2019-2020学年广东省广州市越秀区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省广州市越秀区九上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 用配方法解方程 x2−4x−5=0 时，原方程变形为
A. x−22=9B. x+22=7C. x−22=4D. x+22=1

3. 若将抛物线 y=5x2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的新抛物线的表达式为
A. y=5x−22+1B. y=5x+22+1
C. y=5x−22−1D. y=5x+22−1

4. 已知 Ax1,y1，Bx2,y2 为二次函数 y=−x−12+k 图象上两点，且 x1A. y1+y2>0B. y1+y2<0C. y1−y2>0D. y1−y2<0

5. 下列事件为必然事件的是
A. 掷一枚硬币，正面朝上
B. 弦是直径
C. 等边三角形的中心角是 120∘
D. 位似的两个三角形的对应边互相平行

6. 如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m，n，于 a，b，c 分别交点 A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则 BF=
A. 7B. 7.5C. 8D. 8.5

7. 如图，在 △ABC 中，CD，BE 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的中线，则 S△DEFS△BCF=
A. 25B. 12C. 13D. 14

8. 如图，AB，AC 为 ⊙O 的两条切线，∠BAC=50∘，点 D 是 BC 上一点，则 ∠BDC 的大小是
A. 100∘B. 110∘C. 115∘D. 125∘

9. 《 九章算术 》 是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最髙成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED=1 寸），锯道长 1 尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少?”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径 AC 是
A. 13 寸B. 20 寸C. 26 寸D. 28 寸

10. 如图，BD 为矩形 ABCD 的对角线，将 △BCD 沿 BD 翻折得到 △BCʹD．BCʹ 与边 AD 交于点 E．若 AB=x1，BC=2x2，DE=3，其中 x1，x2 是关于 x 的方程 x2−4x+m=0 的两个实根，则 m 的值是
A. 3B. 125C. 165D. 2

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 关于 x 的方程 m+1x2+2mx+1=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是 ．

12. 在平面直角坐标系中，有两点 A1,2，B3,1，以原点 О 为位似中心，将 △OAB 放大为原来的 3 倍，得到 △OAʹBʹ，则点 A 的对应点 Aʹ 的坐标是 ．

13. 一个袋中装有 m 个红球，10 个黄球，n 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么 m 与 n 的关系是 ．

14. 若圆锥的底面半径是 2，侧面展开图是一个圆心角为 120∘ 的扇形，则该圆锥的母线长是 ．

15. 如图，已知点 B3,3，C0,6 是抛物线 y=ax2−4x+ca≠0 上两点，A 是抛物线的顶点，P 点是 x 轴上一动点，当 PA+PB 最小时，P 点的坐标是 ．

16. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90∘，AD=CD，AB+BC=8，则四边形 ABCD 的面积是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：2x2−3x−2=0．

18. 在平面直角坐标系中，△OAB 的位置如图所示，且点 A−3,4，B2,1，将 △OAB 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 后得到 △OAʹBʹ．
（1）在如图中画出 △OAʹBʹ．
（2）求点 A 在旋转过程中所走过的路线长．

19. 已知抛物线 y=−x2+2x+3．
（1）该抛物线的对称轴是 ．
（2）选取适当的数据填入下表，并在右图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．
x⋯ ⋯y⋯ ⋯
（3）根据函数的图象，直接写出不等式 −x2+2x+3>0 的解．

20. 如图，在等边 △ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，∠ADE=60∘．
（1）求证：∠BAD=∠CDE．
（2）若 BD=4，CE=2，求 △BAC 的边长．

21. 有A，B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字 0，1，2，3，B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字 0，1，2 .小明先从A布袋中随机取出一个小球，用 m 表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用 n 表示取出的球上标有的数字.
（1）若用 m,n 表示小明取球时 m 与 n 的对应值，请画出树状图并写出 m,n 的所有取值.
（2）求关于 x 的一元二次方程 x2−mx+12n=0 有实数根的概率．

22. 有一批图形计算器，原售价为每台 800 元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两台每台都为 760 元，依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减 20 元；乙公司一律按原售价的 75% 促销、某单位需购买一批图形计算器：
（1）若此单位需购买 4 台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少?
（2）若该单位计划购买 m 台图形计算器，经过对比发现，在两家公司购买相差 480 元，试求 m 的值．

23. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=6．
（1）动手操作：利用尺规作以 BC 为直径的 ⊙O，并标出 ⊙O 与 AB 的交点 D，与 AC 的交点 E，连接 DE（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）综合应用：在你所作的圆中，
①求证：DE∥BC．
②求线段 DE 的长．

24. 如图，抛物线 y=ax2+4a−1x−4 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，且 OC=2OB．点 D 为线段 OB 上一动点（不与点 B 重合），过点 D 作矩形 DEFH，点 H，F 在抛物线上，点 E 在 x 轴上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当矩形 DEFH 的周长最大时，求矩形 DEFH 的面积．
（3）在（2）的条件下，矩形 DEFH 不动，将抛物线沿着 x 轴向左平移 m 个单位，抛物线与矩形 DEFH 的边交于点 M，N，连接 M，N．若 MN 恰好平分矩形 DEFH 的面积，求 m 的值．

25. 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，AD=1，AB=3，∠DAB=60∘，点 E 为边 CD 上一动点，过点 C 作 AE 的垂线交 AE 的延长线于点 F．
（1）求 ∠D 的度数；
（2）若点 E 为 CD 的中点，求 EF 的值；
（3）当点 E 在线段 CD 上运动时，AFAE 是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. A【解析】x2−4x−5=0，
x2−4x=5，
x2−4x+4=5+4，
x−22=9．
故选A．
3. A【解析】y=5x2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，
得到的新抛物线的表达式为 y=5x−22+1．
4. D【解析】二次函数 y=−x−12+k 中，a=−1<0，开口向下，
对称轴 x=1，
∴ 当 x<1 时，y 随 x 增大而增大，
∵x1 ∴y1 ∴y1−y2<0．
5. C
6. B【解析】因为 a∥b∥c，
所以 ACCE=BDDF，
因为 AC=4，CE=6，BD=3，
所以 46=3DF，
解得：DF=92，
所以 BF=BD+DF=3+92=7.5．
7. D【解析】∵CD，BE 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中线，
∴D，E 分别是边 AB，AC 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线，
∴DE=12BC，DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，且相比为 DEBC=12BCBC=12，
∴S△DEFS△BCF=122=14．
8. C【解析】在优弧 BC 上任取一点 E，
连接 OB，OC，EB，EC，
∵AB，AC 是 ⊙O 切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠ABO=∠ACO=90∘，
∴∠BAC+∠BOC=180∘，
∵∠BAC=50∘，
∴∠BOC=130∘，
∴∠BEC=12∠BOC=65∘，
∵ 四边形 BDCE 是 ⊙O 内接四边形，
∴∠BDC+∠BEC=180∘，
∴∠BDC=115∘．
9. C【解析】设 ⊙O 的半径为 r，
在 Rt△ADO 中，AD=5，OD=r−1，OA=r，
则有 r2=52+r−12，
解得 r=13，
所以 ⊙O 的直径为 26 寸．
10. C
【解析】由折叠性质可知：
CʹD=CD，∠Cʹ=∠C，
∵ABCD 为矩形，
∴AD=BC=2x2，AB=CD=CʹD=x1，
∵∠A=∠Cʹ=90∘，∠AEB=∠CʹED，
∴△ABE∽△CʹDE，
∴AB=CʹD，
∴△ABE≌△CʹDE，
∴BE=DE=3，
∴AE=AD−DE=2x2−3，
∴△ABE 中有 BE2=AB2+AE2，
∴9=x12+2x2−32=x12+4x22−12x2+9，
∴x12+x22+3x22−12x2=0，
∵x1，x2 为关于 x 方程 x2−4x+m=0 两根，
∴x1+x2=4,x1⋅x2=m,
∴x1+x22=x12+x22+2x1x2=x12+x22+2m=16，
∴x12+x22=16−2m，
x1=4−x2，
x1x2=4−x2x2=4x2−x22=m，
∴x22−4x2=−m，
∴3x22−12x2=−3m，
∴16−2m−3m=0，
∴m=165．
故选C
第二部分
11. m≠−1
【解析】根据一元二次方程的定义得：m+1≠0，即 m≠−1．
12. 3,6 或 −3,−6
【解析】以原点 O 为位似中心，将 △OAB 放大为原来的 3 倍，得到 △OAʹBʹ，则点 A 的对应点 Aʹ 坐标是 1×3,2×3 或 1×−3,2×−3，即为 3,6 或 −3,−6．
13. m+n=10
【解析】∵ —个袋中裝有 m 个红球，10 个黄球，n 个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，
∴ m 与 n 的关系是：m+n=10．
14. 6 cm
【解析】设圆锥的母线长为 x cm，
根据题意得 120⋅π⋅x180=2π⋅2，
解得 x=6，
即圆锥的母线长为 6 cm．
15. 125,0
【解析】∵ 抛物线 y=ax2−4x+ca≠0 经过 B，C 两点，
∴9a−12+c=3,c=6, 解得 a=1,c=6,
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−4x+6=x−22+2，
∴ 抛物线的顶点 A 的坐标为 2,2，
∴ 点 A 关于 x 轴的对称点 Aʹ 的坐标为 2,−2，
设 AʹB 所在的直线方程为 y=kx+b，
则 2k+b=−2,3k+b=3, 解得 k=5,b=−12,
∴ 直线 AʹB 的方程为 y=5x−12，
令 y=0，解得 x=125，
∴ 直线 AʹB 与 x 轴的交点坐标为 125,0，
即为所求 P 点的坐标，
故 P 点坐标为：125,0．
16. 16
【解析】如图，连接 AC．
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12BC⋅AB+12CD×AD=12BC⋅AB+12AD2=12BC⋅AB+12CD2,
∵AB+BC=8，
∴BC2+AB2+2BC×AB=64，
∴4S△ABC+4S△ACD=64，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=16．
第三部分
17.
2x2−3x−2=0,2x+1x−2=0,x1=−12,x2=2.
18. （1） 如图即为所求．
（2） 如图所示，
AA1 的长度即为点 A 在旋转过程中走过的路线长．
∵A−3,4，
∴OA=32+42=5，
∴lAA1=90180×π×5=52π，
∴ 点 A 在旋转过程中走过的路径长为 52π．
19. （1） x=1
【解析】对称轴为，
x=−b2a=−22x⋅−1=1.
∴ 对称轴为 x=1．
（2） 抛物线图象如下：
x⋯012−1−2⋯y⋯3430−5⋯
（3） −x2+2x+3>0，即 y>0，
由图知 −10，
∴ −10．
20. （1） ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B=∠C=60∘，AB=BC；
∴CD=BC−BD=AB；
∴∠BAD+∠ADB=120∘，
∵∠ADE=60∘，
∴∠ADB+∠EDC=120∘，
∴∠BAD=∠CDE．
（2） ∵∠B=∠C=60∘，
∴△ABD∽△DCE；
∴ABCD=BDCE，
∵BD=4，CE=2，
∴ABAB−4=42，解得 AB=8．
故 △ABC 边长为 8．
21. （1） 画树状图得：
则 m,n 的所有取值为：0,0，0,1，0,2，1,0，1,1，1,2，2,0，2,1，2,2，3,0，3,1，3,2 .
（2） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−mx+12n=0 有实数根，
∴Δ=m2−2n≥0，∴ 关于 x 的一元二次方程 x2−mx+12n=0 有实数根的有：0,0，1,0，2,0，2,1，2,2，3,0，3,1，3,2 .
∴ 关于 x 的一元二次方程 x2−mx+12n=0 有实数根的概率为：812=23．
22. （1） 去甲公司购买花费：800−4×20×4=2880（元），
去乙公司购买花费：800×4×75%=2400（元），
∵2880>2400，
∴ 去乙公司购买花费少．
（2） 去甲公司花费：m800−20m=800m−20m2，
去乙公司花费：800×75%m=600m．
∵ 在两家公司购买相差 480 元，
∴ 当去甲公司花费较多时，
800m−20m2=600m+480，
整理得：m2−10m+24=0，
解得：m1=4，m2=6，
当去甲公司花费较少时：800m−20m2=600m−480，
整理得：m2−10m−24=0，
解得 m1=12，m2=−2（舍），
综上 m 的值为 4 或 6 或 12．
23. （1） 如下图即为所求：
（2） ① ∵ 四边形 BCED 内接于 ⊙O，
∴∠C+∠BDE=180∘，
∵∠ADE+∠BDE=180∘，
∴∠C=∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC．
②如图所示：连接 OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∵∠B=∠B，∠C=∠ODB，
∴△BDO∽△BCA，
∴BDBC=BOBA，即 BD6=35，
∴BD=185，AD=5−185=75，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，即 755=DE6．
∴DE=4225．
24. （1） 令 x=0 则 y=−4，
∴C0,−4，
∴OC=4，
∵OC=2OB=4，
∴OB=2，即 B2,0，
把 B2,0 代入 y=ax2+4a−1x−4，
则 4a+24a−1−4=0，
解得：a=12，
∴ 二次函数解析式：y=12x2+x−4．
（2） 设 H 点坐标为 t,12t2+t−4，
∵DH⊥AB，
∴DH=−12t2−t+4，
∵ 抛物线对称轴为 x=−12×12=−1，
点 H 与点 F 关于直线 x=−1 对称，
∴F−2−t,12t2+t−4，
∴FH=2t+2，
∴C矩形DEFH=2×2t+2+−12t2−t+4=−t2+2t+12=−t−12+13,
∵−1<0 且 0≤t1<2，
∴ 当 t=1 时，矩形周长最大，
此时，DH=−12−1+4=52，EH=4，
∴S矩形DEFH=52×4=10．
（3） 方法一：
∵MN 恰好平分矩形 DEFH 面积，
∴MN 必过矩形 DEFH 的对角线交点，
设矩形 DEFH 的对角线交点为 P，
则 P 为 DF 交点，
由（2）可知 D1,0，F−3,−52，
∴P−1,−54，
将抛物线 y=12x2+x−4 向左平移 m 个单位，
则有
y=12x+m2+x+m−4=12x2+m+1x+12m2+m−4,
令 y=0，则 12x2+m+1x+12m2+m−4=0，
Δ=m+12−4×12×12m2+m−4=9，
∴x1=−m−1+32×12=−m+2，
x2=−m−1−32×12=−m−4（舍去），
∴M−m+2,0，
令 y=−52，则 12x2+m+1x+12m2+m−4=−52，
12x2+m+1x+12m2+m−32=0，
Δ=m+12−4×12×12m2+m−32=4，
∴x1=−m−1+22×12=−m+1，
x2=−m−1−22×12=−m−3（舍去），
∴N−m+1,−52，
由对称性则点 P 为线段 MN 的中点，
∴−m+2+−m+12=−1，
m=52，
∴m=52．
【解析】方法二：
如图，连接 BH，EH，DF，设 EH 与 DF 交于点 G，过点 G 作 BH 的平行线，交 ED 与 M，交 HF 于点 N，则直线 MN 将矩形 DEFH 的面积分成相等的两半，
由（2）知，抛物线对称轴为 x=−1，H1,−52，
∴G−1,−54，
设直线 BH 的解析式为 y=kx+b，
将点 B2,0，H1,−52 代入，
得，2k+b=0,k+b=−52, 解得 k=52,b=−5,
∴ 直线 BH 的解析式为 y=52x−5．
∴ 可设直线 MN 的解析式为 y=52x+n．
将点 −1,−54 代入，得 n=54，
∴ 直线 MN 的解析式为 y=52x+54．
当 y=0 时，x=−12，
∴M−12,0．
∵B2,0，
∴ 将抛物线沿着 x 轴向左平移 52 个单位，抛物线与矩形 DEFH 的边交于点 M，N，连接 M，N，则 MN 恰好平分矩形 DEFH 的面积，
∴m 的值为 52．
25. （1） ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠DAB=180∘，
∵∠DAB=60∘，
∴∠D=120∘．
（2） 过 A 作 AH⊥CD 交 CD 延长线于点 H，
在 Rt△AHD 中，∠ADH=180∘−∠ADC=60∘，
则 ∠DAH=90∘−∠ADH=30∘，
∴DH=12，AD=12，AH=AD2−DH2=32，
∵E 为 CD 中点，
∴CE=DE=12CD=32，
∴HE=DH+DE=2，
在 Rt△AEH 中，∠AHE=90∘，
∴AE=AH2+HE2=192，
∵∠H=∠F=90∘，∠HEA=∠FEC，
∴△HEA∽△FEC，
∴HEFE=EAEC，即：2FE=19232，
∴EF=61919．
（3） 过 F 作 FN⊥AB 交 AB 所在直线于 N，交 CD 于 M，
∵AB∥CD，
∴AFAE=FNMN，
由（2）可知：MN=AH=32，
∴AFAE=FN32，
要使 AFAE 的值最大则 FN 最大，
连接 AC，则在 Rt△AHC 中，AC=AH2+HC2=34+494=13，
∵AC=13，∠AFC=90∘，
∴ 点 F 在以 AC 为直径的圆上，
设以 AC 为直径的圆圆心为 O，当 FN 经过圆心 O 时，FN 长度最大，
此时 FN=FO+ON=132+12MN=132+34，
∴AFAE 的最大值为 132+3432=393+12．