2020-2021学年上海市松江区八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年上海市松江区八上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共14小题；共70分）
1. 计算：153＝ ．

2. 写出 x−2 的一个有理化因式 ．

3. 方程 1−x2=9 的根是 ．

4. 在实数范围内分解因式 x2−5x+1= ．

5. 函数 y=xx+1 的定义域是 ．

6. 如果关于 x 的一元二次方程 x2+x−m=0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是 ．

7. 已知 fx=kx，f2=2，那么 k= ．

8. 如果反比例函数 y=k−3x 的图象位于第二，四象限内，那么满足条件的正整数 k 是 ．

9. 经过定点 A 且半径为 2 cm 的圆的圆心的轨迹是 ．

10. 直角坐标平面内，已知点 A−1,2，点 B2,6，那么 AB= ．

11. 如图，在 △ABC 中，已知 ∠C=90∘，AB 的垂直平分线交 BC，AB 于点 D，E，∠CAB=50∘，那么 ∠CAD= ．

12. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，BD 平分 ∠ABC，如果 AC=9 cm，那么 AD= cm．

13. 如图，在四边形 ABCD 中，AD=22，AB=27，BC=10，CD=8，∠BAD=90∘，那么四边形 ABCD 的面积是 ．

14. 如图，A 点坐标为 3,0，C 点坐标为 0,1，将 △OAC 沿 AC 翻折得 △ACP，则 P 点坐标为 ．

二、选择题（共4小题；共20分）
15. 下列二次根式中，与 3 是同类二次根式
A. 18B. 12C. 23D. 9

16. 下列函数中，y 随 x 的增大而减小的是
A. y=12xB. y=−12xC. y=2xD. y=−2x

17. 某种商品连续两次降价后，每件商品价格由原来的 600 元降至 486 元，若每次降价的百分率都是 x，则可以列出方程
A. 6001−2x=486B. 6001−x2=486
C. 6001−x%2=486D. 4861+x2=600

18. 下列命题中，假命题
A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
B. 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C. 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
D. 一边长相等的两个等腰直角三角形全等

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 计算：12−3−412+48−24÷6．

20. 解方程：3x−x2+12=2．

21. 如图，在 △ABC 中，∠B=60∘，∠C=22.5∘，AC 的垂直平分线交 BC 于点 D，CD=32，AE⊥BC 于点 E，求 BE 的长．

22. 小明同学骑自行车从家里出发依次去甲、乙两个景点游玩，他离家的距离 ykm 与所用的时间 xh 之间的函数图象如图所示：
（1）甲景点与乙景点相距 千米，乙景点与小明家距离是 千米；
（2）当 0≤x≤1 时，y 与 x 的函数关系式是 ；
（3）小明在游玩途中，停留所用时间为 小时，在 6 小时内共骑行 千米．

23. 已知 y=y1+2y2，y1 与 x−2 成正比例，y2 与 x 成反比例，且当 x=1 时，y=−1；当 x=2 时，y=3．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）当 x=3 时，求 y 的值．

24. 如图，已知四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90∘，点 E 是 AC 中点，点 F 是 BD 中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）过点 D 作 DH⊥AC 于 H 点，如果 BD 平分 ∠HDE，求证：BA=BC．

25. 如图，点 A，B 在反比例函数 y=kx 的图象上，A 点坐标 1,6，B 点坐标 m,n m>1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点 B 作 BC⊥y 轴，垂足为点 C，连接 AC，当 S△ABC=6 时，求点 B 的坐标．

26. 已知：如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，∠B=30∘，AC=6，AD 平分 ∠BAC，交 BC 边于点 D．点 E 是边 AB 上一动点（与点 A，B 不重合）．过点 E 作 EF⊥AD，垂足为点 G，与射线 AC 交于点 F．
（1）当点 F 在边 AC 上时，
①求证：DE=DF；
②设 BE=x，CF=y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域．
（2）当 △ADF 是等腰三角形时，求 BE 的长．
答案
第一部分
1. 5
【解析】原式=5×33＝5．
2. x+2
【解析】∵x−2x+2=x2−22=x−4，
∴x−2 的一个有理化因式为 x+2，
故答案为：x+2．
3. x1=−2，x2=4
【解析】∵1−x2=9，
∴1−x=3 或 1−x=−3，
解得：x1=−2，x2=4．
4. x−5+212x−5−212
【解析】因为 x2−5x+1=0 时，x=5±212，
所以 x2−5x+1=x−5+212x−5−212．
5. x>−1
【解析】根据题意得：x+1>0，
解得：x>−1．
6. m>−14
【解析】因为关于 x 的一元二次方程 x2+x−m=0 有两个不相等的实数根，
所以 Δ=12+4m>0，
解得 m>−14．
7. 2
【解析】由题意可得：2k=2，
解得 k=2．
8. 1，2
【解析】因为反比例函数 y=k−3x 的图象位于第二，四象限内，
所以 k−3<0，k<3，那么满足条件的正整数 k 是 1，2．
9. 以点 A 为圆心，2 cm 为半径的圆
【解析】所求圆心的轨迹，就是到 A 点的距离等于 2 厘米的点的集合，因此应该是一个以点 A 为圆心，2 cm 为半径的圆．
10. 5
【解析】根据题意得 AB=−1−22+2−62=5．
11. 10∘
【解析】因为 ∠C=90∘，∠CAB=50∘，
所以 ∠B=90∘−50∘=40∘，
因为 DE 垂直平分 AB，
所以 DA=DB，
所以 ∠DAB=∠B=40∘，
所以 ∠CAD=∠CAB−∠DAB=50∘−40∘=10∘．
12. 6
【解析】过点 D 作 DE⊥AB 于 E，
∵BD 平分 ∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=CD，
在 Rt△ADE 中，∠A=30∘，
∴DE=12AD，
∴DC=12AD，
∵AC=9 cm，
∴AD=6cm．
故答案为：6．
13. 214+24
【解析】连接 DB，
在 Rt△ABD 中，AD=22，AB=27，∠BAD=90∘，
所以 BD=AB2+AD2=6，
因为 BC=10，CD=8，
所以 BC2=BD2+CD2，
所以 ∠BDC=90∘，
所以
S四边形ABCD=S△ABD+S△DCB=12×22×27+12×6×8=214+24.
14. 32,32
【解析】如图，过点 P 作 PD⊥y轴 于点 D，
∵A 点坐标为 3,0，C 点坐标为 0,1，
∴OA=3，OC=1，
∴AC=OC2+OA2=2，
∴OC=12AC，
∴∠OAC=30∘，
∴∠OCA=60∘，
∵ 将 △OAC 沿 AC 翻折得 △ACP，
∴∠OCA=∠PCA=60∘，OC=PC=1，
∴DC=12，PD=32，
∴OD=OC+CD=1+12=32，
∴P32,32．
第二部分
15. B
【解析】A、 18=9×2=32，与 3 不是同类二次根式；
B、 12=4×3=23，与 3 是同类二次根式；
C、 23=63，与 3 不是同类二次根式；
D、 9=3，与 3 不是同类二次根式．
16. B【解析】A、函数 y=12x 的图象是 y 随着 x 增大而增大，故本选项错误；
B、函数 y=−12x 中的 k<0，y 随着 x 增大而减小，故本选项正确；
C、D两个答案考虑其增减性时，需要考虑自变量的取值范围，故C、D错误．
故选B．
17. B【解析】设每次降价的百分率为 x．由题意，得
6001−x2=486．
18. D【解析】A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，本选项说法是真命题；
B．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，本选项说法是真命题；
C．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题；
D．当一个等腰直角三角形的直角边长等于另一个等腰直角三角形的斜边长时，两个等腰直角三角形不全等，故一边长相等的两个等腰直角三角形全等是假命题．
故选：D．
第三部分
19. 原式=2+3−22+48÷6−24÷6=2+3−22+22−2=3.
20. 方程整理得：
x2−6x+5=0.
分解因式得：
x−5x−1=0.
解得：
x1=5,x2=1.
21. 连接 AD，
因为 AC 的垂直平分线交 BC 于点 D，CD=32，
所以 AD=CD=32，
所以 ∠DAC=∠C，
因为 ∠C=22.5∘，
所以 ∠ADE=2∠C=45∘，
因为 AE⊥BC，
所以 ∠AEB=∠AEC=90∘，
所以 AE=DE=3，
因为 ∠B=60∘，
所以 ∠BAE=90∘−60∘=30∘，
所以 BE=3．
22. （1） 6；12
【解析】由图象可得，
甲景点与乙景点相距：12−6=6（千米）；
乙景点与小明家距离是 12 千米．
（2） y=6x
【解析】当 0≤x≤1 时，设 y 与 x 的函数关系式 y=kx，
根据题意，得 k=6，
所以 y=6x0≤x≤1．
（3） 3；24
【解析】由图象可得，
小明在游玩途中，停留所用时间为：3−1+5−4=3（小时）；
小明在 6 小时内共骑行：12×2=24（千米）．
23. （1） 设 y1=k1x−2k1≠0，y2=k2xk2≠0，
∴y=k1x−2+2k2x．
∵ 当 x=1 时，y=−1．
当 x=2 时，y=3，
∴−k1+2k2=−1,k2=3,
∴k1=7,k2=3,
∴y 关于 x 的函数解析式是：y=7x−2+6x．
（2） 由（1）知，y=7x−2+6x．
则当 x=3 时，y=7+2=9．
24. （1） ∵∠ABC=∠ADC=90∘，点 E 是 AC 中点，
∴DE=12AC，BE=12AC ，
∴DE=BE，
∵ 点 F 是 BD 中点，
∴EF⊥BD．
（2） 设 AC，BD 交于点 O，
∵DH⊥AC，EF⊥BD，
∴∠DHO=∠EFO=90∘，
∵∠DOH=∠BOE，
∴∠HDF=∠OEF，
∵DE=BE，
∴∠EDO=∠EBO，
∵BD 平分 ∠HDE，
∴∠HDF=∠BDE，
∴∠OEF=∠OBE，
∵∠OEF+∠EOF=90∘，
∴∠EOF+∠EBO=90∘，
∴∠BEO=90∘，
∴BE⊥AC，
∴BA=BC．
25. （1） ∵ 点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，A 点坐标 1,6，
∴k=1×6=6，
∴ 反比例函数的解析式为 y=6x；
（2） ∵B 在反比例函数 y=kx 的图象上，B 点坐标 m,n m>1．
∴n=6m，
∵BC⊥y 轴于点 C，
∴C0,6m，
∵S△ABC=6，
∴12m⋅6−6m=6，解得 m=3，
∴n=63=2，
∴ 点 B 的坐标 3,2．
26. （1） ①因为 AD 平分 ∠BAC，
所以 ∠CAD=∠BAD，
因为 EF⊥AD，
所以 ∠AGF=∠AGE=90∘，
又因为 AG=AG，
所以 △AGF≌△AGEASA，
所以 GF=GE，
又因为 EF⊥AD，
所以 DE=DF；
②因为 ∠C=90∘，∠B=30∘，AC=6，
所以 AB=2AC=12，
因为 BE=x，CF=y，
所以 AE=AB−BE=12−x，
由①得：△AGF≌△AGE，
所以 AF=AE=12−x，
所以 y=AC−AF=6−12−x=x−6，
因为 0所以 0所以 6≤x<12，
即 y=x−66≤x<12；
（2） 因为 ∠C=90∘，∠B=30∘，
所以 ∠BAC=90∘−30∘=60∘，
因为 AD 平分 ∠BAC，
所以 ∠CAD=∠BAD=30∘，
分三种情况：
①当 FA=FD 时，如图 1 所示：
则 ∠FDG=∠CAD=30∘，
因为 ∠C=90∘，
所以 ∠ADC=90∘−30∘=60∘，
所以 ∠CDF=60∘−30∘=30∘，
所以 DF=2CF，
所以 6−y=2y，
解得：y=2，
所以 AF=6−2=4，
所以 AE=AF=4，
所以 BE=12−4=8；
②当 DF=DA 时，如图 2 所示：
因为 ∠ACB=90∘，
所以 DC⊥AC，
所以 CF=CA=6，
所以 AF=CF+CA=12，
所以 AE=AF=12，
因为点 E 是边 AB 上一动点（与点 A，B 不重合），AB=12，
所以点 E 与点 B 重合，舍去；
③当 AF=AD 时，如图 3 所示：
因为 ∠ACD=90∘，∠CAD=30∘，AC=6，
所以 CD=33AC=23，AF=AD=2CD=43，
所以 AE=AF=43，
所以 BE=AB−AE=12−43；
综上所述，当 △ADF 是等腰三角形时，BE 的长为 8 或 12−43．