2020-2021学年北京市海淀区八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区八上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第 24 届冬奥会将于 2022 年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为
A. B.
C. D.

2. KN95 型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中 95% 的粒径约为 0.0000003 m 的非油性颗粒．其中，0.0000003 用科学记数法表示为
A. 3×10−6B. 3×10−7C. 0.3×10−6D. 0.3×10−7

3. 下列计算正确的是
A. a2⋅a3=a6B. a23=a6C. 2a3=2a3D. a10÷a2=a5

4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A. xx−2=x2−2xB. x+12=x2+2x+1
C. x2−4=x+2x−2D. x+2=x1+2x

5. 如图，菊花 1 角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为
A. 135∘B. 140∘C. 144∘D. 150∘

6. 小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知：∠AOB．
求作：∠AʹOʹBʹ，使 ∠AʹOʹBʹ=∠AOB．
作法：（1），如图，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C，D；
（2）画一条射线 OʹAʹ，以点 Oʹ 为圆心，OC 长为半径画弧，交 OʹAʹ 于点 Cʹ；
（3）以点 Cʹ 为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点 Dʹ；
（4）过点 Dʹ 画射线 OʹBʹ，则 ∠AʹOʹBʹ=∠AOB．
小聪作法正确的理由是
A. 由 SSS 可得 △OʹCʹDʹ≌△OCD，进而可证 ∠AʹOʹBʹ=∠AOB
B. 由 SAS 可得 △OʹCʹDʹ≌△OCD，进而可证 ∠AʹOʹBʹ=∠AOB
C. 由 ASA 可得 △OʹCʹDʹ≌△OCD，进而可证 ∠AʹOʹBʹ=∠AOB
D. 由“等边对等角”可得 ∠AʹOʹBʹ=∠AOB

7. 如果 a−b=2，那么代数式 a2+b2a−2b⋅aa−b 的值是
A. 2B. −2C. 12D. −12

8. 在 △ABC 中，AB≠AC，线段 AD，AE，AF 分别是 △ABC 的高，中线，角平分线，则点 D，E，F 的位置关系为
A. 点 D 总在点 E，F 之间B. 点 E 总在点 D，F 之间
C. 点 F 总在点 D，E 之间D. 三者的位置关系不确定

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若分式 3x−2 有意义，则 x 的取值范围是 ．

10. 计算：3a2+2a÷a= ．

11. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，∠ACB=60∘，BD⊥AC，垂足为 D．若 AB=6，则 BD 的长为 ．

12. 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为 B，D．只需添加一个条件即可证明 △ABC≌△ADC，这个条件可以是 ．（写出一个即可）

13. 某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为 b 的正方形的花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图 1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为 S1；
方案二：如图 2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为 S2；具体数据如图所示，则 S1 S2．（填“>”，“<”或“=”）

14. 如图，AB=AC，∠A=40∘，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则 ∠DBC= ．

15. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 0,3，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，点 C 在 x 轴上，若 △ABC 为等腰直角三角形，则点 C 的坐标为 ．

16. 图 1 是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为 A 点，将膝盖抽象为 B 点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为 C 点，将自行车中轴位置记为 D 点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点 A，D 的位置不变，B，C 为动点．图 2 是抽象出来的点和线．若 AB=BC=40 cm，CD=16 cm，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则 AD 最长为 cm．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解答题．
（1）计算：−122+2−2−2−π0．
（2）分解因式：3x2−6xy+3y2．

18. 已知 3x2−x−1=0，求代数式 2x+52x−5+2xx−1 的值．

19. 如图，C 是线段 AB 的中点，CD∥BE，且 CD=BE，求证：AD=CE．

20. 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”．
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在 △ABC 中，AC>AB．
求证： ．
证明：如图，由于 AC>AB，故在 AC 边上截取 AD=AB，连接 BD．（在上图中补全图形）
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠ ，（ ）（填推理的依据）
∵∠ADB 是 △BCD 的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DBC，（ ）（填推理的依据）
∴∠ADB>∠C，
∴∠ABD>∠C
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC>∠ABD，
∴∠ABC>∠C．

21. 列方程解应用题
开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日学校食堂花了 2800 元和 2500 元分别采购的香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多 150 千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低 30%，求橘子每千克的价格．

22. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC，D 是 AC 边上一点，连接 BD，EC⊥AC 且 AE=BD，AE 与 BC 交于点 F．
（1）求证：CE=AD．
（2）当 AD=CF 时，求证：BD 平分 ∠ABC．

23. 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于 x 的多项式 x2−2x+3，由于 x2−2x+3=x−12+2，所以当 x−1 取任意一对互为相反数的数时，多项式 x2−2x+3 的值是相等的．例如，当 x−1=±1，即 x=2 或 0 时，x2−2x+3 的值均为 3；当 x−1=±2，即 x=3 或 −1 时，x2−2x+3 的值均为 6．于是小明给出一个定义：对于关于 x 的多项式，若当 x−t 取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于 x=t 对称．例如 x2−2x+3 关于 x=1 对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式 x2−4x+6 关于 x= 对称．
（2）若关于 x 的多项式 x2+2bx+3 关于 x=3 对称，求 b 的值．
（3）整式 x2+8x+16x2−4x+4 关于 x= 对称．

24. 已知 △ABC 是等边三角形，点 D 在射线 BC 上（与点 B，C 不重合），点 D 关于直线 AC 的对称点为点 E，连接 AD，AE，CE，DE．
（1）如图 1，当点 D 为线段 BC 的中点时，求证：△ADE 是等边三角形．
（2）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，连接 BE，F 为线段 BE 的中点，连接 CF．根据题意在图 2 中补全图形，用等式表示线段 AD 与 CF 的数量关系，并证明．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 为过点 Mm,0 且与 x 轴垂直的直线．对某图形上的点 Pa,b 作如下变换：当 b≥∣m∣ 时，作出点 P 关于直线 l 的对称点 P1，称为Ⅰ m 变换；当 b<∣m∣，作出点 P 关于 x 轴的对称点 P2，称为Ⅱ m 变换，若某个图形有点作了Ⅰ m 变换，又作了Ⅱ m 变换；我们就称该图形为 m− 双变换图形．
例如，已知 A1,3，B2,−1，如图 1 所示，当 m=2 时，点 A 应作Ⅰ 2 变换，变换后 A1 的坐标是 3,3；点 B 作Ⅱ 2 变换，变换后 B1 的坐标是 2,1．
请解决下面的问题：
（1）当 m=0 时．
①已知点 P 的坐标是 −1,1，则点 P 作相应变换后的点的坐标是 ．
②若点 Pa,b 作相应变换后的点的坐标为 −1,2，求点 P 的坐标．
（2）已知点 C−1,5，D−4,2．
①若线段 CD 是 m− 双变换图形，则 m 的取值范围是 ．
②已知点 Em,m 在第一象限，若 △CDE 及其内部（点 E 除外）组成的图形是 m− 双变换图形，且变换后所得图形记为 G，直接写出所有图形 G 所覆盖的区域的面积．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. B【解析】A选项：a2⋅a3=a5，故A错误；
B选项：a23=a6，故B正确；
C选项：2a3=8a3，故C错误；
D选项：a10÷a2=a8，故D错误．
4. C【解析】A选项：因式分解的结果要写成几个整式乘积的形式，故A错误；
B选项：因式分解的结果要写成几个整式乘积的形式，故B错误；
C选项：从左到右是因式分解，故C正确；
D选项：因式分解的结果不能有分式出现，故D错误．
5. B
【解析】正九边形的每个外角为 360∘÷9=40∘，
∴ 内角大小为 180∘−40∘=140∘．
6. A【解析】在 △OʹCʹDʹ 和 △OCD 中，
OʹCʹ=OC,OʹDʹ=OD,CʹDʹ=CD,
∴△OʹCʹDʹ≌△OCDSSS，
∴∠AʹOʹBʹ=∠AOB，
故A正确．
7. A【解析】原式=a2+b2−2aba⋅aa−b=a−b2a⋅aa−b=a−b,
∵a−b=2，
∴原式=2．
8. C【解析】情况一：当 AB>AC，即 ∠B 小于 ∠C，在 △ABD 与 △ACD 中，∠B<∠C，则 ∠BAD>∠CAD，则角平分线的位置 F 点应在 D 的左面．根据角平分线的性质：BFAB=CFAC，AB>AC，则 BF>CF，中点应该在 F 的左侧．
情况二：当 AB第二部分
9. x≠2
【解析】由分式 3x−2 有意义，得 x−2≠0，
解得 x≠2．
10. 3a+2
11. 3
【解析】在 △ABC 中，
∵∠ABC=90∘，∠ACB=60∘，
∴∠A=30∘，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90∘，
∵AB=6，
∴ 在 △ADB 中，BD=12AB=3．
12. AB=AD（答案不唯一）
【解析】∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90∘．
在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，
AC=AC,AB=AD,
∴Rt△ABC≌Rt△ADCHL．
13. >
【解析】S1=a2−b2，
S2=a2+b+a2a−b−b2=a2−2b2，
∴S1>S2．
14. 30∘
【解析】∵AB=AC，∠A=40∘，
∴∠ABC=12180∘−∠A=12×180∘−40∘=70∘，
∵MN 垂直平分线 AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40∘，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=70∘−40∘=30∘．
15. −3,0 或 3,0
【解析】∵ A0,3，B 与 A 关于 x 轴对称，
∴ B0,−3．
∵ 点 C 在 x 轴上，且 △ABC 为等腰直角三角形，
∴ ∠ACB=90∘，AC=BC，
∴ C 的坐标为 −3,0 或 3,0．
16. 64
【解析】A，B，C，D 四点在同一直线时，AD 最长，如图：
可以这样想：要总能踩到踏板，点 A 到 ⊙D 的最远距离应小于等于腿长．
此时 AC=80 cm，
AD=AC−CD=64 cm．
第三部分
17. （1） −122+2−2−2−π0=14+14−1=12−1=−12.
（2） 3x2−6xy+3y2=3x2−2xy+y2=3x−y2.
18. 原式=4x2−25+2x2−2x=6x2−2x−25.
∵3x2−x−1=0，
∴3x2−x=1 .
∴原式=23x2−x−25=2×1−25=−23.
19. ∵C 是线段 AB 的中点，
∴AC=CB．
∵CD∥BE，
∴∠ACD=∠B．
在 △ACD 和 △CBE 中，
AC=CB,∠ACD=∠B,CD=BE,
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE．
20. ∠ABC>∠C；ADB；等边对等角；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【解析】已知：如图，在 △ABC 中，AC>AB．
求证：∠ABC>∠C．
证明：如图，由于 AC>AB，故在 AC 边上截取 AD=AB，连接 BD．
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，（等边对等角）
∵∠ADB 是 △BCD 的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DBC，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠ADB>∠C，
∴∠ABD>∠C，
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC>∠ABD，
∴∠ABC>∠C．
21. 设橘子每千克的价格为 x 元，则香蕉每千克的价格为 70%x 元．
根据题意，得
280070%x−2500x=150.
解得
x=10.
检验：当 x=10 时，70%x≠0，
所以原分式方程的解为 x=10 且符合题意．
答：橘子每千克的价格为 10 元．
22. （1） ∵EC⊥AC，∠BAC=90∘，
∴∠ACE=∠BAC=90∘，
在 Rt△CAE 和 Rt△ABD 中，
AE=BD,CA=AB,
∴Rt△CAE≌Rt△ABD，
∴CE=AD．
（2） 由（1）得 Rt△CAE≌Rt△ABD，
∴∠2=∠1，∠E=∠3，
由（1）得 CE=AD，
∵AD=CF，
∴CE=CF，
∴∠4=∠E，
∵∠4=∠5，
∴∠5=∠E，
∵∠E=∠3，
∴∠5=∠3，
∵∠6=∠2+∠3，∠6=∠7+∠5，
∴∠2=∠7，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠7，
∴BD 平分 ∠ABC．
23. （1） 2
【解析】x2−4x+6=x−22+2，
∴ 多项式 x2−4x+6 关于 x=2 对称．
（2） ∵x2+2bx+3=x+b2+3−b2，
∴ 关于 x 的多项式 x2+2bx+3 关于 x=−b 对称．
∴−b=3．
∴b=−3．
（3） −1
【解析】x2+8x+16x2−4x+4=x+42x−22=x+4x−22=x2+2x−82=x+12−92.
∴ 关于 x 的多项式 x2+8x+16x2−4x+4 关于 x=−1 对称．
24. （1） ∵ 点 D，E 关于直线 AC 对称，
∴AD=AE，∠DAC=∠EAC，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，
∵ 点 D 为线段 BC 的中点，
∴∠DAC=12∠BAC=12×60∘=30∘，
∴∠DAC=∠EAC=30∘，
∴∠DAE=60∘，
∵AD=AE，
∴△ADE 是等边三角形．
（2） 延长 CF 到点 G，使 GF=CF，连接 BG，
∵F 为线段 BE 的中点，
∴BF=EF，
在 △BFG 和 △EFC 中，
GF=CF,∠BFG=∠EFC,BF=EF,
∴△BFG≌△EFC，
∴GB=CE，∠G=∠FCE，
∴BG∥CE，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60∘，
∴∠ACD=120∘，
∵ 点 D，E 关于直线 AC 对称，
∴CD=CE，∠ACD=∠ACE=120∘，
∴CD=BG，∠BCE=60∘，
∵BG∥CE，
∴∠BCE+∠CBG=180∘，
∴∠CBG=120∘，
∴∠ACD=∠CBG，
在 △ACD 和 △CBG 中，
AC=CB,∠ACD=∠CBG,CD=BG,
∴△ACD≌△CBG，
∴AD=CG，
∴AD=2CF．
25. （1） ① 1,1
② ∵m=0，
∴ 直线 l 为 y 轴．
若 b≥0，则 Pa,b 作Ⅰ 0 变换，变换后的点为 −a,b，
∵−a=−1,b=2,
∴a=1,b=2, 且符合题意．
∴P1,2．
若 b<0，则 Pa,b 作Ⅱ 0 变换，变换后的点为 a,−b，
∴a=−1,−b=2.
∴a=−1,b=−2, 且合题意．
∴P−1,−2．
综上，P1,2 或 P−1,−2．
【解析】①当 m=0 时，
点 P−1,1 应作Ⅰ 0 变换，即点 P−1,1 关于直线 x=0 对称，
∴ 变换后的点的坐标为 1,1．
（2） ① −5≤m<−2 或 2② ∵Em,m 在第一象限，△CDE 及其内部（除 E 点外）组成的圆形是 m− 双变换图形，
∴ 点 E 在线段 MN 上移动，其中 M2,2，N5,5，
由题意可知，△CDE 变换后所得图形 G 如图所示：
此时可知，点 E 在运动过程中图形 G 是由两个面积相等的平行四边形组成，每一个平行四边形的面积与四边形 CDMN 全等．
∵S四边形CDMN=2−−4×5−2=6×3=18，
∴ 图形 G 的面积为 2×18=36．
【解析】① ∵C−1,5，D−4,2，
线段 CD 是 m− 双变换图形，
∴2<∣m∣≤5，
∴2故 m 的取值范围是 2