2020-2021学年北京市通州区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市通州区九上期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 二次函数 y=x−12−1 的图象顶点坐标为
A. −1,1B. −1,−1C. 1,1D. 1,−1

2. 如图，线段 PA 切 ⊙O 于点 P，连接 OP，OA．若 ∠A=50∘，则 ∠POA 的度数为
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘

3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 是反比例函数 y=4xx>0 图象上的一点，则 Rt△OAB 的面积为
A. 1B. 2C. 3D. 4

4. 已知一个扇形的弧长为 π，半径是 3，则这个扇形的面积为
A. πB. 2π3C. 3π2D. 3π

5. 水平放置的圆柱形排水管道截面半径为 1 m．若管道中积水最深处为 0.4 m，则水面宽度为
A. 0.8 mB. 1.2 mC. 1.6 mD. 1.8 m

6. 古希腊人认为，最美人体是肚脐至足底的长度与人体的身高之比是 5−12（5−12≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为 105 cm，则此人身高大约为
A. 160 cmB. 170 cmC. 180 cmD. 190 cm

7. 已知二次函数图象的对称轴为 x=h，且图象经过点 A1,1，B8,8，则下列说法中正确的是
A. 若 h=7，则 a>0B. 若 h=5，则 a>0
C. 若 h=4，则 a<0D. 若 h=6，则 a<0

8. 公元 3 世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长，刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元，小牧通过圆内接正 n 边形，使用刘徽割圆术，得到 π 的近似值为
A. n⋅sin360∘2nB. 2n⋅sin360∘2nC. 2n⋅sin360∘nD. n⋅sin360∘n

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 计算：cs60∘+tan45∘= .

10. 请写出一个开口向下，且图象经过坐标原点的二次函数的表达式 ．

11. 如图，A，B，C 在 ⊙O 上的点，若 ∠AOB=100∘，则 ∠ACB= ．

12. 如图，输电塔高 41.7 m，在远离高压输电塔 100 m 的 D 处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为 θ．已知测角仪高 AD=1.7 m，则 tanθ= ．

13. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，且 DE∥BC，若 AD:DB=2:1，则 △ADE 与 △ABC 的面积之比等于 ．

14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A10,0，OB=25，∠B=90∘，则点 B 坐标为 ．

15. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 Aa,2 为反比例函数 y=kxk>0 图象上一点，将点 A 向左平移 3 个单位后，该点恰好出现在反比例函数 y=−kx 图象上，则 k 的值为 ．

16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A6,0，⊙A 的半径为 3，点 Px,y 为 ⊙A 上任意一点，则 yx 的最大值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 如图，AD 与 BC 交于 O 点，∠B=∠D，AO=4，CO=2，CD=3，求 AB 的长．

18. 二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表：
x⋯−10⋯34⋯y⋯03⋯0−5⋯
求此二次函数的表达式．

19. 下面是小付设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O 及 ⊙O 上一点 P．
求作：过点 P 的 ⊙O 的切线．
作法：如图，
①作射线 OP；
②以点 P 为圆心，PO 为半径作 ⊙P，与射线 OP 交于另一点 B．
③分别以点 O，点 B 为圆心，大于 PO 长为半径作弧，两弧交射线 OP 上方于点 D；
④作直线 PD；
则直线 PD 即为所求．
根据小付设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵PO=PB，DO=DB，
∴PD⊥OB（ ）（填推理的依据）．
又 ∵OP 是 ⊙O 的半径，
∴PD 是 ⊙O 的切线（ ）（填推理的依据）．

20. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+bk≠0 与反比例函数 y=mxm≠0 的图象交于点 A−2,3，B1,a．
（1）求出反比例函数表达式及 a 的值．
（2）画出函数图象，并直接写出不等式 kx+b>mx 的解集．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，以 AB 为直径作 ⊙O，交 AC 于点 D，连接 BD．作 ∠ACB 平分线，交 BD 于点 F，交 AB 于点 E．
（1）求证：BE=BF．
（2）若 AB=6，∠A=30∘，求 DF 的长．

22. 有这样一个问题：探究函数 y=x2−1x−4 的图象与性质．嘉瑶根据学习函数的经验，对函数 y=x2−1x−4 的图象与性质进行了探究．下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=x2−1x−4 的图象与 y 轴 交点．（填写“有”或“无”）
（2）下表是 y 与 x 的几组对应值：
x⋯−3−2−1−12132252⋯y⋯16312−2−74n−2912−123720⋯
则 n 的值为 ．
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象．
（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程 x2−1x=4 的根约为 ．（结果精确到 0.1）

23. 如图，将正方形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转 θ0∘<θ<90∘ 角，得到正方形 BEFG，连接 AG，分别与 BE，BC 交于点 H，K，连接 EC，DF．
（1）求 ∠BAG 的值（用 θ 表示）．
（2）求证：AG∥EC∥DF．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A−1,0，B3,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求此二次函数图象的对称轴．
（2）求点 C 纵坐标（用含有 a 的代数式表示）．
（3）已知点 P5,−4，将点 C 向下移动一个单位，得到点 D，若二次函数图象与线段 PD 只有一个交点，求 a 的取值范围．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 坐标为 2,3，点 Q 为图形 M 上一点．我们将线段 PQ 长度的最大值与最小值之间的差定义为点 P 视角下图形 M 的“宽度”．
（1）如图，⊙O 半径为 2，与 x 轴分别交于点 A，B．
①在点 P 视角下，⊙O 的“宽度”为 ，线段 AB 的“宽度”为 ．
②点 Gm,0 为 x 轴上一点，若在点 P 视角下，线段 AG 的“宽度”为 2，求 m 的取值范围．
（2）⊙C 的圆心在 x 轴上，且半径为 rr>0，一次函数 y=−33x+23 的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 D，E．若线段 DE 上存在点 K，使得在点 K 视角下，⊙C 的“宽度”可以为 2，求圆心 C 的横坐标 xC 的取值范围．
答案
第一部分
1. D【解析】当 x=1 时，y=1−12−1=−1，
∴ 二次函数 y=x−12−1 的图象，
顶点坐标为 1,−1．
故选D．
2. B【解析】∵PA 切 ⊙O 于点 P，
∴OP⊥PA，
∴∠OPA=90∘，
∵∠A=50∘，
∴∠POA=180∘−∠OPA−∠A=40∘．
3. B【解析】∵ 点 A 是反比例函数 y=4xx>0 图象上的一点，
∴ 由反比例函数的几何意义可知：
S△OAB=k2=42=2．
4. C【解析】扇形面积为 S=nπr2360，
弧长公式为 l=nπr180，
∴S=12lr，
∵l=π，r=3，
∴S=3π2．
5. C
【解析】连接 OA，过 O 作 OC⊥AB，交 AB 于点 D，
∵OA=OC=1 m，DC=0.4 m，
∴OD=OC−DC=1−0.4=0.6 m，
在 Rt△AOD 中，
AD=OA2−OD2=12−0.62=0.8 m，
由垂径定理得 AB=2AD=1.6 m，即水面宽 1.6 m．
6. B【解析】∵ 肚脐至足底的长度与人体的身高之比是 5−12，5−12≈0.618，
∴ 肚脐至足底的长度为 105 cm 时，
人身高约为：105÷0.618≈170 cm．
7. D【解析】二次函数图象的对称轴为 x=h，且图象经过点 A1,1，B8,8，
当 h=7 时，该函数图象经过 6,8，
∴ 当 x<7 时，y 随 x 增大而增大，
故 a<0，故A错误；
当 h=5 时，该函数图象经过 2,8，
∴ 当 x<5 时，y 随 x 增大而增大，
故 a<0，故B错误；
当 h=4 时，该函数图象经过 0,8，
∴ 当 x<4 时，y 随 x 增大而减小，
故 a>0，故C错误；
当 h=6 时，该函数图象经过 4,8，
∴ 当 x<6 时，y 随 x 增大而增大，
故 a<0，故D正确．
8. A【解析】由 n 边形为圆内接正 n 边形，
可知 ∠1=360∘2n，sin∠1=ab，
∴a=bsin∠1，
由题意知，周长（近似）=2na=2nbsin∠1，直径 =2b，
π=周长直径=2nbsin∠12b=nsin∠1=nsin360∘2n．
第二部分
9. 32
【解析】cs60∘+tan45∘=12+1=32.
10. y=−x2（答案不唯一）
【解析】开口向下，且图象经过坐标原点的二次函数的表达式可以是 y=−x2．
故答案为：y=−x2．（答案不唯一，a<0，c=0 即可）
11. 50∘
【解析】∵∠AOB=100∘，
∴∠ACB=12∠AOB=50∘．
12. 25
【解析】如图，延长 AM 到 N，
tanθ=BNAN．
∵AD=1.7 m，
∴EN=AD=1.7 m．
∵BE=41.7 m，
∴BN=BE−EN=40 m．
∵AN=ED=100 m，
∴tanθ=25．
13. 4:9
【解析】∵AD:DB=2:1，
∴AD:AB=2:3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE 与 △ABC 的面积比 =ADAB2=49，
故答案为：4:9．
14. 2,4
【解析】如图，过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C，
∵ 点 A 坐标为 10,0，
∴OA=10，
设 OC=x，则 AC=OA−OC=10−x，
∵OB=25，∠OBA=90∘，
∴AB=OA2−OB2=45，
∵OB2−OC2=BC2，
AB2−AC2=BC2，
∴252−x2=452−10−x2，
20−x2=80−100−20x+x2，
20−x2=80−100+20x−x2，
20−80+100=20x，
x=2，
∴OC=2，
∴BC=OB2−OC2=4，
∴ 点 B 的坐标为 2,4．
15. 3
【解析】Aa,2 向左平移 3 个单位后得到点 a−3,2，
∵Aa,2 在反比例函数 y=kxk>0 图象上 a−3,2 在反比例函数 y=−kx 图象上，
∴k=2a,−k=2a−3,
解得 k=3．
16. 33
【解析】过点 P 作 PH⊥x 轴于 H，连接 OP，
∵Px,y，
∴PH=y，OH=x，
∴yx=PHOH=tan∠POA，
当 ∠POA 越大，tan∠POA 的值越大，
即 yx 的值就越大，
∴ 当且仅当 PO 与 ⊙A 相切时，∠POA 取得最大值，
此时 yx 的值最大，
连接 AP，
此时 AP⊥OP，
∵A6,0，
∴OA=6，
∵⊙A 的半径为 3，
当 OP 与 ⊙A 相切时，sin∠POA=PAOA=12，
即 ∠POA=30∘，
∴tan30∘=33，
∴∠POA 的最大角度为 30∘，
yx 的最大值为 33．
第三部分
17. ∵AD 与 BC 交于点 O，
∴∠AOB=∠COD，
又 ∵∠B=∠D，
∴△AOB∼△COD，
∴AOAB=COCD，
∵AO=4，CO=2，CD=3
∴AB=6．
18. 方法一：据题意，函数图象过 −1,0，3,0，设 y=ax+1x−3，
∵ 该函数过点 0,3，
∴3=a0+10−3，
∴a=−1，
∴y=−x2+2x+3．
【解析】方法二：据题意，该函数图象过点 −1,0，4,−5，0,3，
得 0=a−b+3,−5=16a+4b+3,
解得 a=−1,b=2,
∴y=−x2+2x+3．
19. （1） 作出 ⊙P，标记点 B，
作出点 D，
作出直线 DP．
（2） 垂直平分线的判定（或等腰三角形三线合一）；
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
20. （1） ∵ 点 A−2,3 在函数 y=mxm≠0 上，
∴m=−2⋅3=−6，y=−6x．
又 ∵ 点 B1,a 在函数 y=−6x 上，
∴a=−61=−6．
（2） 图象如下图所示：
021. （1）
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠1+∠3=90∘，
∵∠ABC=90∘，
∴∠2+∠5=90∘，
∵CE 为 ∠ACB 的平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
∴BE=BF．
（2） 在 Rt△ABD 中，
∵∠A=30∘，AB=6，
∴DB=3，
在 Rt△ACB 中，
∵∠A=30∘，AB=6，
∴BC=23，
在 Rt△BCE 中，
∵∠2=12∠ACB=30∘，BC=23，
∴BE=2，
∴BF=2，
∴DF=BD−BF=3−2=1．
22. （1） 无
【解析】∵ 函数解析式为 y=x2−1x−4，
∴x≠0，
∴ 函数图象与 y 轴无交点．
（2） −4
【解析】当 x=1 时，y=1−1−4=−4，
∴n=−4．
（3） 画出图象如下．
（4） x=−1.9，x=−0.3，x=2.1．
【解析】方程 x2−1x=4，可变形为 x2−1x−4=0，
方程的解可看作函数 y=x2−1x−4 与 y=0 的交点的横坐标．
结合图象可知，方程的根为 x=−1.9，x=−0.3，x=2.1．
故答案为：x=−1.9，x=−0.3，x=2.1．
23. （1） ∵ 正方形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转 θ 得到正方形 EBGF，
∴∠ABC=∠EBG=90∘，AB=EB=CB=GB，∠ABE=θ，
∴∠ABG=∠ABE+∠EBG=90∘+θ，
∵BA=BG，
∴∠BAG=180∘−∠ABG2=180∘−90∘−θ2=45∘−θ2．
（2） 设 CD 与 EF 交于点 J，
∵∠EBC=∠ABC−∠ABE=90∘−θ，BE=BC，
∴∠CEB=180∘−∠EBC2=180∘−90∘−θ2=45∘+θ2，
∵∠EHA=∠BAG+∠ABE=45∘−θ2+θ=45∘+θ2，
∴∠CEB=∠EHA，
∴AG∥EC，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵ 正方形 ABCD 与正方形 EBGF 全等，
∴∠BEF=∠BCD=90∘，EF=CD，
∴∠BEF−∠BEC=∠BCD−∠BCE，
即 ∠JEC=∠JCE，
∴JE=JC，
∴DC−JC=EF−JE，即 JD=JE，
∴∠JDE=∠JED，
∵∠JDE+∠JED=180∘−∠DJE，
∠JEC+∠JCE=180∘−∠EJC，
∠DJE=∠EJC，
∴∠JDE=∠JED=∠JEC=∠JCE，
∴EC∥DF，
∴AG∥EC∥DF．
24. （1） ∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A−1,0，B3,0，
∴ 二次函数图象的对称轴为直线 x=−1+32=1．
（2） ∵ 抛物线与 x 轴交于 −1,0，3,0，
∴ 设 y=ax+1x−3，
∴c=−3a，
∴yc=−3a．
（3） 当 a>0 时，抛物线的顶点为 1,−4a，
当 −4a=−4 时，a=1．
当 a<0 时，
将点 P5,−4 代入抛物线 y=ax+1x−3 得：
−4=a5+15−3，
a=−13．
∴ 当 a≤−13 时，抛物线与线段 PD 只有一个交点．
综上所述，当 a≤−13 或 a=1 时，抛物线与线段 PD 只有一个交点．
25. （1） ① 4；2
②当 G 在点 A 右侧时，当 m>6 时，PG>PA；
当 −2 ∴2≤m≤6；
当 G 在点 A 左侧时，PA=5，PM=7，
∴72−32=210，
∴m=2−210，
综上所述，2≤m≤6 或 m=2−210．
【解析】①如图，连接 PO 并延长 PO 交 ⊙O 于点 M，PO 交 ⊙O 于点 N，连接 PB，PA，
∵P2,3，⊙O 的半径为 2，
∴⊙O 上一点与 P 点的最大值为线段 PM 的长，⊙O 上一点与 P 点的最小值为线段 PN 的长，
∴⊙O 的“宽度”为 ⊙O 的直径，即为 4，
∵P2,3，B2,0，
∴PB⊥x 轴，
∴PB=3，
∵AB=4，
∴PA=AB2+PB2=5，
∴ 线段 AB 上一点与 P 点的最大值为线段 PA 的长，
线段 AB 上一点与 P 的最小值为线段 PB 的长，
∴ 线段 AB 的“宽度”为 5−3=2．
（2） ∵⊙C 的“宽度”为 2，
∴ 点 K 出现在 ⊙C 内部，其轨迹为以点 C 为圆心，半径为 1 的圆，
又 ∵ 点 K 在线段 DE 上，
∴ 该轨迹圆需要与线段 DE 有交点，
∵y=−33x+23 的图象与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E，
∴ 令 y=0，−33x+23=0，x=6，
∴D6,0，
令 x=0，y=23，
∴E0,23，
∴OE=23，OD=6，
∴tan∠ODE=OEOD=33，
∴∠ODE=30∘，
当点 C 在 D 左侧时，当 ⊙C 与线段 ED 相切时，CD=2，xC=4．
当 C 在点 D 右侧时，当 ⊙C 过点 D6,0 时，xC=7．
综上所述，4≤xC≤7．