人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试一课一练

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专题21.10 一元二次方程的应用综合-重难点题型
【人教版】

【题型1 与一元二次方程有关的三角形动点问题】
【例1】（2020秋•兴城市月考）如图，在△ABC内，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

【解题思路】过点Q作QE⊥PB于E，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出QE=12QB，设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根据△PBQ的面积等于4cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答过程】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.
∵∠ABC＝30°，
∴QE=12QB．
设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，
根据题意得：12•（6﹣t）•t＝4，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，
∴t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．

【变式1-1】（2020秋•茶陵县期末）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．
（1）当t＝4时，求△APQ的面积．
（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．

【解题思路】（1）根据点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，AP＝4cm，AQ＝4cm，利用面积公式求解；
（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，则BP＝2tcm，CQ＝2tcm，
进而表示出AP＝（12﹣2t）cm，AQ＝（8﹣t）cm，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．
【解答过程】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1m/s，
当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm，
∴AP＝4cm，AQ＝4cm，
∴S△APQ=12×4×4＝8（cm2）．
（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．
根据题意得：12S△ABC=12×12×12×8＝24cm2，
当0＜t＜6 时如图1：

S△APQ=12（12﹣2t）（8﹣t）＝24，
整理得t2﹣14t+24＝0，
解得t＝12（舍去）或t＝2．
当6＜t＜8 时如图2：

S△APQ=12（2t﹣12）（8﹣t）＝24，
整理得t2﹣14t+72＝0，
△＜0，无解．
当t＞8时如图3：

S△APQ=12（2t﹣12）（t﹣8）＝24，
整理得t2﹣14t+24＝0，
解得t＝12或t＝2（舍去）．
综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．
【变式1-2】（2021•广州模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？

【解题思路】（1）设经过x秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（2）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜t≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上（4＜t≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（t＞6）；进行讨论即可求解．
【解答过程】解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，
∴12（6﹣x）•2x=12×12×6×8，
∴x2﹣6x+12＝0，
∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时
此时0＜t≤4
由题意知：12（6﹣t）（8﹣2t）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5+2（不合题意，应舍去），t2＝5-2，
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时
此时4＜t≤6，
由题意知：12（6﹣t）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+25＝0，
解得：t1＝t2＝5，
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时
此时t＞6，
由题意知：12（t﹣6）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5+2，t2＝5-2，（不合题意，应舍去），
综上所述，经过5-2秒、5秒或5+2秒后，△PBQ的面积为1．
【变式1-3】（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于210cm？
（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．

【解题思路】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）令S△PQB＝7，根据三角形的面积公式列出方程，再根据b2﹣4ac得出原方程没有实数根，从而得出△PQB的面积不能等于7cm2．
【解答过程】解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5）此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
由12BP⋅BQ=4，得12(5-x)×2x=4，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍）；
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于210cm，由PQ2＝BP2+BQ2，
即40＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得：t＝﹣1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为210cm；
（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于7cm2，即BP×BQ2=7，(5-t)×2t2=7，
整理得：t2﹣5t+7＝0，
由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，
则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2．
【题型2 与一元二次方程有关的四边形动点问题】
【例2】（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为　 　s．

【解题思路】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答过程】解：设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：12（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【变式2-1】（2021秋•渭滨区校级期中）如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了　 　秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．

【解题思路】设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，分类讨论当0＜x＜3秒时，Q点在BC上运动，P在AB上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当3＜x＜6秒时，Q点在CD上运动，P在AB上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值．
【解答过程】解：设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，
当0＜x＜3秒时，Q点在BC上运动，P在AB上运动，
PB＝6﹣x，BQ＝2x，
所以S△PBQ=12PB•BQ=12×2x×（6﹣x）＝8，
解得x＝2或4，
又知x＜3，
故x＝2符合题意，
当3＜x＜6秒时，Q点在CD上运动，P在AB上运动，
S△PBQ=12（6﹣x）×6＝8，
解得x=103．
故答案为：2或103．
【变式2-2】（2020秋•江岸区校级月考）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？

【解题思路】当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，则PM＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，利用勾股定理结合PQ＝10cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答过程】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）依题意，得：12×（16﹣3t+2t）×6＝33，
解得：t＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，
∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：t1=85，t2=245（不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发开始到85秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．

【变式2-3】如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝8cm BD＝6cm，动点M从A点出发沿AC方向以2cm/s匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿BD方向以1cm/s匀速直线运动到D点，若M，N同时出发，设运动时间为t秒：
（1）当t＝1秒时，M，N两点之间的距离是多少？
（2）当2＜t＜3时，用含t的代数式表示OM的长；
设W＝MN2，求W关于t的函数关系式；
（3）当t为何值时，△MON的面积为14cm2．

【解题思路】（1）利用菱形的性质得出OM、ON，利用勾股定理得出MN即可；
（2）当2＜t＜3时，OM＝2t﹣4，ON＝3﹣t，利用勾股定理求得MN的平方即可；
（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分当t＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上、当2＜t＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上和当t＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上三种情况分别讨论，利用三角形的面积建立方程求得答案即可．
【解答过程】解：（1）∵菱形ABCD中，AC＝8cm BD＝6cm，
∴OA＝4，OB＝3，
∵当t＝1秒时，OM＝4﹣2＝2，ON＝3﹣1＝2，
∴MN=22+22=22；
（2）当2＜t＜3时，OM＝2t﹣4，ON＝3﹣t，
W＝MN2＝OM2+ON2＝（2t﹣4）2+（3﹣t）2＝5t2﹣22t+25；
（3）①当t＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上．
12（4﹣2t）（3﹣t）=14；
解得t1=5+22，t2=5-22，
∵t＜2，
∴t=5-22；
②当2＜t＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上，
12（2t﹣4）（3﹣t）=14；
解得t1＝t2=52；
③当t＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上，
12（2t﹣4）（t﹣3）=14；
解得t1=5+22，t2=5-22，
∵t＞3，
∴t=5+22．
综上所述，出发后5-22s或52s或5+22s时，△MON的面积为14cm2．
【题型3 一元二次方程与一次函数的综合】
【例3】（2020春•平潭县校级月考）北京国家体育场“鸟巢”的模型深受游客喜爱． 图中折线（AB∥CD∥x轴）反映了某种规格“鸟巢”模型的单价y（元）与购买数量x（个）之间的函数关系．
（1）求当10≤x≤20时，y与x的函数关系式；
（2）已知某旅游团购买该种规格的“鸟巢”模型的总金额为2625元，问该旅游团共购买这种模型多少个？（总金额＝数量×单价）

【解题思路】（1）设出一次函数解析式，把B、C两点的坐标代入可得所求函数关系式；
（2）所用金额既不是200的倍数，也不是150的倍数，可得模型的单价在150和200之间，根据总价等于2625得到一元二次方程，求解即可．
【解答过程】解：（1）当10≤x≤20时，设y＝kx+b（k≠0）（11分）
依题意，得10k+b=20020k+b=150，
解得k=-5b=250，
∴当10≤x≤20时，y＝﹣5x+250；

（2）∵10×200＜2625＜20×150
∴10＜x＜20，
依题意，得xy＝x（﹣5x+250）＝2625，
即x2﹣50x+525＝0，
解得x1＝15，x2＝35（舍去）
∴只取x＝15．
答：该旅游团共购买这种模型15个．
【变式3-1】（2021春•天心区期末）为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
【解题思路】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+900）台，根据总利润＝单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论．
【解答过程】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（35，550）、（40，500）代入y＝kx+b，得
35k+b=55040k+b=500．
解得：k=-10b=900，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+900；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，
则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+900）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+900）＝8000．
整理，得：x2﹣120x+3500＝0，
解得：x1＝50，x2＝70．
∵此设备的销售单价不得高于60万元，
∴x＝50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
【变式3-2】（2020春•西湖区校级月考）某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：
（1）当x＞40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；
（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元；
（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台．

【解题思路】（1）根据如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元，可列式；
（2）先根据待定系数法计算直线的解析式，再计算x＝60时的进价和售价，可得利润；
（3）分当x＞40和当x≤40时，分别计算每台的售价，列方程解出即可．
【解答过程】解：（1）由题意得：当x＞40时，每台学习机的售价为（单位：元）：
800﹣5（x﹣40）＝﹣5x+1000；
（2）设图中直线解析式为：y＝kx+b，
把（0，700）和（50，600）代入得：50k+b=600b=700，
解得：k=-2b=700，
直线解析式为：y＝﹣2x+700，
当x＝60时，进价为：y＝﹣2×60+700＝580，售价为：800﹣5×（60﹣40）＝700，
则每台学习机可以获利：700﹣580＝120（元）；
（3）当x＞40时，每台学习机的利润是：（﹣5x+1000）﹣（﹣2x+700）＝﹣3x+300，
则x（﹣3x+300）＝4800，
解得：x1＝80，x2＝20（舍），
当x≤40时，每台学习机的利润是：800﹣（﹣2x+700）＝2x+100，
则x（2x+100）＝4800，
解得：x1＝30，x2＝﹣80（舍），
答：则该商店可能购进并销售学习机80台或30台．
【变式3-3】（2020秋•麻城市校级月考）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
①求y与x之间的函数关系式；
②若某段时间内该商品的销售单价为70元，则销售利润为多少元？（利润＝（销售单价﹣进价）×销售量）
③要使销售利润达到800元，则销售单价应定为每千克多少元？
④在一段时间内，销售利润能达到1000元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，说明理由．

【解题思路】①当20≤x≤80时，利用待定系数法即可得到y与x的函数表达式；
②把x＝70代入函数式求得销量，然后由利润＝（销售单价﹣进价）×销售量求得答案；
③根据销售利润达到800元，可得方程，解方程即可得到销售单价；
④根据销售利润达到1000元，可得方程，解方程即可得到销售单价．
【解答过程】解：①当0＜x＜20时，y＝60；
当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为y＝kx+b，
把（20，60），（80，0）代入，可得
60=20k+b0=80k+b，
解得k=-1b=80，
∴y＝﹣x+80，
∴y与x的函数表达式为y=60(0≤x≤20)-x+80(20＜x≤80)；
②把x＝70代入y＝﹣x+80，得到：y＝﹣70+80＝10，
故w＝（70﹣20）×10＝500（元）；
③若销售利润达到800元，
若20≤x≤80，则（x﹣20）（﹣x+80）＝800，
解得x1＝40，x2＝60，
若0＜x＜20，则（x﹣20）×60＝800，
解得x=1003（不合题意），
∴要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元．
④根据题意，得（x﹣20）（﹣x+80）＝1000，
整理，得x2﹣100x+2600＝0．
因为△＝1002﹣4×2600＝﹣400＜0，
所以方程无实数根，
所以不能达到1000元．
【题型4 与一元二次方程有关的阅读探究问题】
【例4】（2020秋•洛宁县月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．
如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．

任务：
当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．
【解题思路】假设存在，设“减半”矩形的长为x，则宽为（92-x），根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答过程】解：假设存在，设“减半”矩形的长为x，则宽为（92-x），
依题意，得：x（92-x）=12×8×1，
整理，得：x2-92x+4＝0，
解得：x1=9+174，x2=9-174．
当x=9+174时，92-x=9-174，符合题意；
当x=9-174时，92-x=9+174＞9-174，不合题意，舍去．
∴长为8，宽为1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为9+174，宽为9-174．
【变式4-1】（2020秋•乐清市期末）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组 x+y=72xy=3，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0，
∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝　 ，x2＝　 　，
∴满足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
【解题思路】（1）利用求根公式即可求出方程的两根；
（2）仿照（1）找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣7＜0，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形B；
（3）仿照（1）找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△≥0，可找出m、n之间的关系．
【解答过程】解：（1）利用求根公式可知：x1=7-12×2=32，x2=7+12×2=2．
故答案为：32；2．
（2）设所求矩形的两边分别是x和y，
根据题意得：x+y=32xy=1，
消去y化简得：2x2﹣3x+2＝0．
∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，
∴该方程无解，
∴不存在满足要求的矩形B．
（3）设所求矩形的两边分别是x和y，
根据题意得：x+y=m+n2xy=mn2，
消去y化简得：2x2﹣（m+n）x+mn＝0．
∵矩形B存在，
∴b2﹣4ac＝[﹣（m+n）]2﹣4×2mn≥0，
∴（m﹣n）2≥4mn．
故当m、n满足（m﹣n）2≥4mn时，矩形B存在．
【变式4-2】（2020•任城区三模）阅读下面材料：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式S＝na+n(n-1)2×d来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，）
例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝10×3+10(10-1)2×2＝120．
用上面的知识解决下列问题．
（1）计算：
2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116．
（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，如表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．

2009年
2010年
2011年
2012年
植树后坡荒地的实际面积（公顷）
25200
24000
22400
20400
【解题思路】（1）利用材料中的公式解答；
（2）设在2009年的基础上，再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．从表格中可以看到2010年坡荒地是面积减少了1200公顷，则依次减少的公顷数是1600，2000+…+400（x﹣1），根据2009年植树后坡荒地是实际面积是25200公顷列方程求解．
【解答过程】解：（1）2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116＝20×2+20×192×6＝1180．
（2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得
1200x+x(x-1)2×400＝25200，
（x﹣9）（x+14）＝0，
x＝9或x＝﹣14（负值舍去）．
答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
【变式4-3】（2020秋•顺昌县校级月考）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算．
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24＝300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]＝[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n＝n（n+1）这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是 n（n+1）．
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有12n（n+1）＝300整理这个方程，得：n2+n﹣600＝0解方程得：n1＝24，n2＝﹣25，根据问题中未知数的意义确定n＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

【解题思路】（1）假设能，设三角点阵中前n行的点数的和为600，根据探索可得出关于n的一元二次方程，解方程求出n的值，再根据方程的解均不为整数，即可得知假设不成立，从而得出结论；
（2）由探索可知：2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]＝n（n+1），假设能，设三角点阵中前n行的点数的和为600，根据探索可得出关于n的一元二次方程，解方程求出n的值，根据未知数的意义确定n的值，此题得解．
【解答过程】解：（1）假设能，设三角点阵中前n行的点数的和为600，
则有12n（n+1）＝600，整理得：n2+n﹣1200＝0，
解得：n1=-1-48012，n2=-1+48012，
∵n1，n2均不为整数，
∴假设不成立，即三角点阵中前n行的点数的和不能是600．
（2）由探索可知：2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]＝n（n+1），
假设能，设三角点阵中前n行的点数的和为600，
则有n（n+1）＝600，整理得：n2+n﹣600＝0，
解得：n1＝24，n2＝﹣25，
根据问题中未知数的意义确定n＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是600．