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初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质当堂达标检测题
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这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质当堂达标检测题，文件包含专题223二次函数的图象与性质三-重难点题型同步练习原卷版docx、专题223二次函数的图象与性质三-重难点题型同步练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
专题22.3 二次函数的图象与性质（三）-重难点题型
【人教版】
【知识点1 二次函数的性质】
①当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
②当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
【题型1 利用二次函数的性质判断结论】
【例1】（2021•河北模拟）对二次函数y=12x2+2x+3的性质描述正确的是（ ）
A．该函数图象的对称轴在y轴左侧
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．函数图象开口朝下
D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．
【解答】解：A、y=12x2+2x+3对称轴为x＝﹣2，在y轴左侧，故A符合题意；
B、因y=12x2+2x+3对称轴为x＝﹣2，x＜﹣2时y随x的增大而减小，故B不符合题意；
C、a=12＞0，开口向上，故C不符合题意；
D、x＝0是y＝3，即与y轴交点为（0，3）在y轴正半轴，故D不符合题意；
故选：A．
【变式1-1】（2021•西青区二模）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
﹣2
…
有下列结论：①抛物找开口向下；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点（﹣1，﹣2）；④当0＜x＜2时，y＞2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程ax2+bx+c＝0即y＝0时x的值取值范围，得出答案即可．
【解答】解；①由图表中数据可得出：x＝1时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项正确；
②∵x＝0和x＝3时的函数值相同，
∴对称轴为直线x=0+32=32，
∴当x＞32时，y随x的增大而减小，故此选项错误；
③∵点（4，﹣2）关于对称轴的对称点为（﹣1，﹣2），
∴抛物线一定经过点（﹣1，﹣2），故此选项正确；
④当0＜x＜2时，y＞2，此选项正确．
故选：C．
【变式1-2】（2020秋•遂川县期末）关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．不论a为何值，都过定点（1，﹣2）
D．a＞0时，对称轴在y轴的左侧
【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，
∴此抛物线开口向上，故选项A正确，
当a＝2时，y＝x2﹣3x过点（0，0），故选项B正确，
当x＝1时，y＝﹣2，此时解析式中的a正好可以消掉，故选项C正确，
抛物线的对称轴是直线x=--(a+1)2×1=a+12，当a＞0时，对称轴x＞12在y轴右侧，故选项D错误，
故选：D．
【变式1-3】（2020•南昌一模）对于二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），下列说法错误的是（ ）
A．该二次函数图象的对称轴可以是y轴
B．该二次函数图象的对称轴不可能是x＝1
C．当x＞2时，y的值随x的增大而增大
D．该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），
∴当a=12时，该函数的对称轴是y轴，故选项A正确；
该函数的对称轴为直线x=-1-2a2a=1-12a＜1，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项B、C正确；
∵该函数的对称轴为x＝1-12a＜1，
∴当a=14时，x＝﹣1，则此时对称轴在y轴左侧，故选项D错误；
故选：D．
【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】
【例2】（2021•翔安区模拟）抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，b），（3，c），则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．无法比较大小
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-12，然后比较三个点都直线x=-12的远近得到a、b、c的大小关系．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝x2+x+2＝（x+12）2+74，
∴抛物线的对称轴为直线x=-12，
∵（2，a）、（﹣1，b），（3，c），
∴点（3，c）离直线x=-12最远，（﹣1，b）离直线x=-12最近，
而抛物线开口向上，
∴c＞a＞b；
故选：A．
【变式2-1】（2021•于洪区一模）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关系．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x+c中a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-82×(-2)=2，
∵点A（﹣1，y1）的对称点为（5，y1），
又∵5＞3＞2，即A、B、C三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．
∴y1＜y3＜y2，
故选：C．
【变式2-2】（2021春•鼓楼区校级月考）已知点A（b﹣m，y1），B（b﹣n，y2），C（b+m+n2，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2bx+c的图象上，若0＜m＜n，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】逐次比较A、B、C三个点离函数对称轴距离即可求解．
【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝b，
∵0＜m＜n，
∴点B离对称轴最远，点A离对称轴近，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
【变式2-3】（2021春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2．结合图象，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．0＜m＜1 C．0＜m＜12 D．m＜0
【分析】a＞0时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小．
【解答】解：如图：
抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）的对称轴为x＝1，
A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，
则1﹣m＜（m+2）﹣1＜1﹣（m﹣1），（注：a＞0时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小），
∴0＜m＜12．
故选：C．
【知识点2 二次函数的对称性】
①如果抛物线上x=m与x=n对应的函数值相等，那么根据抛物线的对称性可知，其对称轴为直线x=m+n2.
②如果抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），那么根据抛物线的对称性可知，其对称轴为直线x=x1+x22.
【题型3 二次函数的对称性的应用】
【例3】（2020秋•姜堰区期末）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的x与y的部分对应值如表：则该二次函数图象的顶点坐标是（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
y
12
7
4
3
4
A．（﹣1，12） B．（0，7） C．（1，4） D．（2，3）
【分析】由二次函数图象上点的坐标（1，4）和（3，4），利用二次函数的性质可得出二次函数图象的对称轴，进而可得出顶点坐标．
【解答】解：∵当x＝1时，y＝4；当x＝3时，y＝4，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，
∴二次函数图象的顶点坐标是（2，3）．
故选：D．
【变式3-1】（2020秋•望江县期末）在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
1
3
4
…
y
…
﹣6
m
n
﹣6
…
则m、n的大小关系为（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，再根据二次函数的图象具有对称性，可以得到m、n的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：由表格可得，
二次函数y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x=-1+42=32，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c
∴该函数图象开口向下，
∵32-1=12，3-32=32，
∴m＞n，
故选：B．
【变式3-2】（2021•临安区模拟）已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（ ）
A．﹣2≤a≤-32 B．﹣2≤a≤﹣1 C．﹣3≤a≤-32 D．0≤a≤2
【分析】先将原二次函数整理得一般式，再得当x=m+12时取最小值，根据函数过（a，b）和（a+6，b）两点，得x＝a+3时取最小值，根据1≤m≤2，进而可得a的取值范围．
【解答】解：方法一：∵y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），
∴y＝x2﹣（m+1）x+m，
∴当x=m+12时取最小值，
∵函数过（a，b）和（a+6，b）两点，
∴x=a+a+62=a+3时取最小值，
∴a+3=m+12，
∴m＝2a+5，
方法二：令y＝0，则x＝m，x＝1，
又函数过（a，b）和（a+6，b），
所以对称轴x＝（a+a+6）÷2＝a+3，
得出m＝2a+5
∵1≤m≤2，
∴1≤2a+5≤2，
解得﹣2≤a≤-32．
故选：A．
【变式3-3】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等．则当x＝2021时，函数值等于 ．
【分析】根据二次函数的图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，从而可以得到和x＝2021对应函数值相等的自变量x的值，然后即可得到当x＝2021时的函数值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等，
∴该函数的对称轴为直线x=1+20202=20212，
∴x＝2021和x=20212×2﹣2021＝0时的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴当x＝2021时，y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】
【例4】（2021•河南模拟）已知二次函数y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，当x＞1时，y随x的增大而减小，而m的取值范围是（ ）
A．m≤12 B．m＜-12 C．m＞32 D．m≤32
【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案．
【解答】解：∵y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，
∴对称轴为x=-2m-1-2=2m-12，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴2m-12≤1，解得m≤32，
故选：D．
【变式4-1】（2020•西湖区一模）设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】当k＜0时，抛物线对称轴为直线x=-4k+32k，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，根据题意，得m≤-4k+32k，而当k＜0时，-4k+32k=-2-32k＞-2，可确定m的范围，
【解答】解：∵k＜0，
∴函数y＝kx2+（4k+3）x+1的图象在对称轴直线x=-4k+32k的左侧，y随x的增大而增大．
∵当x＜m时，y随着x的增大而增大
∴m≤-4k+32k，
而当k＜0时，-4k+32k=-2-32k＞-2，
所以m≤﹣2，
故选：D．
【变式4-2】（2020秋•西岗区期末）已知函数y＝x2+x﹣1，当m≤x≤m+2时，-54≤y≤1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m≤-12 D．m≤﹣1
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围．
【解答】解：∵函数y＝x2+x﹣1＝（x+12）2-54，
∴该函数图象开口向上，当x=-12是，该函数取得最小值-54，当y＝1时，x1＝﹣2，x2＝1，
∵当m≤x≤m+2时，-54≤y≤1，
∴-2≤m≤-12-12≤m+2≤1
解得﹣2≤m≤﹣1，
故选：B．
【变式4-3】（2021•泉州模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，则m的取值范围为（ ）
A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3（a＞0），
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，该函数取得最小值﹣a+3，
∵当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，当y＝3时，x＝2或x＝0，
∴1≤m≤2，
故选：C．
【题型5 利用二次函数的性质求最值】
【例5】（2020秋•桐城市期末）若点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，则a﹣b的最小值为 ．
【分析】把点P（a，b）代入y＝﹣2x2+2x+1求得b＝﹣2a2+2a+1，进而即可求得a﹣b＝2a2﹣a﹣1，化成顶点式a﹣b＝2a2﹣a﹣1＝2（a-14）2-98，根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，
∴b＝﹣2a2+2a+1，
∴a﹣b＝a﹣（﹣2a2+2a+1）＝2a2﹣a﹣1，
∵a﹣b＝2a2﹣a﹣1＝2（a-14）2-98，
∴a﹣b的最小值为-98，
故答案为-98．
【变式5-1】（2020秋•中站区期末）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是 ．
【分析】把点P（m，n）代入抛物线的解析式，得到n＝﹣m2﹣3m+3，等式两边同加m得m+n＝﹣m2﹣2m+3，得到m+n关于m的二次函数解析式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．
故答案为：4．
【变式5-2】（2020秋•丹阳市期末）若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是 ．
【分析】设y＝2m2+mn+m﹣n，由m+n＝2得n＝2﹣m，再由二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：设y＝2m2+mn+m﹣n，
∵m+n＝2，
∴n＝2﹣m，
∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2+4m﹣2＝（m+2）2﹣6，
此为一个二次函数，开口向上，有最小值，
当m＝﹣2时，y有最小值为﹣6，
故答案为：﹣6．
【变式5-3】（2021•江夏区校级模拟）已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（ ）
A．9 B．8 C．1 D．103
【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．
【解答】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，
∴b＝2﹣a，c＝3a+4，
∵b，c都是非负数，
∴2-a≥0①3a+4≥0②，
解不等式①得，a≤2，
解不等式②得，a≥-43，
∴-43≤a≤2，
又∵a是非负数，
∴0≤a≤2，
S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，
＝a2+2a+6，
∴对称轴为直线a=-22×1=-1，
∴a＝0时，最小值n＝6，
a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，
∴m﹣n＝14﹣6＝8．
故选：B．
【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】
【例6】（2021•吴兴区校级模拟）当﹣7≤x≤a时，二次函数y=-12（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝ ．
【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（﹣3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．
【解答】解：∵y=-12（x+3）2+5，
∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．
∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝a时，二次函数y=-12（x+3）2+5恰好有最大值3，
把y＝3代入函数解析式得到 3=-12（x+3）2+5，
解得 x1＝﹣5，x2＝﹣1．
∴a＝﹣5．
故答案是：﹣5．
【变式6-1】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．3 B．﹣3或38 C．3或-38 D．﹣3或-38
【分析】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m=-38；
故选：C．
【变式6-2】（2020•宝应县三模）已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当x＝﹣1时，y＝7，从而可解得m的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m
＝（x﹣2）2+m﹣4，
∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，
∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，
当x＝﹣1时，y＝7，
∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m，
解得：m＝2，
∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2．
故选：A．
【变式6-3】（2020•武昌区校级自主招生）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是-54，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2 B．0≤m≤12 C．﹣2≤m≤-12 D．m≤-12
【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是-54，得出m≤-12；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．
【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x=-12，
∴当x=-12时，y有最小值，此时y=14-12-1=-54，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是-54，
∴m≤-12；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x=-12，
∴当x=-12-[1﹣（-12）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤-12；
∴﹣2≤m≤-12．
解法二：画出函数图象，如图所示：
y＝x2+x﹣1
＝（x+12）2-54，
∴当x＝1时，y＝1；
当x=-12，y=-54，当x＝﹣2，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是-54，
∴﹣2≤m≤-12．
故选：C．
专题22.3 二次函数的图象与性质（三）-重难点题型
【人教版】
【知识点1 二次函数的性质】
①当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
②当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
【题型1 利用二次函数的性质判断结论】
【例1】（2021•河北模拟）对二次函数y=12x2+2x+3的性质描述正确的是（ ）
A．该函数图象的对称轴在y轴左侧
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．函数图象开口朝下
D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．
【解答】解：A、y=12x2+2x+3对称轴为x＝﹣2，在y轴左侧，故A符合题意；
B、因y=12x2+2x+3对称轴为x＝﹣2，x＜﹣2时y随x的增大而减小，故B不符合题意；
C、a=12＞0，开口向上，故C不符合题意；
D、x＝0是y＝3，即与y轴交点为（0，3）在y轴正半轴，故D不符合题意；
故选：A．
【变式1-1】（2021•西青区二模）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
﹣2
…
有下列结论：①抛物找开口向下；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点（﹣1，﹣2）；④当0＜x＜2时，y＞2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程ax2+bx+c＝0即y＝0时x的值取值范围，得出答案即可．
【解答】解；①由图表中数据可得出：x＝1时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项正确；
②∵x＝0和x＝3时的函数值相同，
∴对称轴为直线x=0+32=32，
∴当x＞32时，y随x的增大而减小，故此选项错误；
③∵点（4，﹣2）关于对称轴的对称点为（﹣1，﹣2），
∴抛物线一定经过点（﹣1，﹣2），故此选项正确；
④当0＜x＜2时，y＞2，此选项正确．
故选：C．
【变式1-2】（2020秋•遂川县期末）关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．不论a为何值，都过定点（1，﹣2）
D．a＞0时，对称轴在y轴的左侧
【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，
∴此抛物线开口向上，故选项A正确，
当a＝2时，y＝x2﹣3x过点（0，0），故选项B正确，
当x＝1时，y＝﹣2，此时解析式中的a正好可以消掉，故选项C正确，
抛物线的对称轴是直线x=--(a+1)2×1=a+12，当a＞0时，对称轴x＞12在y轴右侧，故选项D错误，
故选：D．
【变式1-3】（2020•南昌一模）对于二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），下列说法错误的是（ ）
A．该二次函数图象的对称轴可以是y轴
B．该二次函数图象的对称轴不可能是x＝1
C．当x＞2时，y的值随x的增大而增大
D．该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），
∴当a=12时，该函数的对称轴是y轴，故选项A正确；
该函数的对称轴为直线x=-1-2a2a=1-12a＜1，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项B、C正确；
∵该函数的对称轴为x＝1-12a＜1，
∴当a=14时，x＝﹣1，则此时对称轴在y轴左侧，故选项D错误；
故选：D．
【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】
【例2】（2021•翔安区模拟）抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，b），（3，c），则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．无法比较大小
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-12，然后比较三个点都直线x=-12的远近得到a、b、c的大小关系．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝x2+x+2＝（x+12）2+74，
∴抛物线的对称轴为直线x=-12，
∵（2，a）、（﹣1，b），（3，c），
∴点（3，c）离直线x=-12最远，（﹣1，b）离直线x=-12最近，
而抛物线开口向上，
∴c＞a＞b；
故选：A．
【变式2-1】（2021•于洪区一模）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关系．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x+c中a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-82×(-2)=2，
∵点A（﹣1，y1）的对称点为（5，y1），
又∵5＞3＞2，即A、B、C三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．
∴y1＜y3＜y2，
故选：C．
【变式2-2】（2021春•鼓楼区校级月考）已知点A（b﹣m，y1），B（b﹣n，y2），C（b+m+n2，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2bx+c的图象上，若0＜m＜n，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】逐次比较A、B、C三个点离函数对称轴距离即可求解．
【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝b，
∵0＜m＜n，
∴点B离对称轴最远，点A离对称轴近，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
【变式2-3】（2021春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2．结合图象，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．0＜m＜1 C．0＜m＜12 D．m＜0
【分析】a＞0时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小．
【解答】解：如图：
抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）的对称轴为x＝1，
A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，
则1﹣m＜（m+2）﹣1＜1﹣（m﹣1），（注：a＞0时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小），
∴0＜m＜12．
故选：C．
【知识点2 二次函数的对称性】
①如果抛物线上x=m与x=n对应的函数值相等，那么根据抛物线的对称性可知，其对称轴为直线x=m+n2.
②如果抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），那么根据抛物线的对称性可知，其对称轴为直线x=x1+x22.
【题型3 二次函数的对称性的应用】
【例3】（2020秋•姜堰区期末）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的x与y的部分对应值如表：则该二次函数图象的顶点坐标是（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
y
12
7
4
3
4
A．（﹣1，12） B．（0，7） C．（1，4） D．（2，3）
【分析】由二次函数图象上点的坐标（1，4）和（3，4），利用二次函数的性质可得出二次函数图象的对称轴，进而可得出顶点坐标．
【解答】解：∵当x＝1时，y＝4；当x＝3时，y＝4，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，
∴二次函数图象的顶点坐标是（2，3）．
故选：D．
【变式3-1】（2020秋•望江县期末）在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
1
3
4
…
y
…
﹣6
m
n
﹣6
…
则m、n的大小关系为（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，再根据二次函数的图象具有对称性，可以得到m、n的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：由表格可得，
二次函数y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x=-1+42=32，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c
∴该函数图象开口向下，
∵32-1=12，3-32=32，
∴m＞n，
故选：B．
【变式3-2】（2021•临安区模拟）已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（ ）
A．﹣2≤a≤-32 B．﹣2≤a≤﹣1 C．﹣3≤a≤-32 D．0≤a≤2
【分析】先将原二次函数整理得一般式，再得当x=m+12时取最小值，根据函数过（a，b）和（a+6，b）两点，得x＝a+3时取最小值，根据1≤m≤2，进而可得a的取值范围．
【解答】解：方法一：∵y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），
∴y＝x2﹣（m+1）x+m，
∴当x=m+12时取最小值，
∵函数过（a，b）和（a+6，b）两点，
∴x=a+a+62=a+3时取最小值，
∴a+3=m+12，
∴m＝2a+5，
方法二：令y＝0，则x＝m，x＝1，
又函数过（a，b）和（a+6，b），
所以对称轴x＝（a+a+6）÷2＝a+3，
得出m＝2a+5
∵1≤m≤2，
∴1≤2a+5≤2，
解得﹣2≤a≤-32．
故选：A．
【变式3-3】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等．则当x＝2021时，函数值等于 ．
【分析】根据二次函数的图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，从而可以得到和x＝2021对应函数值相等的自变量x的值，然后即可得到当x＝2021时的函数值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等，
∴该函数的对称轴为直线x=1+20202=20212，
∴x＝2021和x=20212×2﹣2021＝0时的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴当x＝2021时，y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】
【例4】（2021•河南模拟）已知二次函数y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，当x＞1时，y随x的增大而减小，而m的取值范围是（ ）
A．m≤12 B．m＜-12 C．m＞32 D．m≤32
【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案．
【解答】解：∵y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，
∴对称轴为x=-2m-1-2=2m-12，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴2m-12≤1，解得m≤32，
故选：D．
【变式4-1】（2020•西湖区一模）设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】当k＜0时，抛物线对称轴为直线x=-4k+32k，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，根据题意，得m≤-4k+32k，而当k＜0时，-4k+32k=-2-32k＞-2，可确定m的范围，
【解答】解：∵k＜0，
∴函数y＝kx2+（4k+3）x+1的图象在对称轴直线x=-4k+32k的左侧，y随x的增大而增大．
∵当x＜m时，y随着x的增大而增大
∴m≤-4k+32k，
而当k＜0时，-4k+32k=-2-32k＞-2，
所以m≤﹣2，
故选：D．
【变式4-2】（2020秋•西岗区期末）已知函数y＝x2+x﹣1，当m≤x≤m+2时，-54≤y≤1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m≤-12 D．m≤﹣1
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围．
【解答】解：∵函数y＝x2+x﹣1＝（x+12）2-54，
∴该函数图象开口向上，当x=-12是，该函数取得最小值-54，当y＝1时，x1＝﹣2，x2＝1，
∵当m≤x≤m+2时，-54≤y≤1，
∴-2≤m≤-12-12≤m+2≤1
解得﹣2≤m≤﹣1，
故选：B．
【变式4-3】（2021•泉州模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，则m的取值范围为（ ）
A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3（a＞0），
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，该函数取得最小值﹣a+3，
∵当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，当y＝3时，x＝2或x＝0，
∴1≤m≤2，
故选：C．
【题型5 利用二次函数的性质求最值】
【例5】（2020秋•桐城市期末）若点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，则a﹣b的最小值为 ．
【分析】把点P（a，b）代入y＝﹣2x2+2x+1求得b＝﹣2a2+2a+1，进而即可求得a﹣b＝2a2﹣a﹣1，化成顶点式a﹣b＝2a2﹣a﹣1＝2（a-14）2-98，根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，
∴b＝﹣2a2+2a+1，
∴a﹣b＝a﹣（﹣2a2+2a+1）＝2a2﹣a﹣1，
∵a﹣b＝2a2﹣a﹣1＝2（a-14）2-98，
∴a﹣b的最小值为-98，
故答案为-98．
【变式5-1】（2020秋•中站区期末）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是 ．
【分析】把点P（m，n）代入抛物线的解析式，得到n＝﹣m2﹣3m+3，等式两边同加m得m+n＝﹣m2﹣2m+3，得到m+n关于m的二次函数解析式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．
故答案为：4．
【变式5-2】（2020秋•丹阳市期末）若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是 ．
【分析】设y＝2m2+mn+m﹣n，由m+n＝2得n＝2﹣m，再由二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：设y＝2m2+mn+m﹣n，
∵m+n＝2，
∴n＝2﹣m，
∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2+4m﹣2＝（m+2）2﹣6，
此为一个二次函数，开口向上，有最小值，
当m＝﹣2时，y有最小值为﹣6，
故答案为：﹣6．
【变式5-3】（2021•江夏区校级模拟）已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（ ）
A．9 B．8 C．1 D．103
【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．
【解答】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，
∴b＝2﹣a，c＝3a+4，
∵b，c都是非负数，
∴2-a≥0①3a+4≥0②，
解不等式①得，a≤2，
解不等式②得，a≥-43，
∴-43≤a≤2，
又∵a是非负数，
∴0≤a≤2，
S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，
＝a2+2a+6，
∴对称轴为直线a=-22×1=-1，
∴a＝0时，最小值n＝6，
a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，
∴m﹣n＝14﹣6＝8．
故选：B．
【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】
【例6】（2021•吴兴区校级模拟）当﹣7≤x≤a时，二次函数y=-12（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝ ．
【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（﹣3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．
【解答】解：∵y=-12（x+3）2+5，
∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．
∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝a时，二次函数y=-12（x+3）2+5恰好有最大值3，
把y＝3代入函数解析式得到 3=-12（x+3）2+5，
解得 x1＝﹣5，x2＝﹣1．
∴a＝﹣5．
故答案是：﹣5．
【变式6-1】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．3 B．﹣3或38 C．3或-38 D．﹣3或-38
【分析】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m=-38；
故选：C．
【变式6-2】（2020•宝应县三模）已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当x＝﹣1时，y＝7，从而可解得m的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m
＝（x﹣2）2+m﹣4，
∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，
∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，
当x＝﹣1时，y＝7，
∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m，
解得：m＝2，
∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2．
故选：A．
【变式6-3】（2020•武昌区校级自主招生）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是-54，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2 B．0≤m≤12 C．﹣2≤m≤-12 D．m≤-12
【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是-54，得出m≤-12；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．
【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x=-12，
∴当x=-12时，y有最小值，此时y=14-12-1=-54，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是-54，
∴m≤-12；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x=-12，
∴当x=-12-[1﹣（-12）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤-12；
∴﹣2≤m≤-12．
解法二：画出函数图象，如图所示：
y＝x2+x﹣1
＝（x+12）2-54，
∴当x＝1时，y＝1；
当x=-12，y=-54，当x＝﹣2，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是-54，
∴﹣2≤m≤-12．
故选：C．
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