2020-2021学年上海市徐汇区八下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年上海市徐汇区八下期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 一次函数 y=−2x+1 的图象经过哪几个象限
A. 一、二、三象限B. 一、二、四象限C. 一、三、四象限D. 二、三、四象限

2. 下列方程，有实数解的是
A. x−2+1=0B. xx−2=2x−2
C. x+24−1=0D. x−4+x−3=0

3. 如果 EF=MN，那么下列结论中正确的是
A. ∣EN∣=∣FM∣B. EM 与 FN 是相等向量
C. EN 与 MF 是相反向量D. EN 与 MF 是平行向量

4. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是
A. 锄禾日当午B. 大漠孤烟直C. 手可摘星辰D. 黄河入海流

5. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是
A. 菱形B. 矩形C. 等腰梯形D. 平行四边形

6. 已知四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC=BD，下列判断中正确的是
A. 如果 BC=AD，那么四边形 ABCD 是等腰梯形
B. 如果 AD∥BC，那么四边形 ABCD 是菱形
C. 如果 AC 平分 BD，那么四边形 ABCD 是矩形
D. 如果 AC⊥BD，那么四边形 ABCD 是正方形

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 将直线 y=−x−2 沿 y 轴方向向上平移 3 个单位，所得新图象的函数表达式是 ．

8. 已知一次函数 y=mx+1m≠0，若 y 的值随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 ．

9. 方程 12x3+4=0 的解是 ．

10. 方程 2−x=3 的解是 ．

11. 已知一次函数 y=kx+bk≠0 的图象如图所示，那么关于 x 的不等式 kx+b>0 的解集是 ．

12. 如果关于 x 是方程 x2−x+m=0 有两个相等的实数根，那么 m 的值等于 ．

13. 一个 n 边形的内角和是 540∘，那么 n= ．

14. 用换元法解方程 x−1x2+2x2x−1=3 时，如果设 y=x−1x2，那么原方程化成关于 y 的整式方程是 ．

15. 我们古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：“九百九十九文钱，甜果苦果共买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱?”如果设买甜果 x 个，买苦果 y 个，那么列出的关于 x，y 的二元一次方程组是 ．

16. 已知，如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 CA，AC 的延长线上，且 ∠BED=∠BFD=45∘，那么四边形 EBFD 的面积是 ．

17. 我们把连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形 ABCD 的对角线 AC=BD=12，且这两条对角线的夹角为 60∘，那么该四边形较长的“中对线”的长度为 ．

18. 已知等边 △ABC 的边长为 6，D 是边 AB 上一点，DE∥BC 交 AC 于点 E，以 DE 为一边在 △ABC 形内构造矩形 DEFG，且 DG=12DE，设 AD=x，BG=y，则 y 关于 x 的函数关系式是 （无需写出定义域）．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 解方程组：x2−5xy−6y2=0,x2−4xy+4y2=1.

20. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O．点 E 在对角线 BD 的延长线上，且 DE=OD．
（1）图中与 OB 相等的向量是 ；
（2）计算：AE−AD+BA；
（3）在图中求作 AE−CO．（保留作图痕迹，不要求写作法，请指出哪个向量是所求作的向量）

21. 小明和小杰从同一地点去青浦郊野公园，小明坐公交车去，小杰因为有事晚出发，乘出租车以 1.6 千米/分钟的平均速度沿路追赶．图中 l1，l2 分别表示公交车与出租车在行驶中的路程（千米）与时间（分钟）的关系，根据图象解决下列问题：
（1）小明早到了 分钟，公交车的平均速度为 千米/分钟；
（2）小杰路上花费的时间是 分钟，比小明晚出发 分钟；
（3）求出租车行驶过程中 s 与 t 的函数关系式，并写出定义域．

22. 小杰和小明玩扑克牌游戏，各出一张牌比输赢．游戏的规则是：谁的牌数字大谁赢，同样大就平：A遇 2 就输，遇其他牌（除A外）都赢．目前小杰手中A，K，J，小明手中有 2，Q，J．
（1）求出小明抽到的牌恰好是“2”的概率；
（2）小杰、小明两人谁获胜的机会大?画出树状图，通过计算说明理由．

23. 为响应国家号召，全体公民接种疫苗，提高对“新冠”病毒的免疫功能．现某大型社区有 6000 人需要接种疫苗，为了尽快完成该项任务，防疫部门除固定接种点外还增加了一辆流动疫苗接种车，实际每日接种人数比原计划多了 250 人，结果提前了 2 天完成全部接种任务．求原计划每天接种人数是多少?

24. 如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，G 分别是 AB，CD 中点，点 F 在边 BC 上，且 BF=12AD+BC．
（1）求证：四边形 AEFG 是平行四边形；
（2）若四边形 AEFG 是矩形，求证：AG 平分 ∠FAD．

25. 已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=−2x−4 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，点 A 为 y 轴正半轴上的一点，将 △ABC 绕着顶点 B 旋转后，点 C 的对应点 Cʹ 落在 y 轴上，点 A 的对应点 Aʹ 恰好落在反比例函数 y=kxk≠0 的图象上．
（1）求 △BOC 的面积；
（2）如果 k 的值为 6（即反比例函数为 y=6x），求点 Aʹ 的坐标；
（3）如果四边形 ACBAʹ 是梯形，求 k 的值．

26. 已知：正方形 ABCD 的边长为 8，点 E 是 BC 边的中点，点 F 是边 AB 上的动点，连接 DE，EF．
（1）如图 1，如果 BF=2，求证：EF⊥DE；
（2）如图 2，如果 BF=3，求证：∠DEF=3∠CDE；
（3）连接 DF，设 DF 的中点为 G，四边形 AFEG 是否可能为菱形?请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】因为解析式 y=−2x+1 中，−2<0，1>0，图象过一、二、四象限，故选B．
2. C【解析】A、 ∵x−2+1=0，
∴x−2=−1，
∵x−2 是非负数，
∴ 原方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、 xx−2=2x−2，
方程两边都乘以 x−2，得 x=2，
检验：当 x=2 时，x−2=0，
∴x=2 是增根，
即原方程无实数解，故本选项不符合题意；
C、 ∵x+24−1=0，
∴x+24=1，
∴x+2=±41，
∴x1=−2+1=−1，x2=−2−1=−3，即方程有实数解，故本选项符合题意；
D、 ∵x−4+x−3=0，
∴x−4=0 且 x−3=0，
∴x 不存在，
即原方程无实数解，故本选项不符合题意；
故选：C．
3. B【解析】∵EF=MN，
∴∣EF∣=∣MN∣，EF∥MN．
∴ 四边形 EMNF 是平行四边形．
A、当平行四边形 EMNF 是矩形时，该结论才成立，故不符合题意．
B、由四边形 EMNF 是平行四边形得到：EM=FN，且 EM∥FN，则 EM 与 FN 是相等向量，故符合题意．
C、如图所示，
EN 与 MF 不是相反向量，故不符合题意．
D、如图所示，EN 与 MF 不是平行向量，故不符合题意．
4. C【解析】A、锄禾日当午是随机事件，故选项错误，不符合题意；
B、大漠孤烟直是随机事件，故选项错误，不符合题意；
C、手可摘星辰是不可能事件，故选项正确，符合题意；
D、黄河入海流是必然事件，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
5. D
【解析】A、菱形即使中心对称图形，也是轴对称图形，故A错误；
B、矩形即使中心对称图形，也是轴对称图形，故B错误；
C、等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误；
D、平行四边形是中心对称但不是轴对称图形，故D正确，
故答案为：D．
6. C【解析】A．如果 BC=AD，那么四边形 ABCD 可能是等腰梯形，也可能是矩形，错误；
B．如果 AD∥BC，那么四边形 ABCD 是矩形，错误；
C．如果 AC 平分 BD，那么四边形 ABCD 是矩形，正确；
D．如果 AC⊥BD，那么四边形 ABCD 不一定是正方形，错误；
故选：C．
第二部分
7. y=−x+1
【解析】由“上加下减”的原则可知，将直线 y=−x−2 沿 y 轴方向向上平移 3 个单位所得函数的解析式为 y=−x−2+3，即 y=−x+1．
故答案为：y=−x+1．
8. m>0
9. x=−2
【解析】方程整理得：x3=−8，
开立方得：x=−2．
故答案为：x=−2．
10. x=−7
【解析】2−x=3，
两边平方，得 2−x=9，
解得：x=−7，
经检验 x=−7 是原方程的解，
故答案为：x=−7．
11. x<4
【解析】函数 y=kx+b 的图象经过点 4,0，并且函数值 y 随 x 的增大而减小，
所以当 x<4 时，函数值大于 0，即关于 x 的不等式 kx+b>0 的解集是 x<4．
故答案为：x＜4．
12. 14
【解析】∵ 方程 x2−x+m=0 有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=−12−4m=0，
解得 m=14，
故答案为：14．
13. 5
【解析】设这个多边形的边数为 n，
由题意，得 n−2⋅180∘=540∘，
解得 n=5．
故答案为：5．
14. y2−3y+2=0
【解析】∵x−1x2+2x2x−1=3，
∴x−1x2⋅x−1x2+2=3×x−1x2，
设 x−1x2=y，
则原方程可化成 y2−3y+2=0．
故答案为 y2−3y+2=0．
15. x+y=1000,119x+47y=999
【解析】∵ 甜果苦果共买千，
∴x+y=1000；
∵ 甜果九个十一文，苦果七个四文钱，且购买两种果共花费九百九十九文钱，
∴119x+47y=999．
联立两方程组成方程组 x+y=1000,119x+47y=999.
故答案为：x+y=1000,119x+47y=999.
16. 16+162
【解析】如图，连接 BD 交 AC 于 O．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠CAD=∠CAB=45∘，
∴∠EAD=∠EAB=135∘，
在 △EAB 和 △EAD 中，
EA=EA,∠EAB=∠EAD,AB=AD,
∴△EAB≌△EAD，
∴∠AEB=∠AED=22.5∘，EB=ED，
∴∠ADE=180∘−∠EAD−∠AED=22.5∘，
∴∠AED=∠ADE=22.5∘，
∴AE=AD=4，
同理证明 ∠DFC=22.5∘，FD=FB，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
∴ED=EB=FB=FD，
∴ 四边形 EBFD 的面积 =12⋅BD⋅EF=12×4242+8=16+162，
故答案为：16+162．
17. 23
【解析】如图，设两条对角线 AC，BD 的夹角为 60∘，
取四边的中点并连接起来，设 AC 与 EH 交于 M，HF 与 EG 交于 N，
∴EH 是三角形 ABD 的中位线，
∴EH=12BD=2，EH∥BD，
同理，FG=12BD=2，FG∥BD，EF=12AC=2，EF∥AC，HG=12AC=2，HG∥AC，
∴EH∥HG∥AC，EF=FG=HG=HE，
∴ 四边形 EFGH 是菱形，
∵EH=12BD=2，EH∥BD，
∴∠AOB=60∘=∠AME，
∵FE∥AC，
∴∠FEH=∠AME=60∘，
∴∠HEN=∠FEN=30∘，
∴HN=12EH=1，
∴EN=EH2−HN2=3，
∴EG=23，
∴ 较长的“中对线”长度为 23．
故答案为：23．
18. y=23+5x2−48+123x+1442
【解析】延长 DG 交 BC 于 H，
∵△ABC 是等边三角形，边长为 6，
∴∠A=∠ABC=∠C=60∘，AB=6，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=60∘，∠AED=∠C=60∘，
∴∠A=∠ADE=∠AED，
∴△ADE 是等边三角形，
∴AD=DE=x，
∵ 四边形 DGFE 是矩形，
∴∠GDE=90∘，
∵DE∥BC，
∴∠DHB=∠GDE=90∘，
∵AD=x，AB=6，
∴BD=AB−AD=6−x，
在 △DHB 中，∠DBH=60∘，
∴BH=6−x2，
DH=BD2−BH2=36−x2，
∵DG=12DE=12x，
∴GH=DH−DG=63−3x−x2，
在 △BHG 中，BH2+GH2=BG2，
∴6−x22+63−3x−x22=y2，
化简可得：y=23+5x2−48+123x+1442，
故答案为：y=23+5x2−48+123x+1442．
第三部分
19. x2−5xy−6y2=0 可化为
x−6yx+y=0.
所以
x−6y=0或x+y=0.x2−4xy+4y2=1
可化为
x−2y+1x−2y−1=0.
所以
x−2y+1=0或x−2y−1=0.
原方程组相当于以下四个方程组：x−6y=0,x−2y+1=0, ⋯⋯① x−6y=0,x−2y−1=0, ⋯⋯② x+y=0,x−2y+1=0, ⋯⋯③ x+y=0,x−2y−1=0, ⋯⋯④
解得①②③④分别得：
x=−32,y=−14,x=32,y=14,x=−13,y=13,x=13,y=−13,
所以原方程组的解是：x=−32,y=−14 或 x=32,y=14 或 x=−13,y=13 或 x=13,y=−13.
20. （1） DO，ED
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD，
∵DE=OD，
∴OB=OD=DE，
∴ 与 OB 相等的向量为 DO，ED．
故答案为：DO，ED．
（2） 连接 EC，
∵AE−AD+BA=BA+AE−AD=BE−AD=CE，
∴AE−AD+BA=CE．
（3） 如图，延长 CA 到 T，使得 AT=OA，连接 TE，TE 即为所求．
21. （1） 5；1
【解析】根据图象可知，小明早到了：45−40=5（分钟），
公交车的平均速度为：40÷40=1（千米/分钟），
故答案：5；1．
（2） 25；20
【解析】小杰路上花费的时间是：40÷1.6=25（分钟），
小杰比小明晚出发：45−25=20（分钟），
故答案为：25；20．
（3） 由公交车的平均速度为 1 千米/分钟，可得 l1 对应的表达式为 s=t0≤t≤40；
设 l2 对应的表达式为 s=kt+bk≠0，
由题意得：20k+b=0,45k+b=40,
解得 k=1.6,b=−32,
∴l2 对应的表达式为 s=1.6t−3220≤t≤45．
22. （1） 小明抽到的牌恰好是“2”的概率 =13．
（2） 小明获胜的机会大．
理由如下：
画树状图为：
共有 9 种等可能的结果，其中小杰获胜的结果数为 3，小明获胜的结果数为 4，
所以小杰获胜的概率 =39=13；小明获胜的概率 =49，
而 13<49，
所以小明获胜的机会大．
23. 设原计划每天接种人数为 x 人，则实际每日接种人数为 x+250 人，
由题意得：
6000x−6000x+250=2.
解得：
x=750或x=−1000舍去.
经检验，x=750 是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天接种人数为 750 人．
24. （1） 连接 EG 交 AF 于点 O，
∵E，G 分别是 AB，CD 的中点，
∴EG 是梯形 ABCD 的中位线，
∴EG=12AD+BC，EG∥AD∥BC，
∵BF=12AD+BC，
∴EG=BF，
∴ 四边形 BEGF 是平行四边形，
∴BE=GF，BE∥GF，
∵AE=BE，
∴AE=GF，
∴ 四边形 AEFG 平行四边形．
（2） ∵ 四边形 AEFG 是矩形，
∴OA=OG，
∴∠OAG=∠OGA，
∵AD∥EG，
∴∠DAG=∠OGA，
∴∠OAG=∠DAG，即 AG 平分 ∠FAD．
25. （1） ∵ 直线 BC:y=−2x−4，
令 x=0，则 y=−4，令 y=0，则 x=−2，
∴B0,−4，C−2,0，
∴OC=2，OB=4，
∴△BOC 的面积 =12OB×OC=12×4×2=4．
（2） 设 AʹB 与 x 轴的交点为 D，由题意可知 D2,0，
设直线 AʹB 的解析式为 y=kx−4，
把 D2,0 代入得 0=2k−4，
解得 k=2，
∴ 直线 AʹB 的解析式为 y=2x−4，
由 y=6x,y=2x−4, 解得：x=3,y=2 或 x=−1,y=−6,
∴ 点 Aʹ 的坐标是 3,2．
（3） 若四边形 ACBAʹ 为梯形，由于点 A 在 y 轴的正半轴．
①证明 CB 与 AAʹ 不平行；
∵BA=BAʹ，在 △ABAʹ 中，令 ∠ABAʹ=α，则 ∠BAʹA=180∘−α2=90∘−α2，
又 ∠CBAʹ=2∠ABAʹ=2α，
则 ∠BAʹA+∠CBAʹ=90∘−α2+2α=90∘+32α≠180∘，
（由于在 △CBO 中，∠CBO≠60∘，即 α≠60∘），
∴CB 与 AAʹ 不平行；
②当 CA∥BAʹ 时，可得 ∠CBA=∠ABAʹ=∠CAB，即 CB=CA，A0,4，
又 BC=BCʹ=25，B0,−4，
∴OCʹ=25−4，
过 A 作 BC 垂线，垂足为 M，过 Aʹ 作 BCʹ 垂线，垂足为 Mʹ，
∵BC=42+22=25，AB=8，OC=2，
∴AM=AB×OCBC=855，
∴BM=AB2−AM2=1655，
∴CM=BM−BC=655，
由旋转易得 △AʹMʹCʹ≌△AMC，
∴AʹMʹ=AM=855，CʹMʹ=CM=655，
又 OCʹ=25−4，
∴OMʹ=OCʹ+CʹMʹ=1655−4，
∴Aʹ855,1655−4，
又点 Aʹ 在反比例函数 y=kx 图象上，
∴k=xy=8551655−4=1285−3255．
26. （1） 如图 1 中，连接 DF，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=90∘，AB=BC=CD=AD=8，
∵ 点 E 是 BC 边的中点，
∴BE=CE=4，
∵BF=2，
∴AF=6，
∴DF=AF2+AD2=10，EF=BF2+BE2=25，DE=CD2+CE2=45，
∴EF2+DE2=DF2，
∴∠FED=90∘，
∴EF⊥DE．
（2） 如图中，过 E 作 EH⊥AD 于 H，连接 AE．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，EH⊥AD 于 H，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠CDE=∠DEH，
∵E 是 BC 中点，
∴AH=DH，
∴EH 垂直平分 AD，
∴∠AEH=∠DEH，
∴∠CDE=∠DEH=∠AEH，
Rt△BEF 中，BF=3，BE=4，
∴EF=BF2+BE2=5，
∴AF=AB−BF=5，
∴EF=AF，
∴∠FAE=∠FEA，
而 ∠FAE=∠AEH，
∴∠FEA=∠AEH，
∴∠CDE=∠DEH=∠AEH=∠FEA，
∴∠DEF=3∠CDE．
（3） 结论：四边形 AFEG 不可能是菱形．
理由：连接 AE．
假设四边形 AFEG 是菱形，则 AE⊥DF，
∴∠BAE+AFD=90∘，∠AFD+∠ADF=90∘，
∴∠BAE=∠ADF，
∵AB=DA，∠B=∠DAF=90∘，
∴△ABE≌△DAFASA，
∴BE=AF，
∵BE=EC，BC=AB，
∴AF=BF，
在 Rt△BEF 中，EF>BF，
∴EF>AF，这与假设矛盾，
∴ 四边形 AFEG 不可能是菱形．