2020-2021学年北京市石景山区九下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市石景山区九下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 单项式 −xy2 的系数是
A. −1B. 1C. 2D. 3

2. 在下面四个几何体中，左视图是三角形的是
A. B.
C. D.

3. 如图，直线 AB∥CD，AB 平分 ∠EAD，∠1=100∘，则 ∠2 的度数是
A. 60∘B. 50∘C. 40∘D. 30∘

4. 若 a，b，c 分别表示 2 的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是
A. a>bB. bcD. b=2c

5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲乙丙丁平均数cm183183182182方差
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁

6. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，∠AOB=100∘，∠OBC=20∘ ， 则 ∠OAC 的度数为
A. 20∘B. 25∘C. 30∘D. 40∘

7. 如图所示，在正方形 ABCD 中，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分）， 得到长为 c 的正方形，则下列等式成立的是
A. a+b=cB. a2+b2=c2
C. c2=a+ba−bD. c2=a+b2−4ab

8. 如图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、 正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为 −2,0，表示冰壶馆的点的坐标为 −3,2，则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是
A. 滑雪大跳台 −5,0B. 五一剧场 −3,−2
C. 冬奥组委会 −5,4D. 全民畅读艺术书店 5,0

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 写出一个比 0 大且比 2 小的无理数 ．

10. 一个不透明的盒子中装有 4 个黄球，3 个红球和 2 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是 ．

11. 若一个正多边形的内角是外角的 3 倍，则这个正多边形的边数为 ．

12. 已知二元一次方程 2x−3y=10 ， 若 x 与 y 互为相反数，则 x 的值为 ．

13. 如图，在四边形 ACBD 中，∠ACB=90∘，AB=AD，E 是 BD 中点，过点 E 作 EF∥AD 交 AB 于点 F，连接 CF．
请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：
① ；
② ．

14. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 Aa,b 在双曲线 y=−1x 上．若 a<0，则点 A 在第 象限．

15. 某店家进一批应季时装共 400 件，要在六周内卖完，每件时装成本 500 元．前两周每件按 1000 元标价出售，每周只卖出 20 件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下：
价格折扣原价9折8折7折6折5折每周销售数量单位:件20254090100150
为盈利最大，店家选择将时装打 折销售，后四周最多盈利 元．

16. 在平面直角坐标系 xOy 中，A0,1，B1,1，有以下 4 种说法：
①一次函数 y=x 的图象与线段 AB 无公共点；
②当 b<0 时，一次函数 y=x+b 的图象与线段 AB 无公共点；
③当 k>1 时，反比例函数 y=kx 的图象与线段 AB 无公共点；
④当 b>1 时，二次函数 y=x2−bx+1 的图象与线段 AB 无公共点．
上述说法中正确的是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−43+π−3.140−12−6tan30∘．

18. 解不等式 x−13≤x−1 ， 并把它的解集在数轴上表示出来．

19. 已知 2x2+3y2=1，求代数式 2x+y2−4yx−54y 的值．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2m+1x+m2=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的 m 的值，并求此时方程的根．

21. 如图，在 △ABC 中，点 D 是线段 AB 的中点．
求作：线段 DE，使得点 E 在线段 AC 上，且 DE=12BC．
作法：
①分别以点 A，C 为圆心，大于 12AC 长为半径作弧，两弧相交于点 M，N 两点；
②做直线 MN，交 AC 于点 E；
③连接 DE．
∴ 线段 DE 即为所求的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AM=CM，AN=CN，
∴MN 是 AC 的垂直平分线．（ ）（填推理的依据）
∴ 点 E 是 AC 的中点．
∵ 点 D 是 AB 的中点，
∴DE=12BC．（ ）（填推理的依据）

22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，CE⊥AD 于点 E，延长 DA 至点 F，使得 EF=DA，连接 BF，CF．
（1）求证：四边形 BCEF 是矩形；
（2）若 AB=3，CF=4，DF=5，求 EF 的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=kx−1+3k≠0 经过一个定点 P，直线 l 与反比例函数 y=mxx>0 图象相交于点 P．
（1）直线 l：y=kx−1+3k≠0 可以看成是直线 y=kx+3k≠0 沿 x 轴向 （填“左”或“右”）平移 1 个单位得到的，请直接写出定点 P 的坐标 ；
（2）求 m 的值；
（3）直线 y=kx−k+3k≠0 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M，N．若 PM=2PN，求 k 的值．

24. 如图，AD 是 ⊙O 的直径，P 是 ⊙O 外一点，连接 PO 交 ⊙O 于点 C，PB，PD 分别切 ⊙O 于点 B，D，连接 AB，AC．
（1）求证：AB∥OP；
（2）连接 PA，若 PA=22，tan∠BAD=2，求 PC 长．

25. 第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京举行，石景山区作为北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”的高光时刻．随着冬奥会的脚步越来越近，石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项目和知识，越来越多的青少年走向冰场、走进雪场、了解冰雪运动知识．某校在距离冬奥会开幕倒计时 300 天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有 200 名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了 20 名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整）．
收集数据
七年级 66 70 71 78 71 78 75 78 58 a63908085808985868087八年级 616574707174747663b918580848783828086c
整理、描述数据
（说明：成绩 80 分及以上为优秀，60∼79 分为合格，60 分以下为不合格）
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级平均数中位数众数七年级77.57980八年级77.4n74
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，m= ，n= ；
（2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前 50%，在八年级只能排在后 50%，那么估计小冬的成绩可能是 ；
（3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为 ．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y=x2+bx+c．
（1）当 b=−2 时，
①若 c=4，求该函数最小值；
②若 2≤x≤3，则此时 x 对应的函数值的最小值是 5，求 c 的值；
（2）当 c=2b 时，若对于任意的 x 满足 b≤x≤b+2 且此时 x 所对应的函数值的最小值是 12，直接写出 b 的值．

27. ；已知等边 △ABC，D 为边 BC 中点，M 为边 AC 上一点（不与 A，C 重合），连接 DM．
（1）如图 1，点 E 是边 AC 的中点，当 M 在线段 AE 上（不与 A，E 重合）时，将 DM 绕点 D 逆时针旋转 120∘ 得到线段 DF，连接 BF．
①依题意补全图 1 ；
②此时 EM 与 BF 的数量关系为： ，∠DBF= ∘．
（2）如图 2，若 DM=2MC，在边 AB 上有一点 N，使得 ∠NDM=120∘．直接用等式表示线段 BN，ND，CD 之间的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于 ⊙M 内的一点 P，若在 ⊙M 外存在点 Pʹ，使得 MPʹ=2MP，则称点 P 为 ⊙M 的二倍点．
（1）当 ⊙O 的半径为 2 时，
①在 T11,0，T21,−1，T3−32,32 三个点中，是 ⊙O 的二倍点的是 ；
②已知一次函数 y=kx+2k 与 y 轴的交点是 A0,a，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是 ⊙O 的二倍点，求 a 的取值范围．
（2）已知点 Mm,0，B0,−12，C1,−12，⊙M 的半径为 2，若线段 BC 上存在点 P 为 ⊙M 的二倍点，直接写出 m 的取值范围 ．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. C
4. D
5. B
6. C
7. B
8. A
第二部分
9. 答案不唯一，如：2
10. 13
11. 八
12. 2
13. 答案不唯一，如 ∠BEF=∠BDA，EF=CF
14. 二
15. 7，72000
16. ②③
第三部分
17. 原式=43+1−23−6×33=1.
18. 去分母：
x−1≤3x−3,
移项，合并同类项：
2≤2x,
解得，
x≥1.
19. 原式=4x2+4xy+y2−4xy+5y2=4x2+6y2.
当 2x2+3y2=1 时，
原式=2x2+3y2=2.
20. （1） 由题意，Δ=b2−4ac>0．
解得，m>−14．
（2） x1,2=−2m−1±4m+12，
由题意，Δ=4m+1 是平方数，
不妨设 m=2，
原方程为 x2+5x+4=0，
解得，x1=−4，x2=−1．
∴ 当 m=2 时，方程的两个整根为 x1=−4，x2=−1．
21. （1） 补全图形
（2） 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；
三角形中位线等于第三边的一半．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵EF=DA，
∴EF=CB．
∴ 四边形 BCEF 是平行四边形．
∵CE⊥AD，
∴∠CEF=90∘．
∴ 四边形 BCEF 是矩形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DC=AB=3．
又 ∵CF=4，DF=5．
∴CF2+CD2=FD2．
∴FC⊥CD．
∴12⋅FC⋅CD=12⋅DF⋅CE．
∴CE=125．
在 Rt△CEF 中，∠CEF=90∘，FC=4，CE=125，
∴EF=165．
23. （1） 右；P1,3．
（2） P1,3 在函数 y=mxx>0，
∴m=3．
（3） 如图 1，
作 PQ⊥y轴 于点 Q，可得，Q0,3，
∴PQ∥OM．
∵PM=2PN，
∴PN=MN，ON=NQ=32，
∴3−k=32，
∴k=32．
如图 2，
作 PQ⊥y轴 于点 Q，可得，Q0,3，
∴PQ∥OM，
∴QNQO=PNPM．
∵PM=2PN，
∴QO=2QN=3，
∴QN=32，ON=92，
∴3−k=92，k=−32．
综上：k=32 或 k=−32．
24. （1） ∵PB，PD 分别切 ⊙O 于点 B，D，
∴PB=PD．
可得，点 C 为弧 BD 中点，
∴∠BAC=∠COD．
∴AB∥OP．
（2） 由（1）∠BAD=∠POD，
∵PD 切 ⊙O 于点 D，
∴PD⊥OD．
∴tan∠POD=PDOD=2．
∵AD=2OD，
∴AD=PD．
在 Rt△PDA 中，∠PDA=90∘，PA=22，
∴AD=PD=2，
∴OC=OD=1．
在 Rt△PDO 中，∠PDO=90∘，PD=2，OD=1，
∴PO=5．
∴PC=PO−CO=5−1．
25. （1） 80；0.45；80
（2） 79
（3） 210 人
26. （1） ①
y=x2−2x+4=x−12+3,
当 x=1 时函数的最小值为 3．
② y=x2−2x+c．
此时抛物线开口向上，对称轴为 x=1．
∴ 当 x>1 时，y 随 x 增大而增大．
∵2≤x≤3．
∴ 当 x=2 时，y最小=5，
∴5=22−2×2+c，
∴c=5．
（2） b=2 或者 b=−2−23．
27. （1） ①补全图形如图 1
② EM=BF；120．
【解析】②线段 EM 与 BF 的数量关系为 EM=BF；∠DBF=120∘．
（2） CD=BN+12ND
证明：取线段 AC 中点 E，连接 ED．如图 2．
∵ 点 D 是边 BC 的中点，点 E 是边 AC 的中点，
∴DE=12BA，CE=12CA，BD=CD=12BC．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60∘．
∴DE=BD=CD=CE，
∠CED=∠EDC=∠B=60∘．
∴∠BDE=120∘，
∵∠NDM=120∘，
∴∠EDM=∠BDN，
∴△EDM≌△BDN．
∴BN=EM，ND=MD=2MC．
∵EC=EM+MC，
∴CD=BN+12ND．
28. （1） ① T2，T3
②当 x=−2 时，y=0，
所以一次函数 y=kx+2k 过定点 −2,0，
如图 1，
当一次函数 y=kx+2k 的图象与半径为 1 的 ⊙O 相切时，
可得 k=33，a=233．
如图 2，
当一次函数 y=kx+2k 的 ⊙O 与 y 轴的交点时，
可得 a=2，
所以由题意可知 233 （2） −152