2018-2019学年广州市荔湾区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年广州市荔湾区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 用长分别为 3 cm，4 cm，7 cm 的三条线段围成三角形的事件是
A. 随机事件B. 必然事件C. 不可能事件D. 以上都不是

3. 已知点 A2,−3 在双曲线 y=kx 上，则下列哪个点也在此双曲线上
A. 1,6B. −1,6C. 2,3D. −2,−3

4. 一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒．当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是
A. 112B. 13C. 512D. 12

5. 如图，将 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45∘ 后得到 △AʹOBʹ，若 ∠AOB=15∘，则 ∠AOBʹ 的度数是
A. 25∘B. 30∘C. 35∘D. 40∘

6. 下列关于抛物线 y=3x−12+1 的说法，正确的是
A. 开口向下B. 对称轴是 x=−1
C. 顶点坐标是 −1,1D. 有最小值 y=1

7. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，若 ∠BOD=90∘，则 ∠BCD 的度数是
A. 45∘B. 90∘C. 135∘D. 150∘

8. 当 a≠0 时，函数 y=ax+1 与函数 y=ax 在同一坐标系中的图象可能是
A. B.
C. D.

9. 如图，CD 为 ⊙O 的弦，直径 AB 为 4，AB⊥CD 于 E，∠A=30∘，则扇形 BOC 的面积为
A. π3B. 2π3C. πD. 4π3

10. 如图，一段抛物线 y=−x2+4−2≤x≤2 为 C1，与 x 轴交于 A0，A1 两点，顶点为 D1；将 C1 绕点 A1 旋转 180∘ 得到 C2，顶点为 D2；C1 与 C2 组成一个新的图象，垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1x1,y1，P2x2,y2，与线段 D1D2 交于点 P3x3,y3，设 x1，x2，x3 均为正数，t=x1+x2+x3，则 t 的取值范围是
A. 6
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 在平面直角坐标系中，A2,−3 与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标是 ．

12. 小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．

13. 若二次函数 y=ax2+2x+1 的图象与 x 轴有两个不相同的交点，则 a 的取值范围是 ．

14. 已知点 Ax1,y1，Bx2,y2 是反比例函数 y=−2x 的图象上的两点，若 x1<0”或“<”或“=”）．

15. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，PB 是 ⊙O 的切线，PA 交 ⊙O 于 C，AB=3 cm，PB=4 cm，则 BC= cm．

16. 将半径为 12 cm，弧长为 12π 的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=1，AC=5．
（1）以点 B 为旋转中心，将 △ABC 沿逆时针方向旋转 90∘ 得到 △AʹBCʹ，请画出变换后的图形；
（2）求点 A 和点 Aʹ 之间的距离．

18. 抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y，的对应值如表：
x⋯−2−1012⋯y⋯0−4−408⋯
（1）根据上表填空：
①抛物线与 x 轴的交点坐标是 和 ；
②抛物线经过点 −3, ，对称轴为 ；
（2）求该抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式．

19. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球 2 个（分别标有 1 号、 2 号），蓝球 1 个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为 14．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．

20. 如图，已知一次函数 y=−x+2 与反比例函数 y=kx 的图象交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 M，且点 A 的横坐标是 −2，B 点的横坐标是 4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求 △AOM 的面积；
（3）根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时 x 的取值范围．

21. 如图，已知 P 是 ⊙O 外一点，PO 交 ⊙O 于点 C，OC=CP=4，弦 AB⊥OC，劣弧 AB 的度数为 120∘，连接 PB．
（1）求 BC 的长；
（2）求证：PB 是 ⊙O 的切线．

22. 制作一种产品，需先将材料加热达到 60∘C 后，再进行操作．设该材料温度为 y（∘C），从加热开始计算的时间为 x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度 y 与时间 x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度 y 与时间 x 成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为 15∘C，加热 5 分钟后温度达到 60∘C．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与 x 的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于 15∘C 时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间?

23. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，E，F 分别是 AB，BC 边上的点，且 ∠EDF=45∘，将 △DAE 绕点 D 按逆时针方向旋转 90∘ 得到 △DCM．
（1）求证：EF=MF；
（2）当 AE=1 时，求 EF 的长．

24. 如图①，已知 AB 是 ⊙O 的直径，点 D 是线段 AB 延长线上的一个动点，直线 DF 垂直于射线 AB 于点 D，当直线 DF 绕点 D 逆时针旋转时，与 ⊙O 交于点 C，且运动过程中，保持 CD=OA．
（1）当直线 DF 与 ⊙O 相切于点 C 时，求旋转角的度数；
（2）当直线 DF 与半圆 O 相交于点 C 时（如图②），设另一交点为 E，连接 AE，OC，若 AE∥OC．
① AE 与 OD 的大小有什么关系?说明理由．
②求此时旋转角的度数．

25. 已知直线 y=x+4 分别交 x 轴、 y 轴于 A，B 两点，抛物线 y=x2+mx−4 经过点 A，和 x 轴的另一个交点为 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，点 D 是抛物线上的动点，且在第三象限，求 △ABD 面积的最大值；
（3）如图 2，经过点 M−4,1 的直线交抛物线于点 P，Q，连接 CP，CQ 分别交 y 轴于点 E，F，求 OE⋅OF 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
2. C【解析】∵3+4=7，
∴ 用长分别为 3 cm，4 cm，7 cm 的三条线段无法围成三角形，
∴ 用长分别为 3 cm，4 cm，7 cm 的三条线段围成三角形的事件是不可能事件．
3. B【解析】∵A2,−3 在双曲线 y=kx 上，
∴k=xy=−2×3=−6，
∴ 只需把各点横纵坐标相乘，结果为 −6 的点在函数图象上．
A．因为 1×6=6≠k，所以该点不在双曲线 y=kx 上，故A选项错误；
B．因为 −1×6=−6=k，所以该点在双曲线 y=kx 上，故B选项正确；
C．因为 2×3=6≠k，所以该点不在双曲线 y=kx 上，故C选项错误；
D．因为 −2×−3=6≠k，所以该点不在双曲线 y=kx 上，故D选项错误．
4. C
5. B
【解析】∵ 将 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45∘ 后得到 △AʹOBʹ，
∴∠AʹOA=45∘，∠AOB=∠AʹOBʹ=15∘，
∴∠AOBʹ=∠AʹOA−∠AʹOBʹ=45∘−15∘=30∘．
6. D【解析】抛物线 y=3x−12+1 中 a=3>0，开口向上；
对称轴为直线 x=1；
顶点坐标为 1,1；
当 x=1 时取得最小值 y=1．
7. C【解析】∵BD=BD，
∴∠A=12∠DOB=12×90∘=45∘，
∵∠A+∠C=180∘，
∴∠C=180∘−45∘=135∘．
8. A【解析】当 a>0 时，y=ax+1 过一、二、三象限，y=ax 在一、三象限；
当 a<0 时，y=ax+1 过一、二、四象限，y=ax 在二、四象限．
9. B【解析】连接 AC．
∵CD 为 ⊙O 的弦，AB 是 ⊙O 的直径，
∴CE=DE，
∵AB⊥CD，
∴AC=AD，
∴∠CAB=∠DAB=30∘，
∴∠COB=60∘，
∴ 扇形 BOC 的面积 =60⋅π×22360=2π3．
10. D
【解析】翻折后的抛物线的解析式为 y=x−42−4=x2−8x+12，
∵ 设 x1，x2，x3 均为正数，
∴ 点 P1x1,y1，P2x2,y2 在第四象限，
根据对称性可知：x1+x2=8，
∵2≤x3≤4，
∴10≤x1+x2+x3≤12，即 10≤t≤12．
第二部分
11. −2,3
【解析】A2,−3 与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标是 −2,3．
12. 14
13. a<1 且 a≠0
【解析】∵ 二次函数 y=ax2+2x+1 的图象与 x 轴有两个不相同的交点，
∴a≠0，22−4×a×1>0，解得 a<1 且 a≠0．
14. >
【解析】∵ 点 Ax1,y1，Bx2,y2 是反比例函数 y=−2x 的图象上的两点，
∴y1=−2x1，y2=−2x2，而 x1<0 ∴y1>y2．
15. 125
【解析】∵PB 是 ⊙O 的切线，
∴∠ABP=90∘，
∵AB=3 cm，PB=4 cm，
∴AP=AB2+BP2=32+42=5；
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，即 BC 为 △ABP 的高；
∵12×AB×BP=12×AP×BC，即 12×3×4=12×5×BC，
∴BC=125．
16. 30∘
【解析】∵ 扇形的半径为 12，弧长为 12π，
∴ 圆锥的底面半径 r=12π÷2π=6，
∵ 圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，
∴ 圆锥的母线与圆锥底面的夹角的正弦值是 612=12，
∴ 圆锥的母线与圆锥高的夹角为 30∘．
第三部分
17. （1） 如图，△AʹBCʹ 为所作．
（2） ∵∠C=90∘，BC=1，AC=5，
∴AB=12+52=6，
∵△ABC 沿逆时针方向旋转 90∘ 得到 △AʹBCʹ，
∴BA=BAʹ，∠ABAʹ=90∘，
∴△ABAʹ 为等腰直角三角形，
∴AAʹ=2AB=23．
18. （1） −2,0；1,0；8；直线 x=−12
【解析】①抛物线与 x 轴的交点坐标是 −2,0 和 1,0；
②抛物线经过点 −3,8，对称轴为直线 x=−12．
（2） 抛物线 y=ax+2x−1，把 0,−4 代入得 a⋅2⋅−1=−4，解得 a=2，
∴ 抛物线解析式为 y=2x+2x−1，即 y=2x2+2x−4．
19. （1） 设袋中黄球的个数为 x 个，
∵ 从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为 14，
∴1x+2+1=14，
解得：x=1，
经检验 x=1 是原方程的解，且符合题意．
∴ 袋中黄球的个数为 1 个；
（2） 画树状图得：
∵ 共有 12 种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有 10 种情况，
∴ 两次摸到不同颜色球的概率为：P=1012=56．
20. （1） ∵ 点 A 的横坐标是 −2，B 点的横坐标是 4，
∴ 当 x=−2 时，y=−−2+2=4；当 x=4 时，y=−4+2=−2，
∴A−2,4，B4,−2，
∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过 A，B 两点，
∴k=−2×4=−8，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−8x．
（2） 一次函数 y=−x+2 中，令 y=0，则 x=2，
∴M2,0，即 MO=2，
∴△AOM 的面积 =12×OM×yA=12×2×4=4．
（3） ∵A−2,4，B4,−2，
∴ 由图象可得，反比例函数值大于一次函数值时 x 的取值范围为：−24．
21. （1） 连接 OB，
∵ 弦 AB⊥OC，劣弧 AB 的度数为 120∘，
∴ 弧 BC 与弧 AC 的度数为：60∘，
∴∠BOC=60∘，
∵OB=OC，
∴△OBC 是等边三角形，
∴BC=OC=4．
（2） ∵OC=CP，BC=OC，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
∵△OBC 是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60∘，
∴∠CBP=30∘，
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90∘，
∴OB⊥BP，
∵ 点 B 在 ⊙O 上，
∴PB 是 ⊙O 的切线．
22. （1） 设一次函数的表达式为 y=kx+b．
因为还没开始加热时，温度为 15∘C，即 x 为 0 分钟时，y 为 15∘C，所以 y=kx+b 经过 0,15 点．
又图象还过 5,60 点，所以 b=15，5k+b=60，解得
k=9,b=15,
所以材料加热时，y 与 x 的函数表达式为 y=9x+150≤x≤5．
停止加热操作时，设 y=mx，由于图象过 5,60 点，所以 60=m5，即
m=300.
所以停止加热进行操作时，y 与 x 的函数表达式为 y=300xx≥5．
（2） 把 y=15 代入 y=300x 中，得
x=20.
所以从开始加热到停止操作，共经历了 20 分钟．
23. （1） ∵△DAE 绕点 D 逆时针旋转 90∘ 得到 △DCM，
∴DE=DM，∠EDM=90∘，
∵∠EDF=45∘，
∴∠FDM=45∘，
∴∠EDF=∠FDM．
又 ∵DF=DF，DE=DM，
∴△DEF≌△DMF，
∴EF=MF．
（2） 设 EF=MF=x，
∵AE=CM=1，AB=BC=3，
∴EB=AB−AE=3−1=2，BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM−MF=4−x．
在 Rt△EBF 中，由勾股定理得 EB2+BF2=EF2，
即 22+4−x2=x2，
解得：x=52，
则 EF 的长为 52．
24. （1） 如图①，连接 OC．
∵OC=OA，CD=OA，
∴OC=CD，
∴∠ODC=∠COD，
∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴∠OCD=90∘，
∴∠ODC=45∘；
∴ 旋转角 ∠CDF=90∘−45∘=45∘，
根据对称性可知，当旋转角为 135∘ 时，也符合题意．
综上所述，满足条件的旋转角为 45∘ 或 135∘．
（2） 如图②，连接 OE．
∵CD=OA，
∴CD=OC=OE=OA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AE∥OC，
∴∠2=∠3．
设 ∠ODC=∠1=x，则 ∠2=∠3=∠4=x．
∴∠AOE=∠OCD=180∘−2x．
①结论：AE=OD．理由如下：
在 △AOE 与 △OCD 中，
OA=OC,∠AOE=∠OCD,OE=CD,
∴△AOE≌△OCDSAS，
∴AE=OD．
② ∵∠6=∠1+∠2=2x，OE=OC，
∴∠5=∠6=2x．
∵AE∥OC，
∴∠4+∠5+∠6=180∘，即：x+2x+2x=180∘，
∴x=36∘．
∴∠ODC=36∘，
∴ 旋转角 ∠CDF=54∘．
25. （1） 把 y=0 代入 y=x+4 得：0=x+4，解得：x=−4，
∴A−4,0．
把点 A 的坐标代入 y=x2+mx−4 得：m=3，
∴ 抛物线的解析式为 y=x2+3x−4．
（2） 设 Dn,n2+3n−4，
∴S△ABD=S四边形ADOB−S△BDO=12×4×4+12×4−n2+3n−4+12×4n=−2n2−4n+16=−2n+12+18,
∴ 当 n=−1 时，△ABD 面积的最大，最大值为 18．
（3） 把 y=0 代入 y=x2+3x−4，得：x2+3x−4=0，解得：x=1 或 x=−4，
∴C1,0，
设直线 CQ 的解析式为 y=ax−a，CP 的解析式为 y=bx−b．
∴y=ax−a,y=x2+3x−4, 解得：x=1 或 x=4−a，
∴xQ=a−4，同理：xP=b−4，
设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b，把 M−4,1 代入得：y=kx+4k+1．
∴y=kx+4k+1,y=x2+3x−4,
∴x2+3−kx−4k−5=0，
∴xQ+xP=a−4+b−4=3−k，xQ⋅xP=a−4b−4=−4k−5，
解得：ab=−1．
又 ∵OE=−b，OF=a，
∴OE⋅OF=−ab=1．