2020-2021学年北京市东城区九下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市东城区九下期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列各数中，小于 2 的正整数是
A. −1B. 0C. 1D. 2

2. 在下列不等式中，解集为 x>−1 的是
A. 2x>2B. −2x>−2C. 2x<−2D. −2x<2

3. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 2，点 A1,3 与 ⊙O 的位置关系是
A. 在 ⊙O 上B. 在 ⊙O 内C. 在 ⊙O 外D. 不能确定

4. 下列式子中，运算正确的是
A. 1+x2=1+x2B. a2⋅a4=a8
C. −x−y=−x−yD. a2+2a2=3a2

5. 如图，⊙O 是正五边形 ABCDE 的外接圆．若 ⊙O 的半径为 5，则半径 OA，OB 与 AB 围成的扇形的面积是
A. 2πB. 5πC. 256πD. 10π

6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 是直线 y=x 与双曲线 y=4x 的交点，点 B 在第一象限，点 C 的坐标为 6,−2．若直线 BC 交 x 轴于点 D，则点 D 的横坐标为
A. 2B. 3C. 4D. 5

7. 多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．下图是 1998 年至 2019 年二氧化硫（SO2）和二氧化氮（NO2）的年平均浓度值变化趋势图．
A. 1998 年至 2019 年，SO2 的年平均浓度值的平均数小于 NO2 的年平均浓度值的平均数
B. 1998 年至 2019 年，SO2 的年平均浓度值的中位数小于 NO2 的年平均浓度值的中位数
C. 1998 年至 2019 年，SO2 的年平均浓度值的方差小于 NO2 的年平均浓度值的方差
D. 1998 年至 2019 年，SO2 的年平均浓度值比 NO2 的年平均浓度值下降得更快

8. 四位同学在研究函数 y=−x2+bx+c（b，c 是常数）时，甲同学发现当 x=1 时，函数有最大值；乙同学发现函数 y=−x2+bx+c 的图象与 y 轴的交点为 0,−3；丙同学发现函数的最大值为 4；丁同学发现当 x=3 时，函数的值为 0．若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 使式子 2x−1 有意义的 x 的取值范围是 ．

10. 分解因式：mx2−9m= ．

11. 用一个 k 的值推断命题“一次函数 y=kx+1k≠0 中，y 随着 x 的增大而增大．”是错误的，这个值可以是 k= ．

12. 某校九年级（1）班计划开展“讲中国好故事”主题活动．第一小组的同学推荐了“北大红楼、脱贫攻坚、全面小康、 南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题，并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中．组长小东从口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字的主题卡片的概率是 ．

13. 如图，点 A，D，B，E 在同一条直线上，AD=BE，AC=EF，要使 △ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是 ．

14. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A2,0，B5,4，若四边形 OABC 是平行四边形，则平行四边形 OABC 的周长等于 ．

15. 若点 P 在函数 y=x,x≥0−x,x<0 的图象上，且到 x 轴的距离等于 1，则点 P 的坐标是 ．

16. 数学课上，李老师提出如下问题：
已知：如图，AB 是 ⊙O 的直径，射线 AC 交 ⊙O 于 C．
求作：弧 BC 的中点 D．
同学们分享了如下四种方案：
①如图 1，连接 BC，作 BC 的垂直平分线，交 ⊙O 于点 D．
②如图 2，过点 O 作 AC 的平行线，交 ⊙O 于点 D．
③如图 3，作 ∠BAC 的平分线，交 ⊙O 于点 D．
④如图 4，在射线 AC 上截取 AE，使 AE=AB，连接 BE，交 ⊙O 于点 D．
上述四种方案中，正确的方案的序号是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−50+27+2−1−tan60∘．

18. 先化简代数式 a2+1a−1+1−a，再求当 a 满足 a−2=0 时，此代数式的值．

19. 如图，在等腰 △ABC 中，AB=AC，直线 l 过点 A．点 B 与点 D 关于直线 l 对称，连接 AD，CD．求证：∠ACD=∠ADC．

20. 已知：如图，点 C 在 ∠MON 的边 OM 上．
求作：射线 CD，使 CD∥ON，且点 D 在 ∠MON 的角平分线上．
作法：①以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 OM，ON 于点 A，B；
②分别以点 A，B 为圆心，大于 12AB 的长为半径画弧，交于点 Q ；
③画射线 OQ；
④以点 C 为圆心，CO 长为半径画弧，交射线 OQ 于点 D；
⑤画射线 CD．
射线 CD 就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD 平分 ∠MON，
∴∠MOD= ．
∵OC=CD，
∴∠MOD= ，
∴∠NOD=∠CDO，
∴CD∥ON（ ）（填推理的依据）．

21. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2−m+1x+1=0m≠0．
（1）求证：此方程总有实数根；
（2）写出一个 m 的值，使得此该方程的一个实数根大于 1，并求此时方程的根．

22. 如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，连接 AE，交 BD 于点 F．
（1）求 BF:DF 的值；
（2）若 AB=2，AE=3，求 BD 的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与双曲线 y=kxk≠0 的两个交点分别为 A−3,−1，B1,m．
（1）求 k 和 m 的值；
（2）点 P 为直线 l 上的动点，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交双曲线 y=kxk≠0 于点 Q．当点 Q 位于点 P 的右侧时，求点 P 的纵坐标 n 的取值范围．

24. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，圆心 O 在 AC 上．过点 B 作直线交 AC 的延长线于点 D，使得 ∠CBD=∠CAB．过点 A 作 AE⊥BD 于点 E，交 ⊙O 于点 F．
（1）求证：BD 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AF=4，sinD=23，求 BE 的长．

25. 中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了 18 次，对我国国民阅读总体情况进行了综合分析．2021 年 4 月 23 日，第十八次全国国民阅读调查结果发布．
下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息．
a．本次调查有效样本容量为 46083，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图 1．
b．2020 年，成年人的人均纸质图书阅读量约为 4.70 本，人均电子书阅读量约为 3.29 本；
2019 年，成年人的人均纸质图书阅读量约为 4.65 本，人均电子书阅读量约为 2.84 本．
c．2012 年至 2020 年，未成年人的年人均图书阅读量如图 2．
根据以上信息，回答问题：
（1）第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的 ；
（2）2020 年，成年人的人均图书阅读量约为 本，比 2019 年多 本；
（3）在 2012 年至 2020 年中后一年与前一年相比， 年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大；
（4）2020 年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高 %（结果保留整数）．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−3ax+1 与 y 轴交于点 A．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点 B 是点 A 关于对称轴的对称点，求点 B 的坐标；
（3）已知点 P0,2，Qa+1,1，若线段 PQ 与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．

27. 已知 △ADE 和 △ABC 都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90∘，P 为 AE 的中点，连接 DP．
（1）如图 1，点 A，B，D 在同一条直线上，直接写出 DP 与 AE 的位置关系．
（2）将图 1 中的 △ADE 绕点 A 逆时针旋转，当 AD 落在图 2 所示的位置时，点 C，D，P 恰好在同一条直线上．
①在图 2 中，按要求补全图形，并证明 ∠BAE=∠ACP；
②连接 BD，交 AE 于点 F．判断线段 BF 与 DF 的数量关系，并证明．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 W，给出如下定义：点 P 是图形 W 上任意一点，若存在点 Q，使得 ∠OQP 是直角，则称点 Q 是图形 W 的“直角点”．
（1）已知点 A6,8，在点 Q10,8，Q2−4,2，Q38,4 中， 是点 A 的“直角点”；
（2）已知点 B−3,4，C4,4，若点 Q 是线段 BC 的“直角点”，求点 Q 的横坐标 n 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知点 Dt,0，Et+1,0，以线段 DE 为边在 x 轴上方作正方形 DEFG．若正方形 DEFG 上的所有点均为线段 BC 的“直角点”，直接写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. A
4. D
5. B
6. C
7. C
8. B
第二部分
9. x≠1
10. mx+3x−3
11. −1（答案不唯一，k<0）
12. 13
13. ∠A=∠E（答案不唯一，或 BC=DE）
14. 14
15. −1,1 或 1,1
16. ①②③④
第三部分
17. −50+27+2−1−tan60∘=1+33+12−3=32+23.
18. 原式=a2+1a−1−a−1=a2+1−a−12a−1=a2+1−a2−2a+1a−1=a2+1−a2+2a−1a−1=2aa−1,
∵a−2=0，
∴a=2，
∴原式=4．
19. ∵ 点 B 与点 D 关于直线 l 对称，
∴AB=AD．
∵AB=AC，
∴AD=AC．
∴∠ACD=∠ADC．
20. （1） 补全图形，如图：
（2） ∠NOD；∠CDO；内错角相等，两直线平行．
21. （1） ∵Δ=m+12−4m=m−12≥0，
∴ 该方程总有实数根．
（2） 取 m=12，
此时，方程为 12x2−12+1x+1=0．
即 x2−3x+2=0．
解得：x1=1，x2=2．
（注：答案不唯一，x1=1，x2=1m）．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴△ABF∽△DEF．
∴BF:DF=AB:ED．
∵ 点 E 是 CD 的中点，
∴AB=CD=2DE．
∴BF:DF=2:1．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD．
∵AB=2，
∴AD=2，DE=1．
∵AE=3，
∴AD2=AE2+DE2．
∴∠AED=90∘．
∵sin∠ADE=32，
∴∠ADE=60∘．
在菱形 ABCD 中，BD 为对角线，
∴∠ADB=12∠ADE=30∘．
连接 AC，交 BD 于点 O．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD．
∴AO=12AD=1．
在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得 OD=3．
∴BD=2OD=23．
23. （1） 把 A−3,−1 代入 y=kx 得 k=3，
把 B1,m 代入 y=3x 得 m=3，
∴k=3，m=3．
（2） 设直线 l 的表达式为 y=k1x+bk1≠0，
分别把 A−3,−1，B1,3 代入得 −3k1+b=−1,k1+b=3,
解得 k1=1,b=2.
∴ 直线 l 的表达式为 y=x+2，
∴ 直线 l 与 x 轴的交点为 C−2,0．
结合图象可知：
当点 P 在线段 BA 的延长线上或在线段 BC（不含端点）上时，点 Q 位于点 P 右侧，
∴ 点 P 的纵坐标 n 的取值范围是 n<−1 或 024. （1） 如图，连接 OB．
∵AC 是直径，
∴∠ABC=90∘．
∴∠ABO+∠OBC=90∘．
∵OA=OB，
∴∠CAB=∠ABO．
∴∠CAB+∠OBC=90∘．
∵∠CBD=∠CAB，
∴∠CBD+∠OBC=90∘．
∴OB⊥BD．
∴BD 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图，连接 CF 交 OB 于点 G．
∵AC 是直径，
∴∠AFC=90∘．
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90∘．
∴∠AFC=∠AED．
∴FC∥ED．
∴∠ACF=∠D．
∵sin∠D=23．
∴sin∠ACF=sin∠D=23．
在 Rt△ACF 中，sin∠ACF=AFAC．
∴AFAC=23．
∵AF=4，
∴AC=6．
根据勾股定理，得 CF=25．
∵CF∥BD，OB⊥BD，
∴OB⊥CF．
∴FG=12CF=5．
∵∠EFG=∠FEB=∠EBG=90∘，
∴ 四边形 BEFG 是矩形，
∴BE=FG=5．
25. （1） 25.2%
（2） 7.99；0.5
（3） 2013
（4） 34
26. （1） 由抛物线 y=ax2−3ax+1，可知 x=−−3a2a=32．
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=32．
（2） ∵ 抛物线 y=ax2−3ax+1 与 y 轴交于点 A，
∴ 点 A 的坐标为 0,1．
∵ 点 B 是点 A 关于直线 x=32 的对称点，
∴ 点 B 的坐标为 3,1．
（3） ∵ 点 A0,1，点 B3,1，点 P0,2，点 Qa+1,1，
∴ 点 P 在点 A 的上方，点 Q 在直线 y=1 上．
①当 a>0 时，a+1>1，点 Q 在点 A 的右侧．
（ⅰ）如图 1，当 a+1<3，即 a<2 时，点 Q 在点 B 的左侧，
结合函数图象，可知线段 PQ 与抛物线没有公共点；
（ⅱ）如图 2，当 a+1≥3，即 a≥2 时，点 Q 在点 B 的右侧，或与点 B 重合，
结合函数图象，可知线段 PQ 与抛物线恰有一个公共点．
②当 a<0 时，a+1<1，点 Q 在点 B 的左侧．
（ⅰ）如图 3，当 0≤a+1<1，即 −1≤a<0 时，点 Q 在点 A 的右侧，或与点 A 重合，
结合函数图象，可知线段 PQ 与抛物线恰有一个公共点；
（ⅱ）如图 4，当 a+1<0，即 a<−1 时，点 Q 在点 A 的左侧，
结合函数图象，可知线段 PQ 与抛物线没有公共点．
综上所述，a 的取值范围是 −1≤a<0 或 a≥2．
27. （1） DP 与 AE 的位置关系：DP⊥AE．
（2） ①补全图形，如图：
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAE+∠CAE=90∘．
∵△ADE 是等腰直角三角形，且 P 为 AE 的中点，
∴DP⊥AE，即 ∠APD=90∘．
∵ 点 C，D，P 在同一条直线上，
∴∠ACP+∠CAE=90∘．
∴∠BAE=∠ACP．
②线段 BF 与 DF 的数量关系：BF=DF．
证明：如图，过点 B 作 BH⊥AE 于点 H．
∴∠AHB=∠APD=90∘．
∵∠BAE=∠ACP，AB=AC，
∴△BAH≌△ACPAAS．
∴BH=AP=DP．
∵∠BHF=∠DPF，∠BFH=∠DFP，
∴△BFH≌△DFPAAS．
∴BF=DF．
28. （1） Q1，Q3
（2） ∵∠OQP=90∘，
∴ 点 Q 在以 OP 为直径的圆上（O，P 两点除外），
如图 1，以 OB 为直径作 ⊙M，作 MH∥x 轴，交 ⊙M 于点 H（点 H 在点 M 左侧），
∵ 点 B 的坐标为 −3,4，
∴⊙M 的半径为 52，点 M 的坐标为 −32,2，
∴xH=−32−52=−4，
如图 2，以 OC 为直径作 ⊙Mʹ，作 MʹHʹ∥x 轴，交 ⊙Mʹ 于点 Hʹ（点 Hʹ 在点 Mʹ 右侧），
∵ 点 C 的坐标为 4,4，
∴⊙Mʹ 的半径为 22，点 Mʹ 的坐标为 2,2，
∴xHʹ=2+22，
∴n 的取值范围是 −4≤n≤2+22．
（3） −3≤t≤1−7 或 21−32≤t≤3．