专题8分式方程-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第02期）

这是一份专题8分式方程-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第02期），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）
专题8分式方程
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、单选题
1．（2021·广东中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解即得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：
去分母得：，
移项合并得：，
化系数为“1”得：，
检验，当时，，
∴是原分式方程的解．
故选：D．
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
2．（2021·黑龙江中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据分式方程的解法可直接进行排除选项．
【详解】
解：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
故选A．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
3．（内蒙古呼伦贝尔2021年中考数学试卷）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．0或3
【答案】C
【分析】
直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．
【详解】
解：，
去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），
解得：x＝，
当时，方程无解，
解得．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程．
4．（2021·四川宜宾市·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】
先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．
【详解】
解：，
去分母得：，
∵关于x的分式方程有增根，增根为：x=2，
∴，即：m=2，
故选C．
【点睛】
本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．
5．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题中等量关系“2021年购买的口罩数量比2020年购买的口罩数量多100包”即可列出方程．
【详解】
解：设2020年每包口罩x元，则2021年每包口罩（x-10）元．
根据题意，得，

即：
故选：C
【点睛】
本题考查了列分式方程的知识点，寻找已知量和未知量之间的等量关系是列出方程的关键．
6．（山东省淄博市2021年中考数学试题）甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：；
故选D．
【点睛】
本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
7．（2021·广西贺州市·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
根据分式方程有增根可求出，方程去分母后将代入求解即可.
【详解】
解：∵分式方程有增根，
∴，
去分母，得，
将代入，得，
解得．
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．
8．（2021·广西贺州市·中考真题）如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】
根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B的元素通过分析，与A的元素对应分类讨论即可．
【详解】
解：∵集合B的元素，，可得，
∴，
∴，，
∴，
当时，，，，不满足互异性，情况不存在，
当时，，（舍），时，，，满足题意，
此时，．
故选：Ｃ
【点睛】
本题考查集合的互异性、确定性、无序性。通过元素的分析，按照定义分类讨论即可．
二、填空题
9．（2021·湖北黄石市·中考真题）分式方程的解是______．
【答案】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：
去分母得：，
去括号化简得：，
解得：，
经检验是分式方程的根，
故填：．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
10．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_________．
【答案】且
【分析】
先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【详解】
解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
∵x为正数，
∴，解得，
∵，
∴，即，
∴m的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m表示出x的值是解题的关键．
11．（2021·辽宁本溪市·中考真题）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为________．
【答案】
【分析】
设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】
解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，
依题意得：，
故答案为：
【点睛】
本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
12．（2021·四川雅安市·中考真题）若关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是______．
【答案】且
【分析】
根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有意义则，进而计算出的取值范围即可．
【详解】
解：


根据题意且
∴
∴
∴k的取值范围是且．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．
13．（2021·山东东营市·中考真题）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为万平方米，则所列方程为________．
【答案】
【分析】
原计划每天绿化的面积为万平方米，则实际每天绿化的面积为万平方米，根据工作时间=工作总量工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了这一任务，即可列出关于的分式方程．
【详解】
设原计划每天绿化的面积为万平方米，则实际每天绿化的面积为万平方米，
依据题意：
故答案为：
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

三、解答题
14．（2021·江苏南通市·中考真题）（1）化简求值：，其中；
（2）解方程．
【答案】（1）原式=4；（2）．
【分析】
（1）先用完全平方差公式与多项式乘法公式将原式化简为，再将已知条件代入即可；
（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可．
【详解】
解：（1）
=
=
当时，原式==；
（2），
去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
则原方程的解为：．
【点睛】
本题主要考查了代数式的化简求值与解分式方程，关键在于熟练的掌握解题的方法与技巧，注意分式方程要检验．
15．（2021·江苏泰州市·中考真题）（1）分解因式：x3﹣9x；
（2）解方程：+1＝．
【答案】（1）x（x+3）（x-3）；（2）x=-1
【分析】
（1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先将分式方程化简为整式方程，再求解检验即可．
【详解】
解：（1）原式=x（x2-9）=x（x+3）（x-3），
（2）等式两边同时乘以（x-2）得2x+x-2=-5，
移项合并同类项得3x=-3，
系数化为1得x=-1
检验：当x=-1时，x-2，
∴x=-1是原分式方程的解．
【点睛】
本题考查了因式分解和解分式方程，解题关键是熟练掌握因式分解的方法及注意解分式方程要检验．
16．（2021·辽宁丹东市·中考真题）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？
【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．
【分析】
根据题意列出方程求解即可．
【详解】
解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，
列方程得：，
解得：x=80．
80-20=60．
答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．
【点睛】
此题考查了分式方程应用题的解法，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程．
17．（2021·江苏徐州市·中考真题）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
【答案】50
【分析】
该商品打折卖出x件，找到等量关系即可．
【详解】
解：该商品打折卖出x件

解得x=8
经检验：是原方程的解，且符合题意
∴商品打折前每件元
答：该商品打折前每件50元．
【点睛】
此题考查分式方程实际问题中的销售问题，找到等量关系是解题的关键．
18．（2021·广西贵港市·中考真题）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先分别化简二次根式，零指数幂，有理数的乘方，特殊角三角函数值，然后再计算；
（2）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
【详解】
解：（1）原式

；
（2）整理，得：，
方程两边同时乘以，得：，
解得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
【点睛】
本题考查零指数幂，特殊角三角函数，解分式方程，掌握实数混合运算的运算顺序和计算法则，理解解分式方程的步骤是解关键．
19．（2021·辽宁营口市·中考真题）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
【答案】（1）“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）最多能购买“科普类”图书33本．
【分析】
（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，结合购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设能购买“科普类”图书m本，根据总价＝单价×数量，列出不等式，即可求解．
【详解】
解：（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，
依题意，得： ，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝18．
答：“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；
（2）设能购买“科普类”图书m本，
根据题意得：18m+15(100-m)≤1600，
解得：，
∵m为整数，
∴最多能购买“科普类”图书33本．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及不等式的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
20．（2021·江苏常州市·中考真题）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？
【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．
【分析】
设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则原来平均每天用水2x吨，列出分式方程，即可求解．
【详解】
解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则原来平均每天用水2x吨，
由题意得：，解得：x=2，
经检验：x=2是方程的解，且符合题意，
答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
21．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？
【答案】最多可购进33个B足球
【分析】
设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为元/个，根据购买A足球数量是B足球数量的1.5倍列出分式方程，求出A足球和B足球的单价，在设今年购进B足球的个数为a个，则购买A足球的数量为个，根据购买这两种足球的总费用不超过去年总费用的一半列出不等式解答即可．
【详解】
解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为元/个
由题意得：


∴
经检验，是原分式方程的解且符合题意
∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个
设今年购进B足球的个数为a个，则购买A足球的数量为个，由题意可得：

∴


∴最多可购进33个B足球
【点睛】
本题考查了分式方程，一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．
22．（2021·吉林长春市·中考真题）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，求每千克有机大米的售价为多少元？
【答案】每千克有机大米的售价为7元．
【分析】
设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x-2）元，根据“用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同”，列出分式方程，即可求解．
【详解】
解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x-2）元，
根据题意得：，解得：x=7，
经检验：x=7是方程的解，且符合题意，
答：每千克有机大米的售价为7元．
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
23．（2021·广西中考真题）解分式方程：．
【答案】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：
去分母，得，
解此方程，得，
经检验，是原分式方程的根．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验．
24．（2021·山东威海市·中考真题）六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次每件的进价为多少元？
（2）若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？
【答案】（1）第一次每件的进价为50元；（2）两次的总利润为1700元．
【分析】
（1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）根据总利润=总售价-总成本，列出算式，即可求解．
【详解】
解：（1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，
根据题意得：，解得：x=50，
经检验：x=50是方程的解，且符合题意，
答：第一次每件的进价为50元；
（2）（元），
答：两次的总利润为1700元．
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
25．（2021·山东济宁市·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
【分析】
（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．
【详解】
解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：
，
整理得：x2-18x+45=0，
解得：x=15或x=3（舍去），
经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，
∴x-5=15-5=10（元），
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：
w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，
∵a=-20，
当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
【点睛】
本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式．
26．（2021·广东中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2），最大利润为1750元
【分析】
（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可；
（2）根据题意当时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可．
【详解】
解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元．
则
解得：，经检验是方程的解．
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
（2）由题意得，当时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为()
∴，

配方得：
当时，y取最大值为1750元．
∴，最大利润为1750元．
答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元．
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键．
27．（2021·内蒙古中考真题）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
【答案】（1）小刚跑步的平均速度为150米/分；（2）小刚不能在上课前赶回学校，见解析
【分析】
（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；
（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较即可．
【详解】
解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，
根据题意，得，
解这个方程，得，
经检验，是所列方程的根，
所以小刚跑步的平均速度为150米/分．
（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，
则小刚跑步所用时间为（分），
骑自行车所用时间为（分），
在家取作业本和取自行车共用了3分，
所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要（分）．
因为，
所以小刚不能在上课前赶回学校．
【点睛】
本题考查路程问题的分式方程，解题关键是明确题意，列出分式方程求解．
28．（2021·江苏无锡市·中考真题）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
【答案】（1）一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．
【分析】
（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件，根据4≤m≤10，且为整数，m为整数，即可得到答案．
【详解】
解：（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，
由题意得：，解得：x=15，
经检验：x=15是方程的解，且符合题意，
∴15×4=60（元），15×3=45（元），
答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；
（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件，
∵4≤m≤10，且为整数，m为整数，
∴m=4，7，10，
答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．
【点睛】
本题主要考查分式方程和不等式组的实际应用，准确找出数量关系，列出分式方程或不等式，是解题的关键．