2019-2020学年广东省惠州市惠城区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省惠州市惠城区九上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在下列图形中，不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 抛物线 y=x−12+2 的顶点坐标是
A. 1,2B. −1,2C. 1,−2D. −1,−2

3. 若关于 x 的方程 x2+mx+6=0 的一个根是 x=−2，则 m 的值是
A. 5B. −6C. 2D. −5

4. 在单词 prbability（概率）中任意选择一个字母，选中字母“i”的概率是
A. 211B. 29C. 12D. 911

5. 抛物线 y=3x2 向右平移一个单位得到的抛物线是
A. y=3x2+1B. y=3x2−1C. y=3x+12D. y=3x−12

6. 有 n 支球队参加篮球比赛，共比赛了 15 场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中符合题意的是
A. nn−1=15B. nn+1=15C. nn−1=30D. nn+1=30

7. 已知点 P−1,4 在反比例函数 y=kxk≠0 的图象上，则 k 的值是
A. 4B. −4C. 14D. −14

8. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，PD 切 ⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO=CD，则 ∠PCA=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 67.5∘

9. 函数 y=kx 与 y=kx2−kk≠0 在同一直角坐标系中的图象可能是
A. B.
C. D.

10. 如图，AB 是半圆 O 的直径，且 AB=4 cm，动点 P 从点 O 出发，沿 OA→AB→BO 的路径以每秒 1 cm 的速度运动一周．设运动时间为 t，s=OP2，则下列图象能大致刻画 s 与 t 的关系的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共7小题；共35分）
11. 方程 2x2−x=0 的根是 ．

12. 点 M3,a−1 与点 Nb,4 关于原点对称，则 a+b= ．

13. 将 △ABC 绕着点 C 顺时针方向旋转 50∘ 后得到 △AʹBʹCʹ．若 ∠A=40∘，∠Bʹ=110∘，则 ∠BCAʹ 的度数是 ．

14. 做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如表：
抛掷次数50100500800150030005000杯口朝上的频率
根据表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为 ．

15. 圆锥的底面半径为 6 cm，母线长为 10 cm，则圆锥的侧面积为 cm2．

16. 如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是 6 和 4，反比例函数 y=kxx<0 的图象经过点 C，则 k 的值为 ．

17. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象如图所示，图象过点 −4,0，对称轴为直线 x=−1，下列结论：
① abc>0；
② 2a−b=0；
③一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解是 x1=−4，x2=1；
④当 y>0 时，−4其中正确的结论有 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 解方程 x2−3x−1=0．

19. 如图，在边长为 1 的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上．
（1）画出 △ABC 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 后的 △AʹBʹCʹ．
（2）求点 B 绕点 O 旋转到点 Bʹ 的路径长（结果保留 π）．

20. 某学校自主开发了 A 书法、 B 阅读，C 绘画，D 器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．
（1）若学生小玲计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；
（2）若学生小强和小明各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少?

21. 若关于 x 的一元二次方程 1−mx2−4x+1=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围．
（2）若 m 为小于 10 的整数，且该方程的根都是有理数，求 m 的值．

22. 如图，点 A5,2，Bm,nm<5 在反比例函数 y=kx 的图象上，作 AC⊥y 轴于点 C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若 △ABC 的面积为 10，求点 B 的坐标．

23. 工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元?
（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品 100 件．若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大?获得的最大利润是多少元?

24. 如图，以 △ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A，B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，AC=FC．
（1）求证：AC 是 ⊙O 的切线；
（2）若 BF=8，DF=40，求 ⊙O 的半径；
（3）若 ∠ADB=60∘，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

25. 如图，在矩形 OABC 中，点 O 为原点，点 A 的坐标为 0,43，点 C 的坐标为 4,0，抛物线 y=−32x2+bx+c 经过点 A，C，与 AB 交于点 D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点 P 为线段 BC 上一个动点（不与点 C 重合），点 Q 为线段 AC 上一个动点，AQ=233CP，连接 PQ，设 CP=m，△CPQ 的面积为 S．求 S 关于 m 的函数表达式；
（3）抛物线 y=−32x2+bx+c 的顶点为 F，对称轴为直线 l，当 S 最大时，在直线 l 上，是否存在点 M，使以 M，Q，D，F 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点的 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. A【解析】∵y=x−12+2，
∴ 抛物线顶点坐标为 1,2．
3. A【解析】把 x=−2 代入 x2+mx+6=0 得 4−2m+6=0，
解得 m=5．
4. A【解析】字母 i 出现两次，其概率为 211．
5. D
【解析】y=3x2 的顶点坐标为 0,0，把点 0,0 右平移一个单位所得对应点的坐标为 1,0，所以平移后的抛物线解析式为 y=3x−12．
6. C【解析】设有 n 支球队参加篮球比赛，则此次比赛的总场数为 12nn−1 场，
根据题意列出方程得：12nn−1=15，
整理，得：即：nn−1=30．
7. B【解析】∵ 点 P−1,4 在反比例函数 y=kxk≠0 的图象上，
∴4=k−1，
解得，k=−4．
8. D【解析】如图，
∵PD 切 ⊙O 于点 C，
∴OC⊥PD，
又 ∵OC=OD，
∴∠COD=45∘，
∵AO=CO，
∴∠ACO=22.5∘，
∴∠PCA=90∘−22.5∘=67.5∘．
9. D【解析】分两种情况讨论：
①当 k<0 时，反比例函数 y=kx，在二、四象限，而二次函数 y=kx2−k 开口向下，故A，B，C，D都不符合题意；
②当 k>0 时，反比例函数 y=kx，在一、三象限，而二次函数 y=kx2−k 开口向上，与 y 轴交点在原点下方，故选项D正确，
故选：D．
10. C
【解析】利用图象可得出：当点 P 在半径 AO 上运动时，s=OP2=t2；
在弧 AB 上运动时，s=OP2=4；
在 OB 上运动时，s=OP2=2π+4−t2．
第二部分
11. x1=0，x2=12
【解析】左边因式分解，得：x2x−1=0，
∴x=0 或 2x−1=0，
解得：x1=0，x2=12，
故答案为：x1=0，x2=12．
12. −6
【解析】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴b+3=0，4+a−1=0，
即：b=−3 且 a=−3，
∴a+b=−6．
13. 80∘
【解析】根据旋转的性质可得：∠Aʹ=∠A，∠AʹCBʹ=∠ACB，
∵∠A=40∘，
∴∠Aʹ=40∘，
∵∠Bʹ=110∘，
∴∠AʹCBʹ=180∘−110∘−40∘=30∘，
∴∠ACB=30∘，
∵ 将 △ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50∘ 后得到 △AʹBʹCʹ，
∴∠ACAʹ=50∘，
∴∠BCAʹ=30∘+50∘=80∘，
故答案是：80∘．
14. 0.22
【解析】依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在 0.22 左右，估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为 0.22．
15. 60π
【解析】圆锥的侧面积 =π×6×10=60π cm2．
16. −6
【解析】∵ 菱形的两条对角线的长分别是 6 和 4，
∴C−3,2，
∵ 点 C 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴2=k−3，
解得 k=−6．
17. ①②④
【解析】二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 开口向下，a<0，
对称轴为直线 x=−1，即 −b2a=−1，b=2a，b<0，
与 y 轴交在正半轴，c>0，
∴abc>0，因此①正确；
∵b=2a，即 2a−b=0，因此②正确；
图象过点 −4,0，对称轴为直线 x=−1，因此与 x 轴另一个交点 2,0，
因此一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解是 x1=−4，x2=2；故③不正确；
由图象可得，图象位于 x 轴上方时，即 y>0 时，相应的自变量的取值范围为 −4综上所述，正确的结论有：①②④．
第三部分
18.
x2−3x−1=0.
这里
a=1,b=−3,c=−1.
因为
Δ=9+4=13.
所以
x=3±132.
所以
x1=3+132,x2=3−132.
19. （1） 如图，△AʹBʹCʹ 为所作；
（2） OB=32+32=32，
点 B 绕点 O 旋转到点 Bʹ 的路径长 =90⋅π⋅32180=322π．
20. （1） 共有 6 种等可能的结果数，它们是：AB，AC，AD，BC，BD，CD．
（2） 画树状图为：
共有 16 种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为 4，
所以他们两人恰好选修同一门课程的概率 =416=14．
21. （1） 由题意可知：Δ=12+4m>0，
∴m>−3，
∵1−m≠0，
∴m≠1，
∴m 的取值范围为：m>−3 且 m≠1．
（2） ∵m 为小于 10 的整数，又 m>−3 且 m≠1．
∴m 可以取 −2，−1，0，2，3，4，5，6，7，8，9，
当 m=−2 或 6 时，Δ=4或36，为平方数，
此时该方程的根都是有理数．
22. （1） 将 A5,2 代入反比例函数 y=kx，得 2=k5．
解得 k=10．
∴ 反比例函数表达式为 y=10x．
（2） 过点 B 作 BD⊥AC 于点 D．
∵ 点 A 的坐标为 5,2，AC⊥y 轴，
∴AC=5．
∵△ABC 的面积为 10，
∴12AC⋅BD=10．
∴BD=4．
∴n=4+2=6．
将 Bm,6 代入反比例函数 y=10x，得 m=53．
∴ 点 B 的坐标为 53,6．
23. （1） 设该工艺品每件的进价是 x 元，标价是 y 元．
依题意得方程组：
y−x=45,8y⋅0.85−8x=y−35⋅12−12x,
解得：
x=155,y=200.
故该工艺品每件的进价是 155 元，标价是 200 元．
（2） 设每件应降价 a 元出售，每天获得的利润为 W 元．
依题意可得 W 与 a 的函数关系式：
W=45−a100+4a，
W=−4a2+80a+4500，
配方得：W=−4a−102+4900．
当 a=10 时，W最大=4900．
故每件应降价 10 元出售，每天获得的利润最大，最大利润是 4900 元．
24. （1） 如图，连接 OA，OD，
∵D 为弧 BE 的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠DOF=90∘，
∴∠ODF+∠OFD=90∘，
∵AC=FC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠ODF，
∵∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90∘，
∴OA⊥AC，
∵OA 为半径，
∴AC 是 ⊙O 的切线．
（2） 设 ⊙O 的半径为 r，
∴OD=r，OF=8−r，
在 Rt△DOF 中，OD2+OF2=DF2，
∴r2+8−r2=402，
解得：r1=6，r2=2（舍去）．
∴⊙O 的半径为 6．
（3） ∵∠DOF=90∘，OB=OD，
∴OB=22BD=22，
∴OA=22，
∵∠AOB=2∠ADB=120∘，
∴∠AOC=60∘，
∵OA⊥AC，
∴∠C=30∘，
∴OC=2OA=2，
∴AC=62，
∴S阴影=S△OAC−S扇形AOE=12×2×62−60⋅π⋅222360=33−π12.
25. （1） 将点 A0,43，C4,0 代入 y=−32x2+bx+c，
得，c=43,−83+4b+c=0,
解得，b=3，c=43，
∴ 抛物线的解析式为：y=−32x2+3x+43．
（2） ∵OA=43，OC=4，
∴AC=OA2+OC2=432+42=8，
在 Rt△AOC 中，
sin∠OAC=OCAC=48=12，
∴∠OAC=∠ACB=30∘，
过点 Q 作 QE⊥BC 于点 E，
则 QE=12CQ=128−233m，
∴S=12CP⋅QE=12×12m8−233m=−36m2+2m．
（3） 存在符合条件的 M，理由如下：
由（2）得 S=−36m2+2m=−36m−232+23，
当 m=23 时，S 取最大值，此时，QE=2，
∴Q2,23，
又 ∵ 点 D 在抛物线 y=−32x2+3x+43=−32x−12+932 上，
∴ 当 y=43 时，x=2，
∴D2,43，顶点 F1,932，
设点 M 的坐标为 1,y，
则 MF∥DQ，
∴ 当 MF=DQ 时，以 M，Q，D，F 为顶点的四边形是平行四边形，
∴y−932=43−23 或 932−y=43−23，
解得，y=1332 或 y=532，
∴ 符合条件的点 M 的坐标为 1,1332，1,532．