2020-2021学年北京市九下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市九下期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是
A. 长方体B. 圆柱C. 圆锥D. 三棱柱

2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014∼2018 年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金 1692 亿元，将 169200000000 用科学记数法表示应为
A. 0.1692×1012B. 1.692×1012C. 1.692×1011D. 16.92×1010

3. 如图，点 O 在直线 AB 上，OC⊥OD．若 ∠AOC=120∘，则 ∠BOD 的大小为
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘

4. 下列多边形中，内角和最大的是
A. B.
C. D.

5. 实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
A. a>−2B. ∣a∣>bC. a+b>0D. b−a<0

6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是
A. 14B. 13C. 12D. 23

7. 已知 432=1849，442=1936，452=2025，462=2116．若 n 为整数且 n<2021A. 43B. 44C. 45D. 46

8. 如图，用绳子围成周长为 10 m 的矩形，记矩形的一边长为 x m，它的邻边长为 y m，矩形的面积为 S m2．当 x 在一定范围内变化时，y 和 S 都随 x 的变化而变化，则 y 与 x，S 与 x 满足的函数关系分别是
A. 一次函数关系，二次函数关系B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系D. 反比例函数关系，一次函数关系

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若 x−7 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

10. 分解因式：5x2−5y2= ．

11. 方程 2x+3=1x 的解为 ．

12. 在平面直角坐标系 xOy 中，若反比例函数 y=kxk≠0 的图象经过点 A1,2 和点 B−1,m，则 m 的值为 ．

13. 如图，PA，PB 是 ⊙O 的切线，A，B 是切点，若 ∠P=50∘，则 ∠AOB= ．

14. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，AF=EC．只需添加一个条件即可证明四边形 AECF 是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．

15. 有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲1112131415乙1212131414
甲、乙两组数据的方差分别为 s甲2，s乙2，则 s甲2 s乙2（填“>”，“<”或“=”）．

16. 某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工 a 吨原材料，加工时间为 4a+1 小时；在一天内，B生产线共加工 b 吨原材料，加工时间为 2b+3 小时．第一天，该企业将 5 吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了 5 吨原材料后，又给A生产线分配了 m 吨原材料，给B生产线分配了 n 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 mn 的值为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2sin60∘+12+∣−5∣−π+20．

18. 解不等式组：4x−5>x+1,3x−42
19. 已知 a2+2b2−1=0，求代数式 a−b2+b2a+b 的值．

20. 《淮南子?天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 A 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 B，使 B，A 两点间的距离为 10 步（步是古代的一种长度单位），在点 B 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 B 处的杆的影子的方向取一点 C，使 C，B 两点间的距离为 10 步，在点 C 处立一根杆．取 CA 的中点 D，那么直线 DB 表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 A，B，C 的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作 CA 的中点 D（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线 DB 表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 CA 表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在 △ABC 中，BA= ，D 是 CA 的中点，
所以 CA⊥DB（ ）（填推理的依据）．
∵ 直线 DB 表示的方向为东西方向，
∴ 直线 CA 表示的方向为南北方向．

21. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−4mx+3m2=0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 m>0，且该方程的两个实数根的差为 2，求 m 的值．

22. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ACB=∠CAD=90∘，点 E 在 BC 上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为 F．
（1）求证：四边形 AECD 是平行四边形；
（2）若 AE 平分 ∠BAC，BE=5，csB=45，求 BF 和 AD 的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+bk≠0 的图象由函数 y=12x 的图象向下平移 1 个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 x>−2 时，对于 x 的每一个值，函数 y=mxm≠0 的值大于一次函数 y=kx+b 的值，直接写出 m 的取值范围．

24. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，AD 是 ⊙O 的直径，AD⊥BC 于点 E．
（1）求证：∠BAD=∠CAD；
（2）连接 BO 并延长，交 AC 于点 F，交 ⊙O 于点 G，连接 GC．若 ⊙O 的半径为 5，OE=3，求 GC 和 OF 的长．

25. 为了解甲、乙两座城市的邮政企业 4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了 25 家邮政企业，获得了它们 4 月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5 组：6≤x<8，8≤x<10，12≤x<14，14≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在 10≤x<12 这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业 4 月份收入的数据的平均数、中位数如下：
平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 m 的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 p2．比较 p1，p2 的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有 200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 4 月份的总收入（直接写出结果）．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 1,m 和点 3,n 在抛物线 y=ax2+bxa>0 上．
（1）若 m=3，n=15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点 −1,y1，2,y2，4,y3 在该抛物线上．若 mn<0，比较 y1，y2，y3 的大小，并说明理由．

27. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=α，M 为 BC 的中点，点 D 在 MC 上，以点 A 为中心，将线段 AD 顺时针旋转 α 得到线段 AE，连接 BE，DE．
（1）比较 ∠BAE 与 ∠CAD 的大小；用等式表示线段 BE，BM，MD 之间的数量关系，并证明；
（2）过点 M 作 AB 的垂线，交 DE 于点 N，用等式表示线段 NE 与 ND 的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1．对于点 A 和线段 BC，给出如下定义：若将线段 BC 绕点 A 旋转可以得到 ⊙O 的弦 B′C′（B′，C′ 分别是 B，C 的对应点），则称线段 BC 是 ⊙O 的以点 A 为中心的“关联线段”．
（1）如图，点 A，B1，C1，B2，C2，B3，C3 的横、纵坐标都是整数．在线段 B1C1，B2C2，B3C3 中，⊙O 的以点 A 为中心的“关联线段”是 ；
（2）△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 A0,t，其中 t≠0．若 BC 是 ⊙O 的以点 A 为中心的“关联线段”，求 t 的值；
（3）在 △ABC 中，AB=1，AC=2，若 BC 是 ⊙O 的以点 A 为中心的“关联线段”，直接写出 OA 的最小值和最大值，以及相应的 BC 长．
答案
第一部分
1. B【解析】∵ 圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，
∴ 展开图可得此几何体为圆柱．
2. C【解析】将 169200000000 用科学记数法表示应为 1.692×1011．
3. A
4. D【解析】A．三角形的内角和为 180∘；
B．四边形的内角和为 360∘；
C．五边形的内角和为：5−2×180∘=540∘；
D．六边形的内角和为：6−2×180∘=720∘．
5. B
6. C【解析】画树形图得：
由树形图可知共 4 种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有 2 种结果，
∴ 一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为 24=12．
7. B【解析】∵1936<2021<2025，
∴44<2021<45，
∴n=44．
8. A【解析】由题意得，2x+y=10，
∴x+y=5，
∴y=5−x，即 y 与 x 是一次函数关系．
∵S=xy=x5−x=−x2+5x，
∴ 矩形面积满足的函数关系为 S=−x2+5x，即满足二次函数关系．
第二部分
9. x≥7
10. 5x+yx−y
11. x=3
12. −2
【解析】∵ 反比例函数 y=kxk≠0 的图象经过点 A1,2 和点 B−1,m，
∴−m=1×2，解得 m=−2，即 m 的值为 −2．
13. 130∘
14. AE=AF
【解析】这个条件可以是 AE=AF，
理由：
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，即 AF∥CE，
∵AF=EC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵AE=AF，
∴ 四边形 AECF 是菱形．
15. >
【解析】x甲=15×11+12+13+14+15=13，
s甲2=1511−132+12−132+13−132+14−132+15−132=2，
x乙=15×12+12+13+14+14=13，
s乙2=1512−132+12−132+13−132+14−132+14−132=0.8，
∵2>0.8，
∴s甲2>s乙2．
16. 2:3，12
【解析】设分配到A生产线的吨数为 x 吨，则分配到B生产线的吨数为 5−x 吨，
依题意可得：4x+1=25−x+3，
解得：x=2，
所以分配到B生产线的吨数为 5−2=3（吨），
所以分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 2:3；
所以第二天开工时，给A生产线分配了 2+m 吨原材料，给B生产线分配了 3+n 吨原材料，
因为加工时间相同，
所以 42+m+1=23+n+3，
解得：m=12n，
所以 mn=12．
第三部分
17. 35+4
【解析】实数计算．
18. 219. 1．
20. （1） 如图，点 D 即为所求．
（2） BC；三线合一
21. （1） ∵a=1，b=−4m，c=3m2，
∴Δ=b2−4ac=−4m2−4×1×3m2=4m2．
∵ 无论 m 取何值时，4m2≥0，即 Δ≥0，
∴ 原方程总有两个实数根．
（2） ∵x2−4mx+3m2=0，即 x−mx−3m=0，
∴x1=m，x2=3m．
∵m>0，且该方程的两个实数根的差为 2，
∴3m−m=2，
∴m=1．
22. （1） ∵∠ACB=∠CAD=90∘，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴ 四边形 AECD 是平行四边形．
（2） ∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90∘，
∵csB=45=BFBE，BE=5，
∴BF=45BE=45×5=4，
∴EF=BE2−BF2=52−42=3，
∵AE 平分 ∠BAC，EF⊥AB，∠ACE=90∘，
∴EC=EF=3，
由（1）得：四边形 AECD 是平行四边形，
∴AD=EC=3．
23. （1） y=12x−1
（2） 024. （1） ∵AD 是 ⊙O 的直径，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD．
（2） 在 Rt△BOE 中，OB=5，OE=3，
∴BE=OB2−OE2=4，
∵AD 是 ⊙O 的直径，AD⊥BC，
∴BC=2BE=8，
∵BG 是 ⊙O 的直径，
∴∠BCG=90∘，
∴GC=BG2−BC2=6，
∵AD⊥BC，∠BCG=90∘，
∴AE∥GC，
∴△AFO∽△CFG，
∴OAGC=OFFG，即 56=OF5−OF，解得：OF=2511．
25. （1） 将甲城市抽取的 25 家邮政企业 4 月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是 10.1 ，
因此中位数是 10.1，即 m=10.1．
（2） 由题意得 p1=5+3+4=12（家），
由于乙城市抽取的 25 家邮政企业 4 月份的营业额的平均数是 11.0，中位数是 11.5，
因此所抽取的 25 家邮政企业 4 月份营业额在 11.5 及以上的占一半，
也就是 p2 的值要大于 12，
∴p1 （3） 11.0×200=2200（百万元），
答：乙城市 200 家邮政企业 4 月份的总收入约为 2200 百万元．
26. （1） ∵m=3，n=15，
∴ 点 1,3，3,15 在抛物线上，
将 1,3，3,15 代入 y=ax2+bx 得：
3=a+b,15=9a+3b,
解得 a=1,b=2,
∴y=x2+2x=x+12−1，
∴ 抛物线对称轴为直线 x=−1．
（2） ∵y=ax2+bxa>0，
∴ 抛物线开口向上且经过原点，
当 b=0 时，抛物线顶点为原点，x>0 时 y 随 x 增大而增大，n>m>0 不满足题意，
当 b>0 时，抛物线对称轴在 y 轴左侧，同理，n>m>0 不满足题意，
∴b<0，抛物线对称轴在 y 轴右侧，x=1 时 m<0，x=3 时 n>0，
∴ 抛物线对称轴在直线 x=32 与直线 x=12 之间，
即 12<−b2a<32，
∴ 点 2,y2 与对称轴距离 12<2−−b2a<32，
点 −1,y1 与对称轴距离 32<−b2a−−1<52，
点 4,y3 与对称轴距离 52<4−−b2a<72，
∴y227. （1） ∠BAE=∠CAD，BE+MD=BM．
易证 △AEB≌△ADC．（手拉手模型）
（2） NE=ND．
方法 1：过点 E 作 EH⊥AB．
1）易证 BH=BE=CD⇒DM=HM；
2）由 MN∥EH⇒△DMN∽△DHE⇒N 是 DE 中点，得证．
（模型：角平分线对称 +A 相似（中位线））
【解析】方法 2：模型：相似
方法 3：模型：角平分线对称 +8 字相似（中位线）
方法 4：模型：角平分线对称 +8 字相似（中位线）
方法 5：模型：角平分线对称 +8 字相似（中位线）
28. （1） B2C2
【解析】由旋转的性质可知：AB=AB′，AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，由图可知点 A 到圆上一点的距离 d 的范围为 2−1≤d≤2+1，
∵AC1=3>d，
∴ 点 C1′ 不可能在圆上，
∴B1C1 不是 ⊙O 的以 A 为中心的“关联线段”，
∵AC2=1，AB2=5，
∴C2′0,1，B2′1,0，
∴B2C2 是 ⊙O 的以 A 为中心的“关联线段”，
∵AC3=2，AB3=5，
当 B3′ 在圆上时，B3′1,0或0,−1，
由图可知此时 C3′ 不在圆上，
∴B3C3 不是 ⊙O 的以 A 为中心的“关联线段”．
（2） ∵△ABC 是边长为 1 的等边三角形，
根据旋转的性质可知 △AB′C′ 也是边长为 1 的等边三角形，
∵A0,t，
∴B′C′⊥y 轴，且 B′C′=1，
∴AO 为 B′C′ 边上的高的 2 倍，且此高的长为 32，
∴t=3或−3．
（3） OA 的最小值为 1 时，此时 BC 的长为 3，OA 的最大值为 2，此时 BC 的长为 62
【解析】由旋转的性质和“关联线段”的定义，可知 AB′=AB=OB′=OC′=1，AC′=AC=2，如图 1，
利用四边形的不稳定性可知，
当 A，O，C′ 在同一直线上时，OA 最小，最小值为 1，如图 2，
此时 OA=OB′=OC′，
∴∠AB′C=90∘，
∴B′C′=AC′2−AB′2=22−12=3．
当 A，B′，O 在同一直线上时，OA 最大，如图 3，
此时 OA=2，过点 A 作 AE⊥OC′ 于 E，过点 C′ 作 C′F⊥OA 于 F．
∵AO=AC′=2，AE⊥OC′，
∴OE=EC′=12，
∴AE=AO2−OE2=22−122=152，
∵S△AOC=12⋅AO⋅C′F=12⋅OC′⋅AE，
∴C′F=154，
∴OF=OC′2−C′F2=12−1542=14，
∴FB′=OB′−OF=34，
∴B′C′=FB′2+FC′2=342+1542=62．
综上 OA 的最小值为 1 时，此时 BC 的长为 3，OA 的最大值为 2，此时 BC 的长为 62．