2021年陕西省西安市未央区西安中学高考二模理科数学试卷

  西安中学高2021届高三第二次模考

理科数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1. 满足2，的集合A的个数是

A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

2. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：

若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为

A. 1500元 B. 1550元 C. 1750元 D. 1800元

3. 在中，，则       

A.  B.  C.  D.

4. 若是公比为e的正项等比数列，则是

A. 公比为的等比数列 B. 公比为3的等比数列
C. 公差为3e的等差数列 D. 公差为3的等差数列

5. 已知双曲的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率等于

1.  B.  C.  D. 2

6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

1.      B.
   C.       D.

7. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是   

1.  B.  C.  D.

8. 设是两平面，是两直线下列说法正确的是   

若，，则    若，，则

若，，则   若，，，，则

1.             B.  

C.             D.

9. 某市政府决定派遣8名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，则不同的派遣方案共有

A. 320种 B. 252种 C. 182种 D. 120种

10. 在等差数列中，，且，则在中，n 的最大值为   

A. 17 B. 18 C. 19 D. 20

11. 已知过抛物线焦点F的直线l交抛物线于两点点A在第一象限，若，则直线l的斜率为

A. 2 B.  C.  D.

12. 设函数，则使得成立的x的取值范围是

1.  B.
   C.  D.

             第二卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 函数图象的一条对称轴是，则的值是______．
14. 设复数，满足，，则______．
15. 给出下列命题：
    命题“若，则”的否命题为“若，则”；
    “”是“”的必要不充分条件；
    命题“，使得”的否定是：“，均有”；
    命题“若，则”的逆否命题为真命题．
    其中所有正确命题的序号是______ ．
16. 若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为________．

三、解答题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.

(一）必考题，共60分

17. （本小题满分12分）

如图，在平面四边形ABCD中，，，，，
求      若，求BC．
 

18. （本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，底面ABC是边长为4的等边三角形，，D为BC的中点．
证明：平面．
若是等边三角形，求二面角的正弦值．
 

19. （本小题满分12分）

某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这个k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为次假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p．

Ⅰ为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；

Ⅱ设为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的平均次数（例如5人一组，血液混合在一起检查为阴性，则平均每人检查次数为0.2次）．

当，时，求的分布列；

是运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．

20. （本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，其长轴长为．

求椭圆E的方程；

直线交E于两点，直线交E于两点，若求四边形ABCD的面积．

21. （本小题满分12分）已知函数．

Ⅰ当时，求函数的单调区间；

Ⅱ当时，证明：函数有2个零点．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任意选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22. (本题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

求C的普通方程和l的直角坐标方程；

求C上的点到l距离的最大值．

23. (本题满分10分）已知，且．
    若是恒成立，求x的取值范围；
    Ⅱ证明：

西安中学高2021届高三第二次模考

理科数学答案

一、1.C2.A3.B4.D5.C6.C7.D8.D9.C10.C11.D12.B

二、13.14.15.16.e
三、17.【答案】解：，，
，．
由正弦定理得：，
即，
，
，
；
，
，
，
在中，由余弦定理得：

，
．
 

18.【答案】解：证明：连接B.
因为，，，
所以≌，所以C.
因为D为BC的中点，所以D.
因为D为BC的中点，且，所以．
因为，所以平面．
解：取AD的中点O，连接，因为是等边三角形，所以．
由可知平面，则BC，AD，两两垂直，
故以O为原点，OA所在直线为x轴，过O作BC的平行线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
因为底面ABC是边长为4的等边三角形，所以．
因为是等边三角形，所以．
所以，0，，，，
则，．
设平面的法向量，
则，令，得．
易知平面的一个法向量为，
记二面角为，则，
故二面角的正弦值为．
 

19.【答案】解：Ⅰ对3人进行检验，且检验结果是独立的，
设事假A：3人中恰好有1人检测结果为阳性，其概率，
Ⅱ，，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为，若混合检验结果为阳性，则其概率为，每人所检验的次数为，
故的分布列为

分组时，每人检验次数的期望如下，
，
，
，
不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，
则，即，
当时，用分组的办法能减少检验次数．
 

20.【答案】解：由已知得：，
解得．

所以椭圆E的方程为．

设，则

联立，则，

，

同理可得，

且B到直线的距离．

所以，

又，

所以．

21.【答案】解：由于，则当时，，
令，则，

当时，；
当时，，
故在上单调递增，由于
从而时，．
综合上述，的单调递增区间为，单调递减区间为．

证明：显然，故是的一个零点．
下面先证明：在上无零点．

由于，令，，
知在上单调递增，
从而，故在上单调递增，，
从而在上无零点．

下证：在上存在唯一零点．
当时，，故在上无零点．

当时，，
设，，
，
故在上单调递增，
又，
从而在上存在唯一零点，
当时，当时，
故在上单调递减，在上单调递增，
由于，，
从而在上存在唯一零点，在上没有零点．

 综合上述，函数有2个零点．

22.【答案】解：因为，且，

所以C的普通方程为．

l的直角坐标方程为．

由可设C的参数方程为为参数，．

C上的点到l的距离为．

当时，取得最大值6，故C上的点到l距离的最大值为3．

23.【答案】解：Ⅰ，，且，

，
则，
当时，不等式化为，解得，
当，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，解得，
综上所述x的取值范围为；
证明：

，
当且仅当时，取得等号．
另解：由柯西不等式可得

，
当且仅当时，取得等号．