专题4因式分解与分式-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第02期）

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）

              专题4因式分解与分式

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

一、单选题

1．（2021·广西贺州市·中考真题）多项式因式分解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先提取公因式，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可

【详解】

解：

故答案选：A．

【点睛】

本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．

2．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据因式分解的定义解答．

【详解】

解：中不是整式，故A选项不符合题意；

是整式乘法计算，故B选项不符合题意；

是因式分解，故C选项符合题意；

不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫做将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键．

3．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第个图树枝数用表示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律，代入规律求解即可．

【详解】

解：由图可得到：

则：，

∴，

故答案选：B．

【点睛】

本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

4．（2021·内蒙古中考真题）下列运算结果中，绝对值最大的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

计算各个选项的结果的绝对值，比较即知．

【详解】

∵1+(−4)=−3，(-1)4=1，(-5)-1=，

而，，，，且

∴的绝对值最大

故选：A．

【点睛】

本题考查了实数的运算、实数的绝对值等知识，掌握实数的运算法则是关键．

5．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）下列计算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可．

【详解】

，故A错；

当a＞0，，当a＜0，，故B错；

，故C错；

，D正确；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的额关键．

6．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）已知，则分式与的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】A

【分析】

将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．

【详解】

解：，

∵，

∴，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．

7．（2021·山东济宁市·中考真题）计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据分式的混合运算法则进行计算，先算小括号里面的加减，后算乘除，即可求得结果．

【详解】

解：

．

故选：A．

【点睛】

本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算顺序和计算法则是解题的关键．

8．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意列出算式，求解即可

【详解】

．

故选B．

【点睛】

本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等．

9．（2021·河北中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

【答案】C

【分析】

先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可．

【详解】

解：，

当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意；

当时，，，故B选项错误，不符合题意；

当时，，，故C选项正确，符合题意；

当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．

10．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）

A． B．且 C．且 D．

【答案】C

【分析】

要使式子在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底数也不能为零，满足上述条件即可．

【详解】

解：式子在实数范围内有意义，

必须同时满足下列条件：

，，，

综上：且，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，当上述式子同时出现则必须同时满足．

11．（2021·江苏南京市·中考真题）计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

直接利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可．

【详解】

解：原式=；

故选：B．

【点睛】

本题考查了幂的乘方和同底数幂的运算法则，其中涉及到了负整数指数幂等知识，解决本题的关键是牢记相应法则，并能够按照正确的运算顺序进行计算即可，本题较为基础，考查了学生的基本功．

二、填空题

12．（2021·山东东营市·中考真题）因式分解：________．

【答案】

【分析】

先提取公因式b，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可．

【详解】

解：

故答案为：

【点睛】

本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．

13．（2021·内蒙古中考真题）因式分解：_______．

【答案】

【分析】

首先将公因式a提出来，再根据完全平方公式进行因式分解即可．

【详解】

，

故填：．

【点睛】

本题考查提公因式因式分解，公式法因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法：提公因式因式分解和公式法因式分解．

14．（2021·广东中考真题）若且，则_____．

【答案】

【分析】

根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．

【详解】

∵，

∴，

∵，

∴，

∴=，

∴==，

故答案为：

【点睛】

本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．

15．（2021·山东威海市·中考真题）分解因式：________________．

【答案】

【分析】

先提公因式，再利用平方差公式即可分解．

【详解】

解：．

故答案为：

【点睛】

本题考查了整式的因式分解，因式分解的一般步骤是“一提二看三检查”，熟知提公因式法和乘法公式是解题关键．

16．（2021·湖北中考真题）分解因式：________．

【答案】

【分析】

先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可得．

【详解】

解：原式，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．

17．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）在实数范围内分解因式：_________．

【答案】．

【分析】

利用平方差公式分解因式得出即可．

【详解】

解：

=

=

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．

18．（2021·浙江温州市·中考真题）分解因式：______．

【答案】

【分析】

原式提取2，再利用平方差公式分解即可．

【详解】

解：

=2（m2-9）

=2（m+3）（m-3）．

故答案为：2（m+3）（m-3）．

【点睛】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

19．（2021·北京中考真题）分解因式：______________．

【答案】

【分析】

根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．

【详解】

解：；

故答案为．

【点睛】

本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

20．（2021·贵州铜仁市·中考真题）要使分式有意义，则的取值范围是______________；

【答案】

【分析】

根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求得

【详解】

要使分式有意义

则

故答案为：．

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件：分母不等于0，理解分式有意义的条件是解题的关键．

21．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：，，则_____________．

【答案】2

【分析】

利用负整数指数幂和零指数幂求出a的值，利用平方差公式，求出b的值，进而即可求解．

【详解】

解：∵，，

∴，

故答案是：2．

【点睛】

本题主要考查二次根式求值，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂以及平方差公式，是解题的关键．

22．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）当时，代数式的值是____．

【答案】

【分析】

先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入x求值即可．

【详解】

解：由题意可知：

原式

，

当时，原式，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了分式的加减乘除混合运算，属于基础题，运算过程中细心即可求解．

23．（2021·福建中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于_________．

【答案】4

【分析】

由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．

【详解】

由得：xy+y=x，即x-y=xy

∴

故答案为：4

【点睛】

本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入．

三、解答题

24．（2021·四川宜宾市·中考真题）（1）计算：；

（2）化简：．

【答案】（1）-1；（2）

【分析】

（1）先算零指数幂，化简二次根式，锐角三角函数以及负整数指数幂，再算加减法即可求解；

（2）先算分式的加法，再把除法化为乘法，进行约分，即可求解．

【详解】

解：（1）原式=

=

=-1；

（2）原式=

=

=．

【点睛】

本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质，锐角三角函数值以及分式的运算法则，是解题的关键．

25．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）先化简，再求值：，其中．

【答案】；

【分析】

根据分式的混合运算法则进行化简，再结合特殊角的三角函数值求出a的值，再代入求解即可．

【详解】

解：原式

；

当时，

原式．

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值问题，掌握运算法则与顺序，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．

26．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）（1）计算：．

（2）因式分解：．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）先计算乘方、特殊三角函数值、绝对值的运算，再利用四则运算法则计算即可；

（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．

【详解】

（1）解：原式

（2）解：原式

【点睛】

本题考查的是实数的运算、因式分解，熟练运用乘方公式、特殊三角函数值、绝对值、正确提取公因式等是解题的关键．

27．（2021·江苏盐城市·中考真题）先化简，再求值：，其中．

【答案】，3

【分析】

先通分，再约分，将分式化成最简分式，再代入数值即可．

【详解】

解：原式

．

∵

∴原式．

【点睛】

本题考查分式的化简求值、分式的通分、约分，正确的因式分解将分式化简成最简分式是关键．

28．（2021·湖北中考真题）（1）计算：；

（2）解分式方程：．

【答案】（1）8；（2）．

【分析】

（1）先计算零指数幂、去括号、立方根、化简二次根式，再计算实数的混合运算即可得；

（2）先将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得．

【详解】

解：（1）原式，

，

；

（2），

方程两边同乘以得：，

移项、合并同类项得：，

系数化为1得：，

经检验，是原分式方程的解，

故方程的解为．

【点睛】

本题考查了零指数幂、立方根、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握各运算法则和方程的解法是解题关键．

29．（2021·山东威海市·中考真题）先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．

【答案】2（a-3），当a=0时，原式=-6；当a=1时，原式=-4．

【分析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算可得答案．

【详解】

=

=

=

=

=2（a-3），

∵a≠3且a≠-1，

∴a=0，a=1，

当a=0时，原式=2×（0-3）=-6；

当a=1时，原式=2×（1-3）=-4．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

30．（2021·黑龙江中考真题）先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【分析】

先去括号，然后再进行分式的化简，最后代值求解即可．

【详解】

解：原式=，

∵，

∴，

代入得：原式=．

【点睛】

本题主要考查分式的化简求解及特殊三角函数值，熟练掌握分式的化简求解及特殊三角函数值是解题的关键．

31．（2021·江苏无锡市·中考真题）计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）9；（2）

【分析】

（1）先算绝对值，乘方和特殊角三角函数值，再算加减法，即可求解；

（2）先通分化成同分母减法，进而即可求解．

【详解】

解：（1）原式=

=9；

（2）原式=

=

=

=．

【点睛】

本题主要考查实数的混合运算以及分式的减法运算，掌握特殊角三角函数以及分式的通分，是解题的关键．

32．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）先化简，再求值：

，其中x满足．

【答案】x（x+1）；6

【分析】

先求出方程的解，然后化简分式，最后选择合适的x代入计算即可．

【详解】

解：∵

∴x=2或x=-1

∴

=

=
 

=

=x（x+1）

∵x=-1分式无意义，∴x=2

当x=2时，x（x+1）=2×（2+1）=6．

【点睛】

本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定x的值是解答本题的易错点．

33．（2021·山东东营市·中考真题）（1）计算：．

（2）化简求值：，其中．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）先化简二次根式、特殊角的正切三角函数、化简绝对值、零指数幂、积的乘方的逆用，再计算实数的混合运算即可得；

（2）先计算分式的加法运算，再根据得出代入求值即可得．

【详解】

解：（1）原式，

，

；

（2）原式，

，

，

，

，

∵，

∴，

∴原式．

【点睛】

本题考查了化简二次根式、特殊角的正切三角函数、零指数幂、分式的化简求值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．

34．（2021·湖南中考真题）先化简，再求值：，其中．

【答案】，．

【分析】

先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后将代入求值即可得．

【详解】

解：原式，

，

，

将代入得：原式．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．

35．（2021·湖南娄底市·中考真题）先化简，再求值：，其中x是中的一个合适的数．

【答案】，．

【分析】

先计算括号内的异分母分式减法，再计算乘法，最后将可选取的x值代入计算即可．

【详解】

解：

，

∵，，

∴，

原式．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则及确定字母的可取数值是解题的关键．

36．（2021·湖南娄底市·中考真题）计算：．

【答案】

【分析】

直接利用零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．

【详解】

解：

．

【点睛】

本题考查了零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．

37．（2021·湖南张家界市·中考真题）先化简，然后从0，1，2，3中选一个合适的值代入求解．

【答案】，6

【分析】

将分子、分母因式分解除法转化为乘法，约分、合并同类项，选择合适的值时，a的取值不能使原算式的分母及除数为0．

【详解】

解：原式                       

因为a=0，1，2时分式无意义，所以                           

当时，原式

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，关键是先化简，后代值，注意a的取值不能使原算式的分母及除数为0．

38．（2021·湖北鄂州市·中考真题）先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【分析】

先通过约分、通分进行化简，再把给定的值代入计算即可．

【详解】

解：原式

，

当时，原式．

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握因式分解，正确进行约分、通分．

39．（2021·广西玉林市·中考真题）先化简再求值：，其中使反比例函数的图象分别位于第二、四象限．

【答案】

【分析】

由题意易得，然后对分式进化简，然后再求解即可．

【详解】

解：∵使反比例函数的图象分别位于第二、四象限，

∴，

∴

=

=．

【点睛】

本题主要考查反比例函数的图象与性质及分式的化简求值，熟练掌握反比例函数的图象与性质及分式的运算是解题的关键．

40．（2021·山东聊城市·中考真题）先化简，再求值：，其中a＝﹣．

【答案】；6

【分析】

先把分式化简后，再把a的值代入求出分式的值即可．

【详解】

解：原式＝

，

当时，原式＝6．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．

41．（2021·湖北荆州市·中考真题）先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【分析】

先计算括号内的加法，然后化除法为乘法进行化简，继而把代入求值即可．

【详解】

解：原式=

当时，原式

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．

42．（2021·浙江衢州市·中考真题）先化简，再求值：，其中．

【答案】；4

【分析】

先将这两个分式转化为同分母的分式，再将分母不变，分子相加减，最后化简即可．

【详解】

解：原式

当时，原式．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值问题，涉及到了分式的通分和约分，解决本题的关键是牢记相关概念与法则，并灵活运用，最后的结果记得化简即可．