2020-2021学年北京市平谷区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市平谷区九上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 已知 2x=3yxy≠0，则下列比例式成立的是
A. x2=3yB. x3=y2C. xy=23D. yx=32

2. 抛物线 y=x−12+2 的顶点坐标为
A. −1,2B. 0,2C. 1,2D. 2,1

3. 如图所示的正方形网格中有 ∠α，则 tanα 的值为
A. 12B. 55C. 255D. 2

4. 如图，∠DAB=∠CAE，请你再添加一个条件，使得 △ADE∼△ABC．则下列选项不成立的是
A. ∠D=∠BB. ∠E=∠CC. ADAB=AEACD. ADAB=DEBC

5. 如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度 AB=8 cm，半径 OC⊥AB 于 D，液面深度 CD=2 cm，则该管道的半径长为
A. 6 cmB. 5.5 cmC. 5 cmD. 4 cm

6. 如图，函数 y1=x+1 与函数 y2=2x 的图象相交于点 M1,m，N−2,n．若 y1>y2，则 x 的取值范围是
A. x<−2 或 01
C. −21

7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠B=30∘，AC=1，以 A 为圆心，AC 为半径画圆，交 AB 于点 D，则阴影部分面积是
A. 32−π3B. 32−π6C. 3−π6D. 23−π

8. 某种摩托车的油箱最多可以储油 10 升，李师傅记录了他的摩托车加满油后，油箱中的剩余油量 y（升）与摩托车行驶路程 x（千米）的关系，则当 0≤x≤500 时，y 与 x 的函数关系是
x千米0100150300450500y升1087410
A. 正比例函数关系B. 一次函数关系
C. 二次函数关系D. 反比例函数关系

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 将二次函数 y=x2+4x−1 化为 y=x−h2+k 的形式，结果为 y= ．

10. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，AC 与 BD 相交于点 O，则 △ABO 的面积与 △CDO 的面积的比为 ．

11. 如图，A，B，C 三点在 ⊙O 上，且 ∠AOB=80∘ 则 ∠ACB= ．

12. 如图，若点 A 与点 B 是反比例函数 y=kxk≠0 的图象上的两点，过点 A 作 AM⊥x轴 于点 M，AN⊥y轴 于点 N，过点 B 作 BG⊥x轴 于点 G，BH⊥y轴 于点 H，设矩形 OMAN 的面积为 S1，矩形 BHOG 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系为：S1 S2（填“>”，“=”或“<”）．

13. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=1，点 P 、点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点，若点 P 的坐标为 4,0，则点 Q 的坐标为 ．

14. 如图，小东用长 2 米的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆的高度 AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点 O．此时，OD=3 米，DB=6 米，则旗杆 AB 的高为 米．

15. 如图，AB，BC，CD 分别与 ⊙O 相切于点 E，F，G 三点，且 AB∥CD，BO=6，CO=8，则 BE+GC 的长为 ．

16. 学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数 y=x2+1x 的图象并对该函数的性质进行了探究．
下面有 3 个推断：
①该函数的定义域为 x≠0；
②该函数与 x 轴只有一个交点 −1,0；
③若 x1,y1，x2,y2 是该函数上两点，当 x1y2；
④该函数有最小值 2．
其中合理的是 ．（写序号）

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：−1+12−1−12+3tan30∘．

18. 已知：如图，直线 l，和直线外一点 P．
求作：过点 P 作直线 PC，使得 PC∥l，
作法：①在直线 l 上取点 O，以点 O 为圆心，OP 长为半径画圆，交直线 l 于 A，B 两点；②连接 AP，以点 B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点 C；③作直线 PC．
直线 PC 即为所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明．
证明：连接 BP，
∵BC=AP ，
∴BC= ，
∴∠ABP=∠BPC（ ）（填推理依据），
∴直线PC∥直线l．

19. 已知抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：
x⋯−2−10123⋯y⋯50−3−4−30⋯
（1）求此抛物线的解析式．
（2）画出函数图象，结合图象直接写出当 0≤x≤4 时，y 的范围．

20. 如图，热气球探测器显示，从热气球 M 处看一座电视塔尖 A 处的仰角为 20∘，看这座电视塔底部 B 处的俯角为 45∘，热气球与塔的水平距离 MC 为 200 米，试求这座电视塔 AB 的高度．参考数据：sin20∘≈0.34，cs20∘≈0.94，tan20∘≈0.36）

21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y=kx（x>0）经过点 A2,3．
（1）求双曲线 y=kx（x>0）的表达式．
（2）已知点 Pn,n，过点 P 作 x 轴的平行线交双曲线 y=kx（x>0）于点 B，过点 P 作 y 轴的平行线交双曲线 y=kx（x>0）于点 C，设线段 PB，PC 与双曲线上 BC 之间的部分围成的区域为图象 G（不包含边界），横纵坐标均为整数的点称为整点．
①当 n=4 时，直接写出图象 G 上的整数点个数是 ．
②当图象 G 内只有 1 个整数点时，直接写出 n 的取值范围．

22. 如图，Rt△ABC 中，∠B=90∘，AD 平分 ∠BAC，E 是 AC 上一点，以 AE 为直径作 ⊙O，若 ⊙O 恰好经过点 D．
（1）求证：直线 BC 与 ⊙O 相切．
（2）若 BD=3，sin∠CAD=35，求 ⊙O 的半径的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线：y=ax2−2ax+4a>0．
（1）抛物线的对称轴为 x= ，抛物线与 y 轴的交点坐标为 ；
（2）若抛物线的顶点恰好在 x 轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；
（3）若 Am−1,y1，Bm,y2，Cm+2,y3 为抛物线上三点，且总有 y1>y3>y2，结合图象，求 m 的取值范围．

24. 如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D，BE⊥AC 于 E，交 AD 于点 F．
（1）求证：∠BAD=∠CBE；
（2）过点 A 作 AB 的垂线交 BE 的延长线于点 G，连接 CG，依据题意补全图形；若 ∠AGC=90∘，试判断 BF，AG，CG 的数量关系，并证明．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中的图形 W 与图形 N，如果图形 W 与图形 N 有两个交点，我们则称图形 W 与图形 N 互为“友好图形”．
（1）已知 A−1,1，B2,1，则下列图形中与线段 AB 互为“友好图形”的是 ．
①抛物线 y=x2；
②双曲线 y=1x；
③以 O 为圆心 1 为半径的圆．
（2）已知：图形 W 为以 O 为圆心，1 为半径的圆，图形 N 为直线 y=x+b，若图形 W 与图形 N 互为“友好图形”，求 b 的取值范围．
（3）如图，已知 A−3,2，B−3,−2，C33,−2，图形 W 是以 t,0 为圆心，1 为半径的圆，若图形 W 与 △ABC 互为“友好图形”，直接写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】∵2x=3yxy≠0，
等式两边同时除以 6 的 x3=y2．
2. C【解析】∵ 抛物线的解析式为：y=x−12+2，
∴ 其顶点坐标为 1,2．
故选C．
3. A【解析】设小正方形的边长为 1，
在 Rt△ACB 中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=2，
∴tanα=BCAC=24=12．
4. D【解析】∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
若添加 ∠D=∠B或∠E=∠C或ADAB=AEAC 都可以证明 △ADE∼△ABC．
添加 ADAB=DEBC 无法证明 △ADE 与 △ABC 相似，
故A，B，C都可以成立，D选项不成立，故选D．
5. C
【解析】如图所示：过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，连接 OA，
∵OD⊥AB，
∴AD=12AB=12×8=4 cm，
设 OA=r，则 OD=r−2，
在 Rt△AOD 中，OA2=OD2+AD2，即 r2=r−22+42，
解得 r=5 cm，
∴ 该输水管的半径为 5 cm．
6. D【解析】∵y1 与 y2 相交于点 M 和点 N，
∴ 若找 y1>y2 的部分，由图象可以看出 y1 的图象要在 y2 图象的上方，
即 x>1 或 −2y2．
7. B【解析】在 Rt△ACB 中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AC=1，
∴BC=3AC=3，∠A=60∘，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×1×3=32，
S扇形ACD=60∘π×12360=16π，
∴S阴影部分=S△ABC−S扇形ACD=32−π6．
8. B【解析】∵ 当 x=0 时，y=10，当 x=100 时，y=8，当 x=150 时，y=7，
当 x=300 时，y=4，当 x=450 时，y=1，当 x=500 时，y=0，
∴x 每增加 50 时，y 减少 1，即：k=0−10500−0=−150，b=10，
故 y 与 x 的函数关系是一次函数关系．
第二部分
9. x+22−5
【解析】y=x2+4x−1=x2+4x+4−4−1=x+22−5．
10. 14
【解析】根据题意，A，B，C，D 是网格线交点，
观察图形可知 AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
由勾股定理知 AB=12+12=2，
CD=22+22=22，
∵△AOB∽△COD，
∴S△ABOS△CDO=ABCD2=2222=14．
11. 40∘
【解析】由圆周角定理可知，∠ACB=12∠AOB，
∵∠AOB=80∘，
∴∠ACB=40∘．
12. =
【解析】∵ 点 A 与点 B 是反比例函数 y=kxk≠0 的图象上的两点，
过点 A 作 AM⊥x轴 于点 M，AN⊥y轴 于点 N，
过点 B 作 BG⊥x轴 于点 G，BH⊥y轴 于点 H，
∴ 由反比例的几何意义可知，S1=S2=k．
13. −2,0
【解析】∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，点 P 的坐标为 4,0，
∴ 点 Q 的横坐标为 −2，
∴ 点 Q 的坐标为 −2,0．
14. 6
【解析】∵ 竹竿 CD 和旗杆 AB 均垂直于地面，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴CDAB=ODOB，即 2AB=33+6，
∴AB=6m．
15. 10
【解析】∵AB，BC，CD 是 ⊙O 的切线，
∴BF=BE，CF=CG，
∠OBC=12∠ABC，∠BCO=12∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180∘，
∴∠OBC+∠BCO=12∠ABC+∠BCD=90∘，
∴∠BOC=180∘−90∘=90∘，
∴△OBC 是直角三角形，
∵BO=6，CO=8，
∴BC=BO2+CO2=10，
∵BC=BF+CF，
∴BC=BE+CG，即 BE+GC=10．
16. ①②③
【解析】①函数 y=x2+1x，其中 1x 中分母 x≠0，
∴ 函数的定义域为 x≠0，故①正确；
②有函数图象可知，该函数与 x 轴只有一个交点，
即 x2+1x=0，x3+1=0，
∴x=−1，交点坐标为 −1,0，故②正确；
③由函数图象可知，
当 x<0 时，y 随 x 增大而减小，
若 x1,y1，x2,y2 为该函数上两点，
当 x1y2，故③正确；
④由函数图象可知：当 x>0 时，函数有最小值为 2，
当 x<0 时，函数没有最小值，
∴ 该函数没有最小值，故④错误．
故合理的是：①②③．
第三部分
17. −1+12−1−12+3tan30∘=1+2−23+3×33=3−3.
18. （1）
（2） ∵BC=AP，
∴BC=AP，
∴∠ABP=∠BPC（同弧（或等弧）所对的圆周角相等），
∴直线PC∥直线l．
19. （1） 当 x=−1 时，y=0，
当 x=0 时，y=−3，
当 x=1 时，y=−4，
代入抛物线中，得：a−12+b×−1+c=0,c=−3,a+b+c=−4,
解得：a=1,b=−2,c=−3,
∴ 抛物线的解析式为：y=x2−2x−3．
（2） 由图象可以看出，当 0≤x≤4 时，−4≤y≤5．
20. 由题意，∠ACM=∠BCM=90∘，∠AMC=20∘，∠BMC=45∘，MC=200，
在 Rt△AMC 中，
∵tan∠AMC=ACMC≈0.36，
∴AC=72，
在 Rt△BMC 中，
∵∠BCM=90∘，∠BMC=45∘，
∴BC=MC=200，
∴AB=72+200=272（米）．
21. （1） 将点 A2,3 代入双曲线表达式得 k=2×3=6，
∴ 双曲线表达式为 y=6x（x>0）．
（2） ① 1 个；
② 3【解析】①当 n=4 时，点 P 坐标为 4,4，
由（1）知 y=6x，
令 x=4，得 y=32，
令 y=4，得 x=32，
∴ 点 C 坐标为 4,32，点 B 坐标为 32,4．
结合图象可知，在图象 G 上的整数点只有 3,3 1 个
②当 n>4 时，显然会有更多的整数点落入图象 G，
当 n≤3 时，图象 G 中没有整数点，
∴ 当 322. （1） 连接 OD，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠1=∠2，
又 ∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥AB，
∵∠B=90∘，
∴∠ODC=90∘，
∴BC 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 DE，
Rt△ABC 中，∠B=90∘，
∵BD=3，sin∠1=sin∠2=35，
∴AD=5，AB=4，
∵AE 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADE=90∘，
∵∠1=∠2，∠B=∠ADE=90∘，
∴△ABD∽△ADE，
∴45=5AE，
∴AE=254，
∴⊙O 的半径为 258．
23. （1） 1；0,4
【解析】∵y=ax2−2ax+4=ax2−2x+1+4−a=ax−12+4−a,
∴ 抛物线对称轴为直线 x=1，
令 x=0，y=4，
∴ 抛物线与 y 轴交点坐标为 0,4．
（2） ∵ 拋物线的顶点恰好在 x 轴上，
∴ 抛物线的顶点坐标为 1,0，
当抛物线过点 1,0 时，a=4，
∴ 拋物线的解析式 y=4x2−8x+4 或 y=4x−12．
（3） Am−1,y1 关于对称轴 x=1 的对称点为 Aʹ3−m,y1，
Bm,y2 关于对称轴 x=1 的对称点为 Bʹ2−m,y2，
若要 y1>y3>y2，
则 3−m>m+2>2−m
解得：024. （1） ∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CBE+∠BFD=90∘，
∵BE⊥AC，
∴∠CAD+∠AFE=90∘，
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠CBE=∠CAD，∠BAD=∠CBE．
（2） 依据题意补全图形：
结论：BF2+CG2=AG2，
连接 CF，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AF=AF，
∴△ABF≌△ACF，
∴∠ACF=∠ABG，BF=FC，
∵∠BAG=90∘，
∴∠GAE+∠BAC=90∘，
∵∠ABG+∠BAC=90∘，
∴∠ACF=∠ABG=∠GAC，
∴AG∥FC，
∴∠FCG=∠AGC=90∘，
∵∠GAF+∠BAD=90∘，∠GFA+∠DAC=90∘，
∴∠GAF=∠GFA，
∴AG=FG，
在 Rt△FCG 中，
∵CF2+CG2=FG2，
∴BF2+CG2=AG2．
25. （1） ①
【解析】∵A−1,1，B2,1，
∴ 线段 AB 为 y=1−1≤x≤2，
①联立线段 AB 与抛物线 y=x2，
y=1,y=x2, 解得 x=1,y=1 或 x=−1,y=1,
即线段 AB 与抛物线有两个交点 1,1，−1,1；
②联立线段 AB 与双曲线 y=1x，
y=1,y=1x, 解得 x=1,y=1,
即线段 AB 与双曲线只有一个交点 1,1；
③以 O 为圆心，1 为半径的圆与线段 AB 交于点 0,1，只有一个交点．
综上与线段 AB 互为“友好图形”的是①．
（2） 图形 W 与图形 N 互为“友好图形”，则 W 与 N 有两个交点，
由图可知，当直线与圆相切时，只有一个交点为临界情况，
设直线与坐标轴交于 P，Q 两点，
过 O 作 OM⊥PQ 于 M，
则由切线的性质可得 OM=1，由 y=x+b 可得 ∠MPO=45∘，
在 Rt△MPO 中，PO=2OM=2，即此时 b=2，
同理当 b=−2 时，直线与圆也只有一个交点，
∴W 与 N 互为“友好图形”时，−2 （3） −3−1【解析】∵A−3,2，C33,−2，
∴ 设直线 AC 为 y=kx+b，
∴2=−3k+b,−2=33k+b,
∴k=−33,b=1,
∴ 直线 AC 为 y=−33x+1，
∴ 直线 AC 与 x 轴交点 P3,0 且 ∠APO=30∘，
∵W 与 △ABC 互为“友好图形”，
∴W 与 △ABC 有两个交点，
①如图，当圆心在 t1 与 t2 位置，
W 与 △ABC 只有一个交点，
此时 t1=−3−1，t2=1−3，
则 −3−1②如图，当圆心在 t3 与 t4 位置，W 与 △ABC 只有一个交点，
设 t3,0 对应点 T，t4,0 对应点 Tʹ，
过 T 作 TM⊥AC 于 M，过 Tʹ 作 TʹN⊥AC 于 N，
由切线的性质可得 TM=TʹN=1，
∵∠APO=30∘，
∴ 易得 TP=TʹP=2，
∴t3=3−2，t4=3+2，
∴3−2综上 t 的取值范围为 −3−1