2020-2021学年北京市大兴区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市大兴区九上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，BC=4，则 sinA 的值为
A. 35B. 34C. 45D. 54

2. 若 xy=52，则 x+yy 的值是
A. 72B. 2C. 32D. 1

3. 如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 l4，l5 被 l1，l2，l3 所截，截得的线段分别为 AB，BC，DE，EF．若 AB=4，BC=6，DE=3，则 EF 的长是
A. 4B. 4.5C. 5D. 5.5

4. 将抛物线 y=−2x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线是
A. y=−2x+12+3B. y=−2x−12−3
C. y=−2x+12−3D. y=−2x−12+3

5. 如图，点 A 是函数 y=6xx>0 图象上的一点，过点 A 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足为点 B，C，则四边形 ABOC 的面积是
A. 3B. 6C. 12D. 24

6. 如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E．若 ∠A=30∘，AC=2，则 CD 的长是
A. 4B. 23C. 2D. 3

7. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 1,0，且对称轴为直线 x=−1，其部分图象如图所示．下列说法正确的是
A. ac>0
B. b2−4ac<0
C. 9a−3b+c>0
D. am2+bm
8. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 P 是 ⊙O 上一个动点（点 P 不与点 A，B 重合），在点 P 运动的过程中，有如下四个结论：
①至少存在一点 P，使得 PA>AB；
② PB=2PA，则 PB=2PA；
③ ∠PAB 不是直角；
④ ∠POB=2∠OPA．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A. ①③B. ③④C. ②③④D. ①②④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若反比例函数 y=mx 的图象分布在第二，第四象限，则 m 的取值范围是 ．

10. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线的交点，则 ∠ABC 与 ∠BCD 的大小关系为：∠ABC ∠BCD（填“>”，“=”，“<”）．

11. 抛物线 y=−3x−22−4 的顶点坐标是 ．

12. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AB=AC，BD 是 AC 边上的中线，则 tan∠ADB 的值是 ．

13. 若扇形的圆心角为 120∘，半径为 2，则该扇形的面积是 （结果保留 π）．

14. 请你写出一个函数，使得当自变量 x>0 时，函数 y 随 x 的增大而增大，这个函数的解析式可以是 ．

15. 如图，在 △ABC 中，AB>AC，将 △ABC 以点 A 为中心顺时针旋转，得到 △AED，点 D 在 BC 上，DE 交 AB 于点 F．如下结论中，
① DA 平分 ∠EDC；
② △AEF∽△DBF；
③ ∠BDF=∠CAD；
④ EF=BD．
所有正确结论的序号是 ．

16. 已知抛物线 y=ax2+bx+ca>0 经过 A2,0，B4,0 两点．若 P5,y1，Qm,y2 是抛物线上的两点，且 y1>y2，则 m 的取值范围是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：2sin45∘+∣2−1∣−tan60∘+π−20．

18. 已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 1,−4，0,−3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求抛物线与 x 轴的交点坐标．

19. 下面是小青设计的“作一个 30∘ 角”的尺规作图过程．
已知：线段 AB．
求作：∠APB，使得 ∠APB=30∘．
作法：
①分别以点 A，B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧分别交于 C，D 两点；
②以点 C 为圆心，CA 的长为半径作 ⊙C；
③在优弧 AB 上任意取一点 P（点 P 不与点 A，B 重合）连接 PA，PB．
则 ∠APB 就是所求作的角．根据小青设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明．
证明：连接 AC，BC．
∵AC=BC=AB，
∴△ABC 是等边三角形．
∴∠ACB= ∘
∵P 是优弧 AB 上一点，
∴∠APB=12∠ACB（ ）（填写推理依据）．
∴∠APB=30∘．

20. 在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点 C，测得树的顶端 A 的仰角为 30∘，在 C，B 间选择一点 D（C，D，B 三点在同一直线上），测得树的顶端 A 的仰角为 75∘，CD 间距离为 20 m，求这棵树 AB 的高度（结果保留根号）．

21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=kx+1k≠0 与函数 y=mxx>0 的图象 G 交于点 A1,2，与 x 轴交于点 B．
（1）求 k，m 的值．
（2）点 P 为图象 G 上一点，过点 P 作 x 轴的平行线 PQ 交直线 l 于点 Q，作直线 PA 交 x 轴于点 C，若 S△APQ:S△ACB=1:4，求点 P 的坐标．

22. 如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 O 为圆心，OC 的长为半径的 ⊙O 与 AC，CD 分别交于点 E，F，且 ∠DAF=∠BAC．
（1）求证：直线 AF 与 ⊙O 相切．
（2）若 tan∠DAF=22，AB=4，求 ⊙O 的半径．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+a+1a<0 的对称轴为直线 x=1．
（1）用含有 a 的代数式表示 b．
（2）求抛物线顶点 M 的坐标．
（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点 P0,a 作 x 轴的平行线交抛物线于 A，B 两点，记拋物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 围成的区域（不含边界）为 W．
①当 a=−1 时，直接写出区域 W 内整点的个数．
②若区域 W 内恰有 3 个整点，结合函数图象，求 a 的取值范围．

24. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠BAC=30∘，D 是射线 CA 上一点，连接 BD，以点 B 为中心，将线段 BD 顺时针旋转 60∘，得到线段 BE，连接 AE．
（1）如图 1，当点 D 在线段 CA 上时，连接 DE，若 DE⊥AB，则线段 AE，BE 的数量关系是 ．
（2）①当点 D 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图形 2．
②探究线段 AE，BE 的数量关系，并证明．
③直接写出线段 CD，AB，AE 之间的数量关系．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知线段 AB 和点 P，给出如下定义：若 PA=PB 且点 P 不在线段 AB 上，则称点 P 是线段 AB 的等腰顶点．特别地，当 ∠APB≥90∘ 时，则称点 P 是线段 AB 的非锐角等腰顶点．
（1）已知点 A2,0，B4,2．
①在点 C4,0，D3,1，E−1,5，F0,5 中，是线段 AB 的等腰顶点的是 ．
②若点 P 在直线 y=kx+3k≠0 上，且点 P 是线段 AB 的非锐角等腰顶点，求 k 的取值范围．
（2）直线 y=−33x+3 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N．⊙P 的圆心为 P0,t，半径为 3，若 ⊙P 上存在线段 MN 的等腰顶点，请直接写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. A【解析】在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，BC=3，则 sinA=BCAB=35．
故选A．
2. A【解析】已知 xy=52，
化简：x+yy=xy+yy=xy+1，
将 xy=52 代入得：=52+1=72．
3. B【解析】∵l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=4，BC=6，DE=3，
∴EF=4.5．
4. D【解析】由函数图象平移规律可知，左加右减，上加下减，
将抛物线 y=−2x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线是 y=−2x−12+3．
5. B
【解析】∵ 点 A 是函数 y=6xx>0 图象上的一点，过点 A 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足为点 B，C，
∴ 由反比例函数 k 的几何意义可知，四边形 ABOC 的面积 =k=6．
6. C【解析】∵⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，
∴CE=DE，
在 Rt△AEC 中，∠AEC=90∘，∠A=30∘，AC=2，
∴CE=12AC=1，
∴CD=2CE=2．
7. D【解析】A选项：由函数图象可知，抛物线开口向下，与 y 轴交于 y 轴正半轴，
∴a<0，c>0，
∴ac<0．
故A错误；
B选项：∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0．
故B错误；
C选项：∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−1，抛物线经过 1,0，
∴ 抛物线 还经过 −3,0，
∴9a−3b+c=0．
故C错误．
D选项：∵ 当 x=−1 时，y 取得最大值为 a−b+c，
∴ 当 m≠−1 时，am2+bm+c ∴am2+bm故D正确．
8. B【解析】①圆中最长的弦为直径，AB 是圆 O 的直径，P 是圆 O 上一动点，
则 PA≤AB，且只有一点满足 PA=AB，故①错误；
② PB=2PA 时，∠PAB=2∠PBA，
AB 为圆 O 的直径，点 P 为圆 O 上动点，
则 ∠APB=90∘，则 ∠PAB+∠PBA=90∘，
所以 ∠PAB=60∘，∠PBA=30∘，
则 AB=2PA，PB=3PA，故②错误；
③ Rt△PAB 中，∠APB=90∘，∠PAB+∠APB+∠PBA=180∘，
所以 ∠PAB<90∘，即 ∠PAB 不是直角，故③正确；
④因为 OP=OA，
所以 ∠OPA=∠OAP，
又 ∠POB=∠OPA+∠OAP=2∠OPA，故④正确；
所以正确的有③④．
第二部分
9. m<0
【解析】若反比例函数 y=mx 的图象分布在第二，第四象限，则 m 的取值范围是 m<0．
10. =
【解析】∵∠ABC=∠ABE+∠MBC，∠BCD=∠BCN+∠DCF，
在 Rt△AEB 中，tan∠ABE=AEBE=13，
在 Rt△BMC 中，tan∠BMC=MCMN=12，
在 Rt△BNC 中，tan∠BCN=BNCN=12，
在 Rt△CFD 中，tan∠FCD=FDCF=13，
∴∠ABE=∠FCD，∠MBC=∠BCN，
∴∠ABC=∠BCD．
11. 2,−4
【解析】抛物线 y=−3x−22−4 的顶点坐标是 2,−4．
故答案为：2,−4．
12. 2
【解析】∵BD 是 AC 边上的中线，
∴ 点 D 是 AC 的中点，
∴AD=CD=12AC．
∵AB=AC，
∴AD=12AB．
∵∠A=90∘，
∴tan∠ADB=ABAD=AB12AB=2．
13. 43π
【解析】由题意得，n=120∘，R=2，
S扇形=nπR2360=120×π×22360=43π．
14. y=x 或 y=−1x 或 y=x2
【解析】写出一个函数，使得当自变量 x>0 时，函数 y 随 x 的增大而增大，这个函数的解析式可以是 y=x 或 y=−1x 或 y=x2 等．
15. ①②③
【解析】①根据旋转可知，AD=AC，
∴∠1=∠C，
∵∠2=∠C，
∴∠1=∠2，
∴DA 平分 ∠EDC，
故①正确，
② ∠B=∠E，∠EFA=∠BFD（对顶角），
∴△AEF∽△DBF，
故②正确，
③由②知，∠BDF=∠EAF 且 ∠CAD=∠EAF，
∴∠BDF=∠CAD，
故③正确，
④
∵△AEF 与 △DBF 不全等，
∴ 无法证明 EF=BD，
故④不正确．
16. 1【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca>0 经过 A2,0，B4,0 两点，
∴ 抛物线的开口向上，对称轴为直线 x=3，
∵P5,y1，Qm,y2 是抛物线上的两点，
∴ 点 P5,y1 关于对称轴直线 x=3 的对称点坐标为 1,y1，
∴ 当 y1>y2 时，m 的取值范围是 1第三部分
17. 原式=2×22+2−1−3+1=2+2−1−3+1=22−3.
18. （1） ∵ 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 1,−4，0,−3，
∴1+b+c=−4,c=−3, 解得 b=−2,c=−3.
∴y=x2−2x−3．
（2） 令 y=0，
∴x2−2x−3=0．
解得：x1=−1，x2=3．
∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标是 −1,0，3,0．
19. （1） 补全的图形如图所示：
（2） 60；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
20. 作 DE⊥AC，垂足为 E，
在 Rt△CED 中，sinC=EDCD，
∵∠C=30∘，CD=20 米，
∴DE=10 米，
∵csC=CECD，
∴32=CE20，
∴CE=103 米，
∵∠ADB 是 △ACD 的外角，
∠ADB=75∘，∠C=30∘，
∴∠CAD=45∘，
∴ 在 Rt△ADE 中，tan∠EAD=EDAE=1，
∴AE=10 米．
∴AC=AE+CE=10+103 米，
∴ 在 Rt△ABC 中，sin∠C=ABAC，
∴AB=5+53 米，
答：这棵树 AB 的高度是 5+53 米．
21. （1） 将点 A1,2 代入 y=kx+1k≠0 中得 k=1，
将点 A1,2 代入 y=mxm>0 中得 m=2．
（2） ①当点 P 在点 A 下方时，
过点 A 作 AG⊥x 轴，交直线 PQ 于点 H，
∵PQ 平行于 x 轴，
∴△APQ∽△ACB，
∴S△APQS△ACB=APAC2=AHAG2=14，
∴AHAG=12，
∵ 点 A1,2，
∴ 点 P 纵坐标为 1，
∵m=2，
∴y=2x，
∴P 点坐标为 2,1．
②当点 P 在点 A 上方时，
过点 A 作 AG⊥x 轴，交直线 PQ 于点 H．
∵PQ 平行于 x 轴，
∴△APQ∽△ACB，
∴S△APQS△ACB=APAC2=AHAG2=14，
∴AHAG=12，
∵ 点 A1,2，
∴P 点纵坐标为 3，
代入 y=2x 得，x=23，
∴P 点坐标为 23,3，
∴P 点坐标为 2,1 或 23,3．
22. （1） 连接 OF，
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC，
∵ 四边形 ABCD 是距形，
∴∠B=∠D=∠DCB=90∘，
又 ∵∠DAF=∠BAC，
∴∠AFD=∠ACB，
∵∠ACB+∠ACD=90∘，
∴∠AFD+∠OFC=90∘，
∴∠AFO=90∘，
∴OF⊥AF 于 F，
∴ 直线 AF 与 ⊙O 相切．
（2） ∵tan∠DAF=22，∠DAF=∠BAC，
∴tan∠BAC=22，
∵∠B=90∘，
∴tan∠BAC=BCAB=22，
∴BC=22，
∴AC=AB2+BC2=26，
又 ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴BC=AD=22，
又 ∠D=90∘，tan∠DAF=22，
∴DF=AD⋅tan∠DAF=22×22=2，
∴AF=23，
设 ⊙O 的半径为 r，在 Rt△AFO 中，∠AFO=90∘，
∴OA2=OF2+AF2，
即 26−r2=r2+12，
解得 r=62，
∴⊙O 的半径为 62．
23. （1） 抛物线 y=ax2+bx+a+1 的对称轴为直线 x=1，
则 x=−b2a=1⇒b=−2a．
（2） 抛物线顶点坐标为，将 x=1 代入抛物线方程可得 M1,2a+b+1，
⇒M1,1．
（3） 1；
当区域 W 内整点个数为 3 时，
此时 y=ax2−2ax+a+1 与 y=a 如图所示：
由（1）得：a≥−1 才能有整点，且 3 个整点都位于 x 轴，
则当 x=0 时，y=a+1>0，a>−1，
当 x=−1 时，y=a+2a+a+1<−1，a<−12，
综上：a 的取值范围为 −1【解析】①当 a=−1 时，抛物线 y=−x2−2x 与 y=−1 之间区域如图所示：
区域 W 内整点个数为 1，坐标为 1,0．
24. （1） AE=BE
【解析】∵BD=BE，∠DBE=60∘，DE⊥AB，
∴∠DBA=∠EBA=12∠DBE=12×60∘=30∘，
∴∠BDC=90∘−∠DBC=60∘，∠CBE=∠CBD+∠DBE=90∘，
∴AC⊥BC，BE⊥BC，
∴AC∥BE，AD=BD=BE，
∴ 四边形 ADBE 是菱形（平行四边形 + 邻边相等），
∴AE=BE．
（2） ①依题意补全图形．
② AE=BE；
如图 2，作 EM⊥AB 于 M，
∵∠DBC=∠ABC+∠ABD=60∘+∠ABD，∠EBM=∠EBD+∠ABD=60∘+∠ABD，
∴∠DBC=∠EBM，
在 △DBC 与 △EBM 中，
∠DBC=∠EBM,∠C=∠EMB,BD=BE,
∴△DBC≌△EBM，
∴BC=BM，
在 △ABC 中，∠C=90∘，∠BAC=30∘，
∴BC=12AB，
∴BM=12AB，
∴EM 垂直平分 AB，
∴AE=BE，
∴AE=BD．
③ AE2=14AB2+CD2．
【解析】③在 Rt△BCD 中，BD2=BC2+CD2，
∵BD=BE=AE，AB=2BC，
∴AE2=12AB2+CD2，
即 AE2=14AB2+CD2．
25. （1） ① C4,0，E−1,5
②（Ⅰ）当点 4,0 在直线 y=kx+3 上时，4k+3=0，k=−34．
（Ⅱ）当点 3,1 在直线 y=kx+3 上时，3k+3=1，k=−23．
（Ⅲ）当点 2,2 在直线 y=kx+3 上时，2k+3=2，k=−12．
结合图象可得 −34≤k≤−12 且长 k≠−23．
【解析】①已知 A2,0，B4,2，
作 AB 的中垂线 l 交 AB 于 O，完成 l 解析式，
O 为 AB 中点，
O3,1（中垂线交 AB 于 O，AO=BO），
且直线 AB 斜率为 2−04−2=1，
则 l 斜率为 −1（中垂线与 AB 垂直斜率之积为 −1），
设 l:y=−x+m，将 D3,1 代入得 m=4，
即 l:y=−x+4．
将 C，D，E，F 代入 y=−x+4 中，
发现仅 C4,0，E−1,5 在直线上（若点在 l 上，则必有 PA=PB，中垂线性质）
D3,1 在 AB 上，故不是，
F0,5 不在 l 上，
即是等腰顶点的为 C4,0，E−1,5．
（2） −33≤t<2+3
【解析】直线 y=−33x+3，
令 x=0，y=3，
故 N0,3，
令 y=0，0=−33x+3，x=3，
故 M3,0，
同（1）作 MN 中垂线交 MN 于 A，
则 l2:y=3x−3（此处同（1）步骤，不再详写）
则 l2 交 y 轴于点 B0,−3，
则 ON=3，OB=3，
如图，
①当 P 在 N 上方时，P0,t，
则直线 PP1 斜率为 3 ，
则 P1MPP1=13=33，
若 P1P=3，
则 P1N=1，PN=PP12+PN2=2（此处运用了在 Rt△PP1M 中，若 tan∠P1PM=13=33，则 P1MPP1=13=33），
则 t=ON+PN=2+3．
②当 OP 在 B 下方时，同理 PP2=3，BP2=3，
BP=PP22+BP22=23，
t=OB+BP=33，
综上，−33≤t<2+3．