2020-2021学年北京市燕山区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市燕山区九上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 抛物线 y=2x−12+5 的顶点坐标是
A. 1,5B. 2,1C. 2,5D. −1,5

3. 如图，以点 O 为圆心作圆，所得的圆与直线 a 相切的是
A. 以 OA 为半径的圆B. 以 OB 为半径的圆
C. 以 OC 为半径的圆D. 以 OD 为半径的圆

4. 下列关于二次函数 y=2x2 的说法正确的是
A. 它的图象经过点 0,2
B. 它的图象的对称轴是直线 x=2
C. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小
D. 当 x=0 时，y 有最大值为 0

5. 点 P2,−1 关于原点对称点的坐标是
A. −2,1B. −2,−1C. −1,2D. 1,−2

6. ⊙O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 4，点 P 与 ⊙O 的位置关系是
A. 无法确定B. 点 P 在 ⊙O 外
C. 点 P 在 ⊙O 上D. 点 P 在 ⊙O 内

7. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列选项中不正确的是
A. a<0B. 4a+2b+c>0
C. c>0D. −3<−b2a<0

8. 如图，A0,1，B1,5, 曲线 BC 是双曲线 y=kxk≠0 的一部分，曲线 AB 与 BC 组成图形 G，由点 C 开始不断重复图形 G 形成一线“波浪线”，若点 P2020,m，Qx,n 在该“波浪线”上，则 m 的值为 ，n 的最大值为 ．
A. m=1，n=1B. m=5，n=1C. m=1，n=5D. m=1，n=4

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 二次函数 y=−3x2+2x−3 图象的开口方向是 ．

10. 已知点 A1,a 与点 B3,b 都在反比例函数 y=−12x 的图象上，则 a b（填“<”或“=”或“>”）．

11. 草坪上的自动喷水装置的旋转角为 200∘，且它的喷灌区堿是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为 5π 平方米，则这个扇形的半径是 米．

12. 请写出一个开口向下，且与 y 轴的交点坐标为 0,3 的抛物线的表达式： ．

13. 如图，PA，PB 是 ⊙O 的切线，A，B 为切点，AC 是 ⊙O 的直径，∠BAC=15∘，则 ∠P 的度数为 ．

14. “书香伴我成长”某校倡导学生读书，下面的表格是该校毕业年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表．请你根据统计表中提供的信息，求出表中 a，b 的值：a= ，b= ．
图书种类频数频率科普常识210b名人传记2040.34中外名著a0.25其他360.06

15. 《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步．问句中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC 的两条直角边的长分别为 5 和 12，则它的内接正方形 CDEF 的边长为 ．

16. 在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为 a*b=a2−ab．根据这个法则，下列结论中错误的是 ．（把所有错误结论的序号都填在横线上）
① 2*3=2−6；
②若 a+b=0，则 a*b=b*a；
③ x+2*x+1=0 是一元二次方程；
④方程 x+2*1=3 的根是 x1=−3−52，x2=−3+52．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 用适当的方法解下列方程
（1）x2=3x−2．
（2）m−12=1−m．

18. 如图，健身广场地面上有一段以点 O 为圆心的 AB，小明要站在 AB 的中点 C 的位置上．小明的想法是：只要从点 O 出发，沿着与弦 AB 垂直的方向走到 AB 上，就能找到 AB 的中点 C．老师肯定了小明的想法．
（1）请按照小明的想法，在图中画出点 C．
（2）小明确定点 C 所用方法的依据是 ．

19. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 CD=8，EB=2，求 ⊙O 的半径．

20. 已知关于 x 的方程 mx2+nx−2=0（m≠0）．
（1）求证：当 n=m−2 时，方程总有两个实数根．
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的 m，n 的值，并求此时方程的根．

21. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示：
x⋯−3−2−101⋯y⋯0−3−4−30⋯
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当 −3
22. 学完《概率初步》的知识，小聪设计了一个问题：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：（请你选择列表法或者树状图解决小聪的问题）
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两辆车向左转，一辆车向右转；
（3）至少有两辆车向右转．

23. 为了预防“流感”，某学校对教室采取药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内毎立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例（如图所示）．现测得药物 8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6 毫克．
根据题中所提供的信息解答下列问题：
（1）求药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式及其自变量 x 的取值范围．
（2）药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式是 ；
研究表明，①当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室；
②当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，你认为此次消毒有效吗?请说明理由．

24. 如图，以四边形 ABCD 的对角线 BD 为直径作圆，圆心为 O，过点 A 作 AE⊥CD 的延长线于点 E，已知 DA 平分 ∠BDE．
（1）求证：AE 是 ⊙O 切线．
（2）若 AE=4，CD=6，求 ⊙O 的半径和 AD 的长．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A0,−2，B3,4．
（1）求抛物线的表达式及顶点 M 的坐标．
（2）线段 OB 绕点 O 旋转 180∘ 得到线段 OC，点 D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 A，B 之间的部分为图象 W（包含 A，B 两点），结合函数图象．
①若直线 CD 与图象 W 有公共点，求 S△CMD 的最大值．
②若直线 CD 与图象 W 没有公共点，直接写出点 D 纵坐标 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
轴对称图形的定义为：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴．
根据定义可知：
A选项：图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，故A错误；
B选项：图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意，故B正确；
C选项：图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意，故C错误；
D选项：图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意，故D错误．
2. A
3. D【解析】∵OD⊥AC，
∴ 以点 O 为圆心作圆，以 OD 为半径的圆与直线 a 相切．
4. C【解析】A选项：它的图象经过点 0,0，故A错误；
B选项：它的图象的对称轴是直线 x=0，故B错误；
C选项：当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小，故C正确；
D选项：当 x=0 时，y 有最小值为 0，故D错误；
5. A
【解析】∵ 关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，
∴P2,−1 关于原点对称的点 Pʹ−2,1．
6. D【解析】∵⊙O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 4，
∴ 点 P 到圆心 O 的距离小于圆的半径，
∴ 点 P 在 ⊙O 内．
7. B【解析】由函数图象可知，抛物线开口向下，与 y 轴交于 y 轴正半轴，
∴a<0，c>0，
故A，C正确；
∵ 对称轴为直线 x=−b2a，
∴−3<−b2a<0，故D正确；
由图象可知，当 x=2 时，4a+2b+c<0，故B错误．
故选B．
8. C【解析】∵ 点 B 是双曲线 y=kx 上一点，B1,5，
∴k=xy=1×5=5，
∴ 双曲线解析式为 y=5x，
又曲线 AB 与 BC 组成图形为 G，由点 C 开始不断重复图形 G，
∴A0,1 与 C 点纵坐标相同，即 yC=1，
又点 C 在双曲线 y=5x 上，
∴C 点坐标为 5,1，
∵2020÷5=404，
∴ 点 P2020,m 为点 C5,1 的第 404 次循环，
则 m=1，
由图形可知，纵坐标最大值为 5，
点 Qx,n 为该“波浪线”上一点，
∴n 的最大值为 5．
第二部分
9. 向下
【解析】∵a=−3，
∴ 二次函数图象开口方向是向下．
10. <
【解析】∵ 反比例函数 y=−12x 的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，
又 ∵ 点 A1,a 与点 B3,b 都在反比例函数 y=−12x 的图象上，1<3，
∴a11. 3
【解析】设扇形的半径为 r，
∴200360πr2=5π，
∴r=3．
12. y=−x2+3（答案不唯一）
【解析】开口向下，且与 y 轴的交点坐标为 0,3 的抛物线的表达式可以是 y=−x2+3．
13. 30∘
【解析】∵PA 为切线，
∴OA⊥PA，
∴∠CAP=90∘，
∴∠PAB=90∘−∠BAC=90∘−15∘=75∘，
∵PA，PB 是 ⊙O 的切线，
∴PA=PB，
∴∠PBA=∠PAB=75∘，
∴∠P=180∘−75∘−75∘=30∘．
故答案为 30∘．
14. 150，0.35
【解析】36÷0.06=600，
a=600−210−204−36=150，
b=1−0.34−0.25−0.06=0.35．
15. 6017
【解析】因为四边形 CDEF 是正方形，
所以 CD=ED，DE∥CF，
设 ED=x，则 CD=x，AD=5−x，
因为 DE∥CF，
所以 ∠ADE=∠C，∠AED=∠B，
所以 △ADE∼△ACB，
所以 DEBC=ADAC，
所以 x12=5−x5，
x=6017.
16. ③④
【解析】2*3=22−2×3=2−6，①正确；
若 a+b=0，则 a=−b，
∴a*b=a2−ab=b2−ba=b*a，②正确；
x+2*x+1=x+22−x+2x+1=x+2，③错误；
x+2*1=x+22−x+2=x2+4x+4−x−2=x2+3x+2,
∴x2+3x+2=3，x2+3x−1=0，
解得 x1=−3+132，x2=−3−132，④错误．
第三部分
17. （1） x2−3x+2=0,x−1x−2=0,
x1=1 或 x2=2．
（2） m−12−1−m=0,m−1m−1+1=0,m−1m=0,
m1=0 或 m2=1．
18. （1） 连接 AB，AB 垂线 OC，确定点 C．
（2） 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
19. 连接 OC，
设 ⊙O 的半径为 R，则 OE=R−2，
∵CD⊥AB，
∴CE=12CD=4，
由勾股定理得，OC2=OE2+CE2，即 R2=R−22+42，
解得，R=5，
则 ⊙O 的半径为 5．
20. （1） Δ=m−22−4m×−2=m2+4m+4=m+22≥0，
∴ 方程总有两个实数根．
（2） 由题意可知，m≠0，
Δ=n2−4m×−2=n2+8m=0，
即 n2=−8m，
以下答案不唯一，如：
当 n=4，m=−2 时，方程为 x2−2x+1=0，
解得 x1=x2=1．
21. （1） 设二次函数的表达式 y=ax+3x−1，
将 0,−3 代入，得 −3a=−3，解得 a=1，
∴ 二次函数的表达式是 y=x2+2x−3．
（2） 描点，用平滑的曲线连接函数图象如图所示：
（3） −4≤y<0
【解析】y=x2+2x−3=x+12−4，
当 x=−1 时，y 取得最小值为 −4，
当 x=1 时，y=12+2×1−3=0，
当 −322. （1） 根据题意，可以画出如下的树状图：
所有可能出现的结果是 27 种，三辆车全部继续直行的结果有 1 种，两辆车向左转，一辆车向右转结果有 3 种，至少有两辆车向右转结果有 5 种．
三辆车全部继续直行的概率是 127．
（2） 两辆车向左转，一辆车向右转概率是 327=19．
（3） 至少有两辆车向右转概率是 727．
23. （1） 药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 x（分钟）成正比例，所以设 y 关于 x 的函数关系式是 y=kxk≠0 将点 8,6 代入，得：k=34，即 y=34x，
自变量 x 的取值范围是 0≤x≤8．
（2） y=48x；
①当 y=1.6 时，代入 y=48x 得 x=30 分钟，
那么从消毒开始，至少需要经过 30 分钟后，学生才能回到教室；
②此次消毒有效，
将 y−3 分别代入 y=34x，y=48x 得，x=4 和 x=16，
那么持续时间是 16−4=12>10 分钟，所以有效杀灭空气中的病菌．
24. （1） 连接 OA，
∵AE⊥CD，
∴∠1+∠2=90∘．
DA 平分 ∠BDE，
∴∠2=∠4．
又 ∵OA=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=90∘，
∴OA⊥AE，
∴AE 是 ⊙O 切线．
（2） 取 CD 中点 F，连接 OF，
∴OF⊥CD 于点 F．
∴ 四边形 AEFO 是矩形．
∵CD=6，
∴DF=FC=3，
∴ 在 Rt△OFD 中，又 OF=AE=4，
∴OD=5．
又 Rt△AED 中，AE=4，ED=2，
∴AD=42+22=20=25，
∴AD 的长是 25．
25. （1） 将点 A0,−2，B3,4 代入抛物线得：
n=−2,18+3m+n=4, 解得：m=−4,n=−2.
∴ 抛物线的表达式为 y=2x2−4x−2，
配方得：y=2x−12−4，
∴ 顶点坐标为 M1,−4．
（2） ①
根据题意可知，点 B，C 关于原点对称，
∴ 点 C 坐标为 −3,−4，
二次函数 y=2x2−4x−2 的最小值是 −4，直线 CD 与图象 W 有公共点，且 △CMD 的面积最大．
结合图象可知，连接 BC 与对称轴交于点 D，此时符合题意．
∵ 点 B 坐标为 3,4，点 M 坐标为 1,−4，
∴ 直线 BC 解析式为 y=43x，
令 x=1，得 y=43．
∴ 点 D 坐标为 1,43，
∴CM=1−−3=4，DM=43−−4=163，
∴S△CDM=12⋅CM⋅DM=12×4×163=323．
② t<−4 或 t>43．
【解析】②结合图象可知，若直线 CD 与图象 W 没有公共点，点 D 的纵坐标 t 的取值范围是 t<−4 或 t>43．