2020-2021学年北京市顺义区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市顺义区九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 数轴上 A，B，C，D 四个点的位置如图所示，这四个点中，表示 2 的相反数的点是
A. 点 AB. 点 BC. 点 CD. 点 D

2. 如果 5a=2bab≠0，那么下列比例式中正确的是
A. ab=52B. ba=25C. a2=b5D. a5=b2

3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，AC=2，则 tanB 的值为
A. 12B. 2C. 55D. 255

4. 将抛物线 y=2x2 向下平移 1 个单位，得到的抛物线是
A. y=2x2−1B. y=2x2+1C. y=2x−12D. y=2x+12

5. 如图，在 △ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且 DE∥BC，若 AD:DB=2:3，则 △ADE 与 △ABC 的面积比等于
A. 2:3B. 4:5C. 4:9D. 4:25

6. 二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为
A. y=x2+2x−3B. y=x2−2x−3
C. y=−x2+2x−3D. y=−x2−2x+3

7. 如图，点 A，B，C 都在 ⊙O 上，若 ∠AOC=140∘，则 ∠ABC 的度数是
A. 70∘B. 80∘C. 110∘D. 140∘

8. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：
x⋯−4−3−2−10⋯y⋯−3m10−3⋯
有以下几个结论：
①抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向上；
②抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=−2；
③关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根为 −3 和 −1；
④当 y<0 时，x 的取值范围是 −3其中正确的是 ．
A. ①④B. ②④C. ②③D. ③④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 方程组 x−y=1,2x+y=5 的解是 ．

10. 一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若 ⊙O 的直径为 52cm，水面宽 AB=48cm，则水的最大深度为 cm．

11. 小明为了测量一个小湖泊两岸的两棵树 A，B 之间的距离，在垂直 AB 的方向 BC 上确定点 C，测得 BC=45m，∠C=40∘，从而计算出 AB 之间的距离．则 AB= ．（精确到 0.1m）
（参考数据：sin40∘≈0.64，cs40∘≈0.77，tan40∘≈0.84，sin50∘≈0.77，cs50∘≈0.64，tan50∘≈1.19）

12. 如图，在 ⊙O 中，若 AB=BC=CD，则 AC 与 2CD 的大小关系是：AC 2CD．（填“>”，“<”或“=”）

13. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB 于点 D，AB=9，AC=6，则 cs∠DCB= ．

14. 如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度 h（米）和飞行时间 t（秒）近似满足函数关系式 h=−110t−62+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．

15. 在反比例函数 y=kx 的图象上有两点 Ax1,y1，Bx2,y2，且 x1y2，写出一个符合条件的函数表达式 ．

16. 如图，线段 AB=9，AC⊥AB 于点 A，BD⊥AB 于点 B，AC=2，BD=4，点 P 为线段 AB 上一动点，且以 A，C，P 为顶点的三角形与以 B，D，P 为顶点的三角形相似，则 AP 的长为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式组：3x+1>x−1,x+92>2x.

18. 计算：−3+π−30−3+3tan30∘．

19. 已知：如图，点 M 为锐角 ∠APB 的边 PA 上一点．
求作：∠AMD，使得点 D 在边 PB 上，且 ∠AMD=2∠P．
作法：
①以点 M 为圆心，MP 长为半径画圆，交 PA 于另一点 C，交 PB 于点 D；
②作射线 MD．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明．
证明：
∵P，C，D 都在 ⊙M 上，
∠P 为 CD 所对的圆周角，∠CMD 为 CD 所对的圆心角，
∴∠P=12∠CMD（ ）（填推理依据）．
∴∠AMD=2∠P．

20. 已知：如图，△ABC∽△ACD，CD 平分 ∠ACB，AD=2，BD=3，求 AC，DC 的长．

21. 一艘船向正北方向航行，在 A 处时看到灯塔 S 在船的北偏东 30∘ 的方向上，继续航行 12 海里到达 B 处，看到灯塔 S 在船的北偏东 60∘ 的方向上．若继续沿正北方向航行，求航行过程中船距灯塔 S 的最近距离．（结果精确到 0.1 海里）
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

22. 已知：如图 AB 为 ⊙O 的直径，点 D 为 BC⌢ 的中点，过点 D 作 ⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，连接 CB．
（1）求证：BC∥DE．
（2）若 csE=45，DE=20，求 BC 的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=x2−2mx+m2m≥0．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含 m 的式子表示）．
（2）过点 A0,1 作 y 轴的垂线 l，点 B 在直线 l 上且横坐标是 2m+1．
①若 m 的值等于 1 时，求抛物线与线段 AB 的交点个数．
②若抛物线与线段 AB 只有一个公共点时，直接写出 m 的取值范围．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，点 D 为线段 BC 上一动点（不与点 B，C 重合），作射线 AD，AB，将射线 AD，AB 分别绕点 A 顺时针旋转 90∘，得到射线 ADʹ，ABʹ，过点 B 作 BC 的垂线，分别交射线 ADʹ，ABʹ 于点 E，F．
（1）依题意补全图形．
（2）求证：AB=AF．
（3）用等式表示线段 AC，BD 与 BE 之间的数量关系，并证明．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P，若点 Q 满足条件：以线段 PQ 为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点 Q 为点 P 的“正轨点”，该正方形为点 P 的“正轨正方形”，如下图所示．
（1）已知点 A 的坐标是 1,3．
①在 −3,−1，2,2，3,3 中，点 A 的“正轨点”的坐标是 ．
②若点 A 的“正轨正方形”的面积是 4，写出一个点 A 的“正轨点”的坐标是 ．
（2）若点 B1,0 的“正轨点”在直线 y=2x+2 上，求点 B 的“正轨点”的坐标．
（3）已知点 Cm,0，若直线 y=2x+m 上存在点 C 的“正轨点”，使得点 C 的“正轨正方形”面积小于 4，直接写出 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. A【解析】2 的相反数是 −2．
由图可知，点 A 表示的数是 −2；
点 B 表示的数是 0；
点 C 表示的数是 12；
点 D 表示的数是 2．
∴ 表示 2 的相反数的点是点 A．
2. C【解析】∵5a=2b 且 ab≠0，
∴5a5=2b5，a=25b，ab=25 或 a2=b5．
3. B【解析】如图，∠C=90∘，AB=5，AC=2，
∴BC=52−22=1，
∴tanB=ACBC=21=2．
4. A【解析】∵ 抛物线 y=2x2 的顶点坐标是 0,0，
∴ 抛物线 y=2x2 向下平移 1 个单位后的顶点坐标是 0,−1，
则得到的抛物线是 y=2x2−1．
5. D
【解析】∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
又 AD:DB=2:3，
∴AD:AB=2:5，
∴△ADE 与 △ABC 的相似比为 2:5，
∴△ADE 与 △ABC 的面积比 =2:52=4:25．
6. B【解析】设二次函数的表达式为 y=ax−h2+k，
由图象知抛物线的顶点为 1,−4 且过 −1,0，
∴ 有 y=ax−12−4，
将 −1,0 代入得：
0=a−1−12−4，
解得 a=1，
则这个二次函数的表达式为 y=x−12−4，
即 y=x2−2x−3．
故选B．
7. C【解析】如图所示，在优弧 AC 上取点 D，连接 AD，CD，
则四边形 ABCD 为圆 O 外接四边形，
∴∠D+∠ABC=180∘，
又 ∠AOC=2∠D，∠AOC=140∘，
∴∠D=70∘，则 ∠ABC=180∘−70∘=110∘．
8. C【解析】①由抛物线上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值可知：
当 x<−2 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x>−2 时，y 随 x 的增大而减小；
所以抛物线 y=ax2+bx+c 的图象开口向下，故①错误；
②当 x=−4 时，y=−3；当 x=0 时，y=−3，
由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线 x=−4+0÷2=−2，故②正确；
③ x=−1 时，y=0，即点 −1,0 为抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点，
对称轴为直线 x=−2，
所以抛物线与 x 轴另一个交点为 −3,0，则 y=0时，x=−1 或 x=−3；
故关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根为 −3 和 −1，故③正确；
④抛物线图象开口向下，与 x 轴交点为 −3,0，−1,0，
所以当 y<0 时，x<−3 或 x>−1，故④错误；
故②③正确．
故选C．
第二部分
9. x=2,y=1
【解析】两个方程相加得：3x=6，解得：x=2，
把 x=2 代入第一个方程得：2−y=1，解得：y=1，
∴ 方程组的解为 x=2,y=1.
10. 16
【解析】连接 OB，过点 O 作 OC⊥AB 于点 D，交 ⊙O 于点 C，如图所示：
∵AB=48cm，
∴BD=12AB=12×48=24cm，
∵⊙O 的直径为 52cm，
∴OB=OC=26cm，
在 Rt△OBD 中，OD=OB2−BD2=262−242=10cm，
∴CD=OC−OD=26−10=16cm．
11. 37.8m
【解析】由题意知：AB⊥BC，
则 △ABC 为直角三角形，则 tan∠C=ABBC，
又 ∠C=40∘，BC=45m，
∴AB=BC⋅tan40∘≈45×0.84=37.8m，
则 AB 长度为 37.8m．
12. <
【解析】如图所示，连接 AB，BC，
∵AB=BC=CD，
∴AB=BC=CD，
则 2CD=AB+BC，
AC故 AC<2CD．
13. 23
【解析】∵∠ACB=90∘，
∴∠A+∠B=90∘，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B=90∘，
∴∠DCB=∠A，
在 Rt△ABC 中，cs∠A=ACAB=69=23，
则 cs∠DCB=cs∠A=23．
14. 5
【解析】抛物线 h=−110t−62+5 图象开口向下，对称轴为直线 t=6，当 t=6 时，h 取得最大值为 5，
则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 5 米．
15. y=2x（答案不唯一）
【解析】由题知 x1 ∴ 反比例函数的一部分在第二象限或第三象限，
又 ∵y1>y2，x1 ∴y 随着 x 的值的增大而减小，即 y=kx 为减函数，
∴k>0，即选一个 k>0 的数即可，
故答案不唯一，符号条件即可，y=2x．
16. 3 或 8 或 1
【解析】设 AP=x，
∴BP=9−x．
①当 △APC∽△BDP 时，
∴APBD=CAPB，
∴x4=29−x，
∴x=8 或 1，
∴AP=8 或 1．
②当 △APC∽△BPD 时，
∴APBP=CABD，
∴x9−x=24，
∴x=3，
∴AP=3．
综上 AP=3 或 8 或 1．
第三部分
17.
3x+1>x−1, ⋯⋯①x+92>2x. ⋯⋯②∵
解不等式①得：
x>−2.
解不等式②得：
x<3.∴
不等式组的解集为
−218. −3+π−30−3+3tan30∘=3+1−3+3×33=3+1.
19. （1） 如图所示：
（2） 同一圆中，同弧所对圆周角等于圆心角的一半
20. ∵△ABC∽△ACD，
∴∠1=∠B，ADAC=ACAB，
又 ∵CD 是平分 ∠ACB，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠B，
∴BD=DC，
∵BD=3，
∴DC=3，
又 ∵AD=2，BD=3，AC2=AD⋅AB，
∴AC=10．
21. 过点 S 作 SC⊥AB 于点 C，
依题意可知 ∠1=30∘，∠3=60∘，AB=12，
∴∠2=30∘，BS=AB=12，
在 Rt△CSE 中，∠SCB=90∘，sin∠3=CSBS，∠3=60∘，
∴CS=BS×sin∠3=12×sin60∘=12×32≈12×1.73×12≈10.38≈10.4．
答：航行过程中船距灯塔 S 的最近距离是 10.4 海里．
22. （1） 连接 OD，
∵DE 切 ⊙O 于点 D，
∴OD⊥DE，
又 ∵ 点 D 为弧 BC 的中点，
∴OD⊥BC，
∴BC∥DE．
（2） 在 Rt△OED 中，∠ODE=90∘，csE=45，
∴DEOE=45，
∵DE=20，
∴OE=25，
∴OD=15，AB=30，
∵BC∥DE，
∴∠ABC=∠E，
∴cs∠ABC=45，
连接 AC，
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，cs∠ABC=45，
∴BC=24．
23. （1） y=x2−2mx+m2（m≥0），
化成顶点式：y=x2−2mx+m2=x−m2，
顶点坐标为 m,0．
（2） ① B 坐标为 2m+1,1，l:y=1，
当 m=1 时：抛物线 y=x2−2x+1，B3,1，
令 y=1，即 x2−2x+1=1⇒x1=0，x2=2，
∵x1，x2 均在 0 和 3 之间，
∴ 有两个交点．
② 0≤m<1．
【解析】②令 y=1，x−m2=1，解得 x1=m+1，x2=m−1，
分两种情况讨论：① 0≤x2≤2m+1② x2<0≤x1≤2m+1．
①若 0≤x2≤2m+1②若 x2<0≤x1≤2m+1⇒m−1<0,0≤m+1≤2m+1,m≥0⇒m<1,m≥0,m≥0⇒0≤m<1．
综上，0≤m<1．
24. （1）
（2） ∵Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠1=45∘，
∵BF⊥BC，
∴∠CBF=90∘，
∴∠2=45∘，
∵ 射线 AB 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 得到射线 ADʹ，
∴∠BAF=90∘，
∴∠3=45∘=∠2，
∴AB=AF．
（3） BE+BD=2AC．
∵ 射线 AD，AB 分别绕点 A 顺时针旋转 90∘，得到射线 ADʹ，ABʹ，
∴∠DAE=∠BAF=90∘，
∴∠4=∠5，
又 ∵∠1=∠3，AB=AF，
在 △DAB 和 △EAF 中，
∠4=∠5,AB=AF,∠1=∠3,
∴△DAB≌△EAFASA，
∴BD=EF，BF=BE+BD，
在 Rt△ABC 中，AB=2AC，在 Rt△ABF 中，BF=2AB，
∴BF=2AC，
∴BE+BD=2AC．
25. （1） ① −3,−1，2,2
② −1,1（答案不唯一）
【解析】①由题意可知，
点 A 的“正轨点”一定在过点 A 且与 x 轴成 45∘ 夹角的直线上，
即点 A 的“正轨点”落在直线 y=x+2 或 y=−x+4 上，
点 −3,−1 在直线 y=x+2 上，
点 2,2 在直线 y=−x+4 上，
点 3,3 不在直线 y=x+2，也不在直线 y=−x+4 上，
∴ 点 A 的“正轨点”的坐标是 −3,−1，2,2．
② ∵ 点 A 的“正轨正方形”的面积为 4，
∴ 点 A 的“正轨正方形”的边长为 2，
当点 A 的“正轨点”M 在直线 y=x+2 上时，
M 点的坐标为 −1,1 或 3,5，
当点 A 的“正轨点”M 在直线 y=−x+4 上时，
M 点的坐标为 3,1 或 −1,5，
∴ 点 A 的“正轨点”的坐标为 −1,1 或 3,5 或 3,1 或 −1,5．
故答案为：−1,1 或 3,5 或 3,1 或 −1,5（任意一个即可）．
（2） ∵B1,0，
∴ 点 B 的“正轨点”应该落在直线 y=x−1 或直线 y=−x+1 上，
∵ 点 B1,0 的“正轨点”还在直线 y=2x+2 上，
∴y=2x+2,y=−x+1 或 y=2x+2,y=x−1,
∴y=−13,y=43 或 y=−3,y=−4,
∴ 点 B 的“正轨点”的坐标是 −13,43，−3,−4．
（3） −2【解析】设直线 y=2x+m 交 y 轴于点 G，
令 x=0，y=m，
∴G0,m，
∵Cm,0，
∴OC=OG=m，
∴ 点 G 即为点 C 的“正轨点”，
∵ 直线 y=2x+m 上存在点 C 的“正轨点”，使点 C 的“正轨正方形”面积小于 4，
∴0 ∴0 ∴−2 ∴m 的取值范围是 −2