2019-2020学年广东广州天河区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东广州天河区八上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列四个手机 APP 图标种，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 已知点 A 坐标为 3,−2，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，则点 B 的坐标为
A. −3,−2B. −3,2C. 2,−3D. 3,2

3. 下列运算正确的是
A. 2x23=6x6B. x6÷x3=x2C. 3x2−x2=3D. x⋅x4=x5

4. 若分式 xx−1 有意义，则 x 的取值范围是
A. x≠−1B. x≠1C. x≥−1D. x≥1

5. 已知图中的两个三角形全等，则 ∠α 的度数是
A. 72∘B. 60∘C. 58∘D. 50∘

6. 若多项式 x2+mx−28 可因式分解为 x−4x+7，则 m 的值为
A. −3B. 11C. −11D. 3

7. 外角和等于内角和的多边形是
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形

8. 等腰三角形的周长是 13 cm，其中一边长是 3 cm，则该等腰三角形的底边长为
A. 3 cmB. 5 cmC. 7 cmD. 3 cm 或 7 cm

9. 如图，在 △ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E．如果 AC=5 cm，BC=4 cm，那么 △DBC 的周长是
A. 7 cmB. 8 cmC. 9 cmD. 10 cm

10. 以下说法正确的是
①一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等
②两条边相等的两个直角三角形全等
③有一边相等的两个等边三角形全等
④两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
A. ①②B. ②④C. ①③D. ①③④

二、填空题（共7小题；共35分）
11. 因式分解：2a−2b= ．

12. 计算：x2x+1−1x+1= ．

13. 已知 △ABC 中，AB=AC，∠A=60∘，若 BC=5 cm，则 AC= cm．

14. 如图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件，则这个正八边形的每个内角度数为 ．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠BAC，交 BC 于点 D，若 AB=10，CD=3，则 S△ABD= ．

16. 如图，△ABC≌△AED，点 D 在 BC 边上．若 ∠EAB=50∘，则 ∠ADE 的度数是 ．

17. 对两实数 x，y 定义一种新运算，规定 x⊗y=x+y2x2−y2+6，例如：1⊗2=1+2212−22+6=3，若 a⊗2=1，则 a 的值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 解方程：32x=6x+3．

19. 按照要求完成以下作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）尺规作图，请在直线 AB 上作一点 P，使得 PC=PD．
（2）在直线 AB 上作一点 Pʹ，使得 PʹC+PʹD 的值最小．

20. 如图，△ABC 中，∠C=2∠DAC，∠B=75∘，AD 是 △ABC 的高，求 ∠BAC 的度数．

21. 随着 《广州市深化生活垃圾分类处理三年行动计划（2019−2021 年）》 的正式印发，广州市全面开启城乡生活垃圾分类全覆盖．为推进垃圾分类行动，某工厂购进甲、乙两种型号智能机器人用来进行垃圾分类，用 360 万元购买甲型机器人和用 480 万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为 140 万元，求甲、乙两种型号机器人每台各多少万元?

22. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD 为 ∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E，F．求证：BE=CF．

23. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是 2019 年 9 月份的日历，我们任意选择两组其中所示的四个数（阴影表示），分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，得到的结果都是 48，例如：8×10−2×16=48；19×21−13×27=48．请解答：再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；如果符合，利用整式的运算对这个规律加以证明．

24. 先阅读下列材料：
分解因式：a+b2−2a+b+1
解：将“a+b”看成整体，设 M=a+b，则
原式=M2−2M+1=M−12
再将 M 还原，得原式 =a+b−12．
上述解题用到的是“整体思想”，请你仿照上面的方法解答下列问题：
（1）分解因式：a2+2a+2a2+2a+1．
（2）化简：n+1n+2n2+3n+1nn+3+1．

25. 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且它们的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
（1）如图 1，若 △ABC 与 △ADE 互为“顶补等腰三角形”，∠BAC>90∘，AM⊥BC 于 M，AN⊥ED 于 N，求证：DE=2AM．
（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，AD=AB，CD=BC，∠B=90∘，∠A=60∘，在四边形 ABCD 的内部是否存在点 P，使得 △PAD 与 △PBC 互为“顶补等腰三角形”?若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】选项C中的图形是轴对称图形．
2. D
3. D
4. B【解析】∵ 分式 xx−1 有意义，
∴x−1≠0，
∴x≠1 .
5. D
【解析】题图中的两个三角形全等，而第一个三角形中，长分别为 a，c 的边的夹角为 50∘，第二个三角形中长为 a，c 的边的夹角是 ∠α，根据全等三角形的对应角相等可得 ∠α=50∘．故选D．
6. D
7. B【解析】设多边形的边数为 n．
根据题意得：n−2×180∘=360∘．
解得：n=4．
所以该多边形为四边形．
8. A【解析】当长是 3 cm 的边是底边时，三边为 3 cm，5 cm，5 cm，等腰三角形成立；
当长是 3 cm 的边是腰时，底边长是：13−3−3=7 cm，而 3+3<7，不满足三角形的三边关系，故底边长是 3 cm．
9. C【解析】∵DE 垂直平分 AB，
∴DA=DB，
又 ∵AC=5 cm，BC=4 cm，
∴△DBC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+4=8 cm.
故选C．
10. C
【解析】①一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；根据 HL 可证得两直角三角形全等，故①正确；
②有两条边相等的两个直角三角形不一定全等；比如一直角三角形的两直角边和另一个直角三角形的一直角边和一斜边相等，则这两个直角三角形并不全等，故②错误；
③有一边相等的两个等边三角形全等，符合 SSS 定理，故③正确；
④两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，根据 SSA 并不能证明三角形全等，故④错误.
故选C.
第二部分
11. 2a−b
【解析】原式=2a−b．
故答案为：2a−b．
12. x−1
【解析】x2x+1−1x+1=x2−1x+1=x+1x−1x+1=x−1
13. 5
【解析】∵AB=AC，∠A=60∘，
∴ 三角形 ABC 为等边三角形，
∴AC=AB=BC，且 BC=5，
∴AC=5．
故答案为：5．
14. 135∘
【解析】这个正八边形每个内角的度数 =18×8−2×180∘=135∘．
15. 15．
【解析】如图，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，
∵∠C=90∘，AD 平分 ∠BAC，
∴DE=CD=3，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×10×3=15．
16. 65∘
【解析】∵△ABC≌△AED，∠EAB=50∘，
∴∠BAC=∠EAD，∠ADE=∠C，AD=AC，
∴∠DAC=∠EAB=50∘，
∴∠ADC=∠C=65∘，
∴∠ADE=65∘．
17. −12
【解析】由题可知，a⊗2=a+22a2−22+6=a+22a2+2=1，
所以 a+22=a2+2，
a2+4a+4=a2+2，
4a=−2，
a=−12．
第三部分
18. 方程的两边同乘以 2xx＋3
得：
3x＋3=12x,
去括号得：
3x+9=12x,
解得
x=1,
经检验 x=1 是分式方程的解．
故答案为：x=1．
19. （1） 如图所示：
（2） 如图所示：
20. AD 是 △ABC 的高，
∴∠ADC=∠ADB=90∘，
∵∠B=75∘，
∴∠DAB=180∘−∠ADB−∠B=180∘−90∘−75∘=15∘.
∵∠C=2∠DAC．
∠C+∠DAC+∠ADC=180∘．
∴∠DAC=30∘．
∴∠BAC=∠DAC+∠DAB=30∘+15∘=45∘．
21. 设甲型机器人每台 x 万元，则乙型机器人为 140−x（万元），根据题意则有：
360x=480140−x
整理得
7x=420x=60万,
则乙型机器人每台为 140−60=80（万元）．
答：甲、乙两种型号机器人每台各为 60 万元和 80 万元．
22. ∵AB=AC，AD 为 ∠BAC 的平分线，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
BD=DC,DE=DF.
∴Rt△BDE≌Rt△CDFHL，
∴BE=CF．
23. 选择 11，17，19，25 四个数，
则 17×19−11×25=48，符合规律，
设选取的四个数中，最小的数为 m，
∴ 其他三个数为 m+6，m+8，m+14，
则
m+6m+8−mm+14=m2+14m+48−m2−14m=48.
24. （1） a2+2a+2a2+2a+1=a2+2a2+2a2+2a+1=a2+2a+12=a+14.
（2） n+1n+2n2+3n+1nn+3+1=n2+3n+2n2+3n+1n2+3n+1=n2+3n2+2n2+3n+1n2+3n+1=n2+3n+12n2+3n+1=n2+3n+1.
25. （1） 因为 △ABC 与 △ADE 互为“顶补等腰三角形”，
所以 AB=AC=AD=AE，∠BAC+∠DAE=180∘，
所以 ∠B=∠C，
又因为 AM⊥BC，AN⊥ED，
所以 ∠3=∠4=90∘，∠1=∠2，DE=2DN，
所以 ∠BAC+2∠2=180∘，
又因为 ∠BAC+2∠B=180∘，
所以 ∠B=∠2，
在 △ABM 和 △DAN 中，
∠3=∠4,∠B=∠2,AB=AD,
所以 △ABM≌△DANAAS，
所以 AM=DN，
所以 DE=2AM．
（2） 存在．如图 2，
连接 AC，取 AC 的中点 P，连接 PB，PD，
因为 AD=AB，CD=BC，AC=AC，
所以 △ADC≌△ABC，
所以 ∠ABC=∠ADC=90∘，
因为 P 是 AC 的中点，
所以 PB=PA=PC=12AC，
PD=PA=PC=12AC，
所以 PA=PB=PC=PD，
又因为 DC=BC，PB=PD，PC=PC，
所以 △PDC≌△PBCSSS，
所以 ∠DPC=∠BPC，
因为 ∠APD+∠DPC=180∘，∠APD+∠BPC=180∘，
所以 △APD 与 △BPC 互为“顶补等腰三角形”．