2020-2021学年北京市东城区汇文中学七上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市东城区汇文中学七上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是
A. B.
C. D.

2. 下列方程中，是二元一次方程的是
A. 3x−2y=4zB. 6xy+9=0C. 1x+4y=6D. 4x=y−24

3. 下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是
A. B.
C. D.

4. 下列语句中，是假命题的是
A. 若 a∥b，b∥c，则 a∥cB. 若 a=b，b=c，则 a=c
C. 若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥cD. 若 a>b，b>c，则 a>c

5. 某年级学生共有 246 人，其中男生人数 y 比女生人数 x 的 2 倍少 2 人，则下面所列的方程组中符合题意的有
A. x+y=246,2y=x−2B. x+y=246,2x=y+2C. x+y=246,y=2x+2D. x+y=246,2y=x+2

6. 已知 ∠1 和 ∠2 互为余角，∠1=60∘，则 ∠2 为
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘

7. 如图，下列条件中，不能判断直线 l1∥l2 的是
A. ∠4=∠5B. ∠1=∠3C. ∠2+∠4=180∘D. ∠1=∠2

8. 已知 4a+3b=11,2a+3b=7, 则 a+b=
A. 3B. 23C. 2D. 32

9. 在同一平面内，有 8 条互不重合的直线，l1，l2，l3⋯ l8，若 l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5 ⋯，以此类推，则 l1 和 l8 的位置关系是
A. 垂直B. 平行C. 垂直或平行D. 无法确定

10. 方程组 |x|+y=12,x+|y|=6 的解的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 连接直线外一点与直线上各点的所有连线中， 最短．

12. 如图所示，甲从 A 点出发向北偏东 70∘ 方向走 50 m 至点 B，乙从 A 点出发向南偏西 15∘ 方向走 80 m 至点 C，则 ∠BAC 的度数为 ．

13. 如图，∠AOC=90∘，OC 平分 ∠BOD，且 ∠COD=22∘，∠AOB 度数是 ．

14. 已知 x−1+2y+12=0，且 2x−ky=4，则 k= ．

15. 一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则 ∠CAE 的度数为 度．

16. 如图，在大长方形 ABCD 中，放入六个相同的小长方形，则小长方形的面积是 ．

17. 4 点 30 分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是 度．

18. 关于 x，y 的方程组 x+3y=4−a,x−5y=3a 下列说法中正确的有 ．
① x=5,y=−1 是方程组的解；
②不论 a 取什么有理数，x+y 的值始终不变；
③当 a=−2 时，x 与 y 相等；
④ x，y 都为自然数的解有 4 对．

三、解答题（共12小题；共156分）
19. 解方程：5x+2=22x+7．

20. 解方程：y+24−2y−36=1．

21. 解方程组 y=3x−6,2x+3y=15.

22. 解方程组：5x+2y=25,3x+4y=15.

23. 如图，∠AOC=80∘，OB 是 ∠AOC 的平分线，OD 是 ∠COE 的平分线．
（1）求 ∠BOC 的度数．
（2）若 ∠DOE=30∘，求 ∠BOE 的度数．（标注必要的推理依据）

24. 已知：如图，AB 和 CD 相交于点 O，∠C=∠COA，∠D=∠BOD．求证：∠A=∠B．

25. 补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点 E 在直线 DF 上，点 B 在直线 AC 上，∠1=∠2，∠3=∠4．
求证：∠A=∠F．
证明：∵∠1=∠2（已知），
∠2=∠DGF（ ），
∴∠1=∠DGF（等量代换），
∴ ∥ （ ），
∴∠3+∠ =180∘（ ），
又 ∵∠3=∠4（已知），
∴∠4+∠C=180∘（等量代换），
∴ ∥ （同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）．

26. 将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是 （填 A 或 B）．
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）
（3）如下左图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）

27. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 O 按如图方式叠放在一起．
（1）若 ∠BOD=35∘，则 ∠AOC= ；若 ∠AOC=135∘，则 ∠BOD= ．（直接写出结论即可）
（2）猜想 ∠AOC 与 ∠BOD 的数量关系，并说明理由．
（3）三角尺 AOB 不动，将三角尺 COD 的 OD 边与 OA 边重合，然后绕点 O 按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当锐角 ∠AOD 等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出 ∠AOD 角度所有可能的值，不用说明理由．

28. 一种防盗窗的制作原料是钢管，按设计要求：需要长 0.8 米的钢管 100 根，长为 2.5 米的钢管 32 根（两种长度的钢管必须粗细相同，且不能是焊接而成的）．经市场调查，钢材市场中符合这种规格的钢管每根长均为 6 米．
（1）把一根长为 6 米的钢管进行剪裁，有下面几种方法，完成填空（余料作废）．
方法①：只能裁成为 0.8 米的用料时，最多可裁 7 根；
方法②：先裁下 1 根 2.5 米长的用料，余下部分最多能裁成为 0.8 米长的用料 根；
方法③：先裁下 2 根 2.5 米长的用料，余下部分最多能裁成为 0.8 米长的用料 1 根．
（2）分别用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根 6 米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料．

29. 如图 1，点 O 在直线 AB 上，过点 O 引一条射线 OC，使 ∠AOC=80∘，将一个直角三角尺的直角顶点放在点 O 处，直角边 OM 在射线 OB 上，另一边 QN 在直线 AB 的下方；将一直尺的一端点也放在点 O 处，另一端点 E 在射线 OC 上．
按要求操作：将图 1 中的三角尺绕着点 O 以每秒 15∘ 的速度按逆时针方向旋转；同时，直尺也绕着点 O 以每秒 5∘ 的速度按逆时针方向旋转，当一方先完成旋转一周时停止，另一方同时也停止转动，设旋转的时间为 t 秒．
（1）如图 2，三角尺旋转过程中当直角边 OM 在 ∠BOC 的内部，且 OM 平分 ∠BOC 时，∠BON= ∘．
（2）当 t 为何值时，OM⊥OE?
（3）在三角尺与直尺旋转的过程中，是否存在某个时刻，使 OM，OC，OE 中的某一条线是另两条线所夹角的平分线?若存在，请求出所有满足题意的 t 的值；若不存在，请说明理由．

30. 把 y=ax+b（其中 a，b 是常数，x，y 是未知数）这样的方程称为“卓越二元一次方程”，当 x=y 时，“卓越二元一次方程 y=ax+b”的 x 的值为“卓越二元一次方程”的“完美值”，例如：当 x=y 时“卓越二元一次方程”y=2x−1 化为 x=2x−1，其“完美值”为 x=1．
（1）x=2 是“卓越二元一次方程”y=3x−k 的“完美值”，求 k 的值．
（2）“卓越二元一次方程”y=sx+t−1（s，t 为常数）存在“完美值”吗?若存在，请求出其“完美值”，若不存在，请说明理由．
（3）若关于 x 的“卓越二元一次方程 "y=2x−16mn+6−m 的“完美值”是关于 x 的方程 3x−32mn=−56−m 的解，求此时符合要求的正整数 m，n 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】圆锥的侧面展开图是扇形．
2. D【解析】A选项：3x−2y=4z，不是二元一次方程，因为含有 3 个未知数；
B选项：6xy+9=0，不是二元一次方程，因为其最高次数为 2；
C选项：1x+4y=6，不是二元一次方程，因为不是整式方程；
D选项：4x=y−24，是二元一次方程．
3. D【解析】A、能通过其中一个四边形平移得到，故本选项不符合题意；
B、能通过其中一个四边形平移得到，故本选项不符合题意；
C、能通过其中一个四边形平移得到，故本选项不符合题意；
D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，故本选项符合题意．
4. C【解析】A选项：若 a∥b，b∥c，则 a∥c 是真命题，故A错误；
B选项：若 a=b，b=c，则 a=c 是真命题，故B错误；
C选项：若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c 是假命题，故C正确；
D选项：若 a>b，b>c，则 a>c 是真命题，故D错误．
5. B
【解析】根据某年级学生共有 246 人，则 x+y=246；
男生人数 y 比女生人数 x 的 2 倍少 2 人，则 2x=y+2．
可列方程组为 x+y=246,2x=y+2.
6. A【解析】∵∠1 和 ∠2 互为余角，
∴∠1+∠2=90∘．
∵∠1=60∘，
∴∠2=90∘−60∘=30∘．
7. D【解析】A项，∠4=∠5，说明 l1 和 l2 的同位角相等，所以 l1∥l2，故A项正确；
B项，∠1=∠3，说明 l1 和 l2 的内错角相等，所以 l1∥l2，故B项正确；
C项，∠4+∠2=180∘，说明 l1 和 l2 的同旁内角互补，所以 l1∥l2，故C项正确．
D项，∠1=∠2，不能说明 l1∥l2，故D项错误；
故本题正确答案为D．
8. A【解析】4a+3b=11, ⋯⋯①2a+3b=7, ⋯⋯②
① + ②：6a+6b=18，
∴a+b=3．
故A选项正确．
9. B【解析】∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，
∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，
∴l2⊥l8，
∵l1⊥l2，
∴l1∥l8．
10. A
【解析】方法一：①当 x>0，y>0 时，原方程组为 x+y=12,x+y=6, 显然无解；
②当 x<0，y>0 时，原方程组为 −x+y=12,x+y=6, 解得 x=−3,y=9;
③当 x>0，y<0 时，原方程组为 x+y=12,x−y=6, 解得 x=9,y=3, 舍去；
④当 x<0，y<0 时，原方程组为 −x+y=12,x−y=6, 显然无解；
综上，只有 1 组解．
方法二：若 x≥0，则 x+y=12,x+|y|=6,
于是 |y|−y=−6，显然不可能．
若 x<0，则 −x+y=12,x+|y|=6,
于是 |y|+y=18，解得 y=9，进而求得 x=−3．
∴ 原方程组的解为 x=−3,y=9, 只有 1 个解．
第二部分
11. 垂线段
【解析】连接直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，只有垂直线段最短．
12. 125∘
【解析】如图所示，∠1=70∘，∠2=15∘，可求得 ∠3=90∘−∠1=90∘−70∘=20∘，所以 ∠BAC=20∘+90∘+15∘=125∘．
13. 68∘
【解析】∵OC 平分 ∠BOD，
∴∠BOC=∠COD=22∘，
∴∠AOC=90∘，
∴∠AOB=90∘−22∘=68∘．
14. 4
【解析】由已知得 x−1=0,2y+1=0, 解得 x=1,y=−12,
将 x=1,y=−12 代入方程 2x−ky=4 得 2+12k=4，解得 k=4．
15. 15
【解析】由图可知，
∠1=45∘，∠2=30∘．
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠1=45∘，
∴∠CAE=∠BAE−∠2=45∘−30∘=15∘．
故答案为：15．
16. 16cm2
【解析】设小长方形的长为 x 厘米，宽为 y 厘米，
依题意，得：x−y=6,x+3y=14,
解得：x=8,y=2,
∴8×2=16cm2．
17. 45
【解析】钟表上的 12 个整点将整个圆平均分成 12 份．
则每份为 30∘，
4 点 30 分时针与分针相距 1+12=32，
4 点 30 分时针与分针所夹的锐角是 30×32=45∘．
18. ②③④
【解析】①将 x=5，y=−1 代入方程组得：5−3=4−a, ⋯⋯①5+5=3a, ⋯⋯②
由①得 a=2，由②得 a=103，故①不正确．
②解方程 x+3y=4−a, ⋯⋯①x−5y=3a, ⋯⋯②
① − ②得：8y=4−4a，
解得：y=1−a2，
将 y 的值代入①得：x=a+52，
所以 x+y=3，
故无论 a 取何值，x+y 的值始终不变，故②正确．
③将 a=−2 代入方程组得：x+3y=6,x−5y=−6,
两式相加得，2x−2y=0，
所以 x=y，故③正确．
④ x−5y=3a，则 x=5y+3a，
∴x+3y=5y+3a+3y=4−a，
则 8y=−4a+4，y=12−12a，
x=5y+3a=52−52a+3a=52+12a，
∴x+y=3．
又 x，y 为自然数，
∴x=0,y=3 或 x=1,y=2 或 x=2,y=1 或 x=3,y=0
∴x，y 有自然数解为 4 对，故④正确．
∴ 所以正确的有②③④．
第三部分
19. 去括号得：
5x+10=4x+14.
移项合并得：
x=4.
20. 去分母得：
3y+2−22y−3=12.
去括号得：
3y+6−4y+6=12.
移项合并得：
−y=0.
解得：
y=0.
21.
y=3x−6, ⋯⋯①2x+3y=15. ⋯⋯②
把①代入②得，
2x+33x−6=15,
解得，
x=3,
把 x=3 代入①得，
y=3,∴
方程组的解为：
x=3,y=3.
22.
5x+2y=25, ⋯⋯①3x+4y=15, ⋯⋯②
由①得，
y=25−5x2, ⋯⋯③
将③代入②得
3x+4×25−5x2=15,
解得
x=5,
代入③得
y=0.∴
原方程组的解为 x=5,y=0.
23. （1） ∵∠AOC=80∘，OB 是 ∠AOC 的平分线，
∴∠BOC=12∠AOC=12×80∘=40∘．
（2） ∵OB 是 ∠AOC 的平分线，OD 是 ∠COE 的平分线，
∠AOC=80∘，∠DOE=30∘，
∴∠BOC=12∠AOC=40∘，∠COE=2∠DOE=60∘，
∴∠BOE=∠BOC+∠COE=40∘+60∘=100∘．
24. ∵∠C=∠COA，∠D=∠BOD，
又 ∵∠COA=∠DOB，
∴∠C=∠D，
∴AC∥DB，
∴∠A=∠B．
25. 对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；AC；DF
【解析】∵∠1=∠2（已知），
∠2=∠DGF（对顶角相等），
∴∠1=∠DGF（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠C=180∘（两直线平行，同旁内角互补），
又 ∵∠3=∠4（已知），
∴∠4+∠C=180∘（等量代换），
∴AD∥DF（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）．
26. （1） A
（2） 如图所示：
（3） 如图所示：
27. （1） 145∘；45∘
【解析】若 ∠BOD=35∘，
∵∠AOB=∠COD=90∘，
∴∠AOC=∠AOB+∠COD−∠BOD=90∘+90∘−35∘=145∘，
若 ∠AOC=135∘，
则 ∠BOD=∠AOB+∠COD−∠AOC=90∘+90∘−135∘=45∘．
（2） ∠AOC 与 ∠BOD 互补．
∵∠AOB=∠COD=90∘，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180∘．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD=180∘，
即 ∠AOC 与 ∠BOD 互补．
（3） 30∘，45∘，60∘，75∘．
【解析】OD⊥AB 时，∠AOD=30∘，
CD⊥OB 时，∠AOD=45∘，
CD⊥AB 时，∠AOD=75∘，
OC⊥AB 时，∠AOD=60∘，
即 ∠AOD 角度所有可能的值为：30∘，45∘，60∘，75∘．
28. （1） 4
【解析】6−2.5÷0.8=4⋯0.3，最多裁成 0.8 米长的用料 4 根．
（2） 设用方法②剪 x 根，方法③裁剪 y 根 6 m 长的钢管，
由题意，得 x+2y=32,4x+y=100.
解得：x=24,y=4.
答：用方法②剪 24 根，方法③裁剪 4 根 6 m 长的钢管．
29. （1） 40
【解析】∵∠AOC=80∘，
∴∠BOC=180∘−80∘=100∘，
∴ 当 OM 平分 ∠BOC 时，∠BOM=50∘，
∴∠BON=90∘−50∘=40∘．
（2） 因为 OM⊥OE，
所以 ∠EOM=90∘，
①当 OM 追上 OE 之前时，
∵∠EOB=∠EOC+∠COB=5t+100，∠EOB=∠EOM+∠MOB=15t+90，
∴5t+100=15t+90，
解这个方程得：t=1；
②当 OM 超过 OE 之后时，
∵ 直角三角尺旋转的度数 =∠BOC+∠COE+∠EOM 的度数，
∴15t=100+5t+90，
∴t=19．
综上，当 t=1 或 t=19 时，OM⊥OE．
（3） ∵360÷15=24（秒），
∴0≤t≤24，
①当 OC 平分 ∠MOE 时，
∠MOC=∠EOC，∠COB−∠MOB=∠EOC，
∴100−15t=5t，
∴t=5；
②当 OM 平分 ∠COE 时，
则有 ∠MOC=12∠EOC，∠MOB−∠COB=12∠EOC，
∴15t−100=12×5t，
∴t=8；
③当 OE 平分 ∠COM 时，
∴ 大于 180∘ 的 ∠MOC=2∠EOC，
∴15t−100=2×5t，
∴t=20．
综上：t=5秒或8秒或20秒．
30. （1） ∵2=3×2−k，
∴2=6−k，
∴k=4．
（2） ∵x=sx+t−1，
∴1−sx=t−1，
①当 1−x≠0 时，即 s≠1 时，
有唯一解 x=t−11−s，此时有唯一完美值 x=t−11−x，
②当 1−s=0，t−1=0 时，
即 s=1，t=1 时，有无数个解，此时有无数个完美值，
③当 1−s=0，t−1≠0 时，无解，此时没有完美值．
（3） ∵x=2x−16mn+6−m 卓越值是 x=16mn−6−m，
3x−32mn=−56−m 解是 x=12mn−536−m，
∴16mn−6−m=12mn−536−m，
∴26−m=mn，
∴m=122+n，
又 ∵m，n 为正整数，
∴ ①当 n=1 时，m=4，
②当 n=2 时，m=3，
③当 n=4 时，m=2，
④当 n=10 时，m=1．