2020-2021学年北京市海淀区理工附中七上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区理工附中七上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6 月 30 日成功定点于距离地球 36000 公里的地球同步轨道．将 36000 用科学记数法表示应为
A. 0.36×105B. 3.6×105C. 3.6×104D. 36×103

2. 下列计算正确的是
A. m+n=mnB. m2n−nm2=0
C. 2m3+3m2=5m5D. 2m3−3m2=−m

3. 已知某冰箱冷藏室的温度为 5∘C，冷冻室的温度比冷藏室的温度要低 15∘C，则冷冻室的温度为
A. 10∘CB. −10∘CC. 20∘CD. −20∘C

4. 如果 x=1 是方程 x+2m−5=0 的解，那么 m 的值是
A. −4B. 2C. −2D. 4

5. 将如图平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是
A. B.
C. D.

6. 点 A，B，D 在数轴上的位置如图所示，点 A，B 表示的数是互为相反数，若点 B 所表示的数为 1，且 AB=BD，则点 D 所表示的数为
A. 2B. 3C. 4D. 5

7. 下列等式变形正确的是
A. 若 4x=2，则 x=2
B. 若 4x−2=2−3x，则 4x+3x=2−2
C. 若 3x+12−1−2x3=1，则 33x+1−21−2x=1
D. 若 4x+1−3=2x+1，则 4x+1−2x+1=3

8. 将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中 ∠α 与 ∠β 一定互余的是
A. B.
C. D.

9. 北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表：
分档水量年用水量立方米水价元/立方米第一阶梯0−180含1805.00第二阶梯180−260含2607.00第三阶梯260以上9.00
若某户 2020 年共用水 280 立方米，则应交水费为
A. 1150 元B. 1250 元C. 1640 元D. 2070 元

10. 如图，数轴上点 A，M，B 分别表示数 a，a+b，b，那么原点的位置可能是
A. 线段 AM 上，且靠近点 AB. 线段 AM 上，且靠近点 M
C. 线段 BM 上，且靠近点 BD. 线段 BM 上，且靠近点 M

二、填空题（共8小题；共42分）
11. 厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是 ．

12. 一个单项式满足下列三个条件：①系数是 1；②含有两个字母；③次数是 3．请写出一个同时满足上述三个条件的单项式 ．

13. 计算 38∘39ʹ+69∘32ʹ 的结果为 ．

14. 小林同学在一个正方体盒子的每个面都写有一个字，分别是：我、喜、欢、数、学、课，其平面展开图如图所示．那么在该正方体盒子中，和“喜”相对的面所写的字是“ ”．

15. 某件商品的标价是 330 元，按标价的八折销售可获利 10%，则这种商品的进价为 元．

16. 如图，小区规划在一个长 5a 米，宽 2a 米的长方形场地上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与 AB 平行，另一条与 BC 平行，场地的其余部分种草，甬道的宽度为 x 米．用含 a 与 x 的代数式表示草坪的长为 米；宽为 米．

17. 阅读材料并填空．
当 x 分别取 −3，0，3，⋯⋯ 时，求多项式 −x+1 的值．
当 x=−3 时，−x+1= ．
当 x=0 时，−x+1= ．
当 x=3 时，−x+1= ．
⋯⋯
以上的求解过程中， 和 都是变化的，并且 随着 x 变大而变 （填“大”或“小”）．

18. 历史上数学家欧拉最先把关于 x 的多项式用记号 fx 来表示，把 x 等于某数 a 时的多项式的值用 fa 来表示．例如，对于多项式 fx=mx4+nx2+x+5，当 x=2 时，多项式的值为 f2=16m+4n+7，若 f2=10，则 f−2 的值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 计算：
（1）3−6×12−13．
（2）−32÷−32+3×−23+|−4|．

20. 解方程：
（1）x+44+1=x−x−56．
（2）4x+y=5,x−2y=8.

21. 先化简，再求值，3a2−ab−232a2−3ab．其中 a=−2，b=3．

22. 如图，已知点 A，B，C，D，请按要求画出图形．
（1）画直线 AB 和射线 CB．
（2）连接 AC，并在直线 AB 上用尺规作线段 AE，使 AE=2AC．（要求保留作图痕迹）若 AC=4，AB=9，则 BE= ．
（3）在直线 AB 上确定一点 P，使 PC+PD 的和最短，并写出画图的依据．

23. 问题：如图，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 在线段 CB 上，点 E 是线段 AD 的中点．若 EC=3，求线段 DB 的长．
请补全以下解答过程．
解：∵ 点 C 是线段 AB 的中点， ，
∴AB=2AC，AD=2AE．
∵DB=AB− ，
∴DB= −2AE=2AC−AE=2EC，
∵EC=3，
∴DB= ．

24. 列方程解应用题．
北京世界园艺博览会给人们提供了看山，看水，看风景的机会．一天小安和朋友几家去世园会游玩，他们购买普通票比购买优惠票的数量少 3 张，买票共花费了 1640 元，符合他们购票的条件如下表，请问他们买了多少张优惠票?

25. 我们把 acbd 称为二阶行列式，且 acbd=ad−bc．如：123−4=1×−4−3×2=−10．
（1）计算：21−35= ；42−35= ．
（2）小明观察（1）中两个行列式的结构特点及结果，归纳总结，猜想：若行列式中的某一行（列）的所有数都乘以同一个数 k，等于用数上乘以此行列式．即 kakcbd=ackbkd=kackbd=akcbkd=kacbd，你认为小明的猜想正确吗?若正确请说明理由，若错误请举出反例．
（3）若 k≠1，且 x+1x32=x+1x3k2k，求 x 的值．

26. 对于同一平面内的 ∠AOB 及内部的射线 OC，给出如下定义：若组成的 3 个角：∠AOB，∠AOC 和 ∠BOC 中，一个角的度数是另一个角度数的两倍时，则称射线 OC 是 ∠AOB 的“牛线”．
（1）图 1 中，OC 平分 ∠AOB，则射线 OC ∠AOB 的一条“牛线”（填“是”或“不是”）．
（2）当射线 OC 是 ∠AOB 的“牛线”时，直接写出所有满足条件的 ∠AOB 与 ∠BOC 的关系．
（3）已知：如图 2，在平面内，∠AOB=60∘，若射线 OC 绕点 O 从射线 OB 的位置开始，以每秒 5∘ 的速度逆时针方向旋转．同时射线 OA 绕点 O 以每秒 1∘ 的速度逆时针方向旋转，当射线 OC 与射线 OA 碰撞后，射线 OA 的速度发生变化，以每秒 5∘ 的速度继续旋转，此时的射线 OC 则以每秒 1∘ 的速度继续旋转，当射线 OA 与射线 OB 的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，若旋转的时间记为 t 秒，当射线 OC 是 ∠AOB 的“牛线”时，直接写出所有满足条件的 t 的值．
答案
第一部分
1. C【解析】将 36000 用科学记数法表示为 3.6×104．
2. B【解析】A选项：m 与 n 不能合并，故A错误；
B选项：m2n−nm2=0，故B正确；
C选项：2m3 与 3n2 不能合并，故C错误；
D选项：2m3−3m2=−m2，故D错误．
故选B．
3. B【解析】5−15=−10∘C．
答：冷冻室的温度为 −10∘C．
4. B【解析】将 x=1 代入方程得：1+2m−5=0，m=2．
5. A
【解析】A、上面小下面大，侧面是曲面，故本选项正确；
B、上面大下面小，侧面是曲面，故本选项错误；
C、是一个圆台，故本选项错误；
D、下面小上面大侧面是曲面，故本选项错误；
故选：A．
6. B【解析】∵A 表示的数与 B 表示的数互为相反数，
且 B 表示的数为 1，
则 A 表示的数为 −1，
则 AB=1−−1=2，
∵AB=BD，
∴BD=2，
∴D 点表示的数为 1+2=3．
7. D【解析】A选项：若 4x=2，则 x=12，故A错．
B选项：若 4x−2=2−3x，则 4x+3x=2+2，故B错．
C选项：若 3x+12−1−2x3=1，则 33x+1−21−2x=6，故C错．
D选项：若 4x+1−3=2x+1，则 4x+1−2x+1=3，故D正确．
8. A【解析】A选项：∠α+∠β=180∘−90∘=90∘，所以 ∠α 和 ∠β 一定互余，所以本选项符合题意，故A正确．
B选项：∠α 和 ∠β 是同角的余角，所以 ∠α 和 ∠β 相等，所以本选项不符合题意，故B错误．
C选项：∠α 和 ∠β 是等角的补角，所以 ∠α 和 ∠β 相等，所以本选项不符合题意，故C错误．
D选项：∠α=90∘−45∘=45∘，∠β=90∘−30∘=60∘，所以 ∠α 和 ∠β 不互余，所以本选项不符合题意，故D错误．
9. C【解析】由题意得：
用水 280 立方米，应交水费：
180×5+260−180×7+280−260×9=900+560+180=1640元.
10. A
【解析】数轴上点 A，M，B 分别表示数 a，a+b，b，数轴上的数从左到右依次增大，
则 a由 a+b由 a0，
又 AM=a+b−a=b，BM=b−a+b=−a，且 AM>MB，
所以 ∣b∣>∣a∣，即 A 点离原点距离小于 B 点离原点的距离，
所以原点在 AM 上，且靠近 A 点．
第二部分
11. 乙
【解析】+1.5=1.5，−0.6=0.6，+0.7=0.7，−23=23，
∴0.6<23<0.7<1.5．
故最接近标准质量的足球是乙．
12. xy2
【解析】一个单项式满足下列三个条件：①系数是 1；②含有两个未知数；③次数是 3．
则满足上述条件的单项式为 xy2（答案不唯一）．
13. 108∘11ʹ
【解析】38∘39ʹ+69∘32ʹ=107∘71ʹ=108∘11ʹ.
14. 数
【解析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
所以该正方体盒子上，“我”相对的面上所写的文字是“学”．
“喜”相对的面上的字是“数”．
“欢”相对的面上的字是“课”．
15. 240
【解析】设进价为 x 元，
由题意得，
330×80%=1+10%x，
x=240．
16. 5a−2x，2a−x
【解析】由题知小区长为 5a 米，宽为 2a 米，甬路宽为 x 米，
则草坪的长为 5a−2x 米，
草坪的宽为 2a−x 米，
故答案为：5a−2x；2a−x．
17. 4，1，−2，x，−x+1 的值；，−x+1 的值，小
【解析】当 x=−3 时，−x+1=−−3+1=4，
当 x=0 时，−x+1=0+1=1，
当 x=3 时，−x+1=−3+1=−2，
以上的求解过程中，x 和 −x+1 的值都是变化的，并且 −x+1 的值随着 x 变大而变小．
18. 6
【解析】fx=mx4+nx2+x+5，
当 x=2 时，f2=16m+4n+2+5=10，
∴16m+4n=3，
当 x=−2 时，
f−2=16m+4n−2+5=16m+4n+3=3+3=6,
∴f−2=6．
第三部分
19. （1） 3−6×12−13=3−6×12+6×13=3−3+2=0+2=2.
（2） −32÷−32+3×−23+|−4|=−9÷9−3×8+4=−1−24+4=−25+4=−21.
20. （1）
x+44+1=x−x−56.3x+4+12=12x−2x−5.3x+12+12=12x−2x+10.3x+24=10x+10.24−10=10x−3x.7x=14.x=2.
（2）
4x+y=5, ⋯⋯①x−2y=8. ⋯⋯②
由① ×2+ ②得：
8x+2y+x−2y=10+8.9x=18.x=2.
把 x=2 代入①，得：
8+y=5.y=−3.∴
方程组的解为
x=2,y=−3.
21. 原式=3a2−3ab−3a2+6ab=3ab.
当 a=−2，b=3 时，
原式=3×−2×3=−18.
22. （1） 如图所示：
（2） 连接 AC，以 A 为圆心，AC 为半径作圆交 AB 于点 F，
再以 F 为圆心，AC 长为半径作圆交 AB 于点 E，
则 AE 即为所求．
∵AE=2AC，AC=4，
∴AE=2×4=8，
又 ∵AB=9，
∴BE=AB−AE=9−8=1．
（3） 连接 CD，CD 与 AB 交于点 P，则点 P 即为所求．
依据：两点之间线段最短．
23. 点 E 是线段 AD 的中点；AD；2AC；6
【解析】∵ 点 C 是线段 AB 的中点，点 E 是线段 AD 的中点，
∴AB=2AC，AD=2AE．
∵DB=AB−AD，
∴DB=2AC−2AE=2AC−AE=2EC，
∵EC=3，
∴DB=6．
24. 设小安和朋友几家购买了 x 张优惠票，根据题意列方程得：
80x+120x−3=1640,
去括号得：
80x+120x−360=1640,
整理移项得：
200x=2000,
解得：
x=10.
答：他们买了 10 张优惠票．
25. （1） 13；26
【解析】21−35=2×5−1×−3=10+3=13，
42−35=4×5−2×−3=20+6=26．
（2） kakcbd=kad−kbc，
ackbkd=kad−kbc，
kackbd=kad−kbc，
akcbkd=kad−kbc，
kacbd=kad−bc−kbc，
∴kakcbd=ackbkd=kackbd=akcbkd=kacbd，
∴ 小明的猜想正确．
（3） x+1x32=x+1x3k2k，
∴2x+2−3x=2kx+1−3kx，
∴2−x=2k−kx=k2−x，
∴2−xk−1=0，
∵k≠1，
∴k−1≠0，
∴2−x=0，
∴x=2，
故 x 的值为 2．
26. （1） 是
【解析】∵OC 平分 ∠AOB，
∴2∠AOC=2∠BOC=∠AOB，
∴ 根据定义，OC 是 ∠AOB 的一条“牛线”．
（2） ∠AOB=2∠BOC，∠AOB=32∠BOC，∠AOB=3∠BOC．
【解析】满足 OC 是 ∠AOB“牛线”的情况有以下三种：
① OC 为 ∠AOB 的角平分线，如图所示：
∴∠AOB=2∠BOC；
②当 ∠BOC=2∠AOC 时，如图所示：
∴∠AOB=32∠BOC；
③当 ∠AOC=2∠BOC 时，如图所示：
∴∠AOB=3∠BOC．
（3） t=203或12013或307或35或1807．
【解析】在 OC 与 OA 重合前，有以下三种情况满足条件：
① 2×5t=60+t，t=203 s，
② 2×60+t−5t=5t，t=12013 s，
③ 60+t−5t=2×5t，t=207 s．
当 OC 与 OA 重合时，5t=60+t，t=15 s，
∴ 此时 ∠AOB=∠BOC=75∘．
∵ 当射线 OA 与射线 OB 的反向延长线重合时，所有旋转停止，
∴5∘t1≤180∘−75∘，解得 t1≤21 s，
∴t≤21+15=36 s，
设经过 t2 s 后，OC 与 OA 相遇后，再次成为 ∠AOB 的“牛线”，
如图所示：
则满足条件的 t2 有以下三种情况：
1．75+t2=5t2−t2，解得：t2=25 s，
∴t=25+15=40 s；
2．75+t2=2×5t2−t2，解得：t2=757 s，
∴t=757+15=1807 s；
3．2×75+t2=5t2−t2，解得：t2=75 s，
∵75 s>36 s，
∴ 此情况不存在．
综上所述：满足条件的 t 值共 5 个，分别为 203 s，12013 s，307 s，40 s，1807 s．