2020-2021学年北京市丰台区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市丰台区九上期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 函数 y=x+12−2 的最小值是 ．
A. 2B. −2C. 1D. −1

2. 下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 若一个扇形的圆心角为 90∘，半径为 6，则该扇形的面积为
A. 3π2B. 3πC. 6πD. 9π

4. 点 A−1,y1,B1,y2,C2,y3 是反比例函数 y=2x 图象上的三个点，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y3
5. 直径为 10 分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽 AB 为 8 分米，则积水的最大深度 CD 为
A. 2 分米B. 3 分米C. 4 分米D. 5 分米

6. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象是抛物线 G，自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表：
x⋯−5−4−3−2−10⋯y⋯40−2−204⋯
下列说法正确的是
A. 抛物线 G 的开口向下
B. 拋物线 G 的对称轴是直线 x=−2
C. 拋物线 G 与 y 轴的交点坐标为 0,4
D. 当 x>−3 时，y 随 x 的增大而增大

7. 如图，点 O 为线段 AB 的中点，点 B，C，D 到点 O 的距离相等，连接 AC，BD．则下列结论不一定成立的
A. ∠ACB=90∘B. ∠BDC=∠BAC
C. AC 平分 ∠BADD. ∠BCD+∠BAD=180∘

8. 函数 y=12+1x2 的图象如图所示，若点 P1x1,y1，P2x2,y2 是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是
A. x1≠0，x2≠0B. y1>12，y2>12
C. 若 y1=y2，则 ∣x1∣=∣x2∣D. 若 y1
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 将抛物线 y=x2 向下平移 2 个单位长度，所得新抛物线的解析式是 ．

10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，AC，BE 交于点 O，若 AE:ED=1:2，则 S△AOE:S△COB= ．

11. 某农科院在相同条件下做了某种苹果幼树移植成活率的试验，结果如下表：
移植棵数n10001500250040008000150002000030000成活棵数m8651356222035007056131701758026430成活频率
根据以上数据，估计该种苹果幼树在此条件下移植成活的概率为 ．

12. 抛物线 y=x2+bx+4 与 x 轴有且只有 1 个公共点，则 b= ．

13. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，D 是 AC 的中点，连接 AD，BD，BD与AC 交于点 E，请写出图中所有与 △ADE 相似的三角形 ．

14. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部 5 m 的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退 1 m 时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为 1.6 m，则大树的高度是 m．

15. 如图，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，OD⊥BC 于点 D．
下面是借助直尺，画出 △ABC 中 ∠BAC 的平分线的步骤：
①延长 OD 交 BC 于点 M；
②连接 AM 交 BC 于点 N．
所以 ∠BAN=∠CAN．
即线段 AN 为所求 △ABC 中 ∠BAC 的平分线．
请回答，得到 ∠BAN=∠CAN 的依据是 ．

16. 2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上求圆周率 π 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔 ⋅ 卡西的计算方法是：当正整数 n 充分大时，计算某个圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）的周长，再将它们的平均数作为 2π 的近似值．当 n=1 时，如图是 ⊙O 及它的内接正六边形和外切正六边形．
（1）若 ⊙O 的半径为 1，则 ⊙O 的内接正六边形的边长是 ．
（2）按照阿尔 ⋅ 卡西的方法，计算 n=1 时 π 的近似值是 ．（结果保留两位小数）（参考数据：3≈1.732）

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 已知二次函数 y=x2−4x+3．
（1）求二次函数 y=x2−4x+3 图象的顶点坐标．
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出二次函数 y=x2−4x+3 的图象．
（3）当 1
18. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，连接 DE，且 AD⋅AB=AE⋅AC．
（1）求证：△ADE∽△ACB .
（2）若 ∠B=55∘，∠ADE=75∘，求 ∠A 的度数．

19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△AOB 的顶点坐标分别是 A1,0，O0,0，B2,2．
（1）画出 △A1OB1，使 △A1OB1 与 △AOB 关于点 O 中心对称．
（2）以点 O 为位似中心，将 △AOB 放大为原来的 2 倍，得到 △A2OB2，请画出一个满足条件的 △A2OB2．

20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A4,0，C0,2，点 D 是矩形 OABC 对角线的交点．已知反比例函数 y=kxk≠0 在第一象限的图象经过点 D，交 BC 于点 M，交 AB 于点 N．
（1）求点 D 的坐标和 k 的值．
（2）反比例函数图象在点 M 到点 N 之间的部分（包含 M，N 两点）记为图形 G，求图形 G 上点的横坐标 x 的取值范围．

21. 如图，AC 与 ⊙O 相切于点 C，AB 经过 ⊙O 上的点 D，BC 交 ⊙O 于点 E，DE∥OA，CE 是 ⊙O 的直径．
（1）求证：AB 是 ⊙O 的切线．
（2）若 BD=4，CE=6，求 AC 的长．

22. 在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10 公里以内（含）票价 2 元，每增加 5 公里以内（含）加价 1 元”，如下图．
小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：
①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得岀票价：若里程数在 0 至 10 之间（含 0 和 10，下同），则票价为 2 元；若里程数在 11 至 15 之间，则票价为 3 元；若里程数在 16 至 20 之间，则票价为 4 元，以此类推．
②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优恵政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打 5 折，学生卡打 2.5 折．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐 339 路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为 元，他使用学生卡实际支付 元．
（2）学生乙使用学生卡乘 339 路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了 1 元，则他在佃起村站上车的概率为 ．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bxa≠0 过点 4,0．
（1）用含 a 的代数式表示 b．
（2）已知点 A0,a，将点 A 绕原点 O 顺时针转 90∘ 得到点 B，再将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C，求点 C 的坐标（用含 a 的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，若线段 AC 与抛物线有公共点，求 a 的取值范围．

24. 已知正方形 ABCD，点 E 是 CB 延长线上一定点，位置如图所示，连接 AE，过点 C 作 CF⊥AE 于点 F，连接 BF．
（1）求证：∠FAB=∠BCF．
（2）作点 B 关于直线 AE 的对称点 M，连接 BM，FM．
①依据题意补全图形．
②用等式表示线段 CF，AF，BM 之间的数量关系，并证明．

25. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下定义：若在图形 M 上存在点 Q，使得 OQ=kOP，k 为正数，则称点 P 为图形 M 的 k 倍等距点．已知点 A−2,2，B2,2．
（1）在点 C1,0，D0,−2，E1,1 中，线段 AB 的 2 倍等距点是 ．
（2）画出线段 AB 的所有 2 倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积．
（3）已知直线 y=−x+b 与 x 轴，y 轴的交点分别为点 F，G，若线段 FG 上存在线段 AB 的 2 倍等距点，直接写出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】根据二次函数的性质，当 x=−1 时，二次函数 y=x+12−2 的最小值是 −2．故选B．
2. A【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
轴对称图形的定义为：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．直线叫做对称轴．根据中心对称图形和轴对称图形的定义可知：
A选项：图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故A正确；
B选项：图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，故B错误；
C选项：图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故C错误；
D选项：图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故D错误．
3. D【解析】∵ 扇形圆心角为 90∘，半径为 6，
∴ 扇形面积 =90360π⋅62=9π．
4. B【解析】因为反比例函数 y=2x 中，当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小，
所以 y3因为 y1<0，
所以 y1故B选项符合题意．
5. A
【解析】连接 OA，
∵⊙O 的直径为 10 dm，
∴OA=5 dm，
∵OD⊥AB，AB=8 dm，
∴AC=BC=12AB=4 dm，
∴OC=OA2−AC2=52−42=3dm，
∴ 水的最大深度 CD=OD−OC=5−3=2dm．
6. C【解析】由表格知：
当 x=−5 时，y=4，
当 x=−4 时，y=0，
当 x=0 时，y=4，
将以上三点代入解析式得
25a−5b+c=4,16a−4b+c=0,c=4,
解得 a=1,b=5,c=4,
∴ 该二次函数的解析式为 y=x2+5x+4，
∵a=1>0，
∴ 抛物线开口向上，故A错误；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=−52×1=−52，
故B错误；
当 x=0 时，y=x2+5x+4=4，
即抛物线 G 与 y 轴的交点坐标为 0,4，
故C正确；
由抛物线 x=−52 且抛物线开口向上可知，
当 x>−52 时，y 随 x 增大而增大，
故D错误．
7. C【解析】点 O 为线段 AB 的中点，点 B，C，D 到点 O 的距离相等，
∴OA=OB=OC=OD，
∴A，B，C，D 四点共圆，圆心为点 O，AB 为直径，
∵ 圆中直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90∘，故A选项正确；
又 ∠BDC 和 ∠BAC 都是弧 BC 所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC，故B选项正确；
∵ 圆内接四边形对角互补，
∴∠BCD+∠BAD=180∘，故D选项正确；
而根据已知条件，无法得到 AC 平分 ∠BAD，所以C选项结论不一定成立，故选C．
8. D【解析】由函数 y=12+1x2 的图象可知，该函数图象关于 y 轴对称，
若点 P1x1,y1，P2x2,y2 为图象上任意两点，
y1=y2 时，∣x1∣=∣x2∣，故C正确；
该函数的最小值大于 12，则 y1>12，y2>12，故B正确；
又 y=12+1x2 中，1x2 为分式，分母不能为 0，
即 x≠0，所以 x1≠0，x2≠0, 故A正确；
当 x<0 时，y 随 x 增大而增大，
当 x>0 时，y 随 x 增大而减小，
若 y1第二部分
9. y=x2−2
【解析】抛物线 y=x2 向下平移 2 个单位长度得新抛物线 y=x2−2．
10. 1:9
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE:ED=1:2，
∴AE:AD=1:3，
∴AE:BC=1:3，
∵AD∥BC，
∴△AOE∽△BOC，
∴S△AOE:S△BOC=AEBC2=1:9．
11. 0.880
【解析】由题意，可知移植成活的频率在 0.880 左右波动，用频率来估计概率，则成活的概率为 0.880．
12. ±4
【解析】抛物线 y=x2+bx+4 与 x 轴有且只有 1 个公共点，
则关于 x 的一元二次方程 x2+bx+4=0 有两个相等的实数根，所以 Δ=b2−16=0，则 b=±4．
13. △CBE，△BDA
【解析】∵AD=CD，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠DAE=∠DBC，
∴∠DAE=∠ABD，
∵∠ADE=∠ADB，
∴△ADE∼△BDA，
∵∠DAE=∠EBC，
∠AED=∠BEC，
∴△ADE∼△BEC，
故答案为：△CBE，△BDA
14. 8
【解析】∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC:BE=AC:DE，1:5=1.6:DE，
∴DE=8 m．
15. 垂径定理和在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
【解析】如图所示：线段 AN 为所求 △ABC 中 ∠BAC 的平分线，
画图的依据是垂径定理和在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
16. 1，3.23
【解析】（1）如图连接 OA，OB，
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠AOB=60∘，且 OA=OB，
∴△AOB 是等边三角形，
∴OA=AB=1，
∴ 正六边形的边长为 1．
（2）由（1）得 AB=BC=CD=ED=EF=AF=1，
∵C六边形ABCDEF=6×1=6，
如图连接 OAʹ，OFʹ，作 OM⊥AʹFʹ 于点 M，
∵ 六边形 AʹBʹCʹDʹEʹFʹ 是正六边形，
∴OAʹ=OFʹ，∠AʹOFʹ=60∘，
∴△AʹOFʹ 是等边三角形，
∴OAʹ=233OM=233≈1.15，
∴C六边形AʹBʹCʹDʹEʹFʹ=6×1.15=6.9，
∵n=1，
∴2π≈6.9+62=6.45，
π≈6.452≈3.23．
第三部分
17. （1） y=x2−4x+3=x2−4x+4−4+3=x−22−1.
∴ 二次函数 y=x2−4x+3 的图象的顶点坐标为：2,−1．
（2） 令 x2−4x+3=0，
x−3x−1=0，
x1=3，x2=1，
∴ 二次函数 y=x2−4x+3 与 x 轴两个交点坐标为 3,0，1,0，
令 x=0，则 y=3，
∴ 二次函数 y=x2−4x+3 与 y 轴交点坐标为 3,0．
（3） −1【解析】由观察可知：
当 x=1 时，y=0，
当 x=4 时，y=3，
∴ 当 1 ∴ 当 118. （1） ∵AD⋅AB=AE⋅AC，
∴ADAC=AEAB.
在 △ADE 和 △ACB 中，
AD:AC=AE:AB，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB.
（2） ∵∠B=55∘，∠ADE=75∘．
又 ∵△ADE∽△ACB，
∴∠ACB=75∘，
∴∠A=180∘−75∘−55∘=50∘.
19. （1） 如图所示，△A1OB1 即为所求．
（2） 如图所示，△A2OB2 即为所求．
20. （1） 据长方形对角线性质相等且互相平分．
∵A4,0，B0,2，
∴ 点 D 的横坐标为 4÷2=2，纵坐标 2÷2=1，
D2,1，
代入反比例函数 1=k2，k=2，y=2x．
（2） BC:y=2，AB:x=4，
y=x2,y=2, 解得 M1,2，
y=2x,x=4, 解得 N4,12，
故图形 G 的横坐标范围为 1≤x≤4．
21. （1） 连接 OD，CD．
∵CE 是 ⊙O 的直径，
∴∠EDC=90∘．
∵DE∥OA，
∴OA⊥CD，
∴OA 垂直平分 CD，
∴OD=OC，
∴OD=OE，
∴∠OED=∠ODE．
∵DE∥OA，
∴∠ODE=∠AOD，∠DEO=∠AOC，
∴∠AOD=∠AOC．
∵AC 是切线，
∴∠ACB=90∘．
在 △AOD 和 △AOC 中
OD=OC,∠AOD=∠AOC,OA=OA,
∴△AOD≌△AOCSAS，
∴∠ADO=∠ACB=90∘．
∵OD 是半径，
∴AB 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵BD 是 ⊙O 的切线，
∴BD2=BE⋅BC．
设 BE=x，
∵BD=4，EC=6，
∴42=xx+6，
解得 x=2 或 x=−8 （舍去），
∴BE=2，
∴BC=BE+EC=8．
∵AD，AC 是 ⊙O 的切线，
∴AD=AC．
设 AD=AC=y，
在 Rt△ABC 中，AB2=AC2+BC2，
∴4+y2=y2+82，
解得 y=6，
∴AC=6，
故 AC 的长为 6．
22. （1） 3；0.75
【解析】里程数：14−3=11<15，
所以票价为 3 元，使用学生卡打 2.5 折，即 3×0.25=0.75（元）．
（2） 16
【解析】因为实际支付了一元钱，且使用了打 2.5 折的学生卡，
则学生乙实际的票价为：1÷0.25=4（元），即里程数应该在 16∼20 之间．
又因为 24−20=4，24−16=8，即学生乙的起始站应在 4∼8 之间，
即可能从云岗北区，佃起村、张家坟、朱家坟、赵辛店这 6 个站出发，
所以学生乙在佃起村上车的概率为 16．
23. （1） 把 4,0 代入抛物线解析式得 16a+4b=0，
∴4b=−16a，
∴b=−4a．
（2） 将 A0,a 绕原点 O 顺时针旋转 90∘，
则 B 的坐标为 a,0，
右移 2 个单位长度，则 C 的坐标为 a+2,0．
（3） ①若 a>0，如图 1，
∵ 线段 AC 与抛物线有公共点，
∴a+2≥4，
∴a≥2，
②若 a<0，如图 2，
则只要 C 的横坐标 a+2≤0 都满足，
∴a≤−2，
综上 a 的取值范围为 a≥2 或 a≤−2．
24. （1） 设 AB，CF 交于 H（图 1），
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠HBC=90∘，
∵CF⊥AE，
∴∠AFH=90∘，
∴∠FAB+∠AHF=90∘，
∠BCF+∠BHC=90∘，
∵∠AHF=∠BHC，
∴∠FAB=∠BCF．
（2） ①补全图形如下（图 2）：
②在 CF 上截取 CN=AF，连接 BN（图 3），
由（1）知 ∠FAB=∠NCB，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90∘，
在 △FAB 和 △NCB 中，
AF=CN,∠FAB=∠NCB,AB=CB,
∴△FAB≌△NCBSAS，
∴BF=BN，∠NBC=∠FBA，
∵∠NBC+∠ABN=∠ABC=90∘，
∴∠FBA+∠ABN=90∘，即 ∠FBN=90∘，
∴∠BFN=45∘，FN=2BF，
∵CF⊥AE，
∴∠CFE=90∘，
∴∠BFE=∠CFE−∠BFN=45∘，
∵B，M 关于 AE 对称，
∴FM=FB，∠BFE=∠MFE=45∘，
∴∠MFB=∠BFE+∠MFE=90∘，
∴△MFB 是等腰直角三角形，
∴BM=2BF，
∴BM=FN，
∵CF=FN+CN，
∴CF=AF+BM．
25. （1） C，E
【解析】设 Q 为线段 AB 上一点，
则由图可知，OQ 的取值范围为 2≤OQ≤22，
∵C1,0，D0,−2，E1,1，
∴OC=1，OD=2，OE=2，
设线段 AB 的 2 倍等距点为 P，
则 OQ=2OP，
∴1≤OP≤2，
∴C 和 E 为线段 AB 的 2 倍等距点．
（2） 线段 AB 的所有 2 倍等距点形成的图形为以点 O 为圆心，
以 1 和 2 为半径的圆围成的区域（包括边界），如图所示：
该区域的面积为：
S=π×22−π×12=π．
（3） −2≤b≤2
【解析】对于直线 y=−x+b，
令 y=0，得 x=b，
则 Fb,0，
令 x=0，得 y=b，
则 G0,b，
∵ 线段 FG 存在线段 AB 的 2 倍等距点，
∴ 线段 FG 必过线段 AB 所有 2 倍等距点形成的图形，
∴FG 在图中的链条直线内，且平行于这两条直线，如图所示：
∴b 的取值范围为 −2≤b≤2．