初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试课后测评

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试课后测评，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在下列函数中，以为自变量的二次函数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各点，不在二次函数y=x2的图象上的是（ ）
A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（﹣2，4） D．（3，9）
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．若抛物线y=x2-x-2经过点A（3，a），则a的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．如果抛物线 的开口向上，那么m的取值范围是 （ ）
A．B．m≥1C．m＜1D．m≤1
6．当取一切实数时，函数的最小值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
7．将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）
A．y=2x2+2B．y=2（x+2）2C．y=（x－2）2D．y=2x2－2
8．已知二次函数y=ax2+bx+c，且ac＜0，则它的图象经过( )
A．一、二、三象限B．二、三、四象限
C．一、三、四象限D．一、二、三、四象限
9．抛物线y＝（x+1）2+2上两点（0，a）、（﹣1，b），则a、b的大小关系是（ ）
A．a＞bB．b＞a
C．a＝bD．无法比较大小
10．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
11．已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示
下列说法错误的是
A．图象开口向下B．抛物线的对称轴是直线
C．D．当时，
12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．函数是二次函数，则m的值为_______.
14．已知抛物线过和两点，那么该抛物线的对称轴是直线________．
15．抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴有_____个交点．
16．已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝_______．
17．飞行中的炮弹经秒后的高度为米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第________秒．
18．二次函数的图象如图所示，当函数值时，自变量的取值范围是________．
19．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序）
三、解答题
20．已知二次函数，当时，．
（1）当时，求y的值；
（2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
21．已知抛物线．
指出它的开口方向，并求它的顶点坐标和对称轴；
若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
22．如图，已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）连接，，求的面积．
23．某商店进了一批服装，每件成本50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价5元出售，其销量将减少100件．
（1）求售价为70元时的销售量及销售利润；
（2）求销售利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系，并求售价为多少元时获得最大利润；
（3）如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装的定价是多少元？
24．如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）
（1）求抛物线的解析式：
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM周长最短？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义进行选择即可．
【详解】
A．y=﹣3x2+2x+1是二次函数，故本选项正确；
B．y=﹣x+52是一次函数，故本选项错误；
C．y=﹣3是反比例函数，故本选项错误；
D．y=2（x+2）+1设是一次函数，故本选项错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：
（1）一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1；
（2）二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
2．A
【分析】
将点的坐标代入函数解析式验证即可.
【详解】
将,（1，﹣1）,（1，1）,（﹣2，4）,（3，9）代入y=x2,
（1，﹣1）不能使左右两边相等,
故选A
【点睛】
本题考查了二次函数图像上点的特征,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
3．C
【分析】
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】
由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（−2，−5）．
故选：C．
【点睛】
考查将解析式化为顶点式y＝a（x−h）2＋k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
4．B
【分析】
将A点坐标代入抛物线解析式y=x2-x-2即可求得a的值
【详解】
解: 将A点坐标x=3代入抛物线解析式y=x2-x-2，
得：a=32-3-2=4．
故选B．
【点睛】
本题考查了给出函数解析式求点的坐标的方法，代入已知量即可求得未知量，理解二次函数的定义是解题关键．
5．A
【详解】
因为抛物线y=(m−1)x²的开口向上，
所以m−1>0，即m>1，故m的取值范围是m>1，
故选A．
6．B
【解析】
【分析】
把二次函数转化为顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答即可．
【详解】
y=x2+2x+3=x2+2x+1+2=（x+1）2+2．
∵a=1＞0，∴二次函数有最小值，最小值为2．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
7．B
【详解】
根据左右平移法则：左加右减，得B答案．可设y="2" x2图象上任意一点P（x，y），
P点向左平移2个单位长度后得新点坐标（a，b），则a=x-2，b=y.所以x=a+2，y=b代入y=2x2得b=2（a+2）2 .同一坐标系下用x，y表示.故得B. y=2（x+2）2
8．D
【详解】
则二次函数y=ax2+bx+c图像与直线轴有两个不同的交点；若则此时图像与y轴负半轴交点为，若则此时图像与y轴正半轴交点为；所以它的图象经过一、二、三、四象限．故选D
9．A
【分析】
先根据抛物线解析式，判断开口方向和对称轴，然后比较a，b的大小即可.
【详解】
解：∵抛物线y＝（x+1）2+2开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
∵点（﹣1，b）在对称轴上，
∴a＞b，
故选：A．
【点睛】
本题是对抛物线解析式得考查，熟练掌握抛物线对称轴和开口方向是解决本题的关键，也可算出a，b的值来比较大小.
10．B
【详解】
分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
11．D
【分析】
根据表格中的数据和二次函数的性质，可以逐个判断．
【详解】
由表格可得，
该函数的对称轴是直线x＝ ＝2，故选项B正确，
该函数的顶点坐标是（2，7），有最大值，开口向下，故选项A正确，
该函数与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，故选项C正确，
当1＜x＜3时，6＜y≤7，故选项D错误，
故选D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．D
【分析】
根据二次函数的性质逐一进行分析即可
【详解】
①4a-2b+c＜0；当x=-2时，y=ax2+bx+c，y=4a-2b+c，由-2＜x1＜-1，可得y＜0，故①正确；
②2a-b＜0；已知x=- ＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；
③已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜（2），
由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；
∵c＜2，则有a＜-1，所以③正确
④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，
故选D．
【点睛】
本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．
13．-1
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义得到，再进行计算即可得到答案.
【详解】
根据二次函数的定义得到，则有，移项可得，因式分解得到，解得（舍去），，故答案为.
【点睛】
本题考查二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，由题意得到.
14．x=2．
【详解】
试题分析：根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案，
∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，
∴对称轴为x==2，
考点：二次函数的性质．
15．两
【解析】
【分析】
根据△=b2−4ac的值与0的关系，即可判断出二次函数与x轴的交点个数.
【详解】
y=x2﹣4x﹣5
△=b2−4ac=−42−4×1×−5=36>0.
抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴有两个交点．
故答案为：两.
【点睛】
考查抛物线与x轴的交点个数，掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键.
16．1
【详解】
∵物线 与x轴交点的横坐标为-1，
∴a-1+c=0，
∴a+c=1，
故答案为1.
17．10.5
【详解】
解：依据题意可知当t=7，14时高度相等，
则根据抛物线的轴对称性可知：
其对称轴为直线，
且实际问题（飞行中的炮弹）a<0，
故当x=10.5时即抛物线最高，
故答案为：10.5．
18．
【分析】
求函数值y＜0时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴下方时，对应的x的取值范围．
【详解】
解：如图，函数值y＜0时，自变量x的取值范围是-1＜x＜3．
故答案是：-1＜x＜3．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式的关系，理解求函数值y＜0时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴下方时自变量的范围是关键，体现了数形结合思想．
19．a1＞a2＞a3＞a4
【分析】
直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案是：a1＞a2＞a3＞a4.
【点睛】
考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
20．（1）当时，；（2）函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是，当时，函数y随x的增大而增大．
【分析】
（1）把代入解析式求值即可；
（2）根据（1）所求解析式，进行分析即可；
【详解】
（1）∵把代入得，解得，∴这个二次函数的解析式为．
当时，．
（2）∵，
∴函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是．
当时，函数y随x的增大而增大．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的知识点，准确分析计算是解题的关键．
21．（1）开口向上，顶点坐标坐标是，对称轴是直线；（2）4
【分析】
（1）用配方法可以写出抛物线的顶点式，然后根据顶点式各参数的意义可得问题解答；
（2）将抛物线的解析式因式分解，即可得到抛物线与x轴的交点A、B的坐标，由坐标即可得到线段AB的长．
【详解】
解：由抛物线得到：
开口向上，顶点坐标坐标是，对称轴是直线．
由抛物线得到点A的坐标是，点B的坐标是．
故线段AB的长为：．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数顶点式的图象与性质、抛物线与x轴的交点坐标及其截线长是解题关键．
22．（1）交点A，B的坐标分别为；（2）．
【分析】
（1）根据题意，将一次函数与二次函数解析式联立，解出方程就可以得到交点坐标；
（2）根据题意，设直线与y轴交于点C，把分成和，再利用点坐标分别求面积．
【详解】
（1）由题意得
解得或
即交点A，B的坐标分别为．
（2）如图
设直线与y轴交于点，即．
．
【点睛】
本题考查了函数图象交点的求解，用割补法求平面直角坐标系中三角形的面积，关键在于第二问中利用割补法将大三角形分成两个面积好求的小三角形去求面积．
23．（1）600，12000；（2）y=-20（x-75）2+12500，75；（3）70元或80元.
【详解】
试题分析：此题应明确公式：销售利润=销售量×（售价-成本），求售价为多少元时获得最大利润，需考虑二次函数最值问题．
试题解析：（1）销售量为800-20×（70-60）=600（件），
600×（70-50）=600×20=12000（元）
（2）y=（x-50）[800-20（x-60）]=-20x2+3000x-100000，
=-20（x-75）2+12500，
所以当销售价为75元时获得最大利润为12500元．
（3）当y=12000时，
-20（x-75）2+12500=12000，
解得x1=70，x2=80，
即定价为70元或80元时这批服装可获利12000元．
考点: 二次函数的应用.
24．（1）y=x2+2x﹣3（2）存在点M使△ABM周长最短，其坐标为（﹣1，﹣2）
【解析】
【分析】
（1）由直线解析式可求得A、B两点的坐标，根据待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）连接BC交对称轴于点M，由题意可知A、C关于对称轴对称，则可知MA=MC，故当B、M、C三点在同一条直线上时MA+MB最小，则△ABM的周长最小，由B、C坐标可求得直线BC的解析式，则可求得M点的坐标．
【详解】
(1)在y=3x−3中，令y=0求得x=1，令x=0可得y=−3，
∴A(1,0),B(0,−3)，
把A. B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：1+b+c=0c=−3，
解得b=2c=3，
∴抛物线解析式为y=x2+2x−3；
(2)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴抛物线的对称轴为x=−1，
∵A、C关于对称轴对称,且A(1,0)，
∴MA=MC,C(−3,0)，
∴MB+MA=MB+MC，
∴当B. M、C三点在同一条直线上时MB+MC最小，此时△ABM的周长最小，
∴连接BC交对称轴于点M，则M即为满足条件的点，
设直线BC的解析式为y=kx+m，
∵直线BC过点B(0,−3),C(−3,0)，
∴−3k+m=0m=−3，
解得：k=−1m=−3，
∴直线BC的解析式y=−x−3，
当x=−1时，y=−2，
∴M(−1,−2)，
∴存在点M使△ABM周长最短,其坐标为(−1,−2).
【点睛】
考查抛物线与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，轴对称-最短路线问题，综合性比较强，难度一般.
25．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．
【分析】
(1)把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出b，c的值,故可得出二次函数的解析式;
(2)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点E,设P（x，x2﹣2x﹣3），易得,直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）,再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论；
（3）分当OC=QC时，当OC=QO时，当QC=QO时三种情况求解即可.
【详解】
解：（1）将B、C两点的坐标代入得，
解得：；
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3，
则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
由0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=×4×3+（﹣x2+3x）×3
=﹣（x﹣）2+．
当x=时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；
（3）设点Q的坐标为（m，m﹣3），
∵O（0，0），C（0，﹣3），
∴OC=3，QC==|m|，QO=．
△QOC为等腰三角形分三种情况：
①当OC=QC时，3=|m|，
解得：m=±，
此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）；
②当OC=QO时，3=，
解得：m=3或m=0（舍去），
此时点Q的坐标为（3，0）；
③当QC=QO时，有|m|=，
解得：m=，
此时点Q的坐标为（，﹣）．
综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．
x
0
1
2
3
y
3
6
7
6