2019-2020学年广东广州越秀区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东广州越秀区八上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知一个三角形两边的长分别是 2 和 5，那么第三边的边长可能是下列各数中的
A. 1B. 2C. 3D. 5

2. 如图，已知 ∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定 △ABC≌△BAD 的是
A. AC=BDB. ∠CAB=∠DBA
C. ∠C=∠DD. BC=AD

3. 下列运算正确的是
A. a2+a2=a4B. a3÷a=a3C. a2⋅a3=a5D. a24=a6

4. 要使分式 5xx+3 有意义，则 x 的取值范围是
A. x≠−3B. x≠3C. x≠0D. x≠±3

5. 下列变形从左到右一定正确的是
A. ab=a−2b−2B. ab=acbcC. ab=a2b2D. axbx=ab

6. 如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条．
A. 1B. 2C. 3D. 4

7. 如图，用尺规作出 ∠AOB 的角平分线 OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS

8. 若等腰三角形中的一个外角等于 130∘，则它的顶角的度数是
A. 50∘B. 80∘C. 65∘D. 50∘ 或 80∘

9. 如图，AD∥BC，BG，AG 分别平分 ∠ABC 与 ∠BAD，GH⊥AB，GH=5，则 AD 与 BC 之间的距离是
A. 5B. 8C. 10D. 15

10. 若 a，b，c 是 △ABC 的三边长，且 a2+b2+c2−ab−ac−bc=0，则 △ABC 的形状是
A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形
C. 等边三角形D. 不能确定

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 一个多边形的内角和是 1800∘，它是一个 边形．

12. 若关于 x 的多项式 x2+10x+k（k 为常数）是完全平方式，则 k= ．

13. 分式 32a3b2c 与 a−b6a2b4c 的最简公分母是 ．

14. 若 3m=5，3n=8，则 32m+n= ．

15. 点 −3,4 与点 a2,b2 关于 y 轴对称，则 a+ba−b= ．

16. 如图，△ABC 是等边三角形，AD=13AB，点 E，F 分别为边 AC，BC 上的动点，当 △DEF 的周长最小时，∠FDE 的度数是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 解分式方程：3x+1=xx−1−1．

18. 计算：
（1）−2x3−3xx−2x2．
（2）x+2y2−x−2yx+2y÷4y．

19. 分解因式：
（1）a−6ab+9ab2．
（2）x2x−y+y2y−x．

20. 如图，点 D 是 △ABC 的 BC 边上的一点，且 ∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=69∘，求 ∠DAC 的度数．

21. 先化简再求值：1−xx+1÷2x2−1，其中 x=−3．

22. 如果 a2+2a−1=0，求代数式 a−4a⋅a2a−2 的值．

23. 如图，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，F，G 分别是 OA，OB 上的点且 PF=PG，DF=EG．
（1）求证：OC 是 ∠AOB 的平分线．
（2）若 PF∥OB，且 PF=8，∠AOB=30∘，求 PE 的长．

24. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘，点 P 是直线 AC 上的动点（不和 A，C 重合），CD⊥BP 于点 D，交直线 AB 于点 Q．
（1）当点 P 在边 AC 上时，求证：AP=AQ．
（2）若点 P 在 AC 的延长线上时，（1）的结论是否成立?若成立，请画出图形（不写画法，画出示意图）；若不成立，请直接写出正确结论．

25. 春节前夕，某超市用 6000 元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用 8800 元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多 20 元，且数量是第一批箱数的 43 倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元．
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的 10 箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于 36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元?

26. 如图所示，点 O 是线段 AC 的中点，OB⊥AC，OA=9．
（1）如图 1，若 ∠ABO=30∘，求证 △ABC 是等边三角形．
（2）如图 1，在（1）的条件下，若点 D 在射线 AC 上，点 D 在点 C 右侧，且 △BDQ 是等边三角形，QC 的延长线交直线 OB 于点 P，求 PC 的长度．
（3）如图 2，在（1）的条件下，若点 M 在线段 BC 上，△OMN 是等边三角形，且点 M 沿着线段 BC 从点 B 运动到点 C，点 N 随之运动，求点 N 的运动路径的长度．
答案
第一部分
1. D【解析】设第三边的边长 x，
∵ 一个三角形两边的长分别是 2 和 5，
∴5−2 ∴ 第三边的边长可能是 5．
2. A【解析】由题意，得 ∠ABC=∠BAD，AB=BA，
A．∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，SSA 三角形不全等，故A错误；
B．在 △ABC 与 △BAD 中，
∠ABC=∠BAD,AB=BA,∠CAB=∠DBA,
△ABC≌△BADASA，故B正确；
C．在 △ABC 与 △BAD 中，
∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AB=BA,
△ABC≌△BADAAS，故C正确；
D．在 △ABC 与 △BAD 中，
BC=AD,∠ABC=∠BAD,AB=BA,
△ABC≌△BADSAS，故D正确．
3. C
4. A【解析】要使分式 5xx+3 有意义，则 x 的取值范围是 x+3≠0，即 x≠−3．
5. D
6. C【解析】
7. A【解析】在 △OCE 和 △ODE 中，
CO=DO,EO=EO,CE=DE,
∴△OCE≌△ODESSS．
8. D【解析】作等腰三角形 ABC，AB=AC，∠FAB，∠ECA 是 △ABC 的两个外角，
当 ∠FAB=130∘ 时，
∵∠FAB+∠BAC=180∘，∠FAB=130∘，
∴∠BAC=50∘，
当 ∠ECA=130∘ 时，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角），
∵∠ACE=130∘，∠ACB+∠ACE=180∘，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=50∘，
∵∠ECA=∠ABC+∠BAC=130∘，∠ABC=50∘，
∴∠BAC=80∘，
即等腰三角形的一个外角等于 130∘，则它的顶角是 80∘ 或 50∘．
9. C【解析】过点 G 作 GF⊥BC 于 F，交 AD 于 E，
∵AD∥BC，GF⊥BC，
∴GE⊥AD，
∵AG 是 ∠BAD 的平分线，GE⊥AD，GH⊥AB，
∴GE=GH=5，
∵BG 是 ∠ABC 的平分线，FG⊥BC，GH⊥AB，
∴GF=GE=5，
∴EF=GF+GE=10．
10. C
【解析】因为 a2+b2+c2=ab+ac+bc，
所以 2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，
所以 2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc=0，
a2−2ab+b2+a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0，
a−b2=0，a−c2=0，b−c2=0，得 a=b，
且 a=c 且 b=c，即 a=b=c，
所以 △ABC 是等边三角形．
第二部分
11. 十二
【解析】设这个多边形边数为 n，
∴n−2×180∘=1800，
∴n=12，
∴ 这是个十二边形．
12. 25
【解析】∵x2+10x+k 是完全平方式，
∴k=10÷22=52=25，即 x2+10x+25=x+52．
13. 6a3b4c
14. 200
【解析】∵3m=5，3n=8，
∴32m+n=32m⋅3n =3m2⋅3n=52×8=25×8=200.
15. −1
【解析】∵−3,4 与点 a2,b2 关于 y 轴对称，
∴a2=3，b2=4，
∴a+ba−b=a2−b2=3−4=−1．
16. 60∘
【解析】如图所示，过点 D 作 D 点关于直线 BC 对称点 M，
过点 D 作 D 点关于直线 AC 对称点 N，
连接 DM，MF，DN，NE，
∴DF=MF，DE=NE，DM⊥BC，DN⊥AC，
∠FDM=∠M，∠EDN=∠N，
∵△DEF 周长 =DE+DF+EF，
∴△DEF 周长 =FM+EF+EN，
∴ 当点 M，F，E，N 共线时，△DEF 周长是小，最小值为 MN，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠A=∠B=60∘，
∴∠BDM=90∘−∠B=30∘，
∠ADN=90∘−∠A=30∘，
∴∠MDN=180∘−∠BDM−∠ADN=120∘，
∴∠MDF+∠FDE+∠EDN=∠M+∠N+∠FDE=120∘，
在 △DEF 中有 ∠FDE+∠DFE+∠DEF=180∘，
∵∠DFE=∠FDM+∠M=2∠M，∠DEF=∠EDN+∠N=2∠N
∴∠FDE+2∠M+2∠N=180∘，
∴∠M+∠N=60∘，
∴∠FDE=120∘−∠M+∠N=60∘．
故 ∠FDE 的度数是 60∘．
第三部分
17. 去分母得：
3x−3=x2+x−x2+1.
解得：
x=2.
经检验 x=2 是分式方程的解．
18. （1） 原式=−8x3−3x2+6x3=−2x3−3x2.
（2） 原式=x2+4xy+4y2−x2+4y2÷4y=8y2+4xy÷4y=2y+x.
19. （1） a−6ab+9ab2=a1−6b+9b2=a1−3b2.
（2） x2x−y+y2y−x=x2x−y−y2x−y=x−yx2−y2=x−y⋅x−yx+y=x−y2x+y.
20. ∵∠1=∠2，
∴∠4=∠1+∠2=2∠1，
∴∠1=12∠4，
又 ∵∠BAC=∠1+∠DAC，∠3=∠4，
∴12∠4+180∘−2∠4=69∘，
∴∠4=74∘，
∴∠DAC=180∘−2∠4=32∘．
21. 原式=x+1−xx+1⋅x+1x−12=x−12.
∵x=−3，
∴x−12=−3−12=−2．
22. 原式=a2a−4a⋅a2a−2=a2−4a⋅a2a−2=a+2a−2a⋅a2a−2=aa+2=a2+2a.
∵a2+2a−1=0，
∴原式=1．
23. （1） 在 Rt△PFD 和 Rt△PGE 中，
PF=PG,DF=EG.
∴Rt△PFD≌Rt△PGEHL，
∴PD=PE
∵P 是 OC 上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∵OC 是 ∠AOB 的平分线．
（2） ∵PF∥OB，∠AOB=30∘，
∴∠PFD=∠AOB=30∘，
在 Rt△PDF 中，PD=12PF=4，
∴PE=PD=4．
24. （1） ∵CD⊥BP，
∴∠BDC=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAC=∠BDC=90∘，
∴∠ABP=∠ACD，
在 △ABP 和 △ACQ 中，
∠ABP=∠ACQ,AB=AC,∠BAP=∠CAQ,
∴△ABP≌△ACQASA
∴AP=AQ．
（2） 成立，如图所示．
【解析】∵CD⊥BP，
∴∠CDP=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠CAQ=90∘，
∴∠PDC=∠QAC=90∘，
∵∠ACQ=∠DCP，
∴∠Q=∠P，
在 △ABP 和 △ACQ 中，
∠P=∠Q,∠BAP=∠CAQ,AB=AC,
∴△ABP≌△ACQAAS
∴AP=AQ，
∴（1）中结论依然成立．
25. （1） 设第一批箱装饮料每箱色进价是 x 元，购进了 y 箱，
则第二批每箱的进价为 x+20 元，购进了 43y 箱，
根据题意可得：
xy=6000,43yx+20=8800.
解得：
x=200,y=30.
故第一批箱装饮料每箱色进价是 200 元．
（2） 由（1）可知，第一批进货的单价为 200 元/箱，数量为 30 箱，第二批进货的单价为 220 元/箱，数量为 40 箱，
设每箱的标价为 m 元，根据题意可得：
m−200×30+m−220×30+0.8m−220×106000+8800×100%≥36%.
解得：
m≥296.
故每箱饮料的标价至少 296 元．
26. （1） ∵ 点 O 是线段 AC 的中点，
∴AO=CO，
∵OB⊥AC，
∴AB=BC，
∴∠ABO=∠CBD=30∘，
∴∠ABC=60∘，
∴△ABC 是等边三角形．
（2） ∵△BDQ，△ABC 都是等边三角形，
∴BA=BC，BD=BQ，
∴∠ABC=∠DBQ=60∘，
∴∠ABD=CBQ，
在 △BAD 和 △BCQ 中，
BA=BC,∠ABD=∠CBQ,BD=BQ,
∴△BAD≌△BCQ，
∴∠BAD=∠BCQ=60∘，
∵∠ACB=60∘，
∴∠ACP=60∘，
∵∠POC=90∘，OA=OC=9，
∴PC=2OC=18．
（3） 取 BC 的中点 H，连接 OH，CN，
∵ 点 H 是 BC 的中点，∠BOC=90∘，
∴OH=BH=CH，
∵∠OCH=60∘，
∴△OCH 是等边三角形，
∴OC=OH，∠COH=90∘，
∵△OMN 也是等边三角形，
∴∠MON=60∘，OM=ON，
∴∠MON=∠COH，
∴∠CON=∠HOM，
在 △OCN 和 △OHM 中，
OC=OH,∠CON=∠HOM,ON=OM,
∴△OCN≌△OHM，
∴∠OCN=∠OHM，MH=CN，
∵∠OHM=180∘−∠OHC=120∘，
∴∠OCN=120∘，
∴ 点 M 沿线段 BC 从点 B 运动到点 C，点 N 随之运动，N 点也在一条线段上运动，
∴N 点运动的长度即为 BC 的长度，即为 18．