2020-2021学年北京市西城区八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市西城区八上期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 3−2 的计算结果为
A. 6B. 19C. 16D. 9

2. 下列图形中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列运算中正确的是
A. a2+a=a3B. a5⋅a2=a10C. a23=a8D. ab22=a2b4

4. 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，∠C=∠F=90∘，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是
A. ∠A=∠D，∠B=∠EB. AC=DF，AB=DE
C. ∠A=∠D，AB=DED. AC=DF，CB=FE

5. 化简分式 xy+xx2 的结果是
A. yxB. y+1xC. y+1D. y+xx

6. 如果 m2+m=5，那么代数式 mm−2+m+22 的值为
A. 14B. 9C. −1D. −6

7. 已知一次函数 y=kx−6，且 y 随 x 的增大而减小．下列四个点中，可能是该一次函数图象与 x 轴交点的是
A. 0,0B. 2,0C. −2,0D. 6,0

8. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，点 A 与点 E 关于直线 CD 对称．若 AB=7，AC=9，BC=12，则 △DBE 的周长为
A. 9B. 10C. 11D. 12

9. 在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座 450m 高的山．乙组的攀登速度是甲组的 1.2 倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少 15 min．如果设甲组的攀登速度为 xm/min，那么下面所列方程中正确的是
A. 450x=450x+15+1.2B. 4501.2x=450x−15
C. 450x=1.2×450x+15D. 4501.2x=450x+15

10. 如图 1，四边形 ABCD 是轴对称图形，对角线 AC，BD 所在直线都是其对称轴，且 AC，BD 相交于点 E．动点 P 从四边形 ABCD 的某个顶点出发，沿图 1 中的线段匀速运动．设点 P 运动的时间为 x，线段 EP 的长为 y，图 2 是 y 与 x 的函数关系的大致图象，则点 P 的运动路径可能是
A. C→B→A→EB. C→D→E→A
C. A→E→C→BD. A→E→D→C

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若分式 1x−4 有意义，则 x 的取值范围是 ．

12. 点 A1,−3 关于 x 轴对称的点的坐标为 ．

13. 计算：10a2b3÷−5ab3= ．

14. 如图，△ABC≌△ADE，点 D 在边 BC 上，∠EAC=36∘，则 ∠B= ．

15. 已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直线上．小腾从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查阅资料，然后回家．下面的图象反映了这个过程中小腾离家的距离 y（单位：m）与时间 x（单位：min）之间的对应关系．根据图象可知，小腾从食堂到图书馆所用时间为 min，请你根据图象再写出一个结论： ．

16. 如图 1，先将边长为 a 的大正方形纸片 ABCD 剪去一个边长为 b 的小正方形 EBGF，然后沿直线 EF 将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图 2 所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形 AEGC．根据图 1 和图 2 的面积关系写出一个等式： ．（用含 a，b 的式子表示）

17. 如图，△ABC 是等边三角形，AD⊥BC 于点 D，DE⊥AC 于点 E．若 AD=12，则 DE= ；△EDC 与 △ABC 的面积关系是：S△EDCS△ADC= ．

18. 如图，一次函数 y=ax+b 与 y=cx+d 的图象交于点 P．下列结论中，所有正确结论的序号是 ．
① b<0；
② ac<0；
③当 x> 1时，ax+b>cx+d；
④ a+b=c+d；
⑤ c>d．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 分解因式：
（1）x3−25x．
（2）ma−3+23−a．

20. 计算：1a−1+a−3a2+2a+1÷a−1a+1．

21. 小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在 △ABC 中，∠ACB=90∘．
求作：直线 CD，使得直线 CD 将 △ABC 分割成两个等腰三角形．
下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：如图，
①作直角边 CB 的垂直平分线 MN，与斜边 AB 相交于点 D；
②作直线 CD．
∴ 直线 CD 就是所求作的直线．
根据小红设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明．
证明：∵ 直线 MN 是线段 CB 的垂直平分线，点 D 在直线 MN 上，
∴DC=DB．（ ）（填推理的依据）
∴∠ =∠ ．
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD=90∘−∠DCB，
∠A=90∘−∠ ．
∴∠ACD=∠A．
∴DC=DA．（ ）（填推理的依据）
∴△DCB 和 △DCA 都是等腰三角形．

22. 解方程：xx−3+x+8xx−3=1．

23. 如图，AB∥CD，点 E 在 CB 的延长线上，∠A=∠E，AC=ED．
（1）求证：BC=CD．
（2）连接 BD，求证：∠ABD=∠EBD．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=−23x+43 与 x 轴交于点 A，直线 l2:y=2x+b 与 x 轴交于点 B，且与直线 l1 交于点 C−1,m．
（1）求 m 和 b 的值．
（2）求 △ABC 的面积．
（3）若将直线 l2 向下平移 t（t>0）个单位长度后，所得到的直线与直线 l1 的交点在第一象限，直接写出 t 的取值范围．

25. 给出如下定义：在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P1a,b，P2c,b，P3c,d 这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点 P1，P2，P3 的“最佳间距”．例如：如图，点 P1−1,2，P21,2，P31,3 的“最佳间距”是 1．
（1）点 Q12,1，Q24,1，Q34,4 的“最佳间距”是 ．
（2）已知点 O0,0，A−3,0，B−3,y．
①若点 O，A，B 的“最佳间距”是 1，则 y 的值为 ．
②点 O，A，B 的“最佳间距”的最大值为 ．
（3）已知直线 l 与坐标轴分别交于点 C0,3 和 D4,0，点 Pm,n 是线段 CD 上的一个动点，当点 O0,0，Em,0，Pm,n 的“最佳间距”取到最大值时，求此时点 P 的坐标．

26. 课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图 1，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，且 AB+BD=AC．
求证：∠ABC=2∠ACB．
小明的方法是：如图 2，在 AC 上截取 AE，使 AE=AB，连接 DE，构造全等三角形来证明结论．
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段 AB 构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长 AB 至 F，使 BF= ，连接 DF．
请补全小天提出的辅助线的画法，并在图 1 中画出相应的辅助线．
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图 3，点 D 在 △ABC 的内部，AD，BD，CD 分别平分 ∠BAC，∠ABC，∠ACB，且 AB+BD=AC．求证：∠ABC=2∠ACB．
请你解答小芸提出的这个问题．
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在 △ABC 中，∠ABC=2∠ACB，点 D 在边 BC 上，AB+BD=AC，那么 AD 平分 ∠BAC．
小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图 4 对这个命题进行证明．

四、填空题（共1小题；共5分）
27. 我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：a+3a−1=a−1+4a−1=1+4a−1，2a−1a+1=2a+1−3a+1=2−3a+1．参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将 aa+1 变形为满足以上结果要求的形式：aa+1= ．
（2）
①将 3a+2a−1 变形为满足以上结果要求的形式：3a+2a−1= ．
②若 3a+2a−1 为正整数，且 a 也为正整数，则 a 的值为 ．

五、解答题（共2小题；共26分）
28. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+3 与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．点 C 在第四象限，BC⊥BA，且 BC=BA．
（1）点 B 的坐标为 ，点 C 的横坐标为 ．
（2）设 BC 与 x 轴交于点 D，连接 AC，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E．若射线 AO 平分 ∠BAC，用等式表示线段 AD 与 CE 的数量关系，并证明．

29. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 Mx1,y1，Nx2,y2，定义如下：点 M 与点 N 的“直角距离”为 x1−x2+y1−y2，记作 dMN．
例如：点 M1,5 与 N7,2 的“直角距离”dMN=1−7+5−2=9．
（1）已知点 P1−1,0，P2−32,12，P3−12,14，P4−12,−12，则在这四个点中，与原点 O 的“直角距离”等于 1 的点是 ．
（2）如图，已知点 A1,0，B0,1，根据定义可知线段 AB 上的任意一点与原点 O 的“直角距离”都等于 1．
若点 P 与原点 O 的“直角距离”dOP=1，请在图中将所有满足条件的点 P 组成的图形补全．
（3）已知直线 y=kx+2，点 Ct,0 是 x 轴上的一个动点．
①当 t=3 时，若直线 y=kx+2 上存在点 D，满足 dCD=1，求 k 的取值范围．
②当 k=−2 时，直线 y=kx+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 E，F．若线段 EF 上任意一点 H 都满足 1≤dCH≤4，直接写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】3−2=132=19，故B正确．
2. C【解析】A选项：该图形不是轴对称图形，故A错误．
B选项：该图形不是轴对称图形，故B错误．
C选项：该图形是轴对称图形，有 2 条对称轴，故C正确．
D选项：该图形不是轴对称图形，故D错误．
3. D【解析】A选项：不是同类项无法计算，故A错误；
B选项：a5⋅a2=a7，故B错误；
C选项：a23=a6，故C错误；
D选项：ab22=a2b4，故D正确．
4. A【解析】A选项：AAA 无法判定两个三角形全等，故A正确；
B选项：HL 可以判定全等，故B错误；
C选项：AAS 可以判定全等，故C错误；
D选项：SAS 可以判定全等，故D错误．
5. D
【解析】xy+xx2=xy+xx2，
∵x≠0，
∴原式=y+xx．
6. A【解析】原式=m2−2m+m2+4m+4=2m2+2m+4=2m2+m+4.
当 m2+m=5 时，
原式=2×5+4=14．
7. C【解析】∵y 随 x 的增大而减小，
∴k<0，
∴y=kx−6 大致图象如下：
∴ 与 x 轴交于负半轴，
故可能是 −2,0．
8. B【解析】∵ 点 A 与点 E 关于直线 CD 对称，
∴AD=ED，AC=EC，
∴△DBE 的周长=BD+ED+BE=BD+AD+BC−EC=AB+BC−AC=7+12−9=10.
9. B【解析】设甲组的攀登速度为 xm/min，则乙组的攀登速度为 1.2xm/min，
可列方程：4501.2x=450x−15，故B正确．
10. D
【解析】前两段 y 的斜率均不变，
∴ 应在 AC，BD 两条线段活动，故A，B错误，
第一段最高值，与第二段最高值不等，
∵AE=EC，
∴ C错误．
第二部分
11. x≠4
【解析】分式 1x−4 有意义，分母不为 0，即 x−4≠0，x≠4．
12. 1,3
13. −2a
14. 72∘
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，∠B=∠ADE，∠C=∠E，
∴∠B=∠ADB=∠ADE，
设 AC 与 DE 相交于点 O，
在 △AOE 中，∠EAC+∠AOE+∠E=180∘，
在 △COD 中，∠CDO+∠COD+∠C=180∘，
∵∠AOE=∠COD，∠E=∠C，
∴∠EAC=∠CDO，
又 ∵∠EAC=36∘，
∴∠CDO=36∘，
∴∠B=∠ADB=∠ADE=12∠BDE=12180∘−36∘=72∘．
15. 12，小腾在图书馆停留了 40 分钟（答案不唯一）
【解析】35−23=12min，
故小腾从食堂到图书馆所用时间为 12 min．
小腾在图书馆停留了 40 分钟．（答案不唯一）
16. a2−b2=a+ba−b
【解析】图 1 中：S1=a2−b2，
图 2 中：S2=a+ba−b，
∴a2−b2=a+ba−b．
17. 6，18
【解析】∵ 等边 △ABC，
∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠BAC=60∘，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=30∘，BD=CD=12BC，
又 ∵DE⊥AC，AD=12，
∴ 在 Rt△AED 中，DE=12AD=6，
S△ABC=12×BC×AD，
∵∠ADE=90∘−∠CAD=60∘，
∴∠CDE=90∘−∠ADE=30∘，
∴ 在 Rt△ECD 中，CE=12CD，
∴S△EDC=12×CE×DE=12×14BC×12=18×12×BC×AD，
∴S△EDCS△ABC=18．
18. ②④⑤
【解析】① ∵y=ax+b 与 y 轴交于正半轴，
∴b>0，故①错误；
② ∵y=ax+b 随 x 的增大而减小，
∴a<0，
y=cx+d 随 x 的增大而增大，
∴c>0，
∴ac<0，故②正确；
③当 x> 1时，ax+b④当 x=1 时，a+b=c+d，故④正确；
⑤当 x=−1 时，y=cx+d<0，即 −c+d<0，c>d，故⑤正确．
第三部分
19. （1） x3−25x=xx2−25=xx+5x−5.
（2） ma−3+23−a=ma−3−2a−3=m−2a−3.
20. 原式=1a−1+a−3a+12⋅a+1a−1=1a−1+a−3a+1a−1=a+1+a−3a+1a−1=2a−1a+1a−1=2a+1.
21. （1） 作图如图所示．
（2） 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；DCB；DBC；DBC；同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
22.
xx−3+x+8xx−3=1.
方程两边同乘 xx−3，
x2+x+8=xx−3.x2+x+8=x2−3x.4x=−8.x=−2.
经检验：x=−2 是原分式方程的解，
∴x=−2．
23. （1） ∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠ECD．
在 △ABC 和 △ECD 中，
∠ABC=∠ECD,∠A=∠E,AC=ED,
∴△ABC≌△ECDAAS，
∴BC=CD．
（2） ∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB．
又 ∵∠ABC=∠ECD，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=∠ECD+∠CDB．
又 ∵∠EBD=∠ECD+∠CDB，
∴∠ABD=∠EBD．
24. （1） C 在 l1 上，当 x=−1 时，m=−23×−1+43=2，故 C−1,2，
又 C 在 l2 上，故当 x=−1 时，y=−2+b=2，因此 l2=2x+4，此时 b=4．
（2） 由题意可知：
在直线 l1 上：令 y=0，0=−23x+43，
解得 x=2，即 A 点坐标为 2,0，
令 x=−1，y=−23×−1+43=63=2，即 C 点坐标为 −1,2，
在直线 l2 上：令 y=0，0=2x+4，
解得 x=−2，即 B 点坐标为 −2,0，
∴AB=4，在 △ABC 中 AB 边上的高为 2，
故 S△ABC=4×2×12=4．
（3） 83【解析】将 l2 下移 t（t>0）个单位长度后，得到的直线方程为：y=2x+4−t，
求它与 l1 的交点，故联立直线 l1，l2 的方程，
得：y=−23x+43,y=2x+4−t, 解得 x=38t−1,y=−14t+2,
又交点在第一象限，因此 t 满足 38t−1>0,−14t+2>0, 解得：83故 t 的取值范围是 8325. （1） 2
【解析】∵Q12,1，Q24,1，Q34,4，
∴Q1Q2=2，Q2Q3=3，
Q1Q3=4−22+4−12=13．
∵2<3<13，
∴ 这三点的“最佳间距”是 2．
（2） ±1；3
【解析】① ∵O0,0，A−3,0，B−3,y，
∴AB∥y 轴，
∴OA=3，OB>OA，
∵ 点 O，A，B 的“最佳间距”是 1，
∴AB=1，
∴y=±1．
②当 −3≤y≤3 时，点 O，A，B 的“最佳间距”是 y，
此时 y≤3，
当 y>3 或 y<−3 时，点 O，A，B 的“最佳间距”是 3，
∴ 点 O，A，B 的“最佳间距”的最大值为 3．
（3） 如图：
设直线 CD 的解析式为 y=k1x+b1，
将 C0,3，D4,0 代入得 b1=3,4k1+b1=0, 解得 k1=−34,b1=3,
∴y=−34x+3．
∵Pm,n，Em,0，
∴PE⊥x 轴．
当且仅当 OE=PE 时，点 O，P，E 的“最佳间距”取得最大值．
∵OE=m，PE=n=−34m+3，
∴m=−34m+3，解得 m=127，P127,127，
∴ 当点 O，E，P 的“最佳间距”取到最大值时，此时点 P 的坐标为 127,127．
26. （1） BD；
如图 1 所示，辅助线的画法是：延长 AB 至点 F，使得 BF=BD，连接 DF．
（2） 如图 2 所示，延长 AB 至点 F，使得 BF=BD，连接 DF．
则 ∠AFD=∠BDF，∠ABD=2∠AFD．
∵BF=BD，AC=AB+BD，
∴AF=AB+BF=AB+BD=AC．
∵BD，CD 平分 ∠ABC，∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD，∠ABC=2∠ABD=4∠AFD，
又 AD 平分 ∠BAC，
∴∠FAD=∠CAD．
在 △DAF 和 △DAC 中，
AD=AD,∠FAD=∠CAD,AF=AC,
∴△DAF≌△DACASA，
∴∠AFD=∠ACD，
∴∠ACB=2∠ACD=2∠AFD，
∴∠ABC=2∠ACB．
（3） 如图 3 所示，延长 AB 至点 F，使得 BF=BD，连接 DF，CF，
则 ∠AFD=∠BDF，∠ABC=2∠AFD，
又 ∠ABC=2∠ACB，
∴∠AFD=∠ACD．
∵BF=BD，AC=AB+BD，
∴AF=AB+BF=AB+BD=AC，
∴∠AFC=∠ACF，即 ∠AFD+∠DFC=∠ACD+∠DCF，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC．
在 △DAF 和 △DAC 中，
AD=AD,DF=DC,AF=AC,
∴△DAF≌△DACSSS，
∴∠DAF=∠DAC，
∴AD 平分 ∠BAC．
第四部分
27. 1−1a+1，3+5a−1，2 或 6
【解析】（1）aa+1=a+1−1a+1=1−1a+1．
（2）① 3a+2a−1=3a−1+5a−1=3+5a−1．
②令 x=3a+2a−1=3+5a−1．
当 x，a 均为整数时，a−1=±1,±5．
∴a=2,0,6,−4．
对应 x=8,−2,4,2．
∵ x，a 均为正整数，
故符合条件的 a 可以为 2 或 6．
第五部分
28. （1） 0,3；3,3−3k
【解析】∵y=kx+3，
∴B0,3，A−3k,0，
∴AB2=91+1k2，
∵kAB=k，
∴kBC=−1k，设 Cx,y，
∴−1k=y−3x−0,AB2=BC2⇒x=k3−y,x2+y−32=91+k2k2,
∴y=±3k+3，
∵y<0，
∴y=3−3k，
∴x=3，
∴C3,3−3k．
（2） CE=3k−3，
∵kBC:y=−xk+3，
令 y=−xk+3=0，
∴x=3k，
∴x3k,0，
∴AD=3k+3k，
∴AD−CE=3k+3k−3k−3=3k+1，
tan∠BAO=k，
∵AO 平分 ∠BAC，
∴tan∠EAC=ECAE=k，
∵AE=3+3k，EC=3k−3，
∴k2+2k−1=0，
∴k=2−1，
∴AD−CE=32．
29. （1） P1，P4
【解析】由题意有 dOP1=−1−0=1，
dOP2=−32−0+12−0=2，
dOP3=−12−0+14−0=34，
dOP4=−12−0+−12−0=1，
∴ 与原点 O 的直角距离等于 1 的点是 P1 与 P4．
（2） 如图 1 所示，正方形 ABPQ 上所有的点都满足条件，
∴ 线段 AB 上的所有点都满足与原点的“直角距离”等于 1，
∴ 线段 AB 关于原点的对称线段 QP 满足条件，
线段 AB 与 x 轴，y 轴的对称线段也满足条件，
∴ 所有满足条件的 P 点，组成的图形即为正方形 ABPQ．
（3） ①当 t=3 时，C 点坐标为 3,0，
由（2）可得，若 dCD=1，则 D 点在正方形 EFMN 上 CN=CF=CE=CM=1，
此时：F2,0，M3,−1，N4,0，E3,1，
由图 2 可知，要使 y=kx+2 上存在 D，使 dOD=1，则 k<0，
由图可知 0,2，F2,0，M3,−1 在一条直线上，
则：0=2k+2，k=−1，
当 y=kx+2 过点 E 时，k 有最大值，将 E3,1 代入：1=3k+2，k=−13，
∴k 的取值范围为：−1≤k≤−13．
② −4≤t≤5．
【解析】②当 k=−2 时，直线解析式为：y=−2x+2，
E：当 y=0 时，0=−2x+2，x=1，
∴E 点坐标为 1,0，
F：当 x=0 时，y=2，
∴F 点坐标为 0,2，
则线段 EF 在第一象限，
设 H 点坐标 x,−2x+2（EF 在第一象限，00），
dCH=x−t+−2x+2=x−t−2x+2，
∵1≤dCH≤4，0≤−2x+2≤2，
∴−1≤x−t−2x+2−−2x+2≤4，即 −1≤x−t≤4，
当 t0，x−t=x−t，
∴−1≤x−t≤4，
∵0≤x≤1，
∴−2≤−t≤4，
∴−4≤t≤2，
∵0≤x≤1，t ∴−4≤t≤1，
当 t>x 时，x−t<0，x−t=t−x，
∴−1≤t−x≤4，
∵0≤x≤1，
∴−1≤t≤5，
∵t>x，0≤x≤1，
∴1≤t≤5．
综上所述：t 的取值范围为：−4≤t≤5．