2020-2021学年北京市西城区八下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市西城区八下期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若 x−4 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
A. x<4B. x≥4C. x>4D. x≥0

2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠C＝70∘，DE⊥AB 于点 E，则 ∠ADE 的度数为
A. 30∘B. 25∘C. 20∘D. 15∘

3. 下列各式中是最简二次根式的是
A. 5B. 8C. 12D. 102

4. 下列线段 a，b，c 组成的三角形中，能构成直角三角形的是
A. a=1，b=2，c=2B. a=2，b=3，c=4
C. a=3，b=4，c=6D. a=1，b=1，c=2

5. 在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的 20 名运动员的成绩如表所示：
成绩人数143462
这些运动员成绩的众数是
A. 1.65B. 1.70C. 1.75D. 1.80

6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=1，BC=4，D 是 AB 边的中点，则 CD 的长为
A. 12B. 2C. 172D. 17

7. 下列命题中，正确的是
A. 有一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有两个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

8. 学校组织校科技节报名，每位学生最多能报 3 个项目．下表是某班 30 名学生报名项目个数的统计表：其中报名 2 个项目和 3 个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名 2 个项目和 3 个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是
报名项目个数0123人数514ab
A. 中位数，众数B. 平均数，方差C. 平均数，众数D. 众数，方差

9. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为 0,2，顶点 B，C 在第一象限，且点 C 的纵坐标为 1，则点 B 的坐标为
A. 2,3B. 32,3C. 3,23D. 3,3

10. 图 1，四边形 ABCD 是平行四边形，连接 BD, 动点 P 从点 A 出发沿折线 AB→BD→DA 匀速运动，回到点 A 后停止．设点 P 运动的路程为 x，线段 AP 的长为 y，图 2 是 y 与 x 的函数关系的大致图象，则平行四边形 ABCD 的面积为
A. 245B. 165C. 125D. 36

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 计算：72= ．

12. 已知正方形 ABCD 的对角线 AC 的长为 32，则正方形 ABCD 的边长为 ．

13. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，OE=5 cm，则 AD 的长为 cm．

14. 已知 n 是正整数，且 18−n 也是正整数，写出一个满足条件的 n 的值：n= ．

15. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，EF 平分 ∠AEC 交 BC 于点 F．若 AD=7，AE=CD=3，则 BF 的长为 ．

16. 用 4 张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形 ABCD 的面积为 10，AH=3，则正方形 EFGH 的面积为 ．

17. 为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了 5 个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表：
甲组1112131415乙组x6758
如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么 x= ．

18. 如图，点 C 在线段 AB 上，△DAC 是等边三角形，四边形 CDEF 是正方形．
（1）∠DAE= ∘；
（2）点 P 是线段 AE 上的一个动点，连接 PB，PC．若 AC=2，BC=3，则 PB+PC 的最小值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 计算：
（1）32×6；
（2）18+10÷5．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，CD 上，BE＝DF，EF 与对角线 AC 相交于点 O．求证：OE＝OF．

21. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1 丈 =10 尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽 AB=10 尺，线段 CD，CB 表示芦苇，CD⊥AB 于点 E．
（1）图中 DE= 尺，EB= 尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．

22. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，点 D 是边 AB 上的一个动点，连接 CD．作 AE∥DC，CE∥AB，连接 ED．
（1）如图 1，当 CD⊥AB 时，求证：AC=ED；
（2）如图 2，当 D 是 AB 的中点时，
①四边形 ADCE 的形状是 ；（填“矩形”、“菱形”或“正方形”）
②若 AB=10，ED=8，则四边形 ADCE 的面积为 ．

23. 对于函数 y=∣x−1∣，小芸探究了该函数的部分性质，下面是小芸的探究过程，请补充完整：
（1）①对于函数 y=∣x−1∣，当 x≤1 时，y=−x+1；当 x>1 时，y= ；
②当 x≤1 时，函数 y=∣x−1∣ 的图象如图所示，请在图中补全函数 y=∣x−1∣ 的图象；
（2）当 y=3 时，x= ；
（3）若点 A−1,y1 和 Bx2,y2 都在函数 y=∣x−1∣ 的图象上，且 y2＞y1，结合函数图象，直接写出 x2 的取值范围．

24. 某校七年级和八年级学生人数都是 200 人，学校想了解这两个年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了 40 名学生进行调查，收集了这 80 名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a. 七、八年级各抽取的 40 名学生一周阅读时长统计图（不完整）如下（两个年级的数据都分成 6 组：0≤x<2，2≤x<4，4≤x<6，6≤x<8，8≤x<10，10≤x<12）：b. 八年级学生一周阅读时长在 6≤x<8 这一组的数据是：
6；6；6；6；6.5；6.5；7；7；7；7；7.5；7.5
c. 七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如下：
年级平均数中位数众数七年级6.22577八年级6.375m8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）图 1 中 p%= %；
（2）①补全八年级学生一周阅读时长统计图（图 2）；
②上表中 m 的值为 ．
（3）将收集这 80 名学生的数据分年级由大到小进行排序，其中有一名学生一周阅读时长是 6.5 小时，排在本年级的前 20 名，由此可以推断他是 年级的学生；（填“七”或“八”）
（4）估计两个年级共 400 名学生中，一周阅读时长不低于 8 小时的人数．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 在第一象限，作射线 OB．给出如下定义：如果点 P 在 ∠BOA 的内部过点 P 作 PM⊥OA 于点 M，PN⊥OB 于点 N，那么称 PM 与 PN 的长度之和为点 P 关于 ∠BOA 的“内距离”，记作 dP,∠BOA，即 dP,∠BOA=PM+PN．
（1）如图 1，若点 P3,2 在 ∠BOA 的平分线上，则 PM= ，PN= ，dP,∠BOA＝ ；
（2）如图 2，若 ∠BOA=75∘，点 Ca,a（其中 a>0）满足 dC,∠BOA=2+2，求 a 的值；
（3）若 ∠BOA=60∘，点 Qm,n 在 ∠BOA 的内部，用含 m，n 的式子表示 dQ,∠BOA，并直接写出结果．

26. 已知 ∠MON=90∘，点 A 是射线 ON 上的一个定点，点 B 是射线 OM 上的一个动点，且满足 OB>OA．点 C 在线段 OA 的延长线上，且 AC=OB．
（1）如图 1，CD∥OB，CD=OA，连接 AD，BD；
① △AOB 与 △ 全等，∠OBA+∠ADC= ∘；
②若 OA=a，OB=b，则 BD= ；（用含 a，b 的式子表示）
（2）如图 2，在线段 BO 上截取 BE，使 BE=OA，连接 CE．若 ∠OBA+∠OCE=β，当点 B 在射线 OM 上运动时，β 的大小是否会发生变化?如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．

四、填空题（共1小题；共5分）
27. 在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．
例如：由 2+12−1=1，可得 2+1 与 2−1 互为倒数，即 12+1=2−1，12−1=2+1，类似地，13+2=3−2，13−2=3+2；12+3=2−3，12−3=2+3；⋯．
根据小腾发现的规律，解决下列问题：
（1）16+5= ，1n+1+n= ；（n 为正整数）
（2）若 122+m=22−m，则 m= ；
（3）计算：12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99= ．

五、解答题（共2小题；共26分）
28. 如图，△ABC 和 △DCE 都是等边三角形，∠ACD＝α60∘<α<120∘，点 P，Q，M 分别是 AD，CD，CE 的中点．
（1）求 ∠PQM 的度数；（用含 α 的式子表示）
（2）若点 N 是 BC 的中点，连接 NM，NP，PM，求证：△PNM 是等边三角形．

29. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 Mx1,y1，Nx2,y2，我们将 ∣x1−x2∣+2∣y1−y2∣ 称为点 M 与点 N 的“纵 2 倍直角距离”，记作 dMN．
例如：点 M−2,7 与 N5,6 的“纵 2 倍直角距离”dMN=∣−2−5∣+2∣7−6∣=9．
（1）①已知点 P11,1，P2−4,0，P30,32，则在这三个点中，与原点 O 的“纵 2 倍直角距离”等于 3 的点是 ；
②已知点 Px,y，其中 y≥0，若点 P 与原点 O 的“纵 2 倍直角距离”dPO=3，请在下图中画出所有满足条件的点 P 组成的图形．
（2）若直线 y=2x+b 上恰好有两个点与原点 O 的“纵 2 倍直角距离”等于 3，求 b 的取值范围；
（3）已知点 A1,1，B3,1，点 Tt,0 是 x 轴上的一个动点，正方形 CDEF 的顶点坐标分别为 Ct−12,0，Dt,12，Et+12,0，Ft,−12．若线段 AB 上存在点 G，正方形 CDEF 上存在点 H，使得 dGH=5，直接写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】x−4 在实数范围内有意义，则 x−4≥0，
解得：x≥4．
2. C【解析】∵ 在平行四边形 ABCD 中，
∴∠A=∠C＝70∘，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90∘−70∘=20∘．
3. A【解析】A、 5 是最简二次根式，此项符合题意；
B、 8=22，不是最简二次根式，此项不符题意；
C、 12=22，不是最简二次根式，此项不符题意；
D、 102=10，不是最简二次根式，此项不符题意．
故选：A．
4. D【解析】A、 12+22=5≠22，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、 22+32=13≠42，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、 32+42=25≠62，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、 12+12=2=22，此三条线段能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
5. C
【解析】由表格中的数据可知：1.75 出现的次数最多，故这些运动员成绩的众数是 1.75 m．
6. C【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=1，BC=4，
∴AB=12+42=17，
∵D 是 AB 边的中点，
∴CD=12AB=172，
故选C．
7. D【解析】A、两组对边相等或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，为此有一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，选项A不正确；
B、有三个是直角的四边形是矩形，为此有两个角是直角的四边形不一定是矩形，故选项B不正确；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，为此对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故选项C错误；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D正确．
故选D．
8. A【解析】由题意可知报名 2 个项目和 3 个项目的一共有 30−5−14=11（人），14>11，
∴ 无论这个班报名 2 个项目和 3 个项目的学生各有多少人，都少于报名 1 个项目的人数，故众数为 1 不变，共有 30 名学生则中位数为第 15，16 个数据平均数，
由于 5+14=19>16，故中位数为 1+12=1，则无论报名 2 个项目和 3 个项目的学生各有多少人中位数不变，综上所述不会发生改变的是众数和中位数，
故选：A．
9. D【解析】延长 BC 交 x 轴于 D，
∵ 点 A 的坐标为 0,2，
∴OA=2，
∵ 四边形 OABC 是菱形，
∴AO=OC=BC=2．
∵BC∥y轴，
∴BD⊥x轴．
在 Rt△OCD 中，
∵ 点 C 的纵坐标为 1，
∴CD=1，
∴OD=OC2−CD2=22−12=3．
∵BD=BC+CD=2+1=3，
∴ 点 B3,3．
故选择D．
10. B
【解析】过点 B 作 BE⊥AD，交 AD 于点 E，
由图象可得 AB=6，BD=12−6=6，AD=8，
∴AB=BD，
∵BE⊥AD，
∴AE=DE=12AD=4，∠BEA=90∘，
∴BE=AB2−AE2=62−42=25，
∴S平行四边形ABCD=AD⋅BE=8×25=165．
故选：B．
第二部分
11. 7
12. 3
【解析】如图，设正方形 ABCD 的边长为 a，
由勾股定理得：
a2+a2=322，
解得 a=3．
13. 10
【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴BO=DO，
∵ 点 E 是 AB 的中点，
∴OE 为 △ABD 的中位线，
∴AD=2OE，
∵OE=5 cm，
∴AD=10 cm．
故答案为：10．
14. 2（答案不唯一）
【解析】∵ 当 n=2 时，18−n=18−2=16=4，
∴n=2 符合题意，
故答案是：2．
15. 2
【解析】∵ 在矩形 ABCD 中，AD∥BC，AD=BC=7，∠ADC=90∘；
∴∠AEF=∠EFC，
又 ∵∠AEF=∠FEC，
∴∠FEC=∠EFC，
∴EC＝FC，
∵AD=7，AE=CD=3，
∴ED=AD−AE=4，
∴EC=ED2+CD2=5，
∴BF=BC−FC=7−5=2，
故答案为 2．
16. 4
【解析】∵ 正方形 ABCD 的面积为 10，AH=3，
∴AD2=10，
∴ 在 Rt△ADH 中，DH=AD2−AH2=10−9=1，
∴S△ADH=12AH×DH=12×3×1=32，
∵ 四个直角三角形全等，
∴ 正方形 EFGH 的面积 =10−4×32=4，
故答案是：4．
17. 4 或 9
【解析】甲的平均数为：15×11+12+13+14+15=13，
乙的平均数为：15×x+6+7+5+8=26+x5，
甲的方差为：s2=15×11−132+12−132+13−132+14−132+15−132=2，
乙的方差为：s2=15×x−26+x52+6−26+x52+7−26+x52+5−26+x52+8−26+x52=2，
整理得：x2−13x+36=0，
解得 x=4 或 x=9．
18. 15，29
【解析】（1）∵△DAC 是等边三角形，四边形 CDEF 是正方形，
∴AD=CD=DE，∠ADC=60∘，∠CDE=90∘，
∴∠ADE=90∘+60∘=150∘，
∴∠DAE=180∘−150∘÷2=15∘，
故答案是：15，
（2）作点 C 关于 AE 的对称点 Cʹ，连接 CʹB 交 AE 于点 P，连接 CʹA，CP，
∵∠DAE=15∘，∠DAC=60∘，
∴∠CAE=60∘−15∘=45∘，
∵ 点 C 关于 AE 的对称点 Cʹ，
∴∠CAE=∠CʹAE=45∘，CʹA=CA=2，CʹP=CP，
∴∠CʹAC=90∘，
∴PB+PC 的最小值 =PB+PCʹ=BCʹ=ACʹ2+AB2=22+2+32=29．
故答案是：29．
第三部分
19. （1） 32×6=32×6=312=63;
（2） 18+10÷5=32+10÷5=32+2=42.
20. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵BE=DF，
∴AB−BE=CD−DF，即 AE=CF，
∵AB∥CD，
∴∠AEO=∠CFO，
在 △AOE 和 △COE 中，
∠AEO=∠CFO,∠AOE=∠COF,AE=CF,
∴△AOE≌△COFAAS，
∴OE=OF．
21. （1） 1；5
【解析】根据题意：DE 是芦苇高出水面部分，即 DE=1 尺，EB 是水面边长一半，即：EB=5 尺，
故答案是：1，5．
（2） 设芦苇长 x 尺，则水的深度为 x−1 尺，
根据题意得：x−12+52=x2，
解得：x=13，
13−1=12（尺），
答：芦苇长 13 尺，则水的深度为 12 尺．
22. （1） ∵AE∥DC，CE∥AB，
∴ 四边形 AECD 是平行四边形，
又 ∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90∘，
∴ 四边形 AECD 是矩形，
∴AC=ED．
（2） ①菱形
② 24
【解析】① ∵ 在 Rt△ABC 中，D 是 AB 的中点，
∴CD=12AB=AD，
又 ∵ 四边形 ADCE 是平行四边形，
∴ 四边形 ADCE 是菱形；
故答案为：菱形．
②设 AC 和 DE 交于点 O，如图，
∵ 在 Rt△ABC 中，AB=10，
∴CD=5，
又 ∵ 在菱形 ADCE 中，ED=8，
∴DO=4，
∴ 在 Rt△COD 中，OC=CD2−OD2=3，
∴AC=6，
∴S菱形ADCE=ED×AC×12=8×6×12=24．
23. （1） ① y=x−1；
②如图 1：
【解析】①在函数 y=∣x+1∣ 中，
当 x>1 时，y=x−1．
②当 x=2 时，y=2−1=1，
画出函数的图象如图 1．
（2） −2 或 4
【解析】当 y=3 时，
若 x≤1，则 −x+1=3，解得 x=−2；
若 x>1，则 x−1=3，解得 x=4．
（3） x2<−1 或 x2>3．
【解析】当 x=−1 时，y1=2，当 x=3 时，y=2，如图 2：
∴ 当 y2>2 时即 y2>y1 时，x2 的取值范围为 x2<−1 或 x2>3．
24. （1） 10
【解析】∵1−5%−5%−30%−27.5%−22.5%=10%，
∴p=10．
故答案为：10；
（2） ① 40−3−5−12−10−2=8，
补全的条形统计图为：
② 6.25；
【解析】② x<6 的人数有：3+5+8=16（人），
x>8 的人数有：10+2=12（人），
故中位数 m 为：6+6.52=6.25（h），
故答案为：6.25；
（3） 八
【解析】八年级数据大于 6.5 的个数为 10+2+6=18，且还有两个 6.5 的学生，满足题意；
七年级的中位数为 7，前 20 名不可能有 6.5 的学生；
故答案为：八；
（4） 10+2+40×35%80×400=130（人），
所以，两个年级共 400 名学生中，一周阅读时长不低于 8 小时的人数约为 130 人．
25. （1） 2；2；4
【解析】点 P3,2 在 ∠BOA 的平分线上，
∴PM=PN=2，dP,∠BOA=PM+PN=4，
故答案是：2；2；4；
（2） 过点 C 作 CM⊥x轴 于点 M，过点 C 作 CN⊥OB 于点 N，
∵ 点 Ca,a（其中 a>0），
∴∠COM=45∘，CM=a，△COM 是等腰直角三角形．
∵∠BOA=75∘，
∴∠NOC=75∘−45∘=30∘，
∴OC=2CM=2a，CN=12OC=22a．
∵dC,∠BOA=2+2，
∴a+22a=2+2，解得：a=2；
（3） dQ,∠BOA=32m+12n．
【解析】过点 Q 作 QC⊥y轴 于点 C，交 OB 于点 D，
则四边形 OMQC 是矩形，
∵Qm,n，
∴OC=QM=n，CQ=OM=m，
∵∠BOA=60∘，
∴∠BOC=90∘−60∘=30∘，
∵∠ODC=∠QDN，∠OCD=∠QND=90∘，
∴∠DQN=∠BOC=30∘，
∴CD=OC×tan30∘=33n，QD=m−33n，
∴QN=QD×cs30∘=m−33n×32=32m−12n，
∴dQ,∠BOA=QN+QM=32m−12n+n=32m+12n．
26. （1） ① DCA；90 ② 2a+b
【解析】① ∵CD∥OB，∠MON=90∘，
∴∠ACD=∠AOB=90∘．
∵AC=OB，CD=OA，
∴△AOB≌△DCASAS．
∴∠OBA=∠CAD．
∵∠CAD+∠ADC=90∘，
∴∠OBA+∠ADC=90∘．
故答案为：DCA，90；
②如图，延长 MO 到点 E，使 OE=CD，连接 DE，
∵△AOB≌△DCA，OA=a，OB=b，
∴AC=OB=b，CD=OA=a，
∵CD∥OB，OE=CD，
∴ 四边形 OCDE 是平行四边形，
∵∠OCD=90∘，
∴ 平行四边形 OCDE 是矩形．
∴DE=OC=OA+AC=a+b，
∵BE=OB+OE=a+b，
∴BD=BE2+DE2=2a+b．
故答案为：2a+b；
（2） 如图，过点 B 作 BF⊥OM，过点 C 作 CF⊥ON，交于点 F，在 CF 上截取 CD，使 CD=OA，连接 BD，AD，
∵∠MON=90∘，
∴∠OBF=∠OCF=∠MON=90∘．
∴ 四边形 OBFC 是矩形．
∴OC=BF，OB=CF，∠F=90∘．
∵AC=OB，
∴△AOB≌△DCASAS．
∴∠OBA=∠CAD，AB=AD．
∵∠OAB+∠OBA=90∘，
∴∠OAB+∠CAD=90∘．
∴∠BAD=90∘．
∴△ABD 是等腰直角三角形．
∴∠ABD=45∘．
∵OB=CF，
∴OE+BE=CD+DF．
∵BE=OA=CD，
∴OE=DF．
∵OC=BF，∠EOC=∠F=90∘，
∴△COE≌△BFDSAS．
∴∠OCE=∠FBD．
∵∠OBA+∠FBD=∠OBF−∠ABD=45∘，
∴∠OBA+∠OCE=45∘．
∴ 当点 B 在射线 OM 上运动时，β 的大小不会发生变化，其值为 45∘．
第四部分
27. 6−5，n+1−n，±7，9
【解析】（1）
∵6+56−5=1，
∴16+5=6−5；
∵n+1+nn+1−n=n+12−n2=1，
∴1n+1+n=n+1−n；
（2）
∵122+m=22−m，
∴22+m22−m=1．
∴222−m2=1，
∴m2=7，
∴m=±7；
（3）
12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99=2−1+3−2+4−3+⋯+100−99=−1+2−2+3−3+4+⋯−99+100=100−1=9.
第五部分
28. （1） ∵P，Q 分别是 AD，CD 的中点，
∴PQ 是 △ACD 的中位线，
∴PQ∥AC，
∴∠PQC+∠ACD=180∘，
∴∠PQC=180∘−α，
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠CDE=60∘，
∵Q，M 分别为 CD，CE 的中点，
∴QM∥DE，
∴∠CQM=∠CDE=60∘，
∴∠PQM=∠PQC+∠CQM=180∘−α+60∘=240∘−α．
（2） 如图：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60∘，
∵N 是 BC 中点，
∴NC=12BC=12AC，
∵P，Q 分别是 AD，CD 中点，
∴PQ 是 △ACD 的中位线，
∴PQ=12AC，
∴NC=PQ，
∵△CED 是等边三角形，
∴CE=DE，∠DCE=∠CED=60∘，
∵M 是 CE 中点，
∴CM=12CE=12DE，
∵Q，M 是 CD，CE 中点，
∴QM=12DE，QM∥DE，
∴CM=QM，∠CMQ=∠CED=60∘，
∵∠NCM=360∘−∠ACB−∠DCE−∠ACD=240∘−α，∠PQM=240∘−α，
∴∠NCM=∠PQM，
在 △CNM 和 △QPM 中，
∵CN=QP,∠NCM=∠PQM,CM=QM,
∴△CNM≌△QPMSAS，
∴MN=MP，∠NMC=∠PMQ，
∴∠CMN+∠CMP=∠PMQ+∠CMP，
即 ∠NMP=∠CMQ=60∘，
∴△PMN 是等边三角形．
29. （1） ① P1，P3
②设 Px,y，
∵ 点 P 与原点 O 的“纵 2 倍直角距离”dOP=3，
∴∣x∣+2∣y∣=3，
当 y≥0，x≥0 时，x+2y=3，即 y=−12x+32，
当 y≥0，x≤0 时，−x+2y=3，即 y=12x+32，
如图 1 所示，
【解析】① ∵ 点 P11,1，P2−4,0，P30,32，
∴dP1O=∣1−0∣+2∣1−0∣=3，dP2O=∣−4−0∣+2∣0∣=4，dP3O=∣0∣+232−0=3，
∴ 与原点 O 的“纵 2 倍直角距离”的点是 P1，P3．
（2） 如图，
与原点 O 的“纵 2 倍直角距离”等于 3 的点组成图形是四边形 ABCD，直线 y=2x+b 经过 A 点或 C 点时，与四边形只有一个公共点，当直线 y=2x+b 与 x 轴交点在 AC 之间时，与菱形有两个公共点，
当直线，y=2x+b 经过 A 点 −3,0 时：2×−3+b=0，解得：b=6，
当直线，y=2x+b 经过 A 点 3,0 时：2×3+b=0，解得：b=−6，
∴b 的取值范围为 −6 （3） −3≤t≤1 或 3≤t≤7．
【解析】设正方形 CDEF 上存在点 Hx,y，
当线段 AB 上存在点 G 坐标为 1,1，则：dGH=∣1−x∣+2∣1−y∣=5，
当 y≤1，x≤1 时，1−x+21−y=5，即 y=−12x−1，满足条件的图形为线段 l1，
当 y≤1，x≥1 时，x−1+21−y=5，即 y=12x−2，满足条件的图形为线段 l3，
当点 G 坐标从 A1,1 移动 B3,1 时对应满足条件的 H 点图形也平移 2 个单位到线段 l2，线段 l4，
∴ 满足点 G 的“纵 2 倍直角距离”的 H 点图形如图阴影部分所示：
所有满足条件的 H 点是线段，
其中：线段 l2 的解析式为 y=−12x，线段 l4 的解析式为 y=12x−3，
由图可得：当正方形在线段 l1 下方时，D 点在线段 l1，正方形与满足条件的 H 点图形有公共点 Dt,12，
即：−12t−1=12，解得 t=−3，
同理求出当正方形在线段 l2 下方时，F 点在线段 l2，正方形与满足条件的 H 点图形有公共点 Dt,−12，
即 −12x=−12，解得 t=1，
∴ 当 −3≤t≤1，正方形与满足条件的 H 点图形由公共点存在，
同理可求：当 3≤t≤7，正方形与满足条件的 H 点图形由公共点存在，
综上所述：若线段 AB 上存在点 G，正方形 CDEF 上存在点 H，使得 dGH=5，则 −3≤t≤1 或 3≤t≤7．