2020-2021学年北京市丰台区八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市丰台区八上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若分式 x−2x+1 的值为 0，则 x 的值是
A. −2B. −1C. 1D. 2

2. 下面的四个图案分别是“T型路口”、“步行”、“注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图所示，△ABC 的边 AC 上的高是
A. 线段 AEB. 线段 BAC. 线段 BDD. 线段 DA

4. 下列计算正确的是
A. a2⋅a3=a6B. a24=a8C. a−2=−a2D. a3÷a3=a

5. 如图，OP 平分 ∠AOB，PC⊥OA 于点 C，PD⊥OB 于点 D，延长 CP，DP 交 OB，OA 于点 E，F，下列结论错误的是
A. PC=PDB. OC=OD
C. ∠CPO=∠DPOD. PC=PE

6. 已知等腰三角形的一边长为 5，另一边长为 10，则它的周长是
A. 15B. 20C. 25D. 20 或 25

7. 2020 年 5 月 1 日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区 5 月和 12 月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：
月份5月12月类别厨余垃圾分出量千克6608400其他三种垃圾的总量千克x710x
如果厨余垃圾分出率 =厨余垃圾出量生活垃圾总量×100%（生活垃圾总量 = 厨余垃圾分出量 + 其他三种垃圾的总量），且该小区 12 月的厨余垃圾分出率约是 5 月的厨余垃圾分出率的 14 倍，那么下面列式正确的是
A. 660x×14=8400710xB. 660660+x×14=84008400+710x
C. 660660+x=84008400+710x×14D. 660+x660×14=8400+710x8400

8. 设 a，b 是实数，定义一种新运算：a*b=a−b2．下面有四个推断：① a*b=b*a；② a*b2=a2*b2；③ −a*b=a*−b；④ a*b+c=a*b+a*c．其中所有正确推断的序号是
A. ①②③④B. ①③④C. ①②D. ①③

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若 x−2 在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是 ．

10. 分解因式：2n2−8= ．

11. 写出一个比 22 大且比 17 小的整数 ．

12. 如图，将 △ABC 沿 BC 所在的直线平移得到 △DEF．如果 GC=2，DF=4.5，那么 AG= ．

13. 如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式 ．

14. 如图，在 △ABC，∠ACB=90∘，∠A=30∘，CD⊥AB 于点 D，如果 BD=1，那么 AD= ．

15. 如果关于 x 的多项式 x2+bx+4 是一个完全平方式，那么 b= ．

16. 下图是 4×4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为 1，点 A，B 均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系，如果点 C 也在此 4×4 的正方形网格的格点上，且 △ABC 是等腰三角形，请写出一个满足条件的点 C 的坐标 ；满足条件的点 C 一共有 个．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 计算：x−y2−xx−2y．

18. 计算：1−1m+1÷m2m+1．

19. 计算：14×8+−22+2−1．

20. 解分式方程：x−1x+1=1x+1．

21. 如图，AB=AD，AC=AE，∠CAE=∠BAD，求证：∠B=∠D．

22. 先化简，再求值：x2y−y⋅3x+y，其中 3x−4y=0．

23. 下面是小明设计的“作一个含 30∘ 角的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：如图，直线 l 及直线 l 上一点 A．
求作：△ABC，使得 ∠ACB=90∘，∠ABC=30∘．
作法：如图，
①在直线 l 上取点 D；
②分别以点 A，D 为圆心，AD 长为半径画弧，交于点 B，E；
③作直线 BE，交直线 l 于点 C；
④连接 AB．
△ABC 就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明．
证明：连接 BD，EA，ED．
∵BA=BD=AD，
∴△ABD 是等边三角形．
∴∠BAD=60∘，
∵BA=BD，EA= ．
∴ 点 B，E 在线段 AD 的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）
∴BE⊥AD．
∴∠ACB=90∘．
∴∠ABC+∠BAD=90∘（ ）（填推理的依据）
∴∠ABC=30∘．

24. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，DE=DB，∠DEC=∠B，求证：AD 平分 ∠BAC．

25. 小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：
1n−1n+1=n+1nn+1−nnn+1=1nn+1，
反过来，有 1nn+1=1n−1n+1．
运用这个运算规律可以计算：
11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．
（1）请你运用这个运算规律计算：12×3+13×4+14×5= ．
（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：
一个容器装有 1 L 水，按照如下要求把水倒出：第 1 次倒出 12 L 水，第 2 次倒出的水量是 12 L 的 13，第 3 次倒出的水量是 13 L 的 14，第 4 次倒出的水量是 14 L 的 15⋯⋯ 第 m 次倒出的水量是 1m L 的 1m+1⋯⋯ 按照这种倒水的方法，这 1 L 水能倒完吗?
请你补充解决过程：
①列出倒 m 次水倒出的总水量的式子并计算．
②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这 1 L 水能倒完吗”，并说明理由．

26. 已知：如图，∠MON=60∘，点 A 在射线 OM 上，点 B，C 在射线 ON 上（点 C 在点 B 的右侧），且 ∠OAB+∠OAC=60∘，点 B 关于直线 OM 的对称点为 D，连接 CD．
（1）依题意补全图形．
（2）猜想线段 CD，AB 的数量关系，并证明．

27. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 Pa,b 和图形 W，给出如下定义：如果图形 W 上存在一点 Qc,d，使得 a=c,b+d=k, 那么点 P 是图形 W 的“k 阶关联点”．
（1）若点 P 是原点 O 的“−1 阶关联点”，则点 P 的坐标为 ．
（2）如图，在 △ABC 中，A1,−1，B−2,−4，C0,−6．
①若点 P 是 △ABC 的“0 阶关联点”，把所有符合题意的点 P 都画在图中．
②若点 P 是 △ABC 的“k 阶关联点”，且点 P 在 △ABC 上，求 k 的取值范围．
答案
第一部分
1. D【解析】x−2x+1 的值为 0，
∴x−2=0，即 x=2．
2. A
3. C【解析】因为 BD⊥AC，
所以 △ABC 的边 AC 上的高为 BD．
4. B【解析】A选项：a2⋅a3=a5，故A错误；
B选项：a24=a8，故B正确；
C选项：a−2=1a2，故C错误；
D选项：a3÷a3=1，故D错误．
故选B．
5. D
【解析】∵OP 平分 ∠AOB，
∴∠BOP=∠AOP，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP=∠ODP=90∘，
∴PC=PD，故A正确，
在 △OCP 和 △ODP 中，
∠OCP=∠ODP,∠AOP=∠BOP,OP=OP,
∴△OCP≌△ODPAAS，
∴OC=OD，∠CPO=∠DPO，故B，C正确，
∵PC=PD，PD ∴PC6. C【解析】①腰长为 5，底边长为 10 时，5+5=10，不满足两边之和大于第三边，不成立，
②腰长为 10，底边长为 5 时，10+5>10，
∴ 周长为 10+10+5=25．
7. B【解析】由题意得：660660+x×14=84008400+710x．
8. D【解析】∵a*b=a−b2，
∴b*a=b−a2=a−b2=a*b，①正确；
a*b2=a−b22=a−b4，
a2*b2=a2−b22=a+b2a−b2，
a*b2≠a2*b2，②错误；
−a*b=−a−b2，
a*−b=a+b2=−a−b2=−a*b，③正确；
a*b+c=a−b−c2，
a*b+a*c=a−b2+a−c2，
a*b+c≠a*b+a*c，④错误．
∴ ①③正确，故选D．
第二部分
9. x≥2
【解析】由题意得：x−2≥0，
解得 x≥2．
10. 2n+2n−2
【解析】2n2−8=2n2−4=2n+2n−2．
11. 3 或 4
【解析】∵4<8<9，
∴2<22<3，
∵16<17<25，
∴4<17<5，
∴ 介于 22 和 17 之间的数可以为 3 或 4．
12. 2.5
【解析】∵△ABC 沿 BC 所在直线平移得到 △DEF，
∴△ABC≌△DEF，
又 ∵DF=4.5，
∴AC=DF=4.5，
∵GC=2，
∴AG=AC−GC=4.5−2=2.5．
13. a+b2a+b=2a2+3ab+b2
【解析】大长方形的面积可以表示为几个小长方形的面积和．
S=a2+a2+ab+ab+ab+b2=2a2+3ab+b2.
也可以直接用长 × 宽．
S=a+b2a+b．
∴a+b2a+b=2a2+3ab+b2．
14. 3
【解析】∵∠ACB=90∘，∠A=30∘，
∴∠B=60∘，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90∘，
∴∠B+∠BCD=90∘，
∴∠BCD=30∘，
在 Rt△BDC 中，∠BCD=30∘，
∴BD=12BC，
∵BD=1，
∴BC=2，
在 △BCA 中，∠A=30∘，
∴BC=12AB，
∴AB=4，
AD=AB−BD=4−1=3．
15. ±4
【解析】x2+bx+4 是完全平方式，
∴ 可写成 x±22 得到 x2±4x+4．
∴b=±4．
16. 1,0，8
【解析】按照 CA=CB，CA=AB，CB=AB 三种情况考虑．
CA=CB，考虑垂直平分线；
CA=AB，考虑边长；
CB=AB．
① CB=CA，
C 在 AB 垂直平分线上，
垂直平分线与格点没有交点．
② CB=AB=5，
∴C11,0，C21,−2，C6−2,1 满足．
③ CA=AB=5，
C3−2,2，C42,2，C5−2,0，C72,0，C81,−1 满足．
综上，一共有 8 个点满足．
第三部分
17. x−y2−xx−2y=x2−2xy+y2−x2+2xy=y2.
18. 原式=mm+1⋅m+1m2=1m.
19. 14×8+−22+2−1=2+2+2−1=22+1.
20.
x−1x+1=1x+1,
xx−1=x+1+xx+1,
x2−x=x+1+x2+x,
−3x=1,
x=−13.
检验：当 x=−13 时，xx+1≠0，
所以，原分式方程的解为 x=−13．
21. ∵∠CAE=∠BAD，
∴∠CAE+∠EAB=∠BAD+∠EAB，
即 ∠BAC=∠DAE，
在 △ABC 和 △ADE 中，
AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE,
∴△ABC≌△ADESAS，
∴∠B=∠D．
22. 原式=x2−y2y⋅3x+y=x+yx−yy⋅3x+y=3x−3yy.
∵3x−4y=0，
∴3x=4y．
原式=4y−3yy=1．
23. （1）
（2） ED；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直角三角形的两个锐角互余
【解析】连接 BD，EA，ED．
∵BA=BD=AD，
∴△ABD 是等边三角形．
∴∠BAD=60∘，
∵BA=BD，EA=ED．
∴ 点 B，E 在线段 AD 的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）
∴BE⊥AD．
∴∠ACB=90∘．
∴∠ABC+∠BAD=90∘（直角三角形的两个锐角互余）（填推理的依据）
∴∠ABC=30∘．
24. 过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，
∴∠DFB=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠DFB=∠ACB，DC⊥AC，
在 △DCE 和 △DFB 中，
∠DCE=∠DFB,∠DEC=∠B,DE=DB,
∴△DCE≌△DFBAAS，
∴DC=DF，
∴ 点 D 在 ∠BAC 的平分线上，
∴AD 平分 ∠BAC．
25. （1） 310
【解析】12×3+13×4+14×5=12−13+13−14+14−15=12−15=310.
（2） ①
12+12×13+13×14+14×15+⋯+1m⋅1m+1=11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+1mm+1=1−12+12−13+13−14+14−15+⋯+1m−1m+1=1−1m+1=mm+1L.
②这 1 L 水不能倒完，
因为 mm+1<1，
所以无论倒水次数 m 有多大，
倒出的总水量总小于 1 L，
因此，按这种方法容器中的 1 L 水是倒不完的．
26. （1） 作图如下：
（2） 猜想：CD=AB．
连接 AD，OD．
∵ 点 B 关于直线 OM 的对称点为 D，点 A 在射线 OM 上，
∴△ADO≌△ABO，
∴AD=AB，∠OAD=∠OAB，
∵∠OAB+∠OAC=60∘，
∴∠OAD+∠OAC=60∘，
即 ∠DAC=60∘，
在 △OAC 中，∠ACO=180∘−∠OAC+∠AOC，
∴∠ACO=60∘+∠OAB，
∵∠ABC−∠AOC+∠OAB=60∘+∠OAB，
∴∠ACO=∠ABC，
∴AB=AC，
∴AC=AD，
∴△ACD 是等边三角形，
∴CD=AD，
∴CD=AB．
27. （1） 0,−1
【解析】∵ 点 P 是原点 O 的“−1 阶关联点”，
∴a=0,b+0=−1,
∴a=0,b=−1,
∴P0,−1．
故答案为：0,−1．
（2） ①

∵ 点 P 是 △ABC 的“0 阶关联点”，
设点 Qc,d 在 △ABC 上，
∴a=c,b+d=0,
∴ 点 P 的横坐标与 △ABC 上的点相同，纵坐标与 △ABC 上的点互为相反数．
② ∵ 点 P 是 △ABC 的“k 阶关联点”，
∴a=c,b+d=k,
∵ 点 P 在 △ABC 上，
∴b=d，
∴k=2d．
由图可知 −b≤d≤−1，
∴−12≤k≤−2．