2020-2021学年陕西西安市未央区西安中学高考第二次模拟文科数学试卷

  西安中学高2021届高三第二次模考

文科数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，，则(　　)

A． B． C． D．

2．复数的共轭复数(　　)

A． B． C． D．

3．已知直线分别在两个不同的平面,内，则“和相交”是“和相交”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71.

①y与x具有正的线性相关关系；

②回归直线过样本点的中心(，)；

③若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；

④若该大学某女生身高为170 cm，则其体重必为58.79 kg.

则上述判断不正确的个数是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

5．设，则(　　)

A． B． C． D．

6．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于P，PF⊥x轴，则k=(　　)

A．3 B．1 C．4 D．2

7．若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是(　　)

A． B． C． D．

8．如下右图，，，为某次考试三个评阅人对同一题的独立评分，p为最终得分．当，时，等于(　　)

A．11 B．10 C．8 D．7

9．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB    ＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)

   A.           B.          C.         D．2π

10．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A  点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝(　　)

A．150m B．180m C．120m D．160m

11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝2|PF2|，则此双曲线的离心率e的范围为(　　)

A．(1＋∞) B．(1,3] C．(2,3] D．(1,2]

12．将正整数排成下图所示的数阵，其中第行有个数.

如果2 021是表中第行的第个数, 则(　　)

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量a=(2，-1)，b=（-1，m），c =(-1，2)，若（a+ b）∥c，则实数=     ．

14．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么落到地面所需要的时间秒数为     ．

15．若x，y满足约束条件则z＝log2(x＋y+5)的最大值为     ．

16．函数f(x)＝若|f(x)|－ax＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是      ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f (x)＝a·b.

（Ⅰ）在答题卡上的坐标系中画出函数f (x)＝a·b的图像；

（Ⅱ）在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f (A)＝1，求△ABC的周长．

18．（本小题满分12分）某大型商场举办店庆十周年抽奖答谢活动，凡店庆当日购物满1000元的顾客可从装有4个白球和2个黑球的袋子中任意取出2个球，若取出的都是黑球获奖品A，若取出的都是白球获奖品B，若取出的两球异色获奖品C．

（Ⅰ）求某顾客抽奖一次获得奖品B的概率；

（Ⅱ）若店庆当天有1500人次抽奖，估计有多少人次获得奖品C．

19．（本小题满分12分）如图，矩形所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，是半圆弧上异于，的点．

（Ⅰ）证明：直线平面；

（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．

20．（本小题满分12分）已知离心率为的椭圆C：的一个顶点恰好是抛物线的焦点,过点M(4,0)且斜率为k的直线交椭圆C于A，B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求k的取值范围；

（Ⅲ）若k≠0，A和P关于x轴对称，直线BP交x轴于N，求证：|ON|为定值．

21．（本小题满分12分）已知函数．

（Ⅰ）若直线与f (x)的图像相切, 求实数k的值；

（Ⅱ）设x>0， 若曲线y＝f (x)与有且只有一个公共点，求实数m的值；

（Ⅲ）设a<b，比较与的大小，并说明理由．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）[选修4-4]：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，P为曲线（为参数）上的动点，将P点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得Q点.记Q点轨迹为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求证曲线的极坐标方程为；

（Ⅱ）是曲线上两点，且，求的取值范围.

23．（本小题满分10分）[选修4-5]：不等式选讲

已知函数的定义域为；

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）设实数为的最大值，若实数，，满足关系式，求的最小值．

 西安中学高2021届高三第二次模考

文科数学答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.-1 14.20      15.3      16.[0,2]

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17.　（Ⅰ）f (x)＝sin xcosx＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋，f (x)＝sin＋，3分

图像如下图所示.

………6分

（Ⅱ）由题意可得sin＝，又0<A<π，所以<2A＋<，所以2A＋＝，故A＝.

………8分

设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccos A.所以a2＝b2＋c2－bc＝7.

………10分

又sin B＝3sin C，所以b＝3c.故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.所以b＝3，△ABC的周长为4＋.

………12分

18.（Ⅰ）设白球为A，B，C，D，黑球为a，b，则可知任取两球的基本事件共15个，且这些基本事件的发生都是等可能的，用M表示“两球都是白色”这一事件，则M包含6个基本事件，所以

………5分

 (Ⅱ)用N表示事件“两球异色”，则N包含8个基本事件，所以

………10分

店庆当天的1500次抽奖中，获得奖品C的人次数约为.

………12分

19. （Ⅰ）由题设知，平面⊥平面，交线为．

因为⊥，平面，所以⊥平面，故⊥．

因为为半圆弧上异于，的点，且为直径，所以⊥．

又=，所以⊥平面．

………6分

（Ⅱ）当为的中点时，∥平面．

证明如下：连结交于．因为为矩形，所以为中点．

连结，因为为中点，所以∥．

平面，平面，所以∥平面．

………12分

20.（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则有,又可以求得.于是，椭圆C的方程为.

………3分

（Ⅱ）解　过点M(4,0)且斜率为k的直线的方程为y＝k(x－4)，

由得x2－8k2x＋16k2－1＝0，

因为直线与椭圆有两个交点，

所以Δ＝(－8k2)2－4(16k2－1)>0，

解得－<k<，所以k的取值范围是.

………7分

（Ⅲ）证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x1，－y1)，由题意知x1≠x2，y1≠y2，

由（Ⅰ）得x1＋x2＝，x1·x2＝，

直线BP的方程为＝，令y＝0，得N点的横坐标为＋x1，

又y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，故|ON|＝＝

＝＝＝1.即|ON|为定值1.

………12分

21.（Ⅰ）设切点为,则有,且.进而.

………3分

（Ⅱ） 曲线y＝f (x)与曲线公共点的个数等于曲线和的公共点个数.令,，则,进而可知.于是若曲线y＝f (x)与曲线有且只有一个公共点，则.

………7分

（Ⅲ）可以证明.事实上

令.于是在)上递增.所以，当，结论得证.

………12分

22.（Ⅰ）曲线化为普通方程为： ，设P点坐标为，Q点坐标为，则有，消去有，即，此式即为的普通方程.∴曲线的极坐标方程为.       

………………………5分

（Ⅱ）设， （），

∴，

因为，所以的取值范围是.

 ……………………10分

23.（Ⅰ）由题意可知恒成立，令，

去绝对值可得：，

画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为；    

………………………5分

（Ⅱ）由（1）可知，所以， 

，

当且仅当，即等号成立，

所以的最小值为.

……………………10分