2020-2021学年北京市石景山区七下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市石景山区七下期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如果 a>b，那么下列式子一定正确的是
A. a2>b2B. −3a<−3bC. a5>b10D. a−2>b+2

2. 下列运算正确的
A. a23=a6B. 3ab3=6a3b3C. 6a8÷2a2=3a4D. 5a3⋅a2=5a6

3. 一粒某种植物花粉的质量约为 0.000028 毫克，将 0.000028 用科学记数法表示应为
A. 2.8×105B. 2.8×10−4C. 2.8×10−5D. 28×10−6

4. 如图，AB，CD 被 CF 所截，AB∥CD，若 ∠1=70∘，则 ∠C 的度数为
A. 70∘B. 100∘C. 110∘D. 130∘

5. 下列说法正确的是
A. 为了了解某品牌汽车的抗撞击情况，适宜采用普查的调查方法
B. 从 3000 名学生中随机抽取 100 名学生进行调查，样本容量是 100 名学生
C. 一组数据的众数有且只有一个
D. 在统计中，可以用中位数来描述一组数据的集中趋势

6. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为
A. 12x2y=3x⋅4xyB. x2+6x−7=xx+6−7
C. x−12=x2−2x+1D. x3−5x2=x2x−5

7. 某品牌专营店店主对上一周新进的某款衬衫销售情况统计如下：
尺码39404142434445平均每天销售数量/件1023303528218
该店主决定本周进货时，增加一些 42 码的衬衫，影响该店主决策的统计量是
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 加权平均数

8. 小石将 2020x+20212 展开后得到多项式 a1x2+b1x+c1，小明将 2021x−20202 展开后得到多项式 a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则 a1−a2 的值为
A. −1B. −4041C. 4041D. 1

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 一个角的余角是这个角的 2 倍，则这个角的度数 ∘．

10. 如图，AB∥CD，AD⊥BE 于点 D，∠1=25∘，则 ∠A 的度数为 ∘．

11. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，若满足条件 ，则有 CE∥DF，理由是 ．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）

12. 分解因式：x3−x= ．

13. 若一组数据 5，1，x，6，2 的众数是 6，则这组数据的中位数是 ，平均数是 ．

14. 计算：−5799×12599= ．

15. 若关于 x 的整式 x2+m−1x+9 能用完全平方公式进行因式分解，则 m 的值是 ．

16. 如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形与等边三角形镶嵌而成，第 1 个图案有 4 个三角形，第 2 个图案有 7 个三角形，第 3 个图案有 10 个三角形，第 4 个图案有 13 个三角形，⋯，按照这样的规律，第 5 个图案中有 个三角形，第 n 个图案中有 个三角形（用含有 n 的代数式表示）．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2−3−−12021−3−π0＋−38．

18. 分解因式：mx2−10mx+25m．

19. 解方程组：x+y=−1,2x−3y=8.

20. 如图，AB∥CD，AB 平分 ∠EAD．求证：∠C=∠D．

21. 计算：x+22x−3+10x3−12x÷−2x．

22. 为了满足学生的多元文化需求，促进学生身心健康和谐发展，某校准备开展形式多样的特色课程．为了了解学生对部分课程的喜爱程度，学校对该校部分学生进行了一次“你最喜爱的特色课程”的问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一项），并将调查结果绘制成了如下两幅统计图（不完整）：
请根据统计图提供的信息，完成下列问题：
（1）此次被调查的学生共有 人；
（2）请将上面统计图 1 补充完整并在图上标出数据；
（3）统计图 2 中，m= ；“综合类”部分扇形的圆心角是 ∘；
（4）若该校共有学生 1200 人，根据调查结果估计该校最喜欢“科技类”特色课程的学生约有 人．

23. 解不等式组：7x−6≥4x,3x−12<5x3+1.

24. 如图，点 P 为 ∠ABC 内一点．
（1）画图：①过点 P 画 BC 的垂线，垂足为点 M；
②过点 P 画 BC 的平行线，交 BA 于点 N；
（2）若 ∠B=120∘ ， 则 ∠PNB= ∘，理由是 ．

25. 已知 x2+5x=−2，求代数式 2x+32−xx−3 的值．

26. 列一元一次不等式解应用题：
某校七年级 330 名师生外出参加社会实践活动，租用 50 座与 40 座的两种客车．如果 50 座的客车租用了 2 辆，那么至少需要租用多少辆 40 座的客车?

27. 如图，∠1=∠EAB，∠E+∠2=180∘．
（1）判断 EF 与 AC 的位置关系，并证明；
（2）若 AC 平分 ∠EAB，BF⊥EF 于点 F，∠EAB=60∘，求 ∠BCD 的度数．

28. 对 x，y 定义一种新运算 T，规定 Tx,y=ax+by2x+y，其中 a，b 是非零常数，等式右边是通常的四则运算．
如：T2,1=a×2+b×12×2+1=10a+5b，Tm,−1=am−b2m−1．
（1）填空：T1,−1= （用含 a，b 的代数式表示）；
（2）已知 T1,−1=3 且 T0,1=−1．
①求 a，b 的值；
②若关于 m 的不等式组 T−m,2m+1≥−13,T3m,1−6m>t 恰好有三个整数解，求 t 的取值范围．
（3）当 x2≠y2 时，Tx,y=Ty,x 对任意的有理数 x，y 都成立，请直接写出 a，b 满足的关系式．
答案
第一部分
1. B【解析】A、若 a=1，b=−2 且 a>b，此时 a2B、若 a>b，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变，则 −3a<−3b，故B正确．
C、若 a=−0.1，b=−0.2 且 a>b，此时 a5=b10，故选项C不一定成立．
D、若 a=2，b=1 且 a>b，此时 a−2故选：B．
2. A【解析】A、 原式=a6，故A符合题意．
B、 原式=27a3b3，故B不符合题意．
C、 原式=3a6，故C不符合题意．
D、 原式=5a5，故D不符合题意．
故选：A．
3. C【解析】0.000028=2.8×10−5，
故选：C．
4. C【解析】∵∠1=70∘，∠BEF+∠1=180∘，
∴∠BEF=180∘−∠1=110∘；
∵AB∥CD，
∴∠C=∠BEF=110∘．
故选：C．
5. B
【解析】A、为了了解某品牌汽车的抗撞击情况，适宜采用抽样调查的调查方法，说法错误，不符合题意；
B、从 3000 名学生中随机抽取 100 名学生进行调查，样本容量是 100 名学生，说法正确，符合题意；
C、一组数据的众数可以有一个，也可以有多个，说法错误，不符合题意；
D、众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，说法错误，不符合题意；
故选：B．
6. D【解析】A、 12x2y=3x⋅4xy，等式左边不是多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、 x2+6x−7=xx+6−7，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、 x−12=x2−2x+1，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、 x3−5x2=x2x−5，把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
7. C【解析】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
8. B【解析】∵2020x+20212 展开后得到 a1x2+b1x+c1；
∴a1=20202，
∵2021x−20202 展开后得到 a2x2+b2x+c2，
∴a2=20212，
∴a1−a2=20202−20212=2020+20212020−2021=−4041，
故选：B．
第二部分
9. 30
【解析】设这个角是 x，则 90∘−x=2x，
解得 x=30∘．
故答案为：30．
10. 65
【解析】∵AB∥CD，∠1=25∘，
∴∠B=∠1=25∘，
∵AD⊥BE 于点 D，
∴∠ADB=90∘，
∴ 在 △ADB 中，∠A=90∘−∠B=65∘．
故答案为：65∘．
11. ∠3=∠F，同位角相等，两直线平行
【解析】若 ∠3=∠F，则 CE∥DF，理由是：同位角相等，两直线平行，
故答案是：∠3=∠F，同位角相等，两直线平行．（答案不唯一）
12. xx+1x−1
【解析】原式=xx2−1=xx+1x−1,
故答案为：xx+1x−1．
13. 5，4
【解析】∵ 这组数据的众数为 6，
∴x=6，
则这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，2，5，6，6，
中位数为：5．
平均数为：15×1+2+5+6+6=4．
14. −1
【解析】原式=−57×7599=−199=−1,
故答案为：−1．
15. −5 或 7
【解析】依题意，得 m−1x=±2×3x，
解得：m=−5或7．
故答案为：−5或7．
16. 16，3n+1
【解析】第 1 个图案中三角形的个数为 4；
第 2 个图案中三角形的个数为 4+3=4+3×1=7；
第 3 个图案中三角形的个数为 4+3+3=4+3×2=10；
第 4 个图案中三角形的个数为 4+3+3+3=4+3×3=13；
第 5 个图案中三角形的个数为 4+3+3+3+3=4+3×4=16；
⋯⋯
第 n 个图案中三角形的个数为 4+3×n−1=4+3n−3=3n+1．
故答案为：16；3n+1．
第三部分
17. 原式=18+1−1+38=12．
18. 原式=mx2−10x+25=mx−52.
19.
x+y=−1, ⋯⋯①2x−3y=8, ⋯⋯②
① ×2，得
2x+2y=−2, ⋯⋯③
② − ③，得
−5y=10,∴y=−2,
将 y=−2 代入①，得
x=1.∴
该方程组的解为
x=1,y=−2.
20. ∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠D，∠EAB=∠C，
∵AB 平分 ∠EAD，
∴∠EAB=∠BAD，
∴∠C=∠D．
21. x+22x−3+10x3−12x÷−2x=x⋅2x−3x+2⋅2x−2×3+10x3÷−2x−12x÷−2x=2x2−3x+4x−6−5x2+6=2x2+x−6−5x2+6=−3x2+x.
22. （1） 200
【解析】此次被调查的学生共有：50÷25%=200（人）．
（2） 艺术类的人数有：200−30−50−60−20=40（人），补全统计图如下：
（3） 30；36
【解析】m%=60200×100%=30%，
即 m=30；
“综合类”部分扇形的圆心角是：360∘×20200=36∘．
（4） 300
【解析】1200×50200=300（人），
答：估计该校最喜欢“科技类”特色课程的学生约有 300 人．
23.
7x−6≥4x, ⋯⋯①3x−12<5x3+1, ⋯⋯②
由①得：
x≥2,
由②得：
x>−9,∴
不等式组的解集为
x≥2.
24. （1） ①如图，PM 为所作；
②如图，PN 为所作；
（2） 60；两直线平行，同旁内角互补
【解析】∵PN∥BC，
∴∠PNB+∠B=180∘，
∴∠PNB=180∘−120∘=60∘．
25. 2x+32−xx−3=4x2+12x+9−x2+3x=3x2+15x+9,
当 x2+5x=−2 时，
原式=3x2+5x+9=3×−2+9=3.
26. 设需租用 40 座的客车 x 辆，依题意，得：
40x+50×2≥330,
解得：
x≥534,
又 ∵x 为正整数，
∴x 的最小值为 6．
答：至少需要租用 6 辆 40 座的客车．
27. （1） EF∥AC，
证明：
∵∠1=∠EAB，
∴AE∥DC，
∴∠2=∠EAC，
∵∠E+∠2=180∘，
∴∠E+∠EAC=180∘，
∴EF∥AC．
（2） 由（1）得 EF∥AC，
∵BF⊥EF，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=90∘，
∵AC 平分 ∠EAB，∠EAB=60∘，
∴∠EAC=30∘，
∵ 由（1）可知 AE∥DC，
∴∠2=∠EAC=30∘，
∴∠BCD=∠ACB−∠2=90∘−30∘=60∘．
28. （1） a−b
【解析】由题意可得：
T1,−1=a−b2−1=a−b；
（2） ① ∵T1,−1=3 且 T0,1=−1，
∴a−b=3，b=−1，
解得：a=2；
②根据题意得：
−2m−2m+1−2m+2m+1≥−13,6m−1−6m6m+1−6m>t,
化简得：−4m−1≥−13, ⋯⋯①12m−1>t, ⋯⋯②
由①得：m≤3，
由②得：m>t+112，
∵ 不等式组恰好有三个整数解，
则整数解为 1，2，3，
∴0≤t+112<1，
解得：−1≤t<11；
（3） b=2a
【解析】由 Tx,y=Ty,x，得到 ax+by2x+y=ay+bx2y+x，
整理得：2a−bx2−y2=0，
∵Tx,y=Ty,x 对任意有理数 x，y 都成立，
∴2a−b=0，即 b=2a．