+62=10，
∴DE=5．
18. 258
【解析】如图所示，
由旋转的性质得 BA=BAʹ，
∴∠BAAʹ=∠BAʹA，
∵ 四边形 ABCD 和 AʹBʹCʹDʹ 为矩形，
∴∠ABC=∠BAʹD=90∘，
又点 Aʹ 在 AC 上，
∴∠BAʹA+∠CAʹE=90∘，∠BCA+∠BAC=90∘，
∴∠ECAʹ=∠EAʹC，
∴AʹE=CE，
设 CE=x，则 AʹE=x，
∵AB=3，BC=4，
∴BAʹ=3，BE=4−x，
在 Rt△BAʹE 中，AʹE2+AʹB2=BE2，
∴x2+32=4−x2，
解得，x=78，
∴BE=4−78=258．
第三部分
19. （1） ∵a:b:c=2:3:5．
∴ 设 a=2k，b=3k，c=5kk≠0．
3a−b+c2a+3b−c=6k−3k+5k4k+9k−5k=8k8k=1．
（2） ∵3a−b+c=24，
∴6k−3k+5k=24，
∴k=3，
∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15．
20. （1） 由表格可知，
该函数有最小值，当 x=2 时，y=−1，当 x=4 和 x=0 时的函数值相等，则 m=3，
即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线 x=2，顶点坐标为 2,−1，m 的值是 3．
（2） 由题意可得，
点 B 的坐标为 1,0，点 A 的坐标为 2,−1，点 C 的坐标为 4,3，
设直线 AC 的函数解析式为 y=kx+b，
2k+b=−1,4k+b=3, 得 k=2,b=−5,
所以直线 AC 的函数解析式为 y=2x−5，
当 y=0 时，0=2x−5，得 x=2.5，
则直线 AC 与 x 轴的交点为 2.5,0，
故 △ABC 的面积是：2.5−1×32+2.5−1×∣−1∣2=3．
21. 过 B 作 BD⊥AC 于 D．
在 Rt△BCD 中，
∵∠D=90∘，∠DBC=45∘，
∴∠DBC=∠DCB=45∘，
∴BD=CD，
在 Rt△ABD 中，
∵∠DAB=30∘，
∴AD=3BD，
∵AC=200，
∴3BD−BD=200，
∴BD=2003−1=1003+1，
∴BC=2BD=1003+1×2≈386 米．
答：此时游轮与灯塔 C 的距离为 386 米．
22. （1） 如图．
∵DE∥BC，且 DE=23BC，
∴AEAC=DEBC=23．
又 AC=6，
∴AE=4．
（2） ∵AB=a，AC=b，
∴BC=AC−AB=b−a．
又 DE∥BC，DE=23BC，
∴DE=23BC=23b−a．
23. （1） ∵AB=3AD，BF=FG=CG，
∴BD=2AD，BG=2CG，
∴BDAD=BGCG=2，
∴DG∥AC，
同理可得，EF∥AB，
∴∠HFG=∠ABC，∠HGF=∠ACB，
∴△HFG∽△ABC，
∴FHAB=HGAC，即 FH⋅AC=HG⋅AB．
（2） 连接 DF，EG，DE，如图所示，
∵EF∥AB，
∴GHHD=GFFB，
∵GF=FB，
∴GHHD=GFFB=1，
∴GH=HD，
同理可证，FH=EH，
∴ 四边形 DFGE 是平行四边形，
∴DF∥EG，
∴∠FDG=∠EGD，
∴∠FHG=∠EGH+∠HEG，
∵∠DHE=∠FHG，
∴∠DHE=∠EGH+∠HEG=∠FDG+∠GEF，
由 EF∥AB，DG∥AC，得四边形 ADHE 是平行四边形，
∴∠A=∠DHE，
∴∠A=∠FDG+∠GEF．
24. （1） ∵ 抛物线 y=−43x2+4 的顶点为 C，
∴ 点 C0,4，
∴OC=4，
∵tanB=4=OCOB，
∴OB=1，
∴ 点 B1,0，
设点 D 坐标 a,b，
∴ 新抛物线解析式：y=−43x−a2+b，且过点 C0,4，点 B1,0，
∴0=−431−a2+b,4=−43a2+b,
解得：a=−1,b=163,
∴ 点 D 坐标 −1,163．
（2） 如图 1，过点 D 作 DH⊥OC，
∵ 点 D 坐标 −1,163，
∴ 新抛物线解析式为：y=−43x+12+163，
当 y=0 时，0=−43x+12+163，
∴x1=−3，x2=1，
∴ 点 A−3,0，
∴AO=3，
∴AOCO=34，
∵ 点 D 坐标 −1,163，
∴DH=1，HO=163，
∴CH=OH−OC=43，
∴DHCH=34，
∴AOCO=DHCH，且 ∠AOC=∠DHC=90∘，
∴△AOC∽△CHD，
∴∠ACO=∠DCH，
∵CE 平分 ∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE，
∴∠ACO+∠ACE=∠DCH+∠DCE，且 ∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE=180∘，
∴∠ECO=∠ECH=90∘=∠AOB，
∴EC∥AO，
∴ 点 E 纵坐标为 4，
∴4=−43x+12+163，
∴x1=−2，x2=0，
∴ 点 E−2,4．
（3） y=−43x+232+4 或 y=−43x−1122+4．
【解析】如图 2，
∵ 点 E−2,4，点 C0,4，点 A−3,0，点 B1,0，点 D 坐标 −1,163，
∴DE=DC=53，AC=AO2+CO2=16+9=5，AB=3+1=4，
∴∠DEC=∠DCE，
∵EC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB，
∴∠DEC=∠CAB，
∵△DEF 和 △ABC 相似，
∴DEAC=EFAB 或 DEAB=EFAC，
∴535=EF4 或 534=EF5，
∴EF=43或2512，
∴ 点 F−23,4或112,4，
设平移后解析式为：y=−43x+1−c2+4，
∴4=−43−23+1−c2+4 或 4=−43112+1−c2+4，
∴c1=13，c2=1312，
∴ 平移后解析式为：y=−43x+232+4 或 y=−43x−1122+4．
25. （1） 作 AH⊥BC 于 H，BM⊥AC 于 M．
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=3，
∴AH=AB2−BH2=52−32=4，
∵S△ABC=12⋅BC⋅AH=12⋅AC⋅BM，
∴BM=BC⋅AHAC=245，
∴AM=AB2−BM2=52−2452=75，
∴csA=AMAB=725．
（2） 设 AH 交 CD 于 K．
∵∠BAC=2∠ACD，∠BAH=∠CAH，
∴∠CAK=∠ACK，
∴CK=AK，设 CK=AK=x，
在 Rt△CKH 中，则有 x2=4−x2+32，解得 x=258，
∴AK=CK=258，
∵∠ADK=∠ADC，∠DAK=∠ACD，
∴△ADK∽△CDA，
∴ADCD=AKAC=DKAD=2585=58，
设 AD=m，DK=n，
则有 mn+258=58,m2=nn+258, 解得 m=12539，n=625312．
∴AD=12539．
（3） 结论：AD:BE=5:6 值不变．
理由：
∵∠GBE=∠ABC，∠BAC+2∠ABC=180∘，∠GBE+∠EBC+∠ABC=180∘，
∴∠EBC=∠BAC，
∵∠EDC=∠BAC，
∴∠EBC=∠EDC，
∴D，B，E，C 四点共圆，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EDB+∠EDC=∠ACD+∠DAC，∠EDC=∠DAC，
∴∠EDB=∠ACD，
∴∠ECB=∠ACD，
∴△ACD∽△BCE，
∴ADBE=ACBC=56．