2020-2021学年北京市西城区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市西城区九上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在抛物线 y=x2−4x−5 上的一个点的坐标为
A. 0,−4B. 2,0C. 1,0D. −1,0

2. 在半径为 6 cm 的圆中，60∘ 的圆心角所对弧的弧长是
A. π cmB. 2π cmC. 3π cmD. 6π cm

3. 将抛物线 y=x2 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，所得抛物线的解析式为
A. y=x+32+5B. y=x−32+5
C. y=x+52+3D. y=x−52+3

4. 2020 年是紫禁城建成 600 年暨故宫博物院成立 95 周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图 1 所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰．如果标记出图 1 中大门的门框并画出相关的几何图形（图 2 ），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图 2 中的四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 是位似图形，点 O 是位似中心，点 Aʹ 是线段 OA 的中点，那么以下结论正确的是：
A. 四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 的相似比为 1:1
B. 四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 的相似比为 1:2
C. 四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 的周长比为 3:1
D. 四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 的面积比为 4:1

5. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，CD 是弦，若 ∠CDB=32∘，则 ∠ABC 等于
A. 68∘B. 64∘C. 58∘D. 32∘

6. 若抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 经过 A1,0，B3,0 两点，则抛物线的对称轴为
A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4

7. 近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从 2017 年底至 2019 年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约 2.44 万人增加到约 6.72 万人．若设 2017 年底至 2019 年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为 x，则可列出关于 x 的方程为
A. 2.441+x=6.72B. 2.441+2x=6.72
C. 2.441+x2=6.72D. 2.441−x2=6.72

8. 现有函数 y=x+4,xA. −5≤a≤4B. −1≤a≤4C. −4≤a≤1D. −4≤a≤5

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若正六边形的边长为 2，则它的半径为 ．

10. 若抛物线 y=ax2a≠0 经过 A1,3，则该抛物线的解析式为 ．

11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，AB=9，则 sinB= ．

12. 若抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的示意图如图所示，则 a 0，b 0，c 0（填“>”，“=”或“<”）．

13. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，AB=10，CD 是弦，AB⊥CD 于点 E，若 CD=6，EB= ．

14. 如图，PA，PB 是 ⊙O 的两条切线，A，B 为切点，若 OA=2，∠APB=60∘，则 PB= ．

15. 放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 A，B，C，D 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O 为固定点，OD=DA=CB，DC=AB=BE，在点 A，E 分别装上画笔．
画图：现有一图形 M，画图时固定点 O，控制点 A 处的笔尖沿图形 M 的轮廓线移动，此时点 E 处的画笔便画出了将图形 M 放大后的图形 N．
原理：
若连接 OA，OE，可证得以下结论：
① △ODA 和 △OCE 为等腰三角形，
则 ∠DOA=12180∘−∠ODA，∠COE=12（180∘−∠ ）；
②四边形 ABCD 为平行四边形（理由是 ）；
③ ∠DOA=∠COE，于是可得 O，A，E 三点在一条直线上；
④当 DCCB=35 时，图形 N 是以点 O 为位似中心，把图形 M 放大为原来的 倍得到的．

16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，P4,3，⊙O 经过点 P，点 A，点 B 在 y 轴上，PA=PB，延长 PA，PB 分别交 ⊙O 于点 C，点 D，设直线 CD 与 x 轴正方向所夹得锐角为 α．
（1）⊙O 的半径为 ．
（2）tanα= ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：2sin60∘−tan45∘+cs230∘．

18. 已知关于 x 的方程 x2+2x+k−4=0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围．
（2）若 k=1，求该方程的根．

19. 如图所示的网格是正方形网格，△ABC 的三个顶点是网格线的交点，点 A 在 BC 边的上方，AD⊥BC 于点 D，BD=4，CD=2，AD=3．以 BC 为直径作 ⊙O，射线 DA 交 ⊙O 于点 E，连接 BE，CE．
（1）补全图形；
（2）填空：∠BEC= ∘，理由是 ；
（3）判断点 A 与 ⊙O 的位置关系并说明理由；
（4）∠BAC ∠BEC（填“>”，“=”或“<”）．

20. 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过 3,0 点，当 x=1 时，函数的最小值为 −4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象．
（2）直线 x=m 与抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）和直线 y=x−3 的交点分别为点 C，点 D，点 C 位于点 D 的上方，结合函数的图象直接写出 m 的取值范围．

21. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，AC 为弦，点 D 在 ⊙O 外，∠BCD=∠A，OD 交 ⊙O 于点 E．
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线．
（2）若 CD=4，AC=2.7，cs∠BCD=920，求 DE 的长．

22. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 AB 边上，BE=1，F 为 BC 边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形 AEFCD，点 P 在线段 EF 上运动（点 P 可与点 E，点 F 重合），作矩形 PMDN，其中 M，N 两点分别在 CD，AD 边上．设 CM=x，矩形 PMDN 的面积为 S．
（1）DM= （用含 x 的式子表示），x 的取值范围是 ．
（2）求 S 与 x 的函数关系式．
（3）要使矩形 PMDN 的面积最大，点 P 应在何处?并求最大面积．

23. 已知抛物线 y=−12x2+x．
（1）直接写出该拋物线的对称轴，以及抛物线与 y 轴的交点坐标．
（2）已知该抛物线经过 A3n+4,y1，B2n−1,y2 两点．
①若 n<−5，判断 y1 与 y2 的大小关系并说明理由．
②若 A，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且 y1>y2，直接写出 n 的取值范围．

24. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=3．将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 α0∘<α≤120∘ 得到 △AʹBCʹ，点 A，点 C 旋转后的对应点分别为点 Aʹ，点 Cʹ．
（1）如图 1，当点 Cʹ 恰好为线段 AAʹ 的中点时，α= ∘，AAʹ= ．
（2）当线段 AAʹ 与线段 CCʹ 有交点时，记交点为点 D．
①在图 2 中补全图形，猜想线段 AD 与 AʹD 的数量关系并加以证明．
②连接 BD，请直接写出 BD 的长的取值范围．

25. 对于平面内的图形 G1 和图形 G2，记平面内一点 P 到图形 G1 上各点的最短距离为 d1，点 P 到图形 G2 上各点的最短距离为 d2，若 d1=d2，就称点 P 是图形 G1 和图形 G2 的一个“等距点”．
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A6,0，B0,23．
（1）在 R3,0，S2,0，T1,3 三点中，点 A 和点 B 的等距点是 ．
（2）已知直线 y=−2．
①若点 A 和直线 y=−2 的等距点在 x 轴上，则该等距点的坐标为 ．
②若直线 y=a 上存在点 A 和直线 y=−2 的等距点，求实数 a 的取值范围．
（3）记直线 AB 为直线 l1，直线 l2:y=−33x，以原点 O 为圆心作半径为 r 的 ⊙O．若 ⊙O 上有 m 个直线 l1 和直线 l2 的等距点，以及 n 个直线 l1 和 y 轴的等距点（m≠0，n≠0），当 m≠n 时，求 r 的取值范围．
答案
第一部分
1. D【解析】A选项：当 x=0 时，y=−5≠−4，
∴ 点 0,−4 不在抛物线 y=x2−4x−5 图象上，故A错误．
B选项：当 x=2 时，y=22−4×2−5=−9≠0，
∴ 点 2,0 不在抛物线 y=x2−4x−5 图象上，故B错误．
C选项：当 x=1 时，y=12−4×1−5=−8≠0，
∴ 点 1,0 不在抛物线 y=x2−4x−5 图象上，故C错误．
D选项：当 x=−1 时，y=−12−4×−1−5=0，
∴ 点 −1,0 在抛物线 y=x2−4x−5 图象上，故D正确．
2. B【解析】弧长为：60π×6180=2π．
故选B．
3. B【解析】由函数图象平移可知，左加右减，上加下减，
将抛物线 y=x2 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，所得抛物线的解析式为 y=x−32+5．
4. D【解析】∵ 四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 是位似图形，点 O 是位似中心，点 Aʹ 是线段 OA 的中点，
∴ 四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 的相似比为 2:1，
四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 的周长比为 2:1，
四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 的面积比为 4:1．
5. C
【解析】∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠A+∠ABC=90∘，
∵∠A=∠CDB=32∘，
∴∠ABC=90∘−∠A=58∘．
6. B【解析】若抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 经过 A1,0，B3,0 两点，
则抛物线的对称轴为直线 x=1+32=2．
7. C【解析】依题意得，
2.441+x2=6.72，
故选C．
8. A【解析】①当 a≤1 时，
∵ 对任意实数 n 都存在实数 m，
使 fm=n，
∴a+4≥1−2⇒a≥−5，
②当 a>1 时，
a+4≥a2−2a⇒−1≤a≤4，
综上 a 取值范围 −5≤a≤4．
第二部分
9. 2
【解析】如图所示，连接 OB，OC，
∵ 此六边形是正六边形，
∴∠BOC=360∘6=60∘，
∵OB=OC，
∴△BOC 是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，
∴ 它的半径为 2．
10. y=3x2
【解析】把 1,3 代入 y=ax2a≠0 得：
3=a×12，
解得：a=3，
抛物线的解析式为：y=3x2．
11. 23
【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=9，AC=6，
∴sinB=ACAB=69=23．
故答案为：23．
12. >，<，<
【解析】抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的图象可知，抛物线开口向上，
∴a>0，
∵ 对称轴在 y 轴右侧，
∴a，b 异号，
∴b<0，
∵ 抛物线与 y 轴交于 y 轴负半轴，
∴c<0．
13. 1
【解析】如图，连接 OC．
∵ 弦 CD⊥AB 于点 E，CD=6，
∴CE=ED=12CD=3．
∵ 在 Rt△OEC 中，
∠OEC=90∘，CE=3，OC=12AB=5，
∴OE=52−32=4，
∴BE=OB−OE=5−4=1．
故答案为：1．
14. 23
【解析】∵PA，PB 是 ⊙O 切线，A，B 为切点，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90∘，
在 Rt△PAO 和 Rt△PBO 中，
OA=OB,OP=OP,
∴Rt△PAO≌Rt△PBOHL，
∴∠OPA=∠OPB，
∵∠APB=∠OPA+∠OPB=60∘，
∴∠OPA=∠OPB=30∘，
∴PO=2OB，
∵OA=OB=2，
∴PO=4，
∴PB=PO2−OB2=42−22=23．
15. OCE，BC=AD，AB=CD，85
【解析】① ∵OD=AD，OC=AE，
∴△ODA 和 △OCE 为等腰三角形，
∴∠DOA=∠DAO，∠COE=∠CEO，
∴∠DOA=12180∘−∠ODA，∠COE=12180∘−∠OCE．
② ∵BC=AD，CD=AB，
∴ 四边形 ABCD 为平行四边形．
④ ∵ 是以 O 点为位似中心，
∴ 其倍数比为三角形的边长比，即 NM=OCOD，
又 DCCB=35 且 DA=OD=CB，
∴NM=85，为 85 倍．
16. 5，43
【解析】（1）连接 OP，作 PM⊥x轴，PH⊥y轴，
∵P4,3，
∴ 在 △OPM 中，∠OMP=90∘，
∴OP=42+32=5，
∴ 圆 O 的半径为 5．
（2）圆 O 的解析式为：x2+y2=25，
设 B0,m，
∵PA=PB，PH⊥AB，
∴AH=BH=3−m，
∴A0,6−m，
由图可知，PD 经过点 −3,0，
设 PD 的直线表达式为 y=kx+bk≠0，
将 P4,3，−3,0 代入，
得 −3k+b=0,4k+b=3,
解得 k=37,b=97,
∴PD:y=37k+97，
将 x=0 代入，得 y=97，
∴B0,97，
∴A0,337，
∴ 设 CP=k2x+337，
将 P4,3 代入，得 4k+337=3，
解得 k=−37，
∴CP:y=−37x+337，
DP:y=37x+97，
将 CP 与圆 O 的解析式联立，得 y=−37x+337,x2+y2=25,
解得 x=4,y=3 或 x=−1729,y=1008203,
∴C−1729,1008203，
同理可得 D−14329,−168203，
∴tanα=yC−yDxC−xD=1008203+168203−1729+14329=1176203×29126=43．
第三部分
17. 2sin60∘−tan45∘+cs230∘=2×32−1+322=3−1+34=3−14.
18. （1） Δ=22−4×1×k−4=20−4k．
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，解得 k<5．
（2） 当 k=1 时，原方程化为 x2+2x−3=0，
解得 x1=−3，x2=1．
19. （1）
（2） 90；以斜边为直径的三角形为直角三角形，即斜边所对应的角为直角
【解析】∠BEC=90∘，
定理：以斜边为直角的三角形为直角三角形，
△BEC 即以 BC 为直径且 B 在圆上．
（3） A 在圆外，且过 A 作 BC 的平行线与 ⊙O 相切．
由图可知，A 在圆外，且 OA=10>AD=3，
∴A 在圆外．
（4） <
【解析】∵ 在 △ABC 内，∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB；
在 △BEC 内，∠BEC=180∘−∠EBC−∠ECB，
∵ 由图可知，∠ABC>∠EBC，∠ACB>∠ECB，
∴∠ABC+∠ACB>∠EBC+∠ECB，
∴−∠ABC−∠ACB<−∠EBC−∠ECB，
∴180∘−∠ABC−∠ACB<180∘−∠EBC−∠ECB，
即 ∠BAC<∠BEC．
20. （1） ∵ 当 x=1 时，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值为 −4，
∴ 二次函数的图象的顶点为 1,−4．
∴ 二次函数的解析式可设为 y=ax−12−4（a≠0）．
∵ 二次函数的图象经过 3,0 点，
∴a3−12−4=0．
解得 a=1．
∴ 该二次函数的解析式为 y=x−12−4．
画图象如图所示：
（2） m>3 或 m<0．
【解析】∵ 直线 x=m 与抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 和直线 y=x−3 的交点分别为点 C，点 D，点 C 位于点 D 的上方，
∴ 一次函数图象在二次函数图象的上方，
联立 y=x−12−4,y=x−3,
整理得 x2−3x=0，
x1=0，x2=3，
∴ 一次函数 y=x−3 与二次函数 y=x−12−4 交于 0,0，3,0，
∴ 当 x>3 或 x<0，点 C 位于点 D 上方，
故 m 的取值范围是 m>3 或 m<0．
21. （1） 如图，连接 OC．
∵AB 为 ⊙O 的直径，AC 为弦，
∴∠ACB=90∘，∠1+∠2=90∘．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A．
∵∠BCD=∠A，
∴∠2=∠BCD，
∴∠1+∠BCD=90∘，
∴∠OCD=90∘，
∴CD⊥OC，
∵OC 为 ⊙O 的半径，
∴CD 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵∠BCD=∠A，cs∠BCD=920，
∴csA=cs∠BCD=920，
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=2.7，csA=920，
∴AB=ACcsA=2.7÷920=6，
∴OC=OE=AB2=3，
在 Rt△OCD 中，∠OCD=90∘，OC=3，CD=4，
∴OD=OC2+CD2=32+42=5，
∴DE=OD−OE=5−3=2．
22. （1） 4−x；0≤x≤1
【解析】如图，
∵CD=4，CM=x，
∴DM=CD−CM=4−x．
故答案为：4−x；0≤x≤1．
（2） 可得 DN=PM=2x+2．
S=DM⋅DN=4−x2x+2=−2x2+6x+8，
其中 0≤x≤1．
（3） ∵ 此抛物线开口向下，对称轴为 x=32，
∴ 当 x<32 时，y 随 x 的增大而增大．
∵x 的取值范围为 0≤x≤1，
∴ 当 x=1 时，矩形 PMDN 的面积最大，
此时点 P 与点 E 重合，此时最大面积为 12．
23. （1） 对称轴为 x=1，交点坐标为 0,0．
【解析】y=−12x2+x=−12x2−2x+1+12=−12x−12+12,
∴ 该抛物线的对称轴为直线 x=1，
令 x=0，y=0，
∴ 抛物线与 y 轴的交点坐标为 0,0．
（2） ① y1理由：xA−xB=3n+4−2n−1=n+5，
xA−1=3n+4−1=3n+3=3n+1，
xB−1=2n−1−1=2n−2=2n−1．
当 n<−5 时，xA−1<0，xB−1<0，xA−xB<0．
∴A，B 两点都在抛物线的对称轴 x=1 的左侧，且 xA ∵ 抛物线 y=−12x2+x 开口向下，
∴ 在抛物线的对称轴 x=1 的左侧，y 随 x 的增大而增大．
∴y1② −1【解析】② ∵ 抛物线开口向下，
∴ 拋物线图象上的点到对称轴的距离越近函数值越大，
∵A，B 在对称轴的两侧，且 y1>y2，
∴3n+4>1,2n−1<1,3n+4−1<1−2n−1 或 3n+4<1,2n−1>1,2n−1−1>1−3n+4,
解得 −1 ∴n 的取值范围是 −124. （1） 60；2
【解析】在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=3，
∴BC=3AC=3，
∴AC=1，AB=2AC=2，
∵△ABC 绕点 B 顺时针旋转 α 得到 △AʹBCʹ，
∴BA=BAʹ，∠ABC=∠AʹBCʹ，
∵ 点 Cʹ 是线段 AAʹ 的中点，
∴AʹCʹ=ACʹ，
∴∠AʹBCʹ=∠ABCʹ=30∘，
∴α=∠AʹBA=60∘，
∴△AʹBC 是等边三角形，
∴AAʹ=AB=2．
（2） ①补全图形见图 1，
AD=AʹD；
如图 1，过点 A 作 AʹCʹ 的平行线，交 CCʹ 于点 E，记 ∠1=β，
∵ 将 Rt△ABC 绕点 B 顺时针旋转 α 得到 Rt△AʹBCʹ，
∴∠AʹCʹB=∠ACB=90∘，AʹCʹ=AC，BCʹ=BC，
∴∠2=∠1=β，
∴∠3=∠ACB−∠1=90∘−β，∠AʹCʹD=∠AʹCʹB+∠2=90∘+β，
∵AE∥AʹCʹ，
∴∠AED=∠AʹCʹD=90∘+β，
∴∠4=180∘−∠AED=180∘−90∘+β=90∘−β,
∴∠3=∠4，
∴AE=AC，
∴AE=AʹCʹ，
在 △ADE 和 △AʹDCʹ 中，
∠ADE=∠AʹDCʹ,∠AED=∠AʹCʹD,AE=AʹCʹ,
∴△ADE≌△AʹDCʹAAS，
∴AD=AʹD．
② 1≤BD≤3．
【解析】②连接 BD，
∵AB=AʹB，AD=AʹD，
∴BD⊥AAʹ，
∴∠ADB=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴A，C，B，D 四点在以 AB 为直径的圆上运动，
当点 Cʹ 落在线段 AAʹ 上时，线段 AAʹ 与线段 CCʹ 开始有交点，此时 BD=BC=3，
当 α=120∘ 时，∠ABAʹ=120∘，
∴∠BAAʹ=∠BAʹA=30∘，
∵∠BDA=90∘，
∴BD=12AB=1，
∴ 线段 BD 的长的取值范围是 1≤BD≤3．
25. （1） S2,0
【解析】AR2=6−32+02=9，
BR2=32+−232=9+12=21，
AS2=6−22+02=16，
BS2=−22+232=4+12=16，
AT2=6−12+−32=25+3=28，
BT2=12+−32=1+3=4，
∵16=16，
∴A 和 B 等距点为 S2,0．
（2） ① 4,0 或 8,0；
②如图所示，
点 A 和直线 y=−2 的等距点 M，连接 MA，过 M 作 y=−2 的垂线，垂足为 N，
∵M 为点 A 和 y=−2 的等距点，
∴MA=MN，MA2=MN2，
又 ∵M 在 y=a 上，
∴ 点坐标为 Mx,a，
∴x−62+a2=a−−22⇒x2−12x+32−4a=0，
由题可知 x2−12x+32−4a=a 有实数根，
∴Δ=−122−4×1×32−4a=16a+1≥0⇒a≥−1，
∴a≥−1．
【解析】①设该点的坐标为 m,0，
∵A6,0，
则 m=6+2 或 6−2，坐标为 4,0 或 8,0．
（3） kl1=−236=−33=kl2，
∴kl1=kl2，
∴l1∥l2，
l1，l2 的等距点应平行于 l1 且位于 l3 上，
l1 与 y 轴的等距点应在 l4 上，l3 的解析式 y=−33x+3，
tan∠OAB=33，与 x 轴交于 3,0，
∴∠OAB=30∘，∠OBA=90∘−30∘=60∘，∠OBD=30∘，
则 l4 解析式为 y=−3x+23 与 x 轴交于 2,0，
过点 O 作 OM⊥l3，ON⊥l4，交点分别为 M，N，
OM=32×3=32，ON=32×2=3，
r r=OM 时，m=1，n=0；
OM r=ON 时，m=2，n=1；
r>ON 时，m=2，n=2．
∵m≠n 且 m，n 均不为 0，
∴r=ON，
又 ∵ON=3，
∴r 的取值范围为 r=3．