2019—2020学年北京市门头沟区九上期末数学试卷

这是一份2019—2020学年北京市门头沟区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 反比例函数 y=2x 的图象分布的象限是
A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一象限D. 第二象限

2. ⊙O 的半径为 3，点 P 到圆心 O 的距离为 5，点 P 与 ⊙O 的位置关系是
A. 无法确定B. 点 P 在 ⊙O 外
C. 点 P 在 ⊙O 上D. 点 P 在 ⊙O 内

3. 将抛物线 y=2x2 先沿 x 轴向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后得到新的抛物线，那么新抛物线的表达式为
A. y=2x+22+3B. y=2x+22−3
C. y=2x−22−3D. y=2x−22+3

4. 如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，那么 sinA 的值为
A. 32B. 34C. 45D. 35

5. 如图是一个正方体纸盒，在下面四个平面图形中，是这个正方体纸盒展开图的是
A. B.
C. D.

6. 如图，AB 是半圆 O 的直径，半径 OC⊥AB 于 O，AD 平分 ∠CAB 交 BC 于点 D，连接 CD，OD，BD．下列结论中正确的是
A. AC∥ODB. CE=OE
C. △ODE∽△ADOD. AC=2CD

7. 对于不为零的两个实数 a，b，如果规定 a★b=14a2+12b,a>b−ba,a≤b，那么函数 y=x★2 的图象大致是
A. B.
C. D.

8. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校 800 名学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
下面有四个推断：
①从全校学生中随机抽取 1 人，该学生上个月仅使用A支付的概率为 0.3；
②从全校学生中随机抽取 1 人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为 0.45；
③估计全校仅使用B支付的学生人数为 200 人；
④这 100 名学生中，上个月仅使用A和仅使用B支付的学生支付金额的中位数为 800 元．
其中合理推断的序号是
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②③

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 已知 ∠A 为锐角，且 sinA=12，那么 ∠A= ∘．

10. 在如图所示的几何体中，其三视图中有三角形的是_________（填序号）．

11. 如果二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，那么 abc 0 填“＞”，“=”，或“＜”）．

12. 写出一个当自变量 x>0 时，y 随 x 的增大而减小的反比例函数的表达式 ．

13. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，∠BAC=60∘．如果 ⊙O 的半径为 2，那么弦 BC 的长为 ．

14. “永定楼”，作为门头沟区的地标性建筑，因其坐落在永定河畔而得名．为测得其高度，低空无人机在 A 处，测得楼顶端 B 的仰角为 30∘，楼底端 C 的俯角为 45∘，此时低空无人机到地面的垂直距离 AE 为 233 米，那么永定楼的高度 BC 是 米（结果保留根号）．

15. 如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率折线图，则符合图中这一结果的实验可能是 （填序号）．
①抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；
②在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀；
③四张一样的卡片，分别标有数字 1，2，3，4，从中随机取出一张，数字是 1．

16. 张华在网上经营一家礼品店，春节期间准备推出四套礼品进行促销，其中礼品甲 45 元/套，礼品乙 50 元/套，礼品丙 70 元/套，礼品丁 80 元/套，如果顾客一次购买礼品的总价达到 100 元，顾客就少付 x 元，每笔订单顾客网上支付成功后，张华会得到支付款的 80%．
①当 x=5 时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各 1 套，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证张华每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的六折，则 x 的最大值为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：∣−3∣−2−20−tan60∘+12−2．

18. 已知二次函数 y=x2−2x−3．
（1）用配方法将其化为 y=ax−h2+k 的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系 xOy 中，画出它的图象．

19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A−1,3，B−4,2，C0,−1．
（1）以 y 轴为对称轴，把 △ABC 沿 y 轴翻折，画出翻折后的 △A1B1C；
（2）在（1）的基础上，
①以点 C 为旋转中心，把 △A1B1C 顺时针旋转 90∘，画出旋转后的 △A2B2C；
②点 A2 的坐标为 ，在旋转过程中点 B1 经过的路径 B1B2 的长度为 （结果保留 π）．

20. 下面是小华同学设计的“作三角形的高线”的尺规作图的过程．
已知：如图 1，△ABC．
求作：AB 边上的高线．
作法：如图 2，
①分别以 A，C 为圆心，大于 12AC 长为半径作弧，两弧分别交于点 D，E；
②作直线 DE，交 AC 于点 F；
③以点 F 为圆心，FA 长为半径作圆，交 AB 的延长线于点 M；
④连接 CM．
则 CM 为所求 AB 边上的高线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：连接 DA，DC，EA，EC，
∵ 由作图可知 DA=DC=EA=EC，
∴DE 是线段 AC 的垂直平分线．
∴FA=FC．
∴AC 是 ⊙F 的直径．
∴∠AMC= ∘（ ）（填依据），
∴CM⊥AB．
即 CM 就是 AB 边上的高线．

21. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BD 于点 B．已知 ∠A=45∘，∠C=60∘，CD=2，求 AD 的长．

22. 已知二次函数 y=x2−mx+2m−4．
（1）求证：无论 m 取任何实数时，该函数图象与 x 轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为正数，求 m 的最小整数值．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x 与双曲线 y=kxk≠0 交于点 A2,a．
（1）求 a 与 k 的值；
（2）画出双曲线 y=kxk≠0 的示意图；
（3）设点 Pm,n 是双曲线 y=kxk≠0 上一点（P 与 A 不重合），直线 PA 与 y 轴交于点 B0,b，当 AB=2BP 时，结合图象，直接写出 b 的值．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，点 O 是斜边 AB 上一定点，到点 O 的距离等于 OB 的所有点组成图形 W，图形 W 与 AB，BC 分别交于点 D，E，连接 AE，DE，∠AED=∠B．
（1）判断图形 W 与 AE 所在直线的公共点个数，并证明．
（2）若 BC=4，tanB=12，求 OB．

25. 如图，AB 是直径所对的半圆弧，点 C 在 AB 上，且 ∠CAB=30∘，D 为 AB 边上的动点（点 D 与点 B 不重合），连接 CD，过点 D 作 DE⊥CD 交直线 AC 于点 E．
小明根据学习函数的经验，对线段 AE，AD 长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点 D 在 AB 上的不同位置，画图、测量，得到线段 AE，AD 长度的几组值，如下表：
位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置⋯⋯
在 AE，AD 的长度这两个量中，确定 的长度是自变量， 的长度是这个自变量的函数．
（2）在下面的平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 AE=12AD 时，AD 的长度约为 cm（结果精确到 0.1）．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−4ax+2aa≠0 的顶点为 P，且与 y 轴交于点 A，与直线 y=−a 交于点 B，C（点 B 在点 C 的左侧）．
（1）求抛物线 y=ax2−4ax+2aa≠0 的顶点 P 的坐标（用含 a 的代数式表示）；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段 AC 围成的封闭区域（不含边界）为“W 区域”．
①当 a=2 时，请直接写出“W 区域”内的整点个数；
②当“W 区域”内恰有 2 个整点时，结合函数图象，直接写出 a 的取值范围．

27. 如图，∠MON=60∘，OF 平分 ∠MON，点 A 在射线 OM 上，P，Q 是射线 ON 上的两动点，点 P 在点 Q 的左侧，且 PQ=OA，作线段 OQ 的垂直平分线，分别交 OM，OF，ON 于点 D，B，C，连接 AB，PB．
（1）依题意补全图形．
（2）判断线段 AB，PB 之间的数量关系，并证明．
（3）连接 AP，设 APOQ=k，当 P 和 Q 两点都在射线 ON 上移动时，k 是否存在最小值?若存在，请直接写出 k 的最小值；若不存在，请说明理由．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：如果点 P 为图形 M 上任意一点，点 Q 为图形 N 上任意一点，那么称线段 PQ 长度的最小值为图形 M，N 的“近距离”，记作 dM,N．若图形 M，N 的“近距离”小于或等于 1，则称图形 M，N 互为“可及图形”．
（1）当 ⊙O 的半径为 2 时，
①如果点 A0,1，B3,4，那么 dA,⊙O= ，dB,⊙O= ；
②如果直线 y=x+b 与 ⊙O 互为“可及图形”，求 b 的取值范围；
（2）⊙G 的圆心 G 在 x 轴上，半径为 1，直线 y=−x+5 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，如果 ⊙G 和 ∠CDO 互为“可及图形”，直接写出圆心 G 的横坐标 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. D
4. D
5. C
6. A
7. C
8. B
第二部分
9. 30
10. ①
11. ＜
12. 略
13. 23
14. 23+233
15. ②
16. 120，25
第三部分
17. ∣−3∣−2−20−tan60∘+12−2=3−1−3+4=3.
18. （1） y=x2−2x−3=x2−2x+1−1−3=x−12−4.
（2） 图象正确．
19. （1） 略；
（2） ①略；
② 4,−2；52π．
20. （1） 补图正确；
（2） 90，依据正确．
21. 过点 D 作 DE⊥BC 于 E，
∵ 在 Rt△CDE 中，∠C=60∘，CD=2，
∴CD=1，DE=3，
∵AB⊥BD，∠A=45∘，
∴∠ADB=45∘，
∵AD∥BC，
∴∠DBE=∠ADB=45∘，
∴ 在 Rt△DBE 中，∠DEB=90∘，DE=3，
∴BE=3，BD=6，
又 ∵ 在 Rt△ABD 中，∠ABD=90∘，∠A=45∘，BD=6，
∴AD=23．
22. （1） 由题意，得 Δ=m2−42m−4=m2−8m+16=m−42≥0，
∴ 无论 m 取任何实数时，该函数图象与 x 轴总有交点．
（2） ∵x=m±m−422，
∴x1=m−2，x2=2．
∵ 该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为正数，
∴m−2>0，
∴m>2．
∵m 取最小整数，
∴m=3．
23. （1） ∵ 直线 y=x 过点 A2,a，
∴a=2．
双曲线 y=kxk≠0 过点 A2,2，
∴k=4．
（2） 示意图正确．
（3） 6，−2．
24. （1） 正确画出图形，
判断有一个公共点．
连接 OE，如图．
∵BD是⊙O 的直径，
∴∠DEB=90∘，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠B，
又 ∵∠AED=∠B，
∴∠AED=∠OEB，
∴∠AEO=∠AED+∠DEO=∠OEB+∠DEO=∠DEB=90∘.
∴AE 是 ⊙O 的切线．
∴ 图形 W 与 AE 所在直线有 1 个公共点．
（2） ∵∠C=90∘，BC=4，tanB=12，
∴AC=2，AB=25．
∵∠DEB=90∘，
∴AC∥DE，
∴tan∠CAE=tan∠AED=tanB=12，
在 Rt△ACE 中，∠C=90∘，AC=2，
∴CE=1，
∴BE=3，
∵AC∥DE，
∴BEBC=2OBAB，
∴34=2OB25，
∴OB=345．
25. （1） AD；AE
（2） 略
（3） 2.2；3.3．
26. （1） 2,−2a
（2） ① 6 个．
② 12