2020-2021学年北京市通州区八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市通州区八上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 当 x=1 时，下列分式没有意义的是
A. x+1xB. xx−1C. x−1xD. xx+1

2. 下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列说法正确的是
A. 16 的算术平方根是 ±4
B. 任何数都有两个平方根
C. 因为 3 的平方是 9，所以 9 的平方根是 3
D. −1 是 1 的平方根

4. 下列事件中，属于随机事件的是
A. 用长度分别是 4cm，4cm，9cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形
B. 以长度分别是 5cm，4cm，3cm 的线段为三角形三边，能构成直角三角形
C. 分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变
D. 任意画一个三角形，恰好是同一条边上的高线与中线重合

5. 下列计算正确的是
A. −42=2B. 22=4C. 2×5=10D. 6÷2=3

6. 如图，点 E，点 F 在直线 AC 上，AF=CE，AD=CB，下列条件中不能推断 △ADF≌△CBE 的是
A. ∠D=∠BB. ∠A=∠CC. BE=DFD. AD∥BC

7. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为 O，在数轴上找到表示数 2 的点 A，然后过点 A 作 AB⊥OA，使 AB=1；再以 O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点 P，那么点 P 表示的数是
A. 2.2B. 5C. 1+2D. 6

8. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，边 BC 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 D，连接 CD，如果 CD=6，那么 AB 的长为
A. 6B. 3C. 12D. 4.5

9. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示：
读书时间小时7891011学生人数610987
关于该班学生一周读书时间的数据有下列说法：
①一周读书时间数据的中位数是 9 小时；
②一周读书时间数据的众数是 8 小时；
③一周读书时间数据的平均数是 9 小时；
④一周读书时间不少于 9 小时的人数占抽查学生的 50%．
其中说法正确的序号是
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④

10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，以点 A 为圆心，以 AB 长为半径作弧交 BC 于点 D，再分别以点 B，D 为圆心，以大于 12BD 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 E，如果 AB=3，AC=4，那么线段 AE 的长度是
A. 125B. 95C. 85D. 75

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 如果 m2=3，那么 m 的值是 ．

12. 一个不透明的盒子中装有 2 个红球，1 个白球和 1 个黄球，它们除颜色外都相同，如果从中任意摸出一个球，那么摸到红球的可能性大小是 ．

13. 计算 mm2−1−11−m2 的结果是 ．

14. 如图，∠ABC=∠BAD，请你添加一个条件： ，使 △ABC≌△BAD（只添一个即可）．

15. 用一个 a 的值说明命题“如果 a2≥1，那么 a≥1”是错误的，这个值可以是 a= ．

16. 已知 3+a+b−22=0，那么 a+b 的值为 ．

17. 如图中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，那么 ∠ABC 的度数是 ．

18. 数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：
（1）用直尺的一边贴在 ∠AOB 的 OA 边上，沿着直尺的另一条边画直线 m；
（2）再用直尺的一边贴在 ∠AOB 的 OB 边上，沿着直尺的另一条边画直线 n，直线 m 与直线 n 交于点 D；
（3）作射线 OD，射线 OD 是 ∠AOB 的平分线．
请回答：小明的画图依据是 ．

19. 某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知 A 型陶笛比 B 型陶笛的单价低 20 元，用 2700 元购买 A 型陶笛与用 4500 元购买 B 型陶笛的数量相同，设 A 型陶笛的单价为 x 元，根据题意列出正确的方程是 ．

20. 给出下列对应的表格：
利用表格中的规律计算：已知 15=k，0.15=m，1500=n，那么 m+n= ．（用含 k 的代数式表示）

三、解答题（共10小题；共130分）
21. 计算：π−30−9+3−8+1−3．

22. 解方程：1−x2−x=1x−2+3．

23. 如图，点 B 在线段 AD 上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．

24. 计算：48−613+23−223+2．

25. 已知 a=2−1，求代数式 2a−4a2−1÷1−1a−1 的值．

26. 如图，在 △ABC 中，BD 平分 ∠ABC，E 是 BD 上一点，EA⊥AB，且 EB=EC．
（1）如果 ∠ABC=40∘，求 ∠DEC 的度数．
（2）求证：BC=2AB．

27. 为了解某校八年级学生的物理和生物实验操作情况，随机抽查了 40 名同学实验操作的得分（满分为 10 分）．根据获取的样本数据，制作了下面的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）这 40 个样本数据平均数是 ，众数是 ，中位数是 ．
（2）扇形统计图中 m 的值为 ；扇形统计图中“6 分”所对的圆心角的度数是 ．
（3）若该校八年级共有 480 名学生，估计该校物理和生物实验操作得满分的学生有多少人．

28. 下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图 1，直线 l 和直线 l 外一点 P．
求作：直线 PQ，使 直线PQ∥直线l．
作法：如图 2，
①在直线 l 上取一点 A，连接 PA；
②作 PA 的垂直平分线 MN，分别交直线 l，线段 PA 于点 B，O；
③以 O 为圆心，OB 长为半径作弧，交直线 MN 于另一点 Q；
④作直线 PQ，所以直线 PQ 为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：
∵ 直线 MN 是 PA 的垂直平分线，
∴PO= ，∠POQ= =90∘，
∵OQ= ，
∴△POQ≌△AOB．
∴ = ．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．

29. 如图，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 90∘ 得到 △DBE（点 A，点 C 的对应点分别为点 D，点 E）．
（1）根据题意补全图形．
（2）连接 DC，CE，如果 ∠BCD=45∘．用等式表示线段 DC，CE，AC 之间的数量关系，并证明．

30. 如图，在等边三角形 ABC 右侧作射线 CP，∠ACP=α0∘<α<60∘，点 A 关于射线 CP 的对称点为点 D，BD 交 CP 于点 E，连接 AD，AE．
（1）依题意补全图形．
（2）求 ∠DBC 的大小（用含 α 的代数式表示）．
（3）直接写出 ∠AEB 的度数．
（4）用等式表示线段 AE，BD，CE 之间的数量关系，并证明．
答案
第一部分
1. B【解析】当 x=1 时，x−1=0，
故分式 xx−1 没有意义，
其余分式都有意义．
2. B【解析】轴对称图形的定义为：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义可知：
A选项：体育运动图案不是轴对称图形，不符合题意，故A错误；
B选项：体育运动图案是轴对称图形，符合题意，故B正确；
C选项：体育运动图案不是轴对称图形，不符合题意，故C错误；
D选项：体育运动图案不是轴对称图形，不符合题意，故D错误．
3. D【解析】A选项：16 的算术平方根是 4，故A错误；
B选项：任何正数都有两个平方根，负数没有平方根，0 有 1 个平方根，故B错误；
C选项：因为 ±3 的平方是 9，所以 9 的平方根是 ±3，故C错误；
D选项：−1 是 1 的平方根，故D正确．
4. D【解析】A选项：用长度分别是 4cm，4cm，9cm 的细木条首尾顺次相连，因为不满足三角形的三边规则，所以不能组成三角形，是不可能事件，所以本选项不符合题意；
B选项：以长度分别是 5cm，4cm，3cm 的线段为三角形三边，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，是必然事件，所以本选项不符合题意；
C选项：分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变，是必然事件，所以本选项不符合题意；
D选项：任意画一个三角形，恰好是同一条边上的高线与中线重合，是随机事件，所以本选项符合题意．
5. C
【解析】A．−42=16=4，故A错误．
B．22=2，故B错误．
D．6÷2=3，故D错误．
综上所述，故答案选C．
6. A【解析】A选项：由 AF=CE，AD=CB，∠D=∠B 无法证明，
△ADF≌△CBE，故A正确；
B选项：在 △ADF 和 △CBE 中，
AD=CB,∠A=∠C,AF=CE,
故 △ADF≌△CBESAS，故B错误；
C选项：在 △ADF 和 △CBE 中，
AD=CB,AF=CE,DF=BE,
故 △ADF≌△CBESSS，故C错误；
D选项：
∵AD∥BC，故 ∠A=∠C，
在 △ADF 和 △CBE 中，
AD=CB,∠A=∠C,AF=CE,
故 △ADF≌△CBESAS，故D错误．
7. B【解析】由题知 AB=1，OA=2，且 ∠BAO=90∘，
∴ 在 Rt△BAO 中，OP=OB=OA2+AB2=22+12=5，
∴ 点 P 表示的数为 5．
8. C【解析】∵BC 的垂直平分线交 AB 于 D，
∴CD=BD=6，
∴∠DCB=∠B，
∵∠ACB=90∘，
∴∠DCB+∠DCA=90∘，∠B+∠A=90∘，
∴∠DCA=∠A，
∴CD=AD=6，
∴AB=AD+BD=6+6=12．
9. A【解析】由题知参加调查的学生人数为：6+10+9+8+7=40（人），
中位数为读书 9 小时，且读书时间为 8 小时的人数最多，
故中位数为 9，众数为 8，故①②正确，
x=6×7+10×8+9×9+8×10+7×11÷40=9，
即一周读书时间数据的平均数为 9，故③正确；
一周读书时间不少于 9 小时的有：9+8+7=24（人），
则 2440×100%=60%，
故一周读书时间不少于 9 时的人数占抽查学生的 60%，故④错误．
综上所述：①②③正确；④错误．
10. A
【解析】∵∠BAC=90∘，AB=3，AC=4，
∴BC=AB2+AC2=5，
根据作图过程可知：AP 是 BD 的垂直平分线，
∴BE=DE，AE⊥BD，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AE，
∴5AE=12，
∴AE=125．
第二部分
11. 3
【解析】∵m2=3，则 m>0，则 m>0，
∴m=3，
∴m=3．
12. 12
【解析】∵ 不透明的盒子中装有 2 个红球，1 个白球和 1 个黄球，共有 4 个球，
∴ 摸到红球的可能性是 24=12．
13. 1m−1
【解析】原式=mm2−1+1m2−1=1m−1.
14. AD=BC（答案不唯一）
【解析】在 △ABC 和 △BAD 中，
AB=BA,∠ABC=∠BAD,BC=AD,
∴△ABC≌△BADSAS．
15. −2（答案不唯一）
【解析】如果 a2≥1，则 a≥1 或 a≤−1，
用一个 a 的值说明命题“如果 a2≥1，那么 a≥1”是错误的，这个值可以是 a=−2（答案不唯一）．
16. −1
【解析】∵3+a+b−22=0，
∴3+a=0，b−2=0，
∴a=−3，b=2，
∴a+b=−3+2=−1．
17. 45∘
【解析】∵ 格点正方形边长为 1，
∴BC=12+32=10，
AC=12+32=10，
AB=22+42=25，
∴BC2+AC2=102+102=20，
AB2=252=20，
∴BC2+AC2=AB2 且 BC=AC，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45∘．
18. 到一个角两边的距离相等的点，在这个角的角平分线上
【解析】由作图方法可知：点 D 到 ∠AOB 的 OA 边的距离等于直尺的宽度，
点 D 到 ∠AOB 的 OB 边的距离等于直尺的宽度，则点 D 到 ∠AOB 两边的距离相等，
∴ 点 D 在 ∠AOB 的角平分线上，即射线 OD 是 ∠AOB 的平分线．
则小明的画图依据是：到一个角两边的距离相等的点，在这个角的角平分线上．
19. 2700x=4500x+20
【解析】设 A 型陶笛单价为 x 元，则 B 型陶笛的单价为 x+20 元，
根据题意得到方程 2700x=4500x+20．
20. 10.1k
【解析】观察表格可得规律：被开方数小数点向左或向右每移两位，其算术平方根的小数点就相应地向左或向右移一位；
15=k，
∴1500100=k，则 1500=10k=n，
0.15=m=15100=1510=k10=0.1k，
∴m+n=10k+0.1k=10.1k．
第三部分
21. 原式=1−3+−2+3−1=−5+3.
22.
x−1x−2=1x−2+3.x−1=1+3x−2.−2x=−4x=2.
检验：把 x=2 代入最简公分母 x−2 中，x−2=2−2=0，
∴ 原方程无解．
23. 如图，
∵BC∥DE，
∴∠ABC=∠BDE．
在 △ABC 与 △EDB 中，
AB=ED,∠ABC=∠BDE,BC=BD,
∴△ABC≌△EDBSAS，
∴∠A=∠E．
24. 原式=43−23+232−4=23+12−4=23+8.
25. 原式=2a−4a2−1÷a−2a−1=2a−2a+1a−1⋅a−1a−2=2a+1.
∵a=2−1，
∴原式=22−1+1=22，
∴原式=2.
26. （1） ∵∠ABC=40∘，BD 平分 ∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC=20∘，
∵EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=20∘，
∵∠DEC 是 △EBC 的一个外角，
∴∠DEC=∠ECB+∠EBC=40∘．
（2） 过点 E 作 EF⊥BC 于点 F，
∵BD 平分 ∠ABC，EA⊥AB，
∴EA=EF，
在 Rt△AEB 和 Rt△FEB 中，
∵EA=EF,EB=EB,
∴Rt△AEB≌Rt△FEBHL，
∴AB=FB（全等三角形的对应边相等），
∵EB=EC，EF⊥BC，
∴BC=2FB，
∴BC=2AB．
27. （1） 8.3；9；8
【解析】∵x=6×4+6×7+8×11+9×12+10×740=8.3，
∴ 平均数是 8.3；
∵9 出现了 12 次，次数最多，
∴ 众数是 9；
∵ 将 40 个数字按照从小到大的顺序排列，中间的两个数都是 8，
∴ 中位数是 8+82=8．
（2） 30；36∘
【解析】m=100−17.5−15−27.5−10=30，
360∘×10%=36∘．
（3） ∵480×740=84，
∴ 满分约有 84 人．
28. （1） 如图所示：
（2） AO；∠AOB；OB；∠QPO 或 ∠PQO；∠BAO 或 ∠ABO；内错角相等，两直线平行
29. （1） 补全图形如图：
（2） 结论：DC2+CE2=AC2．
由旋转性质可知，△ABC≌△DBE，∠CBE=90∘．
∴AC=DE，BC=BE，
∴△CBE 是等腰直角三角形．
∴∠BCE=45∘，
∵∠BCD=45∘，
∴∠DCE=90∘．
在 Rt△DCE 中，
∴DC2+CE2=DE2，
∴DC2+CE2=AC2．
30. （1） 依题意补全图形：
（2） 连接 CD，
∵ 线段 AC 和 DC 关于射线 CP 对称，
∴AC=DC，∠ACE=∠DCE=α．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60∘，
∴BC=DC，∠BCD=60∘+2α，
∴∠DBC=∠BDC=12180∘−60∘+2α=60∘−α．
（3） 60∘
【解析】根据对称性可得 ∠ACB=∠EDC=60∘−α−∠DBC，
∵∠EAC+∠AEB=∠DBC+∠ACB，
∴∠AEB=∠ACB=60∘．
（4） 结论：BD=2AE+CE．
在 EB 上截取 EF=EA，连接 AF，
∵∠AEB=60∘，
∴△AEF 是等边三角形，
∴AF=AE，∠FAE=60∘．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，
∴∠BAC−∠EAC=∠FAE−∠FAC，
∴∠BAF=∠CAE．
在 △BAF 和 △CAE 中
∵AB=AC,∠BAF=∠CAE,AF=AE,
∴△BAF≌△CAESAS，
∴BF=CE（全等三角形的对应边相等）．
∵ 点 A 和点 D 关于射线 CP 对称，
∴AE=DE，
∴BD=BF+FE+ED=CE+2AE．