2020-2021学年广东省深圳市福田区深圳实验学校初中部九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市福田区深圳实验学校初中部九上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 2020 的相反数是
A. 2020B. 12020C. −2020D. −12020

2. 下列图形是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 太阳中心的温度高达 19200000∘C，用科学记数法将 19200000∘C 可表示为
A. 1.92×106B. 1.92×107C. 19.2×106D. 19.2×107

4. 下列计算正确的是
A. 2+3=5B. a+2a=2a2
C. x1+y=x+xyD. mn23=mn6

5. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘 1 次，指针指向的数字为偶数的概率为
A. 14B. 12C. 34D. 56

6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如下表所示：
成绩人数232341
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为
A. 1.70，1.75B. 1.70，1.70C. 1.65，1.75D. 1.65，1.70

7. 某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为 3 元，小明在该店买了 20 本练习本和 10 支水笔，共花了 36 元．设练习本每本为 x 元，水笔每支为 y 元，则
A. x−y=3,20x+10y=36B. x+y=3,20x+10y=36C. y−x=3,20x+10y=36D. x+y=3,10x+20y=36

8. 如图，在 △ABC 中，BA=BC，∠B=80∘，观察图中尺规作图的痕迹，则 ∠DCE 的度数为
A. 60∘B. 65∘C. 70∘D. 75∘

9. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线 x=1，则下列结论正确的是
A. ac>0
B. 当 x>0，y 随 x 的增大而减小
C. 2a−b=0
D. 方程 ax2+bx+c=0 的两根是 x1=−1，x2=3

10. 如图，正方形 ABCD 和正方形 CGFE 的顶点 C，D，E 在同一条直线上，顶点 B，C，G 在同一条直线上．O 是 EG 的中点，∠EGC 的平分线 GH 过点 D，交 BE 于点 H，连接 FH 交 EG 于点 M，连接 OH．以下四个结论：
① GH⊥BE；
② △EHM∽△GHF；
③ BCCG=2−1；
④ S△HOMS△HOG=2−2，
其中正确的结论是
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 分解因式：ab2−a= ．

12. 已知 x=2 是一元二次方程 x2+mx+2=0 的一个解，则 m 的值是 ．

13. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，AB=2，C，D 是圆周上的点，且 sin∠CDB=13，则 BC 的长为 ．

14. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，CE⊥BD，垂足为点 E，CE=5，且 OE=2DE，则 DE 的长为 ．

15. 如图，点 A1,3 为双曲线 y=kx 上的一点，连接 AO 并延长与双曲线在第三象限交于点 B，M 为 y 轴正半轴上一点，连接 MA 并延长与双曲线交于点 N，连接 BM，BN，已知 △MBN 的面积为 332，则点 N 的坐标为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
16. 计算：2−3+2sin60∘+12−1−20150．

17. 先化简，再求值：3xx−2−xx+2÷xx2−4，在 −2，0，1，2 四个数中选一个合适的代入求值．

18. 为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 A，B，C，D 四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a= ，b= ，c= ．
（2）将条形统计图补充完整，并计算表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 ∘．
（3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．

19. 如图， BC 是 ⊙O 的直径， CE 是 ⊙O 的弦，过点 E 作 ⊙O 的切线，交 CB 的延长线于点 G ，过点 B 作 BF⊥GE 于点 F ，交 CE 的延长线于点 A ．
（1）求证： ∠ABG=2∠C ；
（2）若 GF=33 ， GB=6 ，求 ⊙O 的半径．

20. 某小区为了绿化环境，计划分两次购进 A，B 两种数苗 30 棵，第一次购进 A 种树苗 30 棵，B 种树苗 15 棵，共花费 1350 元；第二次购进 A 种树苗 24 棵，B 种树苗 10 棵，共花费 1060 元．（两次购进 A，B 两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B 两种树苗每棵的价格分别是多少元?
（2）若购买 A，B 两种树苗共 42 棵，总费用为 W 元，购买 A 种树苗 t 棵，B 种树苗的数量不超过 A 种树苗数量的 2 倍，求 W 与 t 的函数关系式，请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．

21. 已知等边 △ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A，B 不重合）．
（1）如图 1，当 PB=3PA 时，△BPC 的面积为 ．
（2）直线 l 是经过点 P 的一条直线，把 △ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 Bʹ．
①如图 2，当 PB=5 时，若直线 l∥AC，求 BBʹ 的长度．
②如图 3，当 PB=6 时，在直线 l 变化过程中，请直接写出 △ACBʹ 面积的最大值．

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A−1,0，B4,0 两点，与 y 轴交于点 C0,−2．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD，BC 交于 E，求 DEAE 的最大值．
（3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线 l∥BC，点 P，Q 分别为直线 l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点 P，Q，使 △PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. B【解析】A选项：不是中心对称图形，故A错误；
B选项：是中心对称图形，故B正确；
C选项：不是中心对称图形，故C错误；
D选项：不是中心对称图形，故D错误．
3. B
4. C【解析】A．2+3 无法计算，故此选项错误，
B．a+2a=3a，故此选项错误，
C．x1+y=x+xy，正确，
D．mn23=m3n6，故此选项错误．
5. B
【解析】该圆被平分为四等份，其中 2 份为偶数，2 份为奇数，
∴ 小明转动转盘 1 次，指针指向的数字为偶数的概率为：P偶数=24=12．
6. A【解析】根据中位数的定义与众数的定义，结合图表信息解答即可．
15 名运动员，按照成绩从低到高排列，第 8 名运动员的成绩是 1.70，
所以中位数是 1.70，
同一成绩运动员最多的是 1.75，共有 4 人，
所以，众数是 1.75，
因此，中位数与众数分别是 1.70，1.75，故答案选：A．
7. B【解析】∵ 设练习本每本为 x 元，水笔每支为 y 元，
一本练习本和一支水笔的单价合计为 3 元，
∴ 可得 x+y=3．
∵20 本练习本和 10 支水笔共花了 36 元．
∴ 可得 20x+10y=36．
8. B【解析】∵ 在 △ABC 中，BA=BC，∠B=80∘，
∴∠ACB=180∘−∠B2=180∘−80∘2=50∘，
∴∠ACD=180∘−∠ACB=180∘−50∘=130∘，
由作图痕迹可知 CE 为 ∠ACD 的平分线，
∴∠DCE=12∠ACD=65∘．
9. D【解析】A选项：由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可得：抛物线开口向下，即 a<0，抛物线与 y 轴的交点在 y 轴正半轴，即 c>0，
∴ac<0，选项A错误；
B选项：由函数图象可得：当 0当 x>1 时，y 随 x 的增大而减小，故选项B错误；
C选项：
∵ 对称轴为直线 x=1，
∴−b2a=1，
即 2a+b=0，选项C错误；
D选项：由图象可得抛物线与 x 轴的一个交点为 3,0，又对称轴为直线 x=1，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为 −1,0，
则方程 ax2+bx+c=0 的两根是 x1=−1，x2=3，选项D正确．
10. A
【解析】如图，∵ 四边形 ABCD 和四边形 CGFE 是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
在 △BCE 和 △DCG 中，
BC=CD,∠BCE=∠DCG,CE=CG,
∴△BCE≌△DCGSAS，
∴∠BEC=∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG=90∘，∠CDG=∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE=90∘，
∴GH⊥BE．
故①正确；
∵△EHG 是直角三角形，O 为 EG 的中点，
∴OH=OG=OE，
∴ 点 H 在正方形 CGFE 的外接圆上，
∵EF=FG，
∴∠FHG=∠EHF=∠EGF=45∘，∠HEG=∠HFG，
∴△EHM∽△GHF，
故②正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴BH=EH，
又 ∵O 是 EG 的中点，
∴HO∥BG，
∴△DHN∽△DGC，
∴DNDC=HNCG，
设 EC 和 OH 相交于点 N．
设 HN=a，则 BC=2a，设正方形 ECGF 的边长是 2b，则 NC=b，CD=2a，
∴b−2a2a=a2b，即 a2+2ab−b2=0，
解得：a=−1+2b，或 a=−1−2b（舍去），
则 2a2b=2−1，
∴BCCG=2−1，
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG=BG，
∵HO 是 △EBG 的中位线，
∴HO=12BG，
∴HO=12EG，
设正方形 BCGF 的边长是 2b，
∴EG=22b，
∴HO=2b，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO∽△MFE，
∴OMEM=OHEF=2b2b=22，
∴EM=2OM，
∴OMOE=OM1+2OM=11+2=2−1，
∴S△HOMS△HOE=2−1，
∵EO=GO，
∴S△HOE=S△HOG，
∴S△HOMS△HOG=2−1，
故④错误．
第二部分
11. ab+1b−1
【解析】ab2−a=ab2−1=ab+1b−1．
12. −3
【解析】将 x=2 代入方程 x2+mx+2=0，即 4+2m+2=0，解得：m=−3．
13. 23
【解析】如图，连接 BC．
∵∠CAB=∠CDB，sin∠CDB=13，
∴sin∠CAB=13，
∵ 又 AB 为直径，且 AB=2，
∴∠ACB=90∘，
∴CBAB=13，
∴CB=23．
14. 5
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ADC=90∘，BD=AC，OD=12BD，OC=12AC，
∴OC=OD，
∵EO=2DE，
∴ 设 DE=x，OE=2x，
∴OD=OC=3x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC=∠OEC=90∘，
在 Rt△OCE 中，
∵OE2+CE2=OC2，
∴2x2+52=3x2，
解得：x=5，
∴DE=5．
15. 92,23
【解析】连接 ON．
∵ 点 A1,3 为双曲线 y=kx 上，
∴k=3，即：y=3x；
由双曲线的对称性可知：OA=OB，
∴S△MBO=S△MAO，S△NBO=S△NAO，
∴S△MON=12S△BMN=334，
设点 M0,m，Nn,3n，
∴12mn=334，即 mn=332, ⋯⋯①
设直线 AM 的关系式为 y=kx+b，
将 M0,m，A1,3 代入得，b=m，k=3−m，
∴ 直线 AM 的关系式为 y=3−mx+m，
把 Nn,3n 代入得，3n=3−m×n+m, ⋯⋯②
由 ① 和 ② 解得，n=92，
当 n=92 时，3n=23，
∴N92,23．
第三部分
16. 原式=2−3+3+2−1=3.
17. 原式=3xx+2−xx−2x+2x−2⋅x+2x−2x=2x+8.
当 x=1 时，原式=2+8=10．
18. （1） 2；45；20
【解析】12÷30%=40，
a=40×5%=2；
b%=40−12−8−240×100%=45%，即 b=45；
c%=840×100%=20%，即 c=20．
（2） B 等次人数为 40−12−8−2=18，条形统计图补充为：
72
【解析】C 等次的扇形所对的圆心角的度数 =20%×360∘=72∘．
（3） 画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中甲、乙两名男生同时被选中的结果数为 2，
∴ 甲、乙两名男生同时被选中的概率 =212=16．
19. （1） 连接 OE ，
∵EG 是 ⊙O 的切线，
∴OE⊥EG ，
∵BF⊥GE ，
∴OE∥AB ，
∴∠A=∠OEC ，
∵OE=OC ，
∴∠OEC=∠C ，
∴∠A=∠C ，
∵∠ABG=∠A+∠C ，
∴∠ABG=2∠C ．
（2） ∵BF⊥GE ，
∴∠BFG=90∘ ，
∵GF=33 ， GB=6 ，
∴BF=BG2−GF2=3 ，
∵BF∥OE ，
∴△BGF∽△OGE ，
∴BFOE=BGOG ，
∴3OE=66+OE ，
∴OE=6 ，
∴⊙O 的半径为 6 ．
20. （1） 设 A 种树苗每棵的价格 x 元，B 种树苗每棵的价格 y 元，
根据题意得：
30x+15y=1350,24x+10y=1060.
解答
x=40,y=10.
答：A 种树苗每棵的价格 40 元，B 种树苗每棵的价格 10 元．
（2） 设 A 种树苗的数量为 t 棵，则 B 种树苗的数量为 42−t 棵，
∵B 种树苗的数量不超过 A 种树苗数量的 2 倍，
∴42−t≤2t，解得：t≥14，
∵t 是正整数，
∴t最小值=14，
设购买树苗总费用为 W=40t+1042−t=30t+420，
∵k>0，
∴W 随 t 的减小而减小，
当 t=14 时，W最小值=30×14+420=840（元）．
答：购进 A 种花草的数量为 14 棵、 B 种 28 棵，费用最省；最省费用是 840 元．
21. （1） 123
【解析】过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，
∵△ABC 是等边三角形，CH⊥AB，
∴AH=BH=12AB=4，
∴CH=3AH=43，
∴S△ABC=12AB⋅CH=12×8×43=163，
∵PB=3PA，
∴BP=34AB，
∴S△BPC=34S△ABC=34×163=123．
（2） ①如图 2 中，设直线 l 交 BC 于点 E，连接 BBʹ 交 PE 于 O，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠A=60∘，∠BEP=∠C=60∘，
∴△PEB 是等边三角形，
∵PB=5，
∴B，Bʹ 关于 PE 对称，
∴BBʹ⊥PE，BBʹ=2OB，
∴OB=PB⋅sin60∘=532，
∴BBʹ=53．
② 43+24．
【解析】②方法一：
如图 3 中，当 BʹP⊥AC 时，△ACBʹ 的面积最大，
设直线 PBʹ 交 AC 于 E，
在 Rt△APE 中，
∵PA=2，∠PAE=60∘，
∴PE=PA⋅sin60∘=3，
∴BʹE=6+3，
∴S△ACBʹ的最大值=12×8×6+3=43+24．
方法二：
如图 4 中，过点 P 作 PH 垂直于 AC，
由题意可得：Bʹ 在以 P 为圆心，半径长为 6 的圆上运动，
当 PH 的延长线交圆 P 于点 Bʹ 时面积最大，此时 BH=6+3，
S△ACBʹ的最大值=12×8×6+3=43+24．
22. （1） 设抛物线的函数解析式为 y=ax+1x−4，
将 C0,−2 代入得 −4a=−2，解得 a=12，
∴y=12x+1x−4=12x2−3x−4=12x2−32x−2，
∴ 抛物线的函数解析式为 y=12x2−32x−2．
（2） 过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G，交 BC 于点 F，过点 A 作 AK⊥x 轴交 BC 的延长线于点 K．
∴AK∥DG，
∴△AKE∽△DFE，
∴DFAK=DEAE，
设直线 BC 的解析式为：y=kx+b1，
∴4k+b1=0,b1=−2, 解得 k=12,b1=−2,
∴ 直线 AC 的解析式为：y=12x−2．
∵A−1,0，
∴y=−12−2=−52，
∴AK=52，
设点 Dm,12m2−32m−2，则 Fm,12m−2，
∴DF=12m−2−12m2+32m+2=−12m2+2m，
∴DEAE=−12m2+2m52=−15m2+45m=−15m−22+45，
∴ 当 m=2 时，DEAE 有最大值，最大值为 45．
（3） 符合条件的点 P 的坐标为 689,349 或 6+2415,3+415．
∵l∥BC，
∴ 直线 l 的解析式为 y=12x，
设 Pa1,a12，
①当点 P 在直线 BQ 右侧时，
如图，过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N，过点 Q 作 QM⊥ 直线 PN 于点 M，
∵A−1,0，C0,−2，B4,0，
∴AC=5，AB=5，BC=25，
∵AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90∘，
∵△PQB∽△CAB，
∴PQPB=ACBC=12，
∵∠QMP=∠BNP=90∘，
∴∠MQP+∠MPQ=90∘，∠MPQ+∠BPN=90∘，
∴∠MQP=∠BPN，
∴△QPM∽△PBN，
∴QMPN=PMBN=PQPB=12，
∴QM=a14，PM=12a1−4=12a1−2，
∴MN=a1−2，BN−QM=a1−4−a4=34a1−4，
∴Q34a1,a1−2，
将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式得 12×34a12−32×34a1−2=a1−2，
解得 a1=0（舍去）或 a1=689，
∴P689,349；
②当点 P 在直线 BQ 左侧时，由①的方法同理可得点 Q 的坐标为 54a1,2，
此时点 P 的坐标为 6+2415,3+415．